专题2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的正交分解与坐标表示-2017-2018学年高一数学必修4同步测试题解析
2.3.1-2.3.2平面向量基本定理平面向量的正交分解及坐标表示2
对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定
理知，有且只有一对实数x、y，使得 a＝
xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a
的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上
的坐标，y叫做a在y轴 上的坐标，上式叫做向量 y
的坐标表示.那么x、y的
ya
几何意义如何？
j
x
Oi
x
思考5：相等向量的坐标必然相等，作向 量 OA a，则 OA (x，y)，此时点A是坐 标是什么？
e1
a
a=λ1e1+0e2
e2
a
a=0e1+λ2e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
例3 如图，在平行四边形ABCD中，
A B =a，A D =b，E、M分别是AD、DC的中 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表A示B 23 AC向量 A M 和 E F .
AM 1 a b 2
EF a 1 b 6
BF C M
A ED
第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？
2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|；
（2）λ >0时，λa与a方向相同； λ<0时，λa与a方向相反； λ=0时，λa=0.
高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.2 平面向量的正交分解及坐
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示1．借助于力的分解理解平面向量的正交分解及坐标表示的意义．2．了解向量与坐标的关系，会求给定向量的坐标．1．平面向量的正交分解把一个平面向量分解为两个互相______的向量，叫做平面向量的正交分解．【做一做1】 如图所示，在矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，下列是正交分解的是( )A.AB →＝OB →－OA →B.BD →＝AD →－AB →C.AD →＝AB →＋BD →D.AB →＝AC →＋CB →2．平面向量的坐标表示(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向______的两个______向量i ，j 作为______．(2)坐标：对于平面内的一个向量a ，__________对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，我们把有序实数对______叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做向量a 在____轴上的坐标，y 叫做向量a 在____轴上的坐标．(3)坐标表示：a ＝(x ，y )就叫做向量的坐标表示．(4)特殊向量的坐标：i ＝______，j ＝______，0＝______.【做一做2】 已知基向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，m ＝4i －j ，则m 的坐标是( )A ．(4,1)B ．(－4,1)C ．(4，－1)D ．(－4，－1)3．向量与坐标的关系设OA →＝x i ＋y j ，则向量OA →的坐标______就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的______就是向量OA →的坐标(x ，y )．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是________的．向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同．【做一做3】 平面直角坐标系中，任意向量m 的坐标有________个．答案：1．垂直【做一做1】 B 由于AD →⊥AB →，则BD →＝AD →－AB →是正交分解．2．(1)相同 单位 基底 (2)有且只有一 (x ，y )x y (4)(1,0) (0,1) (0,0)【做一做2】 C3．(x ，y ) 坐标 一一对应【做一做3】 1 由于向量和有序实数对是一一对应的，则任意向量m 的坐标仅有1个．1．向量的表示法剖析：向量的表示方法有三种：①字母表示法：用一个小写的英文字母来表示，例如向量a ；也可以用上面加箭头的两个大写英文字母来表示，例如向量AB →，该向量的起点是A ，终点是B .②几何表示法：用有向线段来表示．③代数表示法：用坐标表示．2．点的坐标与向量坐标的联系与区别剖析：(1)表示形式不同，向量a ＝(x ，y )中间用等号连接，而点的坐标A (x ，y )中间没有等号．(2)意义不同，点A (x ，y )的坐标(x ，y )表示点A 在平面直角坐标系中的位置，a ＝(x ，y )的坐标(x ，y )既表示向量的大小，也表示向量的方向，另外(x ，y )既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x ，y )或向量a ＝(x ，y )．(3)联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同．题型一 求向量的坐标【例1】 如图所示，已知点M (1,2)，N (5,4)，试求MN →的坐标．分析：用基底i 和j 表示MN →＝x i ＋y j ，则(x ，y )是MN →的坐标．反思：向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．特别地，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则MN →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．题型二 由向量共线求参数值【例2】 设a ，b 是两个不共线的非零向量，若向量k a ＋b 与2a ＋k b 共线，求实数k 的值．反思：解答由向量共线求参数值的题目，应由向量共线定理：λa ＋μb ＝0(a ，b 不共线)，则λ＝0，μ＝0列出方程组，再解方程组得参数值．题型三 平面向量的正交分解及坐标表示【例3】 已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA |＝43，∠xOA ＝60°，求向量OA →的坐标．反思：求向量的坐标时，将向量的起点平移到坐标原点后，利用三角知识求出终点坐标即可．答案：【例1】 解：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，则MN →＝4i＋2j ，所以MN →的坐标是(4,2)．【例2】 解：∵向量k a ＋b 与2a ＋k b 共线，∴存在实数λ使k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )，即(k －2λ)a ＝(kλ－1)b .∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －2λ＝0，kλ－1＝0k2＝2. ∴k ＝± 2.【例3】 解：设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|cos 60°＝23，y ＝|OA →|sin 60°＝6，即A (23，6)，∴OA →＝(23，6)．1．已知a ＝(3,2x －1)，b ＝(y ＋1，x )，且a ＝b ，则xy ＝________.2．如图所示，向量MN u u u u r 的坐标是________．3．在直角坐标系中，|a |＝4，|b |＝3，a ，b 如图所示，求它们的坐标．答案：1．2 ∵a ＝b ，∴21,31,x x y -=⎧⎨=+⎩解得x ＝1，y ＝2，则xy ＝1×2＝2.2．(2，－3)3．解：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a 1＝|a |cos 45°＝22a 2＝|a |sin 45°＝22b 向量相对于x 轴正方向转角为120°.∴b 1＝|b |cos 120°＝32-，b 2＝|b |sin 120°＝332. ∴a ＝(2222，b ＝33322⎛- ⎝.。
