2020高考数学二轮复习 客观题限时满分练(一)理
2020高考数学二轮复习小题限时练一理
【2019最新】精选高考数学二轮复习小题限时练一理(建议用时：40分钟)1.若a＋bi＝(i是虚数单位，a，b∈R)，则ab＝________.解析a＋bi＝＝1－2i，所以a＝1，b＝－2，ab＝－2.答案－22.在区间[20，80]内任取一个实数m，则实数m落在区间[50，75]内的概率为________.解析选择区间长度度量，则所求概率为＝.答案5123.已知平面向量a＝(2，4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.解析由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，所以c＝a－(a·b)b＝a＋6b＝(2，4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，所以|c|＝8.答案824.已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B∩A＝B，则实数m的取值范围是________.解析当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.当B≠∅时，若B∩A＝B，则B⊆A，如图所示.则解得2＜m≤4.综上，m的取值范围为(－∞，4].答案(－∞，4]5.某地政府调查了工薪阶层1 000人的月工资收入，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度，要采用分层抽样的方法从调查的1 000人中抽出100人做电话询访，则(30，35](单位：百元)月工资收入段应抽取________人.解析月工资收入落在(30，35](单位：百元)内的频率为1－(0.02＋0.04＋0.05＋0.05＋0.01)×5＝1－0.85＝0.15，则0.15÷5＝0.03，所以各组的频率比为0.02∶0.04∶0.05∶0.05∶0.03∶0.01＝2∶4∶5∶5∶3∶1，所以(30，35](单位：百元)月工资收入段应抽取×100＝15(人).答案156.运行如图所示的伪代码，其结果为________.解析该伪代码输出的S＝1答案177.在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝5，A＝，cos B＝，则边c＝________.解析由题意可得sin B＝，sin C＝sin(A＋B)＝sin＝sin cos B＋cos sin B＝×＋×＝.在△ABC中，由正弦定理可得＝，则c＝＝＝7.答案78.已知数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.解析法一因为数列{an}是等差数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5也成等差数列.又a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5是常数列，故q＝1.法二因为数列{an}是等差数列，所以可设a1＝t－d，a3＝t，a5＝t＋d，故由已知得(t＋3)2＝(t－d＋1)(t＋d＋5)，得d2＋4d＋4＝0，即d＝－2，所以a3＋3＝a1＋1，即q＝1.9.直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，E为棱CC1的中点，则三棱锥A1－B1C1E 的体积为________.解析由题意得S△A1B1C1＝××22＝，又因为E为棱CC1的中点，所以EC1＝1，所以V三棱锥A1－B1C1E＝V三棱锥E－A1B1C1＝EC1·S△A1B1C1＝.答案3310.设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在一点P 使得PF1＋PF2＝3b，PF1·PF2＝ab，则该双曲线的离心率为________.解析由双曲线的定义得|PF1－PF2|＝2a，又PF1＋PF2＝3b，所以(PF1＋PF2)2－(PF1－PF2)2＝9b2－4a2，即4PF1·PF2＝9b2－4a2，又4PF1·PF2＝9ab，因此9b2－4a2＝9ab，即9－9－4＝0，则＝0，解得＝，则双曲线的离心率e＝＝.答案5311.若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________.解析因为x2＋2y2≥2＝2xy＝2，当且仅当x＝y时，取“＝”，所以x2＋2y2的最小值为2.答案2212.设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________.解析由题意知g(x)＝函数图象如图所示，其递减区间是[0，1).答案[0，1)13.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝________.解析如图所示，以菱形ABCD的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy，不妨设A(0，－1)，B(－，0)，C(0，1)，D(，0)，由题意得＝(1－λ)＝(λ－，CF →＝(1－μ)＝(－μ，μ－1).因为·＝－，所以3(λ－1)·(1－μ)＋(λ－1)·(μ－1)＝－，即(λ－1)(μ－1)＝.因为＝＋＝(λ－，λ＋1)，＝＋＝(－μ，μ＋1)，又·＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2.由整理得λ＋μ＝.答案 5614.设A(1，0)，B(0，1)，直线l ：y ＝ax ，圆C ：(x －a)2＋y2＝1.若圆C 既与线段AB 有公共点，又与直线l 有公共点，则实数a 的取值范围是________.解析 由于圆与直线l 有交点，则圆心到直线的距离小于等于半径，即有≤1，所以a2∈；由于圆C 与线段AB 相交，则a≤2且≤1，即⇒1－≤a≤2.综上可得，实数a 的取值范围是.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，1＋52。
2020版高考数学二轮复习教程基础保分强化训练(一)理
基础保分强化训练(一)1．设集合A＝{x∈Z｜x2≤1},B＝{－1,0，1，2}，则A∩B＝（）A．{－1,1｝B．{0｝C．{－1,0,1｝D．[－1,1］答案C解析∵A＝｛x∈Z|x2≤1}＝{－1,0，1｝，B＝｛－1，0,1，2}，∴A∩B＝{－1，0，1}．故选C。
2．已知复数z满足：错误!＝－i（i是虚数单位),错误!是z的共轭复数，则复数1＋错误!对应的点位于复平面内的( ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案A解析设z＝a＋b i（a，b∈R）．由已知，得1＋a＋b i＝（1－a －b i)·(－i）,整理,得1＋a＋b＋(b－a＋1）i＝0，所以错误!解得错误!故z＝－i,1＋错误!＝1＋i。
所以1＋错误!对应的点位于复平面内第一象限，故选A。
3．直线y＝错误!x被圆C:x2＋y2－2x＝0截得的弦长为( )A．2 B.错误!C．1 D。
错误!答案C解析圆C：x2＋y2－2x＝0的圆心为（1，0）,半径为1，圆心到直线y＝错误!x的距离为d＝错误!＝错误!，弦长为2×错误!＝1，故选C。
4．已知cos错误!＝错误!，－错误!〈α〈错误!，则sin2α的值等于（）A.错误!B．－错误! C.错误!D．－错误!答案D解析因为cos错误!＝错误!，所以sinα＝－错误!，又－错误!〈α〈错误!，所以cosα＝错误!，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×错误!×错误!＝－错误!，故选D。
5．某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图所示的柱状图：则下列结论正确的是( )A．与2016年相比,2019年一本达线人数减少B．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.5倍C．与2016年相比，2019年艺体达线人数相同D．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加答案D解析设2016年该校参加高考的人数为S，则2019年该校参加高考的人数为1。
(通用版)2020高考数学二轮复习单科标准练1理
单科标准练(一)(满分：150分 时间：120分钟)第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |x 2≤2x }，B ＝{x |1＜x ＜4}，则A ∪B ＝( ) A ．(－∞，4) B ．[0,4) C ．(1,2]D ．(1，＋∞)B [因为A ＝{x |x 2≤2x }＝{x |0≤x ≤2}，又B ＝{x |1＜x ＜4}，所以A ∪B ＝{x |0≤x ＜4}．故选B.]2．已知复数z ＝m (3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23∪(1，＋∞) B [z ＝m (3＋i)－(2＋i)＝(3m －2)＋(m －1)i ，复数对应点的坐标为(3m －2，m －1)，若对应点的坐标在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧3m －2＜0，m －1＜0，解得m ＜23，即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23，故选B.]3．已知实数a ，b ，c ，“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件B [当a ＞b 时，若c ＝0，则ac 2＝bc 2，不能推出“ac 2＞bc 2”；当ac 2＞bc 2，可得a ＞b ；故“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的必要不充分条件．故选B.]4．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝18，a 3＝9，则a 6＝( ) A ．12 B ．15 C ．18D ．21C [设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＝18，a 3＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝3a 1＋3d ＝18，a 3＝a 1＋2d ＝9，解得a 1＝3，d ＝3，所以a 6＝a 1＋5d ＝18.故选C.]5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－f (x －2)，x ＞2e x －1＋x 2，x ≤2，则f (2 019)＝( ) A ．2 B.1e C ．－2D ．e ＋4C [因为x ＞2，f (x )＝－f (x －2)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，故f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，因此x ＞2，函数f (x )是以4为周期的函数，所以f (2 019)＝f (3＋4×504)＝f (3)＝－f (1)，又x ≤2，f (x )＝ex －1＋x 2，所以f (2 019)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2.故选C.]6．1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域”，这大概与其蕴含的“奇偶归一”思想有关．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出i 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8D [因为初始值为a ＝3，i ＝1，第一步：a ＝3×3＋1＝10≠1，i ＝1＋1＝2， 进入循环；第二步：a ＝a2＝5≠1，i ＝2＋1＝3，进入循环；第三步：a ＝3×5＋1＝16≠1，i ＝3＋1＝4， 进入循环；第四步：a ＝a 2＝8≠1，i ＝4＋1＝5，进入循环；第五步：a ＝a 2＝4≠1，i ＝5＋1＝6，进入循环；第六步：a ＝a2＝2≠1，i ＝6＋1＝7，进入循环；第七步：a ＝a2＝1，i ＝7＋1＝8，结束循环，输出i ＝8.故选D.]7．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －x 2n展开式中前三项的二项式系数的和等于22，则展开式中的常数项为( )A.1516B.34 C ．－34D ．－1516A [因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －x 2n展开式中前三项的二项式系数的和等于22，所以C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝22，整理得n (n ＋1)＝42，解得n ＝6，所以二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －x 26展开式的通项为T k ＋1＝C k 6⎝ ⎛⎭⎪⎫126－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 6－k(－1)k x 2k＝C k 6⎝ ⎛⎭⎪⎫126－k(－1)k x3k －6，令3k －6＝0可得k ＝2，所以展开式中的常数项为C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫126－2(－1)2＝1516.故选A.]8.已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1，P 为棱CC 1的动点，Q 为棱AA 1的中点，设直线m 为平面BDP 与平面B 1D 1P 的交线，以下关系中正确的是( )A ．m ∥D 1QB ．m ∥平面B 1D 1QC ．m ⊥B 1QD ．m ⊥平面ABB 1A 1B [∵正方体ABCD A 1B 1C 1D 1，P 为棱CC 1的动点，Q 为棱AA 1的中点，直线m 为平面BDP 与平面B 1D 1P 的交线，且BD ∥B 1D 1，∴m ∥BD ∥B 1D 1，∵m ⊄平面B 1D 1Q ，B 1D 1⊂平面B 1D 1Q ，∴m ∥平面B 1D 1Q .故选B.] 9．函数f (x )＝sin x2＋cos x(－π≤x ≤π)的图象大致为()A [因为f (x )＝sin x 2＋cos x ，所以f (－x )＝－sin x2＋cos x＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，排除C ；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sinπ22＋cosπ2＝12＞0, 排除D ；又f ′(x )＝cos x (2＋cos x )－sin x (－sin x )(2＋cos x )2＝2cos x ＋1(2＋cos x )2，因为－π≤x ≤π，由f ′(x )＞0得2cos x ＋1＞0，解得－2π3＜x ＜2π3.由f ′(x )＜0得2cos x ＋1＜0， 解得－π＜x ＜－2π3或2π3＜x ＜π.所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－2π3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，2π3上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π上单调递减，故选A.]10．将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ(φ＞0)个单位后与y ＝－sin 2x 的图象重合，则φ的最小值为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2D [因为将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ(φ＞0)个单位后，可得y ＝sin(2x －2φ)，由题意可得sin(2x －2φ)＝－sin 2x ，所以2φ＝π＋2k π，k ∈Z ，因此φ＝π2＋k π，k ∈Z ，又φ＞0，所以φ的最小值为π2.故选D.]11．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切于P (m,2)，则|AB |＝( )A ．10B ．8C ．6D ．4B [如图，记AB 中点为Q ，连结PQ ，作AM 垂直准线于点M ，BN 垂直准线于点N ，因为直线AB 过抛物线焦点，所以设直线AB 的方程为x ＝ny ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切于P (m,2)， 所以PQ 垂直准线，所以2＝y 1＋y 22，即y 1＋y 2＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x x ＝ny ＋1得y 2－4ny －4＝0，所以y 1＋y 2＝4n ，因此n ＝1，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝(ny 1＋1)＋(ny 2＋1)＋2＝(y 1＋y 2)＋4＝8 .故选B.]12．已知f ′(x )为函数f (x )的导数，且f (x )＝12x 2－f (0)x ＋f ′(1)e x －1，若g (x )＝f (x )－12x 2＋x ，方程g (ax )－x ＝0有且只有一个根，则a 的取值范围是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1e C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e D ．