高中数学：专题231 平面向量基本定理 232 平面向量的正交分解与坐标表示(讲)
2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解与坐标表示【教学目标】1.知识与技能：(1).了解平面向量的基本定理及其意义；(2).理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示;(3).掌握平面向量正交分解。
2.过程与方法：(1).初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；(2).能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达。
3.情感态度价值观：通过平面向量的正交分解，揭示图形（向量）与代数（坐标）之间的联系。
【教法指导】1．教学重点 平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解；2．教学难点 平面向量基本定理的运用.【教学过程】 ☆情境引入☆ 1．在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？ 2.问题：如图，设1e 、2e 是同一平面内两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究a 与1e 、2e 之间的关系.☆探索新知☆1.给定平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e ，请你作出向量b =31e +22e 、c =1e -22e .1e2e2.由1.可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e 来表示向量b ,c 那么平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e +λ22e 的向量表示呢?都可以3.平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=。
我们把不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
注意：1︒ 1e 、2e 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底；2︒ 这个定理也叫共面向量定理；3︒ λ1，λ2是被a ρ，1e ，2e 唯一确定的数量。
2.3.1平面向量基本定理
§2.3.1平面向量基本定理、§2.3.2平面向量的正交分解和坐标表示教学目的：1.了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念；2.理解平面的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示;3.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点:平面向量基本定理；向量的夹角与垂直的定义；平面向量的正交分解；教学难点：1.平面向量基本定理的理解与应用;2.掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；教学过程：一、复习引入：①向量的加法运算（平行四边形法则）；②实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa； ③向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线则：有且只有一个非零实数λ，使b =λa二、建构教学：问题：①由平行四边形想到：是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？ ②对于平面上两个不共线向量1e ，2e 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？ 阅读课本P94回答下面问题：1、平面向量基本定理内容： 如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =2．探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键ｅ１与ｅ２是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１与ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量。
例1：（课本P94 例1）已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e 。
3、向量的夹角: 已知两个非零向量a 和b(如下图),作=a ,=b ,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b的_________. （1）当θ=0°，a 、b 共线同向，（2）当θ=180°，a 、b 共线反向，（2）当θ=90°，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b 。
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
-3
y
如图， i, j是分别与X轴、 Y轴方向相同的单位向量 ， 若以向量i,j为基底，则：
A
C
a
B
j o i
x
对于该平面内的任意向 量a , 有且只有一对实数 x, y, 使得：
a xi y j
a xi y j
① a （x，y）
i (1,0) j (0,1) 0 (0,0)
向量 a的分解 不是唯一的！
e2
a
e1
e4
平行四边形法则
e3
a e1 e2
a e3 e4
如图所示，
重力的分解
F1 F2
G
G F1 F2
向量的分解不是唯一的！ 把一个向量分解为两个互相垂直的向量， 叫做把向量正交分解。
如图，向量i, j是两个互相垂直的单位 向量， 而向量a与i的夹角为30，且 a 4， 以向量i, j为基底，向量a应如何用 i, j来表示？
2.3.2
平面向量的正交分解以及坐标表示
（1）平向量基本定理
（2）基底
如果e1 , e2是同一平面内两个不共 线向量， 那么对于这一平面内的 任意向量a,
有且只有 一对实数1，2，使得：
a 1 e1 2 e2
把不共线的向量 e1 , e2 叫作这一平面内所有向 量a的一组基底！
向量的夹角与垂直:
j
O
a ( x, y)
i
x
x
j 表示向量 a 、 例1:如图，分别用基底 i ， c 、， b、 d 并求出它们的坐标.