(－∞，0]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫1eD [因为f (x )＝12x 2－f (0)x ＋f ′(1)e x －1，所以f (0)＝f ′(1)e.又f ′(x )＝x －f (0)＋f ′(1)e x －1，所以f ′(1)＝1－f ′(1)e＋f ′(1)，因此f ′(1)＝e ，f (0)＝1，所以f (x )＝12x 2－f (0)x ＋f ′(1)e x －1＝12x 2－x ＋e x，因此g (x )＝f (x )－12x 2＋x ＝e x，因为方程g (ax )－x ＝0有且只有一个根，所以e ax＝x 有且只有一个根，即a ＝ln x x有且只有一个实根，且x ＞0；令h (x )＝ln x x ，(x ＞0)，则h ′(x )＝1－ln x x2， 由h ′(x )＝0得x ＝e ，所以当x ＞e 时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减； 当0＜x ＜e 时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增；故h (x )最大值为h (e)＝1e，又h (1)＝0，作出函数h (x )的简图如图所示．因为a ＝ln x x 有且只有一个实根，只需直线y ＝a 与曲线h (x )＝ln xx有且只有一个交点，结合图象可得a ≤0或a ＝1e.故选D.]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ＝(m,1)，b ＝(4，m )，a ·b ＝|a |·|b |，则m ＝________. 2 [因为a ＝(m,1)，b ＝(4，m )，所以a ·b ＝5m ， |a |＝m 2＋1，|b |＝16＋m 2，又a ·b ＝|a |·|b |，所以25m 2＝(m 2＋1)(m 2＋16)，m ＞0，解得m ＝2.]14．已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(a ＞0)的离心率为3a ，则该双曲线的渐近线为________．y ＝±2x [双曲线x 2a 2－y 22＝1(a ＞0)的离心率为3a ，可得a 2＋2a＝3a ，解得a ＝1，所以双曲线方程为x 21－y 22＝1，所以该双曲线的渐近线为y ＝±2x .]15．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3≤0，x ≥0，y ≥1，则z ＝y －2x 的最小值________．－1 [由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3≤0，x ≥0，y ≥1，作出可行域如图所示：因为目标函数z ＝y －2x 表示直线y ＝2x ＋z 在 y 轴截距，由图象可得，当直线y ＝2x ＋z 过点A 时截距最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，2x ＋y －3＝0，解得A (1,1)，故z 的最小值为－1.]16．对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n为{a n }的“优值”．已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，记数列{a n －kn }的前n 项和S n ，若S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，125 [由题意可得H n＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n ＝2n ＋1， 则a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ＝n ·2n ＋1，所以a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1＝(n －1)·2n ，所以2n －1a n ＝n ·2n ＋1－(n －1)·2n ，因此a n ＝2(n ＋1)，则a n －kn ＝2(n ＋1)－kn ＝(2－k )n ＋2， 所以数列{a n －kn }为等差数列，故S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，可化为a 5≥0，a 6≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧5(2－k )＋2≥06(2－k )＋2≤0，解得73≤k ≤125.]三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，D 是边BC 上一点，AB ＝AC ，BD ＝1，sin∠CAD ＝3sin∠BAD .(1)求DC 的长；(2)若AD ＝2，求△ABC 的面积．[解] (1)在△ABD 中，由正弦定理，得AB sin∠ADB ＝BDsin ∠BAD ，在△ADC 中，由正弦定理，得AC sin∠ADC ＝DCsin∠CAD，因为AB ＝AC ，sin∠ADB ＝sin∠ADC ，BD ＝1， sin∠CAD ＝3sin∠BAD ， 所以DC ＝3BD ＝3.(2)在△ABD 中，由余弦定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ×BD ×cos∠ADB ， 在△ADC 中，由余弦定理，得AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ×DC ×cos∠ADC, 因为AB ＝AC ，AD ＝2，BD ＝1，DC ＝3，cos∠ADB ＝－cos∠ADC . 所以4＋1＋2×2×1×cos∠ADC ＝4＋9－2×2×3×cos∠ADC ， 解得cos∠ADC ＝12，所以∠ADC ＝60°.所以S △ABC ＝12(BD ＋DC )×AD ×sin∠ADC ＝12×4×2×sin 60°＝2 3.18．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 为CD 的中点，以AE 为折痕把△ADE 折起，使点D 到达点P 的位置，且∠PAB ＝60°.(1)求证：平面PEC ⊥平面PAB ； (2)求二面角P AE B 的余弦值．[解] (1)因为四边形ABCD 是正方形，所以折起后PE ⊥PA ，且PA ＝AB ， 因为∠PAB ＝60°，所以△PAB 是正三角形，所以PB ＝PA .又因为正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，所以EA ＝EB ，所以△PAE ≌△PBE ， 所以∠EPB ＝∠EPA ，所以PE ⊥PB ，又因为PA ∩PB ＝P ，所以PE ⊥平面PAB . 又PE ⊂平面PEC ，所以平面PEC ⊥平面PAB .(2)取AB 中点F ，连接PF ，EF ，则AB ⊥PF ，AB ⊥EF ，又PF ∩EF ＝F ，则AB ⊥平面PEF .又AB ⊂平面ABCE ，所以平面PEF ⊥平面ABCE .在平面PEF 内作PO ⊥EF 于O 点，则PO ⊥平面ABE .以O 点为原点，OF 为x 轴，OP 为z 轴，如图建立空间直角坐标系．在△PEF 中，PF ＝3，PE ＝1，EF ＝2. ∴PO ＝1×32＝32，EO ＝12，故P ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，32，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1，0，∴PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1，－32，AE →＝(－2,1,0)．设平面PAE 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PA →＝0，n 1·AE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧32x －y －32z ＝0，－2x ＋y ＝0，令x ＝1，得y ＝2，z ＝－33， ∴n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2，－33. 因为平面ABE 的法向量为n 2＝(0,0,1)，则cos 〈n 1，n 2〉＝－3343×1＝－14， 又二面角P AE B 为锐二面角， ∴二面角P AE B 的余弦值为14.19．(本小题满分12分)已知以椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形．(1)求椭圆E 的方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋m (k 、m ≠0)与椭圆E 交于异于椭圆顶点的A ，B 两点，O 为坐标原点，直线AO 与椭圆E 的另一个交点为C 点，直线l 和直线AO 的斜率之积为1，直线BC 与x 轴交于点M .若直线BC ，AM 的斜率分别为k 1，k 2，试判断k 1＋2k 2是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．[解] (1)因为椭圆的两个焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，a 2＝4，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)(x 1、y 1≠0)，B (x 2，y 2)(x 2、y 2≠0)，则C (－x 1，－y 1)，k AO ＝y 1x 1， 因为k AO ·k ＝1，所以k ＝x 1y 1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋m ，消y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m 1＋2k 2，所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－12k ＝－y 12x 1， 直线BC 的方程为：y ＋y 1＝－y 12x 1(x ＋x 1)，令y ＝0，由y 1≠0，得x ＝－3x 1， 所以M (－3x 1,0)，k 2＝y 1x 1＋3x 1＝y 14x 1. 所以k 1＋2k 2＝－y 12x 1＋2×y 14x 1＝0.所以k 1＋2k 2为定值0.20．(本小题满分12分)某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图(如图1)：图1 图2规定产品的质量指标值在[65,75)的为劣质品，在[75,105)的为优等品，在[105,115]的为特优品，销售时劣质品每件亏损1元，优等品每件盈利3元，特优品每件盈利5元．以这100件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率．(1)求每件产品的平均销售利润；(2)该企业为了解年营销费用x (单位：万元)对年销售量y (单位：万件)的影响，对近5年的年营销费用x i 和年销售量y i (i ＝1,2,3,4,5)数据做了初步处理，得到如图2的散点图及一些统计量的值．表中u i ＝ln x i ，v i ＝ln y i ，u ＝5∑i ＝1u i ，v ＝5∑i ＝1v i .根据散点图判断，y ＝ax b可以作为年销售量y (万件)关于年营销费用x (万元)的回归方程． ①求y 关于x 的回归方程；②用所求的回归方程估计该企业应投入多少年营锁费， 才能使得该企业的年收益的预报值达到最大？(收益＝销售利润－营销费用，取e3.01≈20)，附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ^＝α^＋β^u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑5i ＝1 (u i －u )(v i －v )∑5i ＝1(u i －u )2，α^＝v －β^u . [解] (1)设每件产品的销售利润为X ，则X 的可能取值为－1,3,5.由频率分布直方图可得产品为劣质品、优等品、特优品的概率分别为0.05,0.85,0.1.所以P (X ＝－1)＝0.05；P (X ＝3)＝0.85；P (X ＝5)＝0.1.所以X 的分布列为所以E (X )＝(即每件产品的平均销售利润为3元．(2)①由y ＝ax b得，ln y ＝ln a ＋b ln x .令u ＝ln x ，v ＝ln y ，c ＝ln a ，则v ＝c ＋bu ，由表中数据可得，b ^＝∑5i ＝1 (u i－u )(v i －v )∑5i ＝1(u i －u )2＝0.811.62＝0.5， 则c ^＝v －b ^u ＝23.205－0.5×16.305＝3.01. 所以v ＝3.01＋0.5u ，即ln y ＝3.01＋0.5 ln x ＝ln(e3.01·x 0.5)． 因为e 3.01≈20，所以y ＝20x 0.5.故所求的回归方程为y ^＝20x 0.5.②设年收益为z 万元，则z ＝3y －x ＝3×20x 0.5－x .令t ＝x 0.5，则z ＝60t －t 2＝－(t －30)2＋900，所以当t ＝30，即x ＝900时，z 有最大值900.即该企业应该投入900万元营销费，能使得该企业的年收益的预报值达到最大900万元．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －12x ＋a －1有两个极值点． (1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2(x 1＜x 2)是f (x )的两个极值点，证明：2ln x 1＋ln x 2＜0.[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x －x ＋a .设g (x )＝ln x －x ＋a ，则由题意得，g (x )在(0，＋∞)内有两个变异零点．g ′(x )＝1x －1＝1－x x，令g ′(x )＞0，解得0＜x ＜1；令g ′(x )＜0，解得x ＞1. 所以g (x )在(0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，因此g (x )ma x ＝g (1)＝a －1. 当a ≤1时，g (x )ma x ≤0，这时g (x )在(0，＋∞)上没有变号零点；当a ＞1时，e －a ∈(0,1)，e a ∈(1，＋∞)，又因为g (e －a )＜0，g (e a )＜0，g (1)＞0， 所以g (x )在(0,1)和(1＋∞)内分别有一个变号零点．综上，a 的取值范围为(1，＋∞)．(2)f (x )的极值点x 1，x 2就是g (x )的零点，即g (x 1)＝g (x 2)＝0.因为g (x )在(0,1]单调递增，而在[1，＋∞)上单调递减，且x 1＜x 2，所以x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)．设h (x )＝g (x )－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝3ln x －x ＋1x 2，x ∈(0,1)， 则h ′(x )＝3x －1－2x 3＝3x 2－x 3－2x 3 ＝(1－x )(x 2－2x －2)x 3.因为x ∈(0,1)时，x 2－2x －2＜0，所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，所以h (x )在(0,1]上单调递减． 又因为h (1)＝0，所以当x ∈(0,1)时，h (x )＞0，即g (x )＞g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2， 因为x 1∈(0,1)，所以g (x 1)＞g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21. 又因为g (x 1)＝g (x 2)，所以g (x 2)＞g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21. 由于x 2，1x 21∈(1，＋∞)，而g (x )在(1，＋∞)上单调递减． 所以x 2＜1x 21，从而x 21x 2＜1，因此2ln x 1＋ln x 2＜0.请考生在第22,23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3－2t y ＝－1－4t (t 为参数，t ∈R )，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)动点P ，Q 分别在曲线C 1，C 2上运动，求两点P ，Q 之间的最短距离．[解] (1)由ρ2＋2ρcos θ－3＝0，可得x 2＋y 2＋2x －3＝0，化为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由已知得曲线C 1的普通方程：2x －y －7＝0，点Q 为曲线C 2上动点，令点Q (－1＋2cos θ，2sin θ)，θ∈R .设点Q 到曲线C 1的距离为d ，所以d ＝|4cos θ－2sin θ－9|5＝|25cos (θ＋φ)－9|5＝9－25cos (θ＋φ)5≥955－2， 其中tan φ＝12，即两点P ，Q 之间的最短距离为955－2. 23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝2|x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f (x )＞3的解集；(2)若x ∈[a,1](其中a ＜1)时，f (x )≤|x －a |恒成立，求实数a 的取值范围．[解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4，x ≥2，3x ，－1＜x ＜2，－x －4，x ≤－1.当x ≥2时，x ＋4＞3，得x ＞－1，所以x ≥2；当－1＜x ＜2时，3x ＞3，得x ＞1，所以1＜x ＜2；当x ≤－1时，－x －4＞3，得x ＜－7.综上，不等式f (x )≥3的解集为{x |x ＜－7或x ＞1}．(2)因为x ∈[a,1]，所以f (x )≤|x －a |等价于2|x ＋1|－(2－x )≤x －a ， 等价于x ∈[a,1]时，2|x ＋1|≤2－a 恒成立，等价于x ∈[a,1]时，a －2≤2x ＋2≤2－a 恒成立，即a －42≤x ≤－a 2恒成立． 所以a －42≤a ，且1≤－a 2，解得－4≤a ≤－2.所以实数a 的取值范围是[－4，－2]．。