A2
解：如图可知
a = AA1 + AA2 = 2i + 3j a = (2, 3)
向量基本定理
B
向量的夹角 两个非零向量 则AOB
(0 180 )
B
a 和 b ，作 OA a, OB b，
叫做向量a 和
b 的夹角
b
O
b
a
a
A
注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同起点的 B
a
O
a
O A B b 180 A
b
b B
O
a
0
90
A
a 与 b 同向
a 与 b 反向
a 与 b 垂直，
记作
ab
向量的正交分解
一个平面向量用一组基底e1 , e2 表示成 ａ 1 e1 2 e2 的形式，我们称它为向量的分解。当e1 , e2互相垂直时， 就称为向量的正交分解。
在平面上，如果选取互相垂直的向量作 为基底时，会为我们研究问题带来方便
N
B
请大家动手,从图中的线段AD、AB、BC、DC、 MN对应的向量中确定一组基底，将其它向 量用这组基底表示出来.
学以致用
M D 解、如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M、N分 别是DC、AB的中点. 2
C
e
参考答案：
1 DC e1 ; 2
A
N
解：取 AB e1, AD e2 为基底 ,则有
e1
B
1 1 BC BA AD DC e1 e2 e1 e1 e2 2 2
1 1 MN MD DA AN e1 e2 e1 4 2
1 e1 e2 4
练习
2、下列说法中，正确的有： （ 2、3 ）
2.3.2《平面向量的基本定理及坐标表示》
2．3．2《平面向量的基本定理及坐标表示》【学习目标】 了解平面向量的正交分解，会用坐标表示向量，掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示，理解向量共线的坐标表示【重点难点】 平面向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示【学习过程】一．预习导引1、平面向量的正交分解把一个向量分解为_____________，叫做把向量正交分解。
2、向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同于两个_______作为基为基底。
对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y 使得____________，这样，平面内的任一向量a 都可由__________唯一确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作=___________此式叫做向量的坐标表示，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标。
3、几个特殊向量的坐标表示i = ，j = ，o = 。
4、以原点O 为起点作向量 OA ，设=+ OA xi y j ，则向量 OA ，的坐标_____________，就是___________；反过来，终点A 的坐标___________也就是__________________。
5、两个向量和差的坐标运算 已知：a == 1122(,),(,)x y b x y ，λ为一实数 则a b + =______________________。
a b - =___________ __。
即两个向量和（差）的坐标分别等于__________________ ____。
6、数乘向量和坐标运算λa =____________________________ 即实数与向量的积的坐标等于：_______________________________________。
7、向量AB 的坐标表示 若已知(,)A x y 11,(,)B x y 22，则AB =_____________=___________________即一个向量的坐标等于此向量的有向线段的________________________。
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理、正交分解与坐标表示教案数学教案
2.3.1 平面向量基本定理2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示教材分析本节内容是数学必修4 第二章第三节的第一课，平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是进一步研究向量问题的基础；是进行向量运算的基本工具，是解决向量或利用向量解决问题的基本手段. 掌握了平面向量基本定理及坐标表示，可以使向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题就转化为学生熟知的数量运算，这也是中学数学课中学习向量的目的之一，所以我认为对平面向量基本定理的应用是本节课的重点.另外对向量基本定理的理解这一点对于初学者来说有一定难度，所以是本节的难点.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解平面向量基本定理、向量的坐标表示．教学目标1.了解平面向量的基本定理及其意义，理解掌握平面向量的的正交分解及其坐标表示.2.经历平面向量基本定理的形成探究过程，掌握正交分解下向量的坐标表示，认识平面向量基本定理是实现向量由几何形式过渡到代数形式的桥梁.3.通过本节课的学习，了解先关数学知识的来龙去脉，认识其作用和价值，培养学生的探索研究能力.重点: 正交分解下向量的坐标表示.难点：平面向量的基本定理，正交分解下向量的坐标表示.知识点：平面向量的基本定理，正交分解下向量的坐标表示的理解.能力点：转化思想的理解与应用.教育点：通过介绍平面向量的基本定理，正交分解下向量的坐标表示.，给学生渗透转化思想的应用.几何问题代数化的理解与应用.自主探究点：平面向量基本定理的理解与广泛应用.考试点：向量的运算代数化，将数与形紧密地结合起来，这样几何问题就转化为学生熟知的数量运算.拓展点：转化思想的应用理解．教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、复习引入1．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）0λ>时λa与a方向相同；0λ<时λa 与a方向相反；0λ=时λa =02．运算定律结合律：λ(μ a)=(λμ)a；分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ (a+b)=λa+λb3. 向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa.问题1：向量与数量有什么联系和区别？ 向量有哪几种表示？ 问题2：什么叫向量的模？零向量、单位向量、平行向量分别是什么概念？4.G ，下滑力为F 1，木块 5..力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论.【设计意图】复习回顾，设置物理情境，便于学习新知．【设计说明】学生探究回答．二、探究新知探究一：平面向量基本定理思考1：给定平面内任意两个向量e 1，e 2，如何求作向量3e 1＋2e 2和e 1－2e 2？【设计意图】使学生在已有知识的基础上，探索新知，引出本课题．【设计说明】教师引导大家回答演示．思考2能否在OA 、OB思考3OA,OB,OC不共线，能否在直线M P COB 上分别找一点M 、N ，使 OM ON OC ？【设计意图】从两个角度让学生感知体会任意向量可以在给定的方向上分解．【设计说明】教师引导同学回答并演示．思考4：若上述向量e 1，e 2，a 都为定向量，且e 1，e 2不共线，则实数λ1，λ2是否存在？是否唯一？思考5：若向量a 与e 1或e 2共线，a 还能用λ1e 1＋λ2e 2表示吗？【设计意图】体会感知唯一性及普遍性． 【设计说明】师生互动探究，由浅入深，逐步引出主题． 思考6：根据上述分析，平面内任一向量a 都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1，e 2表示出来，从而可形成一个定理.你能完整地描述这个定理的内容吗？若e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.【设计意图】培养学生归纳总结规律与特点，并能做到言简意赅．【设计说明】教师引导，大家各抒己见，找同学发言．思考7：上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a 的表示式是否相同？【设计意图】进一步探究几个关键点：(1) 我们把不共线向量e 1 ,e 2叫做表示这一平面内所有向量的a=λ1e 1+0e 2 a1e 1 e 2 aa =0e 1+λ2e 2一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a在给出基底e1,e2的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1 ,λ2是被a ,e1 ,e2唯一确定的数量．．【设计说明】注意引导鼓励大家去发现，大家可能探究不是很全面，可以小组讨论．探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示思考1：不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量a和b，作 a， b，如图.为了反映这两个向量的位置关系，称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？思考3：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？应用．在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形，体会这样给问题研究带来的方便．【设计说明】引导大家自主探究．思考4：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a＝x i＋y j.我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).其中x 叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量a的坐标表示.那么x、y的几何意义如何？OA=a，则OA= (x，y)【“有效能算”的思想．【设计说明】充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标.．三、理解新知平面向量基本定理几个关键点：(1) 我们把不共线向量e1 ,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a在给出基底e1,e2的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1 ,λ2是被a ,e1 ,e2唯一确定的数量．平面向量坐标表示给解决问题带来的一些方便，几何问题代数化，注意体会其中的思想与方法．【设计意图】进一步理解平面向量基本定理及其坐标表示．