2020届高考数学二轮复习限时练(一)理
限时练(一)(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2019·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＞0}，B ＝{x |x －1＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．(－∞，1) B ．(－2，1) C ．(－3，－1)D ．(3，＋∞)解析：A ＝{x |x ＜2或x ＞3}，B ＝{x |x ＜1}， 所以A ∩B ＝{x |x ＜1}． 答案：A2．(2019·全国卷Ⅰ)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．x 2＋(y ＋1)2＝1解析：由复数几何意义，z ＝x ＋y i. 又|z －i|＝1，所以|x ＋y i －i|＝1，故x 2＋(y －1)2＝1. 答案：C3．设S n 为数列{a n }的前n 项和，若2S n ＝3a n －3，则a 4＝( ) A ．27 B ．81 C ．93D ．243解析：由2S n ＝3a n －3，得2S n ＋1＝3a n ＋1－3， 两式相减得2a n ＋1＝3a n ＋1－3a n ，即a n ＋1＝3a n . 当n ＝1时，2a 1＝3a 1－3，解得a 1＝3， 所以数列{a n }是首项、公比均为3的等比数列， 因此a 4＝34＝81. 答案：B4．已知角α的终边经过点P (2，m )(m ＞0)，若sin α＝55m ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－3π2＝( ) A ．－35B.35C.45D ．－45解析：因为α的终边过点P (2，m )，且sin α＝55m ， 所以sin α＝m4＋m2＝55m ，则m 2＝1，sin α＝55， 因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－32π＝cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35.答案：B5.如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等．某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，设其命中10，9，8，7环的概率分别为P 1，P 2，P 3，P 4，则下列选项正确的是( )A ．P 1＝P 2B ．P 1＋P 2＝P 3C ．P 4＝0.5D ．P 2＋P 4＝2P 3解析：若设中心圆的半径为r ，则由内到外的环数对应的区域面积依次为πr 2，3πr 2，5πr 2，7πr 2，则P 1＝116，P 2＝316，P 3＝516，P 4＝716，验证选项，可知只有选项D 正确．答案：D6．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：由(a －b )⊥b ，可得(a －b )·b ＝0，所以a ·b ＝b 2.因为|a |＝2|b |，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝b 22b 2＝12.因为0≤〈a ，b 〉≤π，所以a 与b 的夹角为π3.答案：B7．有5名学生需从数学建模、程序设计两门课中选择一门，且每门课至少有2名学生选择，则不同的选择方法共有( )A ．10种B ．12种C ．15种D ．20种解析：根据题意，先将5人分为2组，一组3人，另一组2人，有C 25＝10种情况， 再将2组分别对应两门课程，有A 22＝2种情况，则不同的选择方法共有10×2＝20种． 答案：D8．已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω＞0)的最小正周期为2π，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z) 解析：因为f (x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin ωx －12cos ωx ＝2sin(ωx －π6)的最小正周期为2π，所以ω＝2π2π＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z)．答案：B9．函数f (x )＝x 2－2ln|x |的图象大致是( )解析：f (x )＝x 2－2ln|x |为偶函数，排除D.当x ＞0时，f (x )＝x 2－2ln x ，f ′(x )＝2x －2x＝2（x ＋1）（x －1）x，所以当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数； 当x ＞1时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数，排除B ，C. 答案：A10．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6立方寸，则图中的x 为( )A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4解析：由三视图知，商鞅铜方升是一个圆柱和一个长方体的组合体，依题意，3(5.4－x )×1＋π⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＝12.6，解得x ＝1.6.答案：B11．已知抛物线C ：y ＝x 28，定点A (0，2)，B (0，－2)，点P 是抛物线C 上不同于顶点的动点，则∠PBA 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C.⎝⎛⎦⎥⎤0，π3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2解析：当直线PB 与抛物线y ＝x 28相切时，∠PBA 最大．设直线PB 的方程为y ＝kx －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 28，y ＝kx －2，得x 2－8kx ＋16＝0.令Δ＝64k 2－64＝0，得k ＝±1，此时∠PBA ＝π4.故∠PBA 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π4.答案：A12．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意x ＞0都有2f (x )＋xf ′(x )＞0成立，则( )A ．4f (－2)＜9f (3)B ．4f (－2)＞9f (3)C ．2f (3)＞3f (－2)D ．3f (－3)＜2f (－2)解析：根据题意，令g (x )＝x 2f (x )， 其导数g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )．又对任意x ＞0都有2f (x )＋xf ′(x )＞0成立，则当x ＞0时，有g ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]＞0恒成立， 即函数g (x )在(0，＋∞)上为增函数．又由函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )． 则有g (－x )＝(－x )2f (－x )＝x 2f (x )＝g (x )， 即函数g (x )也为偶函数，则有g (－2)＝g (2)，且g (2)＜g (3)， 则有g (－2)＜g (3)，即有4f (－2)＜9f (3)． 答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填写在各小题的横线上．)13．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，且函数y ＝f (x ＋1)为奇函数，当0≤x ＜1时，f (x )＝x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝________．解析：依题意f (－x )＝f (x )，且f (1－x )＝－f (x ＋1)， 所以f (x ＋2)＝－f (x )，则f (x ＋4)＝f (x )， 所以y ＝f (x )的周期T ＝4. 又0≤x ＜1时， f (x )＝x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14. 答案：－1414．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，x ＋2y －9≤0，x ≥1，则z ＝2x ＋y 的取值范围是________．解析：作不等式组表示的平面区域如图△ABC (包括边界)所示．当直线z ＝2x ＋y 过点A 时，z 取最小值；过点B 时，z 取到最大值．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，得A (1，1)． 解⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，x ＋2y －9＝0，得点B (5，2)． 所以z min ＝2×1＋1＝3，z max ＝2×5＋2＝12. 故z 的取值范围是[3，12]． 答案：[3，12]15．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________． 解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程是x ＝－p2，双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点F 1(－2，0)．因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，所以－p2＝－2，解得p ＝2 2.答案：2 216．在△ABC 中，已知AC ＝6，BC ＝8，cos(A －B )＝34，则sin(B －C )＝________．解：如图，作∠BAD ＝∠B ，则AD ＝DB ，cos ∠DAC ＝cos(A －B )＝34.设AD ＝DB ＝x ，则DC ＝8－x ， 在△ADC 中，由余弦定理得 (8－x )2＝x 2＋62－2×6×34x ，解得x ＝4.所以AD ＝DB ＝DC ＝4，因此∠BAC ＝90°， 所以由cos ()A －B ＝34，得sin B ＝34.故sin(B －C )＝sin(2B －90°)＝－cos 2B ＝2sin 2B －1＝18.答案：18。
2020届高考数学大二轮刷题首选卷理数文档第一部分 考点三 复数
复数考点三一、选择题在复平2i，则复数z)已知i是虚数单位，复数i·z＝1－(2019·1．湖南衡阳三模)(面内对应的点位于．第二象限BA．第一象限．第四象限DC．第三象限C答案1－2i，i·解析∵复数z＝，－i，∴－i·i·z＝－i(1－2i)z＝－2C. 位于第三象限．故选，－1)则复数z在复平面内对应的点(－2i2＋) ＝5月三模)设复数z 满足i，则|z|＝((2019·2．山东潍坊z5 ．A．1 B5 3 ．D．CB答案i2＋i2＋2i2，故选＝5，∴＋＝解析∵＝i，∴z＝＋1＝1＝1－2i|z|4＝1＋2 iiziB.1z＋) 则下列说法正确的是)3．(2019·安徽芜湖5月模拟设复数z满足＝i，(z1i 的虚部为－．为纯虚数z BzA．2211－D．z－C．z＝i ||＝222D答案11121－＋z＝－，的虚部为－z，||，i－＝－z，z1z解析∵＋＝i∴∴z＝复数222221D.，故选i2，z1＝i|z|满足设复数)全国卷Ⅰ．4(2019·z－，)y，(在复平面内对应的点为x)(则．22221 1)＝＋y1 B．(A．(x＋1)x＋y－＝22221y＋1)＝D．x．x＋(y－1)1 ＝＋(CC答案i. y＝解析由已知条件，可得zx＋－i|＝1，y－∵|zi|＝1，∴|x＋i22C. ＝1.∴x 故选＋(y－1)2i|＋|1) 5．复数z)的共轭复数是＝((i为虚数单位i1＋i3－i＋3 ．A．B225555iD－．C．＋i 2222C答案?i15?－|1＋2i|55555－故＋，∴z＝i.＝由题意，得解析z＝＝＝i－22222i＋11＋iC.选a＋i(a∈zi6．已知为虚数单位，若复数＝R)的实部与虚部互为相反数，1－2i)则a＝(B5 ．－A．－151D．－C．－33D答案a?1＋2i?2a＋5aaa解析z＝＋i＝＋i＝＋i，∵复数z＝＋i(a∈R)552i?1－2i??1＋1－2i?2i1－的实部与虚部互为相反数，2a＋55a∴－＝，解得a＝－.故选D.3557．若复数z，z在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z＝2＋i，i为虚数单112位，则zz＝()21A．－5 B．5i－4．－Di＋4．－C．答案A解析因为z＝2＋i在复平面内的对应点(2,1)关于虚轴(y轴)的对称点为(－12－4＝－5.z＝i故选A.2,1)，因此z＝－2＋i，z2212(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则|za＋i)|＝() 8．若复数z＝(A．1 B．3D．2 ．4CC答案222，在复平面内对应的点在虚轴上，知a0－1z＝(a＋i)＝a＝－1＋2ai由解析C.，故|z|＝2，故选即a＝±1，所以z＝±2i 二、填空题表示．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z9z ________，则复数z．的共轭复数是复数2i－1答案－i2＋ii－2i2＋z解析复＝i，其共轭复数为－i.2i－2i2i1－11－2019i－110．(2019·湖北部分重点中学联考)＝________.i－1答案i201932?＋i＋i－i?1－i1112i解析＝＝＝＝＝i.2?＋ii?1－1－??i1－i1－1i ix＝cosx＋isinx(i11．欧拉公式：e为虚数单位)，由瑞士数学家欧拉发明，它建πi22立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，(e)＝________.答案－1πiππ2??i2x22isin＋cos??＝－)(ex＋cose解析由＝xisin得＝i1.＝22??．a＝－1＋bi，其中a，b12．已知是实数，则复数a－bi在复平面内对应的i －1点位于第________象限．答案二a＝－1＋bi，得a＝(－1＋bi)(1－i)解析由＝(b－1)＋(b＋1)i，∴i1－，＝0b＋1??在复平面内对应的点的坐＋ii＝－2b＝－1，∴复数a－b即a＝－2，，－1a＝b? 2,1)，位于第二象限．标为(－三、解答题，试4i，－2＋，C分别表示0,3＋2i13．如图，平行四边形OABC，顶点O，A 求：Array→→表示的复数；BC(1)AO表示的复数，→表示的复数．(2)对角线CA→→，解＝－OA(1)∵AO→表示的复数为－3－2i，∴AO→→→表示的复数为－3－2i. ，∴BC∵＝AOBC→→→，(2)－OC∵＝OACA→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ∴CA51214．已知z＝cosα＋isinα，z＝cosβ－isinβ，且z－z＝＋i，求cos(α＋β)21121313的值．解∵z＝cosα＋isinα，z＝cosβ－isinβ，21512∴z－z＝(cosα－cosβ)＋i(sin α＋sinβ)＝＋i.211313．5?①，α－cosβ＝cos?13?∴12??②β＝.sinα＋sin1322，得2－2cos(α＋β由①)＋②＝1.1∴cos(α＋β)＝.2一、选择题1．(2019·安徽合肥第三次教学质量检测)已知i是虚数单位，复数z满足z＋z·i ＝3＋i，则复数z的共轭复数为()A．1＋2i B．1－2ii－2＋i 2．DC．C答案2i41333＋i＋i?＋i??－i?－zi.2＝＝＝＝z3·i＝＋i可化为＝－∴z，∵z解析z＋2?i－1??i＋1?i＋1i＋1－C.i2的共轭复数为z＝＋，故选，若向量，的坐标分别为Z已知点四川双流中学一模．2(2019·)Z，(1,0)(0,1)21→)对应的点位于，则复数zz(对应复数ZZ21B．第二象限A．第一象限．第四象限D C．第三象限B答案→z因为点解析Z＝Z，所以(0,1)，的坐标分别为Z，(1,0)Z(1,1)，即复数－2112B.对应点位于第二象限，故选在复平面)(2019·．3山东栖霞高考模拟已知复数为虚数单位－＋a(z＝i)(1i)(i))上，则实数x2y内对应的点在直线＝a(的值为1 AB．0 ．－1 D．－1 ．C3D答案．解析因为z＝(a＋i)(1－i)＝a＋1＋(1－a)i，对应的点为(a＋1,1－a)，因为点1在直线y＝2x上，所以1－a＝2(a＋1)，解得a＝－.故选D.3z34－z是其共轭复数，若＝a＋i，＋4．(2019·河南十所名校测试七)设复数z ＝55－zi，则实数a＝()A．4 B．3D．C．2 1C答案34a43a4z3??－－??a＋＋＝＋，则i＋＝ai，∴解析∵z＝a＋iiz＝a－i，又，∴555555??－z2.＝在a＋(1＋i)(i)a为实数为虚数单位，z(2019·5．北京昌平二模)已知复数＝－1)(复平面内对应的点位于第二象限，则复数z的虚部可以是11i ．Bi A．－2211 ．C．－D22D答案，－1<0a??，故选0<a<1i＋(i)(1＝－因为解析z1＋a＋＝a－1)a，所以即，>0a?D.6．设有下面四个命题：1 ∈z R；，则∈满足p：若复数z R1z2R z R z∈，则∈；满足：若复数pz2－，z：若复数pz；＝，则∈zz满足R zz2212311－. z R z：若复数p∈，则∈R4) (其中的真命题为，p，ppA．p．B4131．p．CD ，，ppp4232．B答案对．R)i(a，b∈b，∈R)，z＝a＋b设z＝a＋bi(a，b∈R)，z＝a＋bi(a解析2121122112iba－11为真命p R，所以bi＝a∈，则b＝0?z＝a＋于p，若∈R，即＝∈R2211zbb＋ia＋a2222时，0b≠a＝0，∈R，则ab＝，即(a＋bi)0.＝aab＋2i－b当题．对于p，若z∈R2＝bi)bi)(a＋zz∈R，即(a＋R z＝a＋bi＝bi，所以p为假命题．对于p，若∈/21132221－i－bi＝＝az，即a＋b＝＋ab)i∈R，则ab＋ab0.而za(a－bb)＋(ab221112112211221221为假命题．对，所以pb＝－b/ a＝a，＝－，bb.因为ab＋ab＝0??a＝a3112222111212－为真命题，故p∈R，所以a－bi＝bi∈R，则b＝0?az＝于p，若z∈R，即a＋44选B. ．下面四个命题中，7 ；a，bb∈R)的实部、虚部分别是①复数z＝a＋bi(a，对应的点构成一条直线；，则z＝|z －2i|z②复数满足|z＋1|2222 z|z|a|；＝a＝，可类比得到复数z的性质a③由向量的性质|202021. i＋i＝＋…＋④i为虚数单位，则1＋i) (正确命题的个数是B．0 1 A．3．2 ．DCD答案a)的实部为a，虚部为b，故正确；②设z＝解析①复数z＝a＋bi(a，b∈R，i(aa＋bb2i|计算得2a＋4－3＝0，故正确；③设z＝z)＋bi(a，b∈R，由|z＋1|＝|－2020222＝＋不成立，故错误；④1i＋i1＋…＋z R b∈)，当b≠0时，||i＝z，故正确．zP与M．已知复平面内，定点与复数m＝1＋2i(i为虚数单位)对应，动点8)m|＝2的点P的轨迹方程为(y＝x＋i对应，那么满足|z－22224 ＝2)＋(＋(y－2)y ＝2 －1)x．B(－xA．(－1)22224 ＋C．(x1)(＋y＋2)＝2 ＝2)＋y(＋1)＋x(．DB答案，|．－，－(mz由题意，解析知在复平面内，－对应的点为x1y2)则由z＝2|－m2222B.，故选4＝2)－y(＋1)－x(，即2＝?2－y?＋?1－x?得．二、填空题－－其中i)4(z(2019·广东韶关4月模拟)已知＝z是z的共轭复数，且满足(1＋9．________.＝|z|)i是虚数单位，则22答案?－i4?14－－－222＝2i，∴|z|＝|2z|＋解析由(1＋i)zz＝4，得，＝＝＝2－?1－i1＋??i?1＋i2.2＝的虚Im(z)表示复数z．(2019·天津北辰模拟)用Re(z)表示复数z的实部，用10－－)z)＋，其中Im(z是复数z的共轭复数，则Re(z部，若已知复数z满足z(1－i)＝7＋3i________.＝3－答案10i＋?43i＋?7＋3i??1＋i7－，则5i2－＝＝2＋5i，∴z＝解析由题意得，z＝＝2?ii?1－i??11－＋3.5＝－＋Im(z)＝2－Re(z)2＝bc＋bx＋c＝0－11．若2i是关于x的实系数方程x的一个复数根，则________.20－答案2－3＋2b＋c－i)＋b(2－i)＋c＝0，即2解析把复数根－i代入方程中，得(2，b＝－43＋2b＋c＝0，????20. bc(4＋b)i＝0，所以解得＝－故，5＋4b＝0，c＝??|z|z|＋|21zz@z＝(等式右边为普通运算)．若复数12．定义复数的一种新运算212－．z的最小值为＋y满足xy＝________22，则z@，i＋＝xyi，为虚数单位，且实数x2答案－|＋|z|z||2|z－22. ＋x＝yz＝解析@zz＝＝||22－2，4＋?2－x? z，所以＝＋由于xy22z@＝2－2. z2＝x故时，z@取最小值三、解答题．－10|. ＋3|13．设虚数z满足|2z＋15|z＝的值；z|(1)计算|az 若不存在，说明理由．(2)是否存在实数a，使＋∈R？若存在，求出a的值；za－R且b≠0)，则，z＝a－bia解(1)设z＝a＋bi(，b∈－∵|2z＋15|10|＝3|，z＋i|＋2bi|，＝3|(a ＋10)－b∴|(2a＋15)2222＋＝b3?a＋10?，∴?2a＋15?2＋?b?22223. b5＝75，∴|z|＝a∴a＝＋b＋az. a，使＋∈R(2)假设存在实数za d≠0)，，c＋di(cd∈R且设z＝?c－dic＋dia?dcaza ＋＋i＋则有＝＋＝22azaaadc＋d＋icdadacc??－??R＝＋＋，i∈2222ad＋cadc＋??add ，－∴＝022adc ＋22±c，＋a∵d≠0，∴＝d2253.＝±53由(1)知c ，∴＋da＝2＋mx＋n＝0，mz＋1为关于x的方程x，n14．(2019·辽宁省鞍山一中一模)设∈R的虚根，i为虚数单位．(1)当z＝－1＋i时，求m，n的值；(2)若n＝1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2＋4i所对应的点为Q，试求|PQ|的取值范围．解(1)因为z＝－1＋i，所以z＋1＝i，，＝0m?2?＝0，易得i则＋mi＋n1.n＝?(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，2，0＝1＋i)b＋1＋a(m＋i)b＋1＋a(则．22①0，1a＋1?＋＝＋?a＋1?－bm???于是②，b?＋mb＝02?a＋1?22，其＝＋b1＋2(a1)，代入①得，(a＋1)m因为b不恒为零，所以由②得＝－4i＋P是圆上任意一点．又复数2－几何意义是以(1,0)为圆心，1为半径的圆，即22＋1＝6，4|PQ|的最小值为4.?＋?PQ，所以对应的点为Q||的最大值为21＋所以|PQ|的取值范围是[4,6]．。
金版教程2022高考数学理二轮复习训练：题型突破练——客观题专练
题型突破练——客观题专练客观题专练(一)建议用时：45分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝R ，A ＝{x |x (x －2)<0}，B ＝{x |1－x >0}，则A ∩(∁U B )等于( ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |1≤x <2} C ．{x |0<x ≤1} D ．{x |x ≤1} 答案 B解析 由题意可得A ＝(0,2)，B ＝(－∞，1)，则A ∩(∁U B )＝[1,2)． 2．已知复数z 满足1＋zi ＝1－z ，则z 的虚部为( ) A ．i B ．－1 C ．1 D ．－i 答案 C解析 由已知得1＋z ＝(1－z )i ＝i －i z ，则z ＝－1＋i 1＋i ＝(－1＋i )(1－i )2＝i ，虚部为1.3．下列说法正确的是( )①若sin α<0，则α是第三或四象限的角； ②若α<π2，则cos α<1；③已知sin θ·tan θ<0，则角θ位于其次、三象限；④⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α<22，则2k π＋π6<α<2k π＋76π，k ∈Z . A ．③ B ．①②③ C ．①④ D ．①③④ 答案 A解析 sin α<0，则α是第三、四象限角或α终边在y 轴负半轴上，故①不正确；α＝－2π<π2，但cos α＝1，故②不正确；③正确；⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α<22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 12，故sin α>12，则2k π＋π6<α<2k π＋56π，k ∈Z ，故④不正确．故选A.4．[2021·衡水一模]已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则n 2的值为( )A ．4B ．1C ．2D ．3 答案 D解析 2a －b ＝(2,2n )－(－1，n )＝(3，n )，(2a －b )·b ＝(3，n )·(－1，n )＝－3＋n 2＝0，n 2＝3.5．已知等比数列{a n }，且a 3＋a 5＝π，则a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6的值为( ) A ．π B ．π2 C ．4 D ．2－π4 答案 B解析 由a 3＋a 5＝π，又a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2，故a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝π2.6．运行下面的程序，假如输出的S ＝20222021，那么推断框内是( )A ．k ≤2021?B ．k ≤2022?C ．k ≥2021?D ．k ≥2022? 答案 B解析 当推断框内是k ≤n ？时，S ＝11×2＋12×3＋…＋1n ×(n ＋1)＝1－1n ＋1，若S ＝20222021，则n ＝2022.7．[2021·沈阳质监(一)]已知某个几何体的三视图如图所示，依据图中标出的尺寸(单位：cm)可得这个几何体的体积是( )A.43 cm 3 B.83 cm 3C ．3 cm 3D ．4 cm 3 答案 B解析 由三视图可知该几何体是一个底面为正方形(边长为2)、高为2的四棱锥．由四棱锥的体积公式知所求几何体的体积V ＝83 cm 3.8．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x x ＋y ≤1y ≥－1，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．3 B.32 C ．－32 D ．－3答案 A解析 画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝2x ＋y ，知y ＝－2x ＋z ，当目标函数过点(2，－1)时直线在y 轴上的截距最大，为3，所以选A.9．[2021·长春质监(二)]已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋12cos2x ，若将其图象向右平移φ(φ>0)个单位后所得的图象关于原点对称，则φ的最小值为( )A.π6 B .5π6C.π12D.5π12 答案 C解析 由题意f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，将其图象向右平移φ(φ>0)个单位后所得图象对应的解析式为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x －φ)＋π6，则2φ－π6＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π2＋π12(k ∈Z )，又φ>0，所以φ的最小值为π12.故选C.10．[2021·山西四校联考(三)]在正三棱锥S －ABC 中，M 是SC 的中点，且AM ⊥SB ，底面边长AB ＝22，则正三棱锥S －ABC 的外接球的表面积为( )A ．6πB ．12πC ．32πD ．36π答案 B解析 如图，取CB 的中点N ，连接MN ，AN ，则MN ∥SB .由于AM ⊥SB ，所以AM ⊥MN .由正三棱锥的性质易知SB ⊥AC ，结合AM ⊥SB 知SB ⊥平面SAC ，所以SB ⊥SA ，SB ⊥SC .又正三棱锥的三个侧面是全等的三角形，所以SA ⊥SC ，所以正三棱锥S －ABC 为正方体的一个角，所以正三棱锥S －ABC 的外接球即为正方体的外接球．由AB ＝22，得SA ＝SB ＝SC ＝2，所以正方体的体对角线为23，所以所求外接球的半径R ＝3，其表面积为4πR 2＝12π，故选B.11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (2,0)，设A ，B 为双曲线上关于原点对称的两点，AF 的中点为M ，BF 的中点为N ，若原点O 在以线段MN为直径的圆上，若直线AB 斜率为377，则双曲线的离心率为( )A. 3B. 5 C ．2 D ．4 答案 C解析 设点A (x 0，y 0)在第一象限．∵原点O 在以线段MN 为直径的圆上，∴OM ⊥ON ，又∵M 、N 分别为AF 、BF 的中点，∴AF ⊥BF ，即在Rt △ABF 中，OA ＝OF ＝2，∵直线AB 斜率为377，∴x 0＝72，y 0＝32，代入双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1得74a 2－94b2＝1，又a 2＋b 2＝4，得a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线离心率为2. 12．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，当x >0时，f (x ＋1)＝f (x )＋f (1)，若直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )的图象恰有7个不同的公共点，则实数k 的取值范围为( )A ．(22－2,26－4)B ．(3＋2，3＋6)C ．(22＋2,26＋4)D ．(4,8)答案 A解析 由x >1时，f (x ＋1)＝f (x )＋f (1)可得：当x ∈[n ，n ＋1]，n ∈N *时，f (x )＝f (x －1)＋1＝f (x －2)＋2＝…＝f (x －n )＋n ＝(x －n )2＋n .由于函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，所以其图象关于原点对称，因此要使直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )恰有7个不同的公共点，只需满足当x >0时，直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )恰有3个不同的公共点即可．作出x >0时函数y ＝f (x )图象，由图可知，当直线y ＝kx 与曲线段y＝(x－1)2＋1，x∈[1,2]相切时，直线与函数y＝f(x)恰有5个不同的公共点．与曲线段y＝(x－2)2＋2，x∈[2,3]相切时，直线与函数y＝f(x)恰有9个公共点，若恰有7个，则介于此两者之间．由直线方程y＝kx与y＝(x－1)2＋1，x∈[1,2]消去y 得x2－(2＋k)x＋2＝0，由于相切，所以Δ＝(2＋k)2－8＝0，又k>0，所以k＝22－2.由y＝kx与y＝(x －2)2＋2，x∈[2,3]消去y得x2－(4＋k)x＋6＝0，由于相切，所以Δ＝0，得到k＝26－4.∴k的取值范围为(22－2,26－4)．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本编号从小到大依次为007,032，…，则样本中最大的编号应当为________．答案482解析由题意可知，系统抽样的每组元素个数为32－7＝25个，共20个组，故样本中最大的编号应当为500－25＋7＝482.14．[2021·长春质监(三)]已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是________．答案(－∞，1]∪[3，＋∞)解析由题知x－2≥1或x－2≤－1，∴不等式的解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．15．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b cos C＋c cos B ＝3R(R为△ABC外接圆半径)且a＝2，b＋c＝4，则△ABC的面积为________．答案 3解析由于b cos C＋c cos B＝3R，得2sin B cos C＋2sin C cos B＝3，sin(B＋C)＝32，即sin A＝32.由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc cos A，即4＝b2＋c2－bc，∴4＝(b＋c)2－3bc，∵b＋c＝4，∴bc＝4，∴S△ABC＝12bc sin A＝ 3.16．[2021·辽宁五校联考]抛物线x2＝12y在第一象限内图象上一点(a i,2a2i)处的切线与x轴交点的横坐标记为a i＋1，其中i∈N*，若a2＝32，则a2＋a4＋a6等于________．答案42解析令y＝f(x)＝2x2，则切线斜率k＝f′(a i)＝4a i，切线方程为y－2a2i＝4a i(x－a i)，令y＝0得x＝a i＋1＝12a i，由a2＝32得a4＝8，a6＝2，所以a2＋a4＋a6＝42.客观题专练(二)建议用时：45分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z＝1－im＋i为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数m的值是() A．1 B．－1C．2 D．－2答案 A解析z＝1－im＋i＝(1－i)(m－i)(m＋i)(m－i)＝m－1－(m＋1)im2＋1是纯虚数，所以m＝1.2．若全集U＝R，集合A＝{x||2x＋3|<7}，B＝{x|y＝log2(x2－4)}，则A∩B＝()A．{x|x<－5或x>－2} B．{x|－5<x<－2}C．x>－5 D．x<－2答案 B解析由于，A＝{x||2x＋3|<7}＝{x|－5<x<2}，B＝{x|y＝log2(x2－4)}＝{x|x2－4>0}＝{x |x >2或x <－2}，所以A ∩B ＝{x |－5<x <－2}，故选B.3．已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 “a >0且b >0”可以推出“a ＋b >0且ab >0”，反之也成立． 4．[2021·辽宁质监(一)]抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a D.⎝ ⎛⎭⎪⎫116a ，0 答案 C解析 将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14a y (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，116a ，所以选C. 5．西藏一登山队为了解某座山山高y (km)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了5次山高与相应的气温，并制作了对比表如下：由表中数据，得到线性回归方程y ＝－3x ＋a ，a ∈R ，据此数据估量山高为99 km 处的气温是( )A ．－10 ℃B ．－9 ℃C ．－8 ℃D ．