【设计说明】组织学生进行思考、交流，得到结论．四、运用新知例1 ：如图，已知向量e1、e2，求作向量－2.5e1＋3e2.a，b，c，d 并求解：由图可知a=AA AA2i+3j12所以a=（2，3）.同理，b=-2i+3j=（-2，3）;c=-2i-3j=（-2，-3）;d=2i-3j=（2，-3）.【设计意图】设置提问：引导学生看图分析，让学生能够通过这些问题，弄清向量的坐标表示及应用．【设计说明】师生共同分析，抓住关键，提问学生看图回答．五、课堂小结1.平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点.2.向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是0°或180°，垂直向量的夹角是90°.3.向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义.将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标.教师总结:平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点，告诉我们同一平面内任意向量都可以表示成两个不共线的向量的线性组合，注意理解体会．体会平面向量坐标表示给问题解决带来的方便，体会其中转化的思想。
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2.3.1 平面向量基本定理
2.3.2 平面向量的正交分解与坐标表示
（时间：25分，满分55分）
班级 姓名 得分
一、选择题
1．已知平行四边形ABCD ，下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( )
A.AB →，DC →
B.AD →，BC →
C.BC →，CB →
D.AB →，DA →
【答案】D
2．等边三角形ABC 中，的夹角等于与BC AB （ ）
A ．600
B ．900
C ．1200
D ．1500
【答案】C 。
【解析】与角B 的补角，角B 为600.故选B 。
3．向量,,的终点A,B,C 在一条直线上，且=-3.设=p ，=q ,=r ，则下列等式成立的是( ) A.r =21-
p +2
3q B.r =-p +2q C.r =23p 21-q D.r =-q +2p 答案：A
解析：由3-=，得)(3--=-， 即32+-=.∴=21-+23，即r=21-p +2
3q . 4．四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，BD →＝－5a －3b ，其中a ， b 不共线，则四边形ABCD 是( )
A ．梯形
B ．平行四边形
C ．菱形
D ．矩形
【答案】 B
5．若向量a ，b 的夹角为30°，则向量－a ，－b 的夹角为( )
A ．60°
B ．30°
C ．120°
D ．150°
【答案】 B
【解析】 因为“向量a ，b 的夹角”与“向量－a ，－b 的夹角”作在同一起点处时为对顶角，故二者相等
均为30°.故选B 。
6.在△ABC 中，AD →＝14
AB →，DE ∥BC ，且DE 与AC 相交于点E ，M 是BC 的中点， AM 与DE 相交于点N ， 若AN →＝xAB →＋yAC →
(x ，y ∈R )，则x ＋y 等于( )
A ．1 B.12 C.14 D.18
【答案】 C
二、填空题
7．在ABCD 中，=a ，=b ,NC AN 3=,M 为BC 的中点，则MN =_________________(用a 、b 表示). 解析：+==
21+41=21+41(+) =21b +41[-b +(-a )]=4
1(b -a ). 答案：4
1(b -a ) 8．设e 1、e 2是不共线向量，而2e 1-3e 2与k e 1+6e 2共线，则实数k 的值为______________.
解析：∵2e 1-3e 2与k e 1+6e 2共线，∴k e 1+6e 2=λ(2e 1-3e 2)
即：k e 1+6e 2=2λe 1-3λe 2.又∵e 1与e 2是不共线向量，∴⎩
⎨⎧-==.36,2λλk 解得：λ=-2,k=-4.
答案：k=-4
9．如图，在△ABC 中，AC →，AB →的夹角与CA →，AB →的夹角的关系为________．
【答案】 互补
【解析】 根据向量夹角定义可知向量AB →，AC →夹角为∠BAC ，而向量CA →，AB →夹角为π
－∠BAC .故二者互补．
10．如右图所示，△ABC 中，若D 、E 、F 依次是AB 的四等分点，则以=e 1,=e 2为基底时，=_________________.
解析：∵=e 1, =e 2, ∴AB =e 1-e 2. ∵=
43,∴=4
3(e 1-e 2). ∵=+=e 2+43(e 1-e 2)=43e 1+4
1e 2. 答案：43e 1+41e 2 三、解答题
11．如下图，P 、Q 分别为四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的中点，=a ,=b ,试用向量a 、b 表示向量.
【答案】=-2
1(a +b ). 【解析】：= =21+21 =-
21+(-21DA ) =-21a -21b =-21(a +b ).
12．如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角
为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)．求λ＋μ的
值．
【答案】6.。