－7 ℃ 答案 A解析 由题意得x ＝17＋14＋9－1－45＝7， y ＝24＋34＋38＋64＋805＝48，则x ，y 代入线性回归方程得a ＝69，故有y ^＝－3x ＋69，所以当y ^＝99时有x ＝－10，故选A.6．[2021·山西四校联考(三)]若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 6＋1x x n 的开放式中含有常数项，则n 的最小值等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C 解析 由于T r ＋1＝C r n (x 6)n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C r n x 6n －152r ，当T r ＋1是常数项时，6n －152r＝0，即n ＝54r ，故n 的最小值为5，故选C.7．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°答案 A解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 及(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A 得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝3ac ，又由于cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，所以cos B ＝32，所以B ＝30°.故选A.8．[2021·长春质监(三)]已知直线y ＝22(x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，点M (－1，m )，若MA →·MB→＝0，则m ＝( ) A. 2 B.22 C.12 D ．0 答案 B解析 由直线与抛物线的方程可得A (2,22)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，∵M (－1，m )，且MA →·MB →＝0，∴2m 2－22m ＋1＝0，解得m ＝22，故选B.9．执行如图所示的程序框图，输出z 的值为( ) A ．－1008×2021 B ．1008×2021 C ．－1008×2021 D ．1008×2021 答案 A解析 第一次运行时，S ＝121，a ＝2；其次次运行时，S ＝121＋2，a ＝3；第三次运行时，S ＝121＋2＋3，a ＝4；第四次运行时，S ＝121＋2＋3＋4，a ＝5；…，以此类推，第2021次运行时S ＝121＋2＋3＋4＋…＋2021，a ＝2022，刚好满足a >2021，z ＝log 2121＋2＋3＋4＋…＋2021＝－⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋20212×2021＝－1008×2021. 10．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ∈(0,2π)，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 答案 B解析 由f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (π6)⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±1⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3＝±1，① 又由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f (π)⇒sin(π＋φ)<sin(2π＋φ)⇒2sin φ>0，②由于φ∈(0,2π)，由①②可得φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，于是可求得增区间为B.11．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B ，双曲线左顶点为M ，若∠AMB ＝120°，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．3 D ．2 答案 D解析 如图，依据对称性，∠AMO ＝∠BMO ＝60°， ∴△AMO 为等边三角形，∴∠F AM ＝∠MF A ＝30°，∴FM ＝OM ＝a ，∴OF ＝2OM ，∴c ＝2a ，∴e ＝ca ＝2. 12．[2021·太原一模]已知函数f (x )＝ln x ＋tan α⎝⎛⎭⎪⎫0<α<π2的导函数为f ′(x )，若方程f ′(x )＝f (x )的根x 0小于1，则α的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3 C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，π4 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，π4答案 A解析 ∵f (x )＝ln x ＋tan α，∴f ′(x )＝1x ，令f (x )＝f ′(x )，得ln x ＋tan α＝1x ，即tan α＝1x －ln x ．设g (x )＝1x －ln x ，明显g (x )在(0，＋∞)上单调递减，而当x →0＋时，g (x )→＋∞，∴要使满足f ′(x )＝f (x )的根x 0<1，只需tan α>g (1)＝1，又∵0<α<π2，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．[2021·陕西质检(一)]已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________.答案 －12 解析由于a 与b 共线，所以a ＝x b ，⎩⎨⎧x ＝2λx ＝－1，故λ＝－12.14．[2021·大连双基测试]五人随机站成一排，甲、乙两人不相邻的概率是________．答案 35解析 所求概率P ＝A 33A 24A 55＝35.15．[2021·南昌一模]已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，侧面BCC 1B 1的面积为2，则直三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球表面积的最小值为________．答案 4π解析 如图所示，设BC ，B 1C 1的中点分别为F ，E ，则知三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球的球心为线段EF 的中点O ，且BC ·EF ＝2.设外接球的半径为R ，则R 2＝BF 2＋OF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫EF 22＝BC 2＋EF 24≥14×2BC ×EF ＝1，当且仅当BC ＝EF ＝2时取等号．所以直三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球表面积的最小值为4π×12＝4π.16．[2021·长春高三质监(二)]已知函数f (x )为偶函数且f (x )＝f (x －4)，又在区间[0,2]上f (x )＝⎩⎨⎧－x 2－32x ＋5，0≤x ≤12x ＋2－x ，1<x ≤2.函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＋a ，若F (x )＝f (x )－g (x )恰好有4个零点，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，198解析 由题意可知f (x )是周期为4的偶函数，其图象的一条对称轴为直线x ＝2.若F (x )恰有4个零点，有⎩⎨⎧g (1)>f (1)g (3)<f (3)，解得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，198.客观题专练(三)建议用时：45分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2>x ＋2}，B ＝{x |log 2x >1}，则下列关系正确的是( )A ．A ∪B ＝R B ．A ∩B ＝AC ．A ∪(∁U B )＝RD ．(∁U A )∪B ＝R 答案 C解析 A ＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)，B ＝(2，＋∞)，∴∁U A ＝[－1,2]，∁U B ＝(－∞，2]，∴A ∪B ＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)，A ∩B ＝(2，＋∞)＝B ，(∁U A )∪B ＝[－1，＋∞]，A ∪(∁U B )＝R ，故选C.2．已知i 为虚数单位，a ，b ∈R ，若a －2i1＋i ＝1－b i ，则a －b ＝( )A ．2B ．1C ．0D ．－1 答案 B 解析由已知得a －2i ＝(1＋i)(1－b i)＝(1＋b )＋(1－b )i ，∴⎩⎨⎧a ＝1＋b－2＝1－b，解得a ＝4，b ＝3，∴a －b ＝1，故选B.3．[2021·陕西质检(二)]已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( )A ．21B ．22C ．23D ．24 答案 C解析 3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1＝a n －23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n .∵a k ＋1·a k <0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫473－23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫453－23k <0，∴452<k <472，∴k ＝23，故选C. 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．6 B.163 C.203 D.223 答案 C解析 由三视图可得，该几何体是由一个正方体截去两个小三棱锥而得到的几何体，∴V ＝2×2×2－2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×1＝203.故选C. 5．[2021·郑州质量猜测(一)]已知点P (a ，b )是抛物线x 2＝20y 上一点，焦点为F ，|PF |＝25，则|ab |＝( )A ．100B ．200C ．360D ．400答案 D。
(新课标)天津市2020年高考数学二轮复习 综合能力训练 理
综合能力训练第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知集合A=,B={x|y=lg(4x-x2)},则A∩B等于()A.(0,2]B.[-1,0)C.[2,4)D.[1,4)2.设直线x+y=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,若OA⊥OB,则△OAB的面积为()A.1B.C.D.23.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a4.(2018浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.85.执行如图所示的程序框图.若输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.6.已知双曲线=1(a>0,b>0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是()A.B.C.D.27.已知函数f(x)=若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为()A.1B.-C.1,-D.1,8.已知实数a,b,c.()A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-b i)=a,则的值为.10.在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是.(用数字填写答案)11.已知两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为.12.在极坐标系中,直线4ρcos+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为.13.设变量x,y满足约束条件的最小值是.14.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.16.(13分)已知数列{a n}中,a1=2,且a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*).(1)求a2,a3,并证明{a n-n}是等比数列;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和S n.17.(13分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.18.(13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.19.(14分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M,求点M的轨迹方程;(3)若切线MP与直线x=-2交于点N,求证:为定值.20.(14分)已知函数f(x)=ln(1+x)+x2-x(a≥0).(1)若f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,求a的取值范围;(2)已知e为自然对数的底数,证明:∀n∈N*,<e.##综合能力训练1.A解析∵A=[-1,2],B=(0,4),∴A∩B=(0,2].故选A.2.B解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由x+y=1与抛物线y2=2px,得y2+2py-2p=0,解得y1=-p+,x1=1+p-,y2=-p-,x2=1+p+, 由OA⊥OB得,x1x2+y1y2=0,即[(1+p)2-(p2+2p)]+[p2-(p2+2p)]=0,化简得2p=1,从而A,B,OA2==5-2,OB2==5+2,△OAB的面积S=|OA||OB|=故选B.3.C解析∵f(x)是R上的奇函数,∴g(x)=xf(x)是R上的偶函数.∴g(-log25.1)=g(log25.1).∵奇函数f(x)在R上是增函数,∴当x>0时,f(x)>0,f'(x)>0.∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立,∴g(x)在区间(0,+∞)上是增函数.∵2<log25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log25.1<3.结合函数g(x)的性质得b<a<c.故选C.4.C解析由三视图可知该几何体为直四棱柱.∵S底=(1+2)×2=3,h=2,∴V=Sh=3×2=6.5.B解析由题意得,输出的S为数列的前3项和,而,即S n=故当输入n=3时,S3=,故选B.6.A解析设直线l与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则=0,即由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x1+x2=8,y1+y2=2,=1,,e2=1+e=故选A.7.C解析∵f(1)=e1-1=1,∴f(a)=1.若a∈(-1,0),则sin(πa2)=1,∴a=-若a∈[0,+∞),则e a-1=1,∴a=1.因此a=1或a=-8.D解析 (举反例排除)选项A中,令a=b=10,c=-110,则|a2+b+c|+|a+b2+c|=|100+10-110|+|10+100-110|=0<1.而a2+b2+c2=100+100+1102=200+1102>100,故选项A不成立;选项B中,令a=10,b=-100,c=0,则|a2+b+c|+|a2+b-c|=0<1.而a2+b2+c2=100+1002+0>100,故选项B不成立;选项C中,令a=100,b=-100,c=0,则|a+b+c2|+|a+b-c2|=0<1.而a2+b2+c2=1002+1002+0>100,故选项C不成立;故选D.9.2解析 (1+i)(1-b i)=1+b+(1-b)i=a,则所以=2.故答案为2.10.-40解析 (2x-1)5的展开式的通项为T r+1=(2x)5-r(-1)r=(-1)r25-r x5-r.根据题意,得5-r=2,解得r=3.所以含x2项的系数为(-1)325-3=-22=-40.11.3(2-)π解析∵AO1=R1,C1O2=R2,O1O2=R1+R2,∴(+1)(R1+R2)=,R1+R2=,球O1和O2的表面积之和为4π()≥4π·2=2π(R1+R2)2=3(2-)π.12.2解析∵4ρcos+1=0,展开得2cos θ+2ρsin θ+1=0,∴直线的直角坐标方程为2x+2y+1=0.∵ρ=2sin θ两边同乘ρ得ρ2=2ρsin θ,∴圆心到直线的距离d=<r=1.∴直线与圆相交.∴直线与圆公共点的个数为2.13.1解析由约束条件作出可行域如图,联立解得A(3,2),的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,0)连线的斜率,则其最小值为k PA==1.14.②③解析由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由AC⊥a,AC⊥b,得AC⊥圆锥底面,在底面内可以过点B,作BD∥a,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DE⊥BD,∴DE∥b.连接AD,在等腰三角形ABD 中,设AB=AD=,当直线AB与a成60°角时,∠ABD=60°,故BD=又在Rt△BDE中,BE=2,∴DE=,过点B作BF∥DE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=,∴△ABF为等边三角形,∴∠ABF=60°,即AB与b 成60°角,②正确,①错误.由最小角定理可知③正确;很明显,可以满足直线a⊥平面ABC,直线AB与a所成的最大角为90°,④错误.故正确的说法为②③.15.解 (1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=ac sin B=ac.又S△ABC=2,则ac=b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4.所以b=2.16.解 (1)由已知a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*)得a2=4,a3=7.a n-n=2a n-1-2n+2,即a n-n=2[a n-1-(n-1)].=2(n≥2,n∈N*),且a1-1=1,∴{a n-n}是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)得a n-n=(a1-1)·2n-1,即a n=2n-1+n,∴b n==1+设c n=,且前n项和为T n,则T n=+…+, ①T n=+…+, ②①-②,得T n=1++…+=2-故T n=4-,S n=n+4-17.解法一 (1)证明:如图①,连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知BC1∥AD1.当λ=1时,P是DD1的中点,又F是AD的中点,所以FP∥AD1,所以BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图②,连接BD.因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD.又DP=BQ,DP∥BQ,所以四边形PQBD是平行四边形,故PQ∥BD,且PQ=BD,从而EF∥PQ,且EF=PQ.所以EQ=FP=,所以四边形EFPQ也是等腰梯形.同理可证四边形PQMN也是等腰梯形.分别取EF,PQ,MN的中点为H,O,G,连接OH,OG,则GO⊥PQ,HO⊥PQ,而GO∩HO=O,故∠GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角.若存在λ使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90°.连接EM,FN,则由EF∥MN,且EF=MN知四边形EFNM是平行四边形.连接GH,因为H,G是EF,MN的中点,所以GH=ME=2.在△GOH中,GH2=4,OH2=1+λ2-=λ2+,OG2=1+(2-λ)2-=(2-λ)2+,由OG2+OH2=GH2,得(2-λ)2++λ2+=4,解得λ=1±,故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.解法二以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ).=(-2,0,2),=(-1,0,λ),=(1,1,0).(1)证明:当λ=1时,=(-1,0,1).因为=(-2,0,2),所以=2,即BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),则由可得于是可取n=(λ,-λ,1).同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(λ-2,2-λ,1).若存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.18.解 (1)由已知,有P(A)=所以,事件A发生的概率为(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=所以,随机变量X的分布列为X0 1 2P随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2=1.19.(1)解依题意,2c=a=4,∴c=2,b=2∴椭圆C的标准方程为=1.(2)解由(1)知F1(-2,0),设P(x0,y0),M(x,y),过椭圆C上点P的切线方程为=1, ①直线F1P的斜率,则直线MF1的斜率=-, 直线MF1的方程为y=-(x+2),即yy0=-(x0+2)(x+2), ②①②联立,解得x=-8,精品故点M的轨迹方程为x=-8.(3)证明依题意及(2),知点M,N的坐标可表示为M(-8,y M),N(-2,y N),点N在切线MP上,由①式得y N=,点M在直线MF1上,由②式得y M=,|NF1|2=,|MF1|2=[(-2)-(-8)]2+,故=, ③注意到点P在椭圆C上,即=1,于是,代入③式并整理得,故的值为定值20.(1)解∵f(x)=ln(1+x)+x2-x,其定义域为(-1,+∞),∴f'(x)=+ax-1=①当a=0时,f'(x)=-,当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.②当0<a<1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=>0,当x时,f'(x)<0,则f(x)在区间内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.③当a=1时,f'(x)=,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.④当a>1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.综上所述,a的取值范围为[1,+∞).(2)证明由(1)可知,当a=0时,f(x)<0对x∈(0,+∞)都成立,即ln(1+x)<x对x∈(0,+∞)都成立,精品∴ln+ln+…+ln+…+,即ln…由于n∈N*,则=1.∴ln<1.<e.由(1)可知,当a=1时,f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,即x-x2<ln(1+x)对x∈(0,+∞)都成立,+…+<ln+ln+…+ln, 即<ln,得<ln由于n∈N*,则<ln<e.。
2020届高三二轮复习数学(理科)限时训练01-10(答案)
限时训练（一）答案部分一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ADDAADDDBDCB二、填空题13. 160- 14.3318+-15. 283π16. 32 解析部分1. 解析 由题意可得{|21}M x x =-<<-，{|2}N x x =-…，所以{|2}MN x x =-….故选A.2. 解析2i 2i (1i )1i 1i (1i)(1i)-==+++-.故选D. 3. 解析 当直线与平面有一个交点时，直线也有无数个点不在平面内，所以②错. 随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，所以(1)0.5P ξ<=，由正态分布的图形知(01)(2)(1)0.3P P P ξξξ<<=<-<=,所以③错.故选D.4. 解析 由题意知双曲线的一条渐近线方程为12y x =-，即12b a =； 一个焦点坐标为(5,0)-，即5c =.由222512a b b a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得5,25b a ==. 所以双曲线方程为221205x y -=.故选A. 5. 解析 将ˆ9.4b=，研发费用为6万元时，利润为65.5万元代入ˆˆˆy bx a =+， 得a ^＝9.1，由统计数据计算得x ＝3.5，所以y ＝42，求得54m =.故选A.6. 解析 因为,,a b c 成等比数列，所以2b ac =.由正弦定理可得sin sin b AB a=，所以sin sin b Abb B ac c=2sin b A ac =3sin 2A ==.故选D. 7. 解析 由三视图可得该几何体是一个直三棱柱，如图所示.解法一:3个侧面的面积为2(125)S =++侧，由余弦定理可以求得底面的钝角为34π，所以一个底面三角形的面积为13112sin 242S π=⨯⨯=底，所以总面积为2S 底+S 侧=122(125)322252⨯+++=++.故选D.解法二:侧面积同解法一.由左视图中的1得棱锥的底面三角形的高为1,所以一个底面三角形的面积为111122S =⨯⨯=底,所以总面积为2S 底+S 侧=32225++.故选D. 8. 解析 解法一：不等式组满足的可行域，如图中所示的阴影部分.当0x …时，122z y x =-+表示的是斜率为12-，截距为2z的平行直线系， 当过点(1,5)时，截距最大，此时max 12511z =+⨯=； 当0x <时，122z y x =+表示的是斜率为12，截距为2z的平行直线系， 当过点(4,5)-时，截距最大，此时max 4z =+25⨯=14. 综上所述，max 14z =.故选D.解法二：画出满足不等式组的可行域，如图所示.Oyx联立510y x y =⎧⎨+-=⎩，解得54y x =⎧⎨=-⎩，即()4,5A -.目标函数2z x y =+变形为22x zy =-+， 由图可知当曲线22x z y =-+经过点A 时，2z取得最大值.所以max 52414z =⨯+=.故选D.9. 解析 由程序框图可知，第一次循环为：2,5,5x y i =-==；第二次循环为：1,4,4x y i =-==；第三次循环为：0,3,3x y i ===； 第四次循环为：1,2,2x y i ===；第五次循环为：2,1,1x y i ===； 第六次循环为：3,0,0x y i ===.此时循环结束.可得打印点依次为：()3,6-，()2,5-，()1,4-，()0,3，()1,2，()2,1.可知在2210x y +=内的打印点有()0,3，()1,2，()2,1，共3个.故选B.10. 解析 函数()x f 在1-=x 处取得极大值，所以()10f '-=.且当1x <-时，()0f x '>，所以()0y xf x '=<；当1x >-时，()0f x '<，所以当10x -<<时，()0y xf x '=>. 观察选项可知D 正确.故选D.Ay=x 2x+y -1=02x-y +3=0y=5yxO11. 解析 由2e =，可得22222213b b c a e a a a-===-=． 由2b y x apx ⎧=±⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，求得(,)22p bp A a -，(,)22p bp B a --， 所以1322AOB bp pS a =⨯⨯=△．① 将3ba=代入式①，得24p =，解得2p =， 所以(1,3)A -，(1,3)B --，则AOB △的三边长分别为2，2，23． 设AOB △的内切圆半径为r ，由1(2223)32r ++=， 解得233r =-．故选C ． 12. 解析 设[)0,2x ∈时，函数为()1f x ，，[)22,2x n n ∈-，函数为()n f x .当[)0,2x ∈时，()221()2(2)212f x x x x =--=--+． 可知()1f x 在[)0,2上的最大值12a =.由递推式()()22f x f x =+，可得()n f x 的最大值122n n a -=.所以数列{}n a 是以2为首项，12为公比的等比数列， 所以21212141212n n n S -⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==--．故选B ． 13. 解析 由题设知66e e 6111d ln ln e ln16n x x x===-=⎰， 所以61(2)x x-的二项展开式的通项为： 6161C (2)()rr r r T x x-+=-=636C 2(1)rr r r x --⋅-.当3r =时为常数项，故常数项为3336C 2(1)160-=-.14. 解析 因为向量a 与向量b 的夹角为120，所以b 在a 上的投影为1||cos120||2=-b b ，问题转化为求||b ， 因为()(2)+⊥-a b a b ，所以()(2)0+⋅-=a b a b ，即22||||40--=b b .故331||4+=b ，所以b 在a 上的投影为3318+-. 15. 解析 设球心为O ，半径为R ，O 到底面的距离为h ，由于PDA △的高即为四棱柱的高为3，底面正方形外接圆半径为2，则222(2)(3)1h h +=-+，化简得33h =，所以2227(2)3R h =+=， 则P ABCD -的外接球表面积为24S R =π=283π. 16. 解析 由题意作图，如图所示.由题意知当ln y x x =+的切线与2(1)y x =+平行时AB 距离最短．()11f x x'=+，令()2f x '=，得1x =，所以切线的方程为12(1)y x -=-. 两直线的距离为|12|355d --==，所以3.sin 2d AB θ==限时训练（二）y=2(x+1)y=ln x+xy=ayxBAO答案部分一、选择题 二、填空题 13.1- 14.()1312n -15.16 16.32 解析部分1. 解析 解法一：对于集合M .解不等式211x>-，得11x -<<， 则有{}11M x x =-<<.所以有{}11M x x x=-R 或剠ð.对于集合N ，解不等式210x -…，得210x -…，则11x -剟，则有{}11N x x =-剟.用数轴表示可得(){}1,1NM =-Rð.故选C.解法二（特殊值检验法）：因为0M ∈，则有()0M ∉R ð. 由此排除A ，B 选项；又因为1M -∉，则()1M -∈R ð. 且1N -∈，从而有()1NM -∈Rð，排除D 选项. 故选C.2.解析 解法一（用除法公式）：()()()1i i1i 1i 1i 2a a a a ++==--+. 又因为1i 1i a b =+-，所以i i 1i 222a a a ab +=+=+. 所以122a ab ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，则2i z =+.其共轭复数2i z =-.故选B.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CBCACADAABCB解法二（用乘法公式）：由1i 1iab =+-， 得()()()()1i 1i 11i a b b b =+-=++-+，所以110a b b =+⎧⎨-+=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，则2i z =+.其共轭复数2i z =-.故选B.3.解析 解法一：因为33log log a b >，所以0a b >>. 对于A ，则有11a b<.故A 错； 对于B ，0a b ->，但a b -不一定大于1，所以()3log 0a b ->不一定成立. 故B 错；对于C ，因为a b >，则有15a ⎛⎫< ⎪⎝⎭15b ⎛⎫< ⎪⎝⎭13b⎛⎫⎪⎝⎭成立.故C 对；对于D ，因为0a b ->，则31a b ->，所以D 错.故选C.解法二（特殊值法）：取2a =，1b =代入可排除A ，B ，D.故选C.4.解析 因为()()22281cos π2cos212sin 121399ααα⎛⎫-=-=--=-+⨯=-+=- ⎪⎝⎭.故选A.5. 解析 由几何体的三视图，画出其立体图形P ABCD -，如图所示.由题可知，顶点P 在底面上的投影是边CD 的中点，底面是边长为4AB =，2BC =的矩形.PCD △的高为22325-=，所以侧面PCD △的面积为145252⨯⨯=.两个侧面PAD △，PBC △的面积相等为12332⨯⨯=. 侧面PAB △的面积为()22145262⨯⨯+=.所以四个侧面中的最大面积为6.故选C.6.解析 由程序框图可知逐次循环结果分别为：①3S =，2n =；②9S =，3n =；③18S =，4n =；④30S =，5n =； 当第④次循环后3024S P =>=，此时结束循环.从而输出30S =.故选A. 评注 如果P 的值很大，则要找到S 与循环次数n 的关系即()312n n S +=. 7.解析 解法一(几何法)：根据题意作图，如图所示.2OC =+a b ，2BA =-a b .因为2=a b ，所以四边形AOBC 是一个菱形， 则其对角线OC BA ⊥，即()()22+⊥-a b a b .故选D. 解法二：因为()()()22222224+-=-=-a b a b a b a b ，由已知2=a b ，则22420-=a a .所以()()22+⊥-a b a b .故选D.8.解析 根据题意作图，如图所示.设圆22650x y x +-+=的圆心为C ，化为标准形式后得()3,0C ，设弦AB 的中点为(),M x y ，由AM BM =，得CM AB ⊥. 取OC 的中点为D ，则1322DM OC ==. D C BAP243322Ob2aCBA所以M 点在以3,02D ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以32为半径的圆上.此圆的方程为2230x y x +-=.联立方程组222230650x y x x y x ⎧+-=⎪⎨+-+=⎪⎩，解得53x =，253y =±. 故弦AB 的中点M 的轨迹方程为2230x y x +-=533x ⎛⎫⎪⎝⎭剟.故选A. 9.解析 作出满足不等式组的可行域D ，如图中阴影部分所示. 则()()42126112444x y x y y z x x x -+-+--⎛⎫===+ ⎪---⎝⎭.令14y z x -'=-，问题转化为求z '的最大值. z '的几何意义为：区域D 内的点(),x y 与定点()4,1P 连线的斜率，则可得最优解为()3,4A --，得max415347z --'==--.所以264x y z x +-=-的最大值为5127+⨯=177.故选A.yxMDCBA O10.解析 解法一:连接11A C ，1DC ，如图所示，则11//AC A C . 又因为11A C ⊂平面11DAC ，所以//AC 平面11DAC . 于是AC 与1DA 的距离就转化为AC 与平面11DAC 的距离. 设所求距离为d ，由等体积法知1111A DA C C DA A V V --=. 则有111111133DA C DA A S d S C D ⋅=⋅△△， 所以()1111121113233324DA A DA C S C D d S ⨯⋅====⨯△△.故选B.解法一的图 解法二的图解法二：连接11A C ，1DC ，1AB ，1B C ，如图所示. 因为11//AC A C ，11//DA CB ，所以平面111//AC D B AC 平面. 于是AC 与1DA 的距离转化为平面11AC D 与平面1B AC 的距离.O yxA -3,-4()y =2-11-32x+3=0C BAC 1A 1B 1DD 1C BAC 1A 1B 1DD 1而这两个平面间的距离为体对角线的13，所以2221311133d =++=. 故选B. 11.解析 因为()π3sin cos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，其最大值为2， 可知2y =与()f x 两个相邻公共点之间的距离就是一个周期， 于是2π2πT ω==，即1ω=.所以()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.令()ππ3π2π,2π622x k k k ⎡⎤+∈++∈⎢⎥⎣⎦Z ， 得()π4π2π,2π33x k k k ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z .故选C. 12.解析 对于①，只有12y x =和3y x =在()0,+∞上是增函数.所以①错；对于②，满足题意的情况有三种.如图所示.于是②错；对于③，因为()f x 为奇函数，所以图像关于原点对称， 而()1f x -的图像是()f x 的图像向右平移1个单位得到的， 所以()1f x -的图像关于点()1,0A 对称，所以③对；对于④，因为22132x x -⎧⎪⎨=⎪⎩…有解312log 2x =+，130<n<m<1mn yx O0<m<1<n mn O x y 131<n<mn m31yxO且()321log 12x x >⎧⎪⎨-=⎪⎩有解13x =+，所以()12f x =有两个实数根，④对. 综上可知，正确的命题有③和④两个.故选B.评注 对于④的判断也可画出图像，结合函数值域和单调性来判断.画图可得()f x 的图像与12y =有2个交点，从而④正确.13.解析 由()()5555551061C 1C n n n n n T ax a x x ---⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令100n -=，得10n =. 所以()55556101C 252252T a a =-=-=.所以1a =-.14.解析 由已知21322121a S a S =+⎧⎪⎨=+⎪⎩①②，由-②①，得()3221222a a S S a -=-=，即323a a =. 得公比323a q a ==，将3q =代入①， 得11321a a =+，得11a =.所以()13131312n n n S ⨯--==-. 15.解析 依题意知()1,1C ，正方形ABCD 的面积为4. 所围成区域（图中阴影部分）的面积为：()121d x x -=⎰3111210333x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭， 所以所求概率为21346P ==.16.解析 依题意作图，如图所示.由双曲线的方程，可得抛物线的焦点为()4,0F ，从而得()4,0E -，8p =，则抛物线方程为216y x =.设A 在准线:4l x =-上的投影为A '，则由抛物线定义有AA AF '=. 已知2AE AF =，从而得2AE AA '=.于是在Rt AA E '△中，得45EAA AEO '∠==∠. 所以直线EA 的方程为y =+4x .由2+416y x y x=⎧⎨=⎩，消去x 得216640y y -+=， 即()280y -=，得8A y =， 所以11883222AEF A S EF y =⋅=⨯⨯=△.限时训练（三十三）答案部分一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ACADCACCDCAB二、填空题13.1214. 5 15. 2 16. 22解析部分1. 解析 集合{}1A x x =-…，{}10B x x =-<<<，()1,0A B =-.故选A .2. 解析 由()11i z z -=+，得()1i 1i z -=+，即1i i 1iz +==-. 故选C .3. 解析 双曲线221kx y -=的渐近线方程为y k x =±.若双曲线的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则()21k ⋅-=-，所以14k =，故双曲线方程为2214x y -=， 4-4A 'FE AOyx此双曲线的离心率52c e a ==.故选A . 4. 解析 5112x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的第三项2223515C 22T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 得第三项的系数为52.故选B. 5. 解析 对于选项A ：若//αβ，m α⊂，n β⊂， 则mn =∅，但不一定//m n ，m 与n 也可能异面；对于选项B ：若,m n α⊂，//m β，//n β，不一定推出//αβ， 如果前提附加mn O =，则//αβ；对于选项D ：若//αβ，//m α，则//m β或m β⊂，因此选项D 错误.故选C. 6. 解析 依题意，当弦AB 取最大值时，直线l 过圆心()2,0C -，则直线l 的斜率34k =，方程为()324y x =+， 即3460x y -+=.故选A.7. 解析 依题意，函数()2sin 0y x ωω=>的周期2π3T =，即2π2π3ω=，得3ω=.故选C. 8. 解析 据三棱锥的三视图，还原几何体P ABC -，且PA ⊥平面ABC ，底面ABC △为等腰三角形，12222ABC S =⨯⨯=△，151522PAB PAC S S ==⨯⨯=△△，12552PBC S =⨯⨯=△， 因此三棱锥的表面积为552525222PAB PAC ABC PBC S S S S +++=+++=+△△△△. 故选C.9. 解析 依题意，从10个球中任取一球，已知它不是白球的情形下，2111P CB A则它是黑球的概率为35.故选D. 10. 解析 依题意，当6i =时输出S 的值.则π3π4π5πcoscos πcos cos cos 02222S =++++=.故选C. 11. 解析 由21cos cos 222A b c A c ++==，即11cos b A c +=+，得cos bA c=. 解法一（正弦定理）：由正弦定理，得sin cos sin BA C=，所以()sin sin cos sin πB C A A C ==-+=⎡⎤⎣⎦()sin sin cos cos sin A C A C A C +=+，因此sin cos 0A C =，得cos 0C =，π2C =. 所以ABC △是直角三角形.故选A.解法二（余弦定理）：由余弦定理，得2222b b c a c bc+-=，整理得222c a b =+，所以ABC △为直角三角形.故选A. 12. 解析 设函数()323f x x x =-上任意一点()()00,x f x ，在点()()0,x f x 处的切线方程为()()()0y f x f x x x '-=-， 即()()()3200002363y x x x x x --=--.若过点()1,t ，则()()()()32320000002363146 3 t x x x x x x =-+--=-+-*依题意，方程()*有三个不等实根.令()32463g x x x =-+-，()()212121210g x x x x x '=-+=--=，得10x =，21x =.当()(),0,1,x ∈-∞+∞时，()0g x '<，函数()g x 在()(),0,1,-∞+∞上单调递减； 当()0,1x ∈时，()0g x '>，函数()g x 在()0,1上单调递增. 因此()g x 的极小值为()03g =-，极大值为()11g =-. 若()t g x =有三个不等实根，则31t -<<-.故选B.13. 解析 由()f x 的反函数为2log y x =，得()2xf x =，则()11122f --==.14. 解析 不等式组表示的区域，如图所示. 当直线z x y =+过点()2,3A 时，z 取得最大值5.15. 解析 依题意，OA OB =，且OA OB ⊥，得0⋅=⎧⎪⎨=⎪⎩a b a b，12OAB S OA OB =△，又()2222222OA OB ==-=+-==a b a b ab a ，所以12222OAB S =⨯⨯=△.16. 解析 设椭圆的左焦点为()1,0F c -，依题意1OF OQ OF ==. 又点O 为12F F 的中点，所以112OQ FF =， 则1QFF △为直角三角形，得1FQ FQ ⊥. 又直线:bl y x c=垂直于FQ ，故1//FQ l ， 所以直线1F Q 的斜率为b c，可得直角顶点()0,Q b ，且π4FQO ∠=，故b c =. 所以椭圆的离心率2222c c e a b c===+.限时训练（四）答案部分一、选择题题号123456789101112yx O22x+y=7CB A-11答案 A D A C C D B B B D A D二、填空题13. {}7,9 14. 14-15. []1,1- 16.11,,A B D 解析部分1. 解析 由()2i 12i i 2i 2i -=-=+，复数对应的点在第一象限.故选A .2. 解析 因为{}n a 是等比数列，所以()()*10n na q q n a +=≠∈N ， 则369,,a a a 成等比数列. 故选D . 3. 解析 对于选项A ：πcos 2sin 22y x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 函数的最小正周期为π且图像关于原点对称； 对于选项B ：πsin 2cos 22y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 函数的最小正周期为π且图像关于y 轴对称； 对于选项C ：πsin 2cos22sin 24y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，函数的最小正周期为π，但其图像不关于原点对称； 对于选项D ：πsin cos 2sin 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，函数的最小正周期为2π，且图像不关于原点对称.故选A .4. 解析 由()23-⊥a b c ，且(),3k =a ，()1,4=b ，()2,1c =， 得()22360k --=，解得3k =.故选C.5. 解析 程序框图的执行过程如下：1,9s k ==；9,810s k ==；988,710910s k =⨯==；877,610810s k =⨯==，循环结束.故可填入的条件为710s >.故选C. 6. 解析 p 是真命题，q 为假命题，故p ⌝为假命题，q ⌝为真命题.从而p q ∧为假，p q ⌝∧⌝为假，p q ⌝∧为假，p q ∧⌝为真.故选D.7. 解析 该几何体的直观图如图所示，易知该几何体的表面积是由两个直角三角形，两个直角梯形和一个矩形组成的. 则其表面积()()25525411343535602222S +⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+++⨯=.故选B.8. 解析 设1PF m =，2PF n =，依题意不妨设0m n >>.于是3294m n b m n a mn ab ⎧⎪+=⎪-=⎨⎪⎪=⎩，所以9432m n m nmn +-=⋅⋅，得3m n =或13m n =-（舍）.所以a n =，43b n =，53c n =，故53c e a ==.故选B. 9. 解析 先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有3334A A 144=（种），再剔除小品类节目相邻的情况，共有322322A A A 24⋅⋅=（种），于是符合题意的排法共有14424120-=（种）.故选B.10. 解析 依题意，抛物线()220y px p =>的准线方程为2x =-，2543所以22p-=-，得4p =，因此抛物线的方程为28y x =. 设过点()2,3A -的直线方程为()32y k x -=+，联立直线方程与抛物线方程，得()2328y k x y x⎧-=+⎪⎨=⎪⎩， 消x 建立关于y 的一元二次方程得2328y y k ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即2816240ky y k -++=，()64416240k k ∆=-+=，得22320k k +-=，解得12k =或2-（舍）. 因此直线与抛物线相切于点()8,8B ，则直线BF 的斜率43k =.故选D. 11. 解析 在ABC △中，由πA B C ++=， 得πA C B +=-，πA B C +=-，则()()1sin 2sin sin 2A ABC C A B +-+=--+， 可变形为()()1sin 2sin π2sin π2A B C C +-=--+⎡⎤⎣⎦， 即1sin 2sin 2sin 22A B C ++=. ()()1sin 2sin 2sin 22sin cos 2sin cos 2A B C A B A B C C ++=+-+=⇒()()12sin cos cos 2C A B A B --+=⎡⎤⎣⎦，即14sin sin sin 2A B C =，得1sin sin sin 8A B C =， 又[]2211sin 2sin sin sin 1,222244ABC c abc R S ab C ab R A B C R R ==⋅===∈△， 故248R剟，得2,22R ⎡⎤∈⎣⎦.所以338sin sin sin 8,162abc R A B C R ⎡⎤==∈⎣⎦，知C ，D 均不正确.()38bc b c abc R +>=…，故A 正确.故选A.12.解析 设()()e21xg x x =-，()h x ax a =-，可转化成存在唯一的整数0x ，使得()()g x h x <． 因为()()'e21xg x x =+，所以当12x <-时，()'0g x <，()g x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减；当12x >-时，()'0g x >，()g x 在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 因为当0x =时，()01g =-，()01h a =->-，所以()()00g h <． 又因为存在唯一的整数0x ，使得()()g x h x <，所以()()()()1111g h g h ⎧⎪⎨--⎪⎩……，即e 032ea ⎧⎪⎨--⎪⎩……，解得32e a ….又因为1a <，所以312ea <…．故选D ．13. 解析 {}4,6,7,9,10U A =ð，(){}{}{}4,6,7,9,101,3,5,7,97,9U A B ==ð.14. 解析 ()()222log log2log f x x x =⋅+=()221log 22log 2x x += ()222log log x x +.令2log t x =∈R ，则2,y t t t =+∈R ，函数的最小值为14-.因此函数的最小值为14-. 1Oyxy=e x (2x-1)y=ax-a15. 解析 解法一：依题意，若圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=，如图所示.因为OMN OMN '∠∠…，所以45OMN '∠…，因此2sin 2ON OMN OM''∠=…，即122OM …， 得2OM …，故212x +…，解得011x -剟.所以0x 的取值范围是[]1,1-.解法二：在OMN △中，由45OMN ∠=，据正弦定理得sin 45sin ON OM ONM=∠，即sin 2sin sin 45ONMOM ONM ∠==∠.又()0,135ONM ∠∈，所以02OM <…，得2012x +…，解得011x -剟.所以的取值范围是[]1,1-.16. 解析 依题意，平面DEP 可能经过正方体的顶点是1A ，1B ，D .因为平面1A DE 与直线1BD 相交，平面1B DE 与直线1BD 相交.且1//BD 平面1C DE .限时训练（五）答案部分一、选择题题号123456789101112N 'NM O yx答案 D C B A A B D C D A C C二、填空题13. 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦（或30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ ） 14. 43 15. 8 16.[)1,12,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭解析部分1. 解析 依题意，A B ⊆，得2a ….故选D .2. 解析 由函数()244xy a a a =-+是指数函数，得244101a a a a ⎧-+=⎨>≠⎩且，得3a =. 故选C . 3. 解析 将α，β理解为两个不同的平面时，其中一个平面（如β）内的两条相交直线()12,l l 分别平行于另一个平面()α内的两条直线（此时m ，n 必为两条相交直线）是这两个平面（α与β）平行的一个判定条件，指出一对直线相交必不可少.由此，故选B . 4. 解析 在等差数列{}n a 中，()()*2121n n S n a n -=-∈N ，故95539951559S a S a ==⨯=.故选A. 5. 解析 不等式组表示的可行域如图所示.yx表示区域内的点(),P x y 与坐标原点()0,0O 所在直线的斜率， 则OC OPOA k k k 剟.联立27y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得59,22C ⎛⎫⎪⎝⎭.联立170x x y =⎧⎨+-=⎩，得()1,6A .所以965OPk 剟.故选A.x+y-7=0yxCB AO1-226. 解析 若A ，B ，D 三点共线，则//AB BD . 又()()121212322BD CD CB =-=--+=-e e e e e e ， 设AB BD λ=，可得()12122k λ-=-e e e e ，得2k =.故选B.7. 解析 由()π3sin cos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， 且()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则2ππT ω==，所以2ω=，因此()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.令ππ22π+,62x k k +=∈Z ，得ππ6x k =+，k ∈Z . 当0k =时，π6x =为函数()f x 的一条对称轴.故选D. 8. 解析 由正三棱柱的三视图还原几何体，如图所示.据侧视图知，底面正三角形的高为3，则其边长为2，11123234ABC A B C ABC V S h h -=⋅=⨯⨯=△，1h =.故选C.9. 解析 对于选项A ：命题“若0a =，则0ab =”的否命题是： “若0a ≠，则0ab ≠”.所以选项A 是真命题. 对于选项B ：若“p ⌝”是真命题，则p 是假命题.又“p 或q ”是真命题，所以q 是真命题.所以选项B 是真命题.对于选项C ：若命题2:,10p x x x ∃∈-+<R ， 则2:,10p x x x ⌝∀∈-+R ….所以选项C 是真命题.C 1B 1A 1CBA对于选项D ：由1sin 302θθ=⇒=/.反之，若30θ=，则1sin 2θ=. 因此“1sin 2θ=”是“30θ=”的必要不充分条件.故选D. 10. 解析 依题意，函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为π， 得2ππT ω==，故2ω=，()πsin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 若将函数()f x 的图像通过平移一定长度得到cos2y x =的图像， 则()00ππsin 2sin 22cos244y x x x x x ⎡⎤⎛⎫=++=++= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 则0ππ242x +=，所以0π8x =. 因此将函数()f x 的图像向左平移π8个单位长度后，得到函数()cos2g x x =的图像.故选A. 11. 解析 依题意，函数()f x 的图像关于直线1x =对称. 当1x <时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当1x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减. 因此()()02a f f ==，()()2log 83c f f ==. 由223<<，得()()()223ff f >>，所以b a c >>.故选C.12.解析 依题意，MP PQ MP d ++…（P ，平面ABCD ）=MP d +（P ，直线AC ）.本题将MP PQ +的最小值转化为在1AC 上的动点P 到定点M 与动点N ()N AC ∈距离之和的最小值.如图所示，过点M 作MN AC ⊥于点N ，33sin 6024MN ==.故选C ． 13. 解析 依题意，()12log f x x =，则()()22123log 3f x x x x -=-.函数()212log 3y x x =-的单调递减区间，即23y x x =-的单调递增区间是30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦（或30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭）. 14. 解析 由πtan 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得tan 121tan αα+=-，故1tan 3α=. ()()()13tan tan 43tan tan 11tan tan 3133αβαβαβααβα-+-=+-===⎡⎤⎣⎦+++⨯. 15. 解析 ()1cos420cos 36060cos602a ==+==，因此()121,02log ,0x x f x x x ⎧⎛⎫<⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪⎪⎩…，221log 6log 62121111log log 2284642f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.16. 解析 依题意，函数()21xy a x =-<至多有一个零点. 若函数()f x 有两个零点，则有两种情形：①函数2,1xy a x =-<无零点，函数()()()431y x a x a x =--…有两个零点.则满足20131a a a -⎧⎪⎨⎪⎩………，得2a ….②函数2,1xy a x =-<，有1个零点，函数()()()431y x a x a x =--…有一个零点.Q P111M 21D 1DB 1A 1C 1ABCN1133MCAC 1B 1则满足02131a a a <<⎧⎪<⎨⎪⎩<…，得113a <?. 综上，若函数()f x 恰有两个零点，则实数a 的取值范围是[)1,12,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.限时训练（三十六）答案部分一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ABDDDDAABDDD二、填空题13. 240- 14.24 15. 20π 16.8-解析部分1. 解析 {}3,4,5,7,8,9U AB ==，{}4,7,9A B =，则(){}3,5,8U AB =ð.故选A . 2. 解析 由2i 1iz=++，得()()1i 2i 13i z =++=+，所以13i z =-. 故选B . 3. 解析 因为111x x +<-，所以1111x x +-<<-，即111111x x x x +⎧>-⎪⎪-⎨+⎪<⎪-⎩，解得0x <.故选D . 4. 解析 依题意，若选出的1名女同学来自于甲组，则有112536C C C 225=（种）选法； 若选出的1名女同学来自于乙组，则有211562C C C 120=（种）选法.所以选出的4人中恰有1名女同学的不同选法有225120345+=（种）.故选D. 5. 解析 由()()()22cos ,-⋅-=-⋅++=-++=a cbc ab c a b c c c a b a b c 12cos ,-+a b c .又[]cos ,1,1+∈-a b c ，当cos ,1+=a b c 时，即向量+a b 与c 的夹角为0时，取得最小值12-.故选D. 6. 解析 依题意，不妨设1AA a =，则AB AC BC a ===，32AD a =.又1A D ⊥平面ABC ，所以1A D AD ⊥. 在1Rt AA D △中，1AA a =，32AD a =，则12aA D =，122AB a =. 在1AA B △中，22222211121223cos 224a a a AA +AB A B A AB =AA AB a ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭∠==⋅. 故选D.7. 解析 依题意，8πππ,32k k ϕ+=+∈Z ，得13ππ6k ϕ=-，13ππ6k ϕ=-. 令2k =得，min π6ϕ=.故选A. 8. 解析 如图所示，BCF ACF BC S S AC=△△，过点A 作1AA y ⊥轴于点1A ，过点B 作1BB y ⊥轴于点1B .由11BB C AAC △∽△，得111212pBF BC BB BF p AC AA AF AF --===--.故选A.DC 1B 1A 1CBAB 1A 1FCBAy xO9. 解析 设切点坐标为()00,1P x x +，依题意，()000ln 111x a x x a+=+⎧⎪⎨=⎪+⎩，因此01x =-，所以切点坐标为()1,0-，代入曲线()ln y x a =+，得()0ln 1a =-，解得2a =.故选B.10. 解析 据几何体的三视图还原几何体，被正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥1B AB C -后，剩余的几何体，如图所示，则剩余几何体的体积为11511326-⨯⨯=，所以截去的部分体积与剩余体积的比值为1:5.故选D.11. 解析 依题意()1f x +与()1f x -都是奇函数，则()()11f x f x -+=-+， 且()()11f x f x --=--，即()()2f x f x =--+，()()2f x f x =---， 得()()22f x f x -+=--，即函数()f x 的周期4T=.因此()3f x +是奇函数.故选D.12.解析 依题意，双曲线1C 的离心率222121c a b b e a a a+===+，若将a ，b 同时增加()0m m >个单位长度，得到()()2221b m e a m +=++.当a b >时，()0b m b m a m a +>>+；当a b <时，()0b m bm a m a+<>+. 所以当a b >时，21e e >，当a b <时，12e e >.故选D ． 13. 解析 由二项式定理知，()10x y -展开式的通项公式为：()()101011010C 1C rrr r r r rr T x y x y --+=-=-.令3r =，得73x y 的系数为()33101C -；D 1DB 1A 1C 1A BC令7r =，得37x y 的系数为()77101C -，则73x y 的系数与37x y 的系数之和为371010C C 240--=-.14. 解析 由等差数列的性质知()*2121,2,n n S n a n n -=-∈N …，得95972S a ==，所以58a =，则2495324a a a a ++==.15. 解析 若求解球的表面积，则需求解球的半径.球心在直棱柱上、下底面中心连线的中点O 处.在ABC △中，由余弦定理得222cos12023BC AB AC AB AC =+-⋅⋅=，设R 在ABC △外接圆的半径，由正弦定理得2324sin12032BC R ===，故2R =.因此球的半径为22215OB =+=，所以球的表面积为24π20πr =.16. 解析 44332222tan 2tan 2tan 22tan 2tan tan 1tan 1tan 1tan x x x y x x x x x x-+==⋅===--- ()42221tan 1tan x x---()()22222121tan 21tan 1tan tan 1x x x x ⎡⎤=-+=-++=⎢⎥--⎣⎦()2212tan 12tan 1x x ⎡⎤--++⎢⎥-⎣⎦.因为ππ42x <<，所以tan 1x >，故2tan 10x ->， 由基本不等式得()222211tan 12tan 12tan 1tan 1x x x x -+-⋅=--…（当且仅当tan 2x =时取“=”），所以y 的最大值为8-.限时训练（七）参考答案答案部分一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CBAACDDACADD二、填空题13.3 14.84 15.5 16. 32,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭解析部分1. 解析 (0,2)A =，(,1)(1,)B =-∞-+∞，故[]1,1B =-R ð.由数轴分析可得(]0,1AB =R ð．故选C.2. 解析 根据题意可设i z a =+，则21z a =+.因为12a -<<，则204a <…，所以)1,5z ⎡∈⎣．故选B ．3. 解析 如图所示，从图中5个点中任意选出2个点组成一条线段，有25C 10=（种）不同的选择方案，其中距离小于正方形边长的有4种， 则距离大于或等于正方形边长的有6种，其概率为P =63105=.故选A.4. 解析 当1k =时，易推知OAB △的面积为12，充分性成立； 当OAB △的面积为12时，由题可得1OA OB ==， 且11sin 22S OA OB AOB =∠=，所以2AOB π∠=， 由图形性质转化到直线l 到圆心O 的距离d 为22， 即21221d k ==+，解得1k =±，必要性不成立.故选A. 5. 解析 当,36x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，22,333x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，EDCAB故不在sin y x =的某一单调增区间内，故A 错误；44cos sin y x x =-()()2222cos sin cos sin x x x x =-+22cos sin x x =-cos2x =，即T =π，故B 错误； 把6x π=代入cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得0y =，故C 正确；正切函数没有对称轴，仅有对称中心，故D 错误. 故选C.6. 解析 分析知该几何体为圆柱的一半，故体积为()2122V =⨯π⨯1⨯=π.故选D. 7. 解析 执行程序框图，如表所示.0i = 1S = 2A =2015i …，继续 1i =2S =12A =2015i …，继续 2i = 1S = 1A =-2015i …，继续 3i = 1S =- 2A =2015i …，继续 4i =2S =-12A =2015i …，继续 5i =1S =- 1A =- 2015i …，继续 6i =1S =2A =2015i …，继续……………………因此A 随着i 的变化而变化，且呈现以3为周期的循环， 故当20166723i ==⨯时，退出循环，因此2A =.故选D. 8. 解析 如图所示，易知25a c c +=，即251251c e a +===-.故选A.9. 解析 由题意得0n m <<，故根据2xy =在R 上单调递增，A 错误； 作差比较或根据函数1xy x =+在()1,-+∞上单调递增，B 错误； 由题意得110m n<<，根据ln y x =在()0,+∞上单调递增，C 正确； 根据3y x x =+在R 上单调递增，D 错误.故选C. 评注 问题的本质就是研究函数的单调性.10. 解析 在()0f f x =⎡⎤⎣⎦中令()t f x =，则()0f t =. 若0a =，验证易知此时不符合题意；若0a ≠，分0a >，0a <讨论其图像大致如图所示．由()0f t =知，()1t f x ==，问题转化为()1t f x ==有且仅有一个实数解. 因此当0a <时，此式恒成立；当0a >时，()f x 与y 轴的交点()0,a 必须在1y =的下方，故01a <<. 综上所述：()(),00,1a ∈-∞.故选A.xyaaa <0a >0123–1–2–3123–1–2–3OxO yc2a +c 2c11. 解析 分解问题，211y x --…21,123,1y x x y x x -+<⎧⇔⎨-⎩…厖；22220x y x y --+⇔…()()22110x y ---⇔… ()()20x y x y +-⇔-… 020x y x y -⎧⎨+-⎩……或020x y x y -⎧⎨+-⎩……. 画出可行域，如图所示，分析知点P 到直线21y x =-+的距离为PQ 的最小值，故min 213555PQ --==.故选D. 评注 ()()22110x y ---…也可以等价为11x y --…，采用分类讨论解决.12. 解析 解法一：以点A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系. 设()00A ，，BAC θ∠=，则()6cos ,6sin B θθ，()10,0C . 取AC 的中点D ，连接OD ，则OD AC ⊥. 因为OD OA AD =+12AC xAB y AC =--=12y AC xAB ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 故OD AC ⋅12y AC xA AC B =⎡⎤⎛⎫--⋅⎪⎢⎥⎝=⎭⎣⎦212A C C y A xAB ⎛⎫-- ⎪⎝⎭⋅=110060cos 2y x θ⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭0=，即c 0106os 5x y θ-=-，把2105x y +=代入化简得6cos 02x x θ-=，得0x =或1cos 3θ=. ①当0x =时，12y =， 所以12AO AC =，所以O 点与D 点重合， xyy =-x +2y =xy =-2x +1y =2x-3123–1–21234–1O PQ即ABC △为直角三角形，故168242S =⨯⨯=； ②当1cos 3θ=时，22sin 3θ=， 故1sin 2022S AB AC θ=⨯⨯⨯=. 综上所述，ABC △的面积为24或202.故选D.解法二（构造法）：延长AB 到点E ，使52AE AB =，取AC 中点D . 因为2512522x AO AB y AC ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭225AE xy AD =+， 又因为2105x y +=，即2215xy +=，因此O ，E ，D 三点在一条直线上. 若O 与E 重合，则与O 在AB 的垂直平分线上矛盾；若O 与D 重合，即DA DB DC ==，所以ABC △为直角三角形， 且2B π∠=，故168242S =⨯⨯=； 若O 不与D ，E 重合，则由三点共线知ED AC ⊥. 因为5AD =，15AE =，故1cos 3A =， 此时22sin 3A =，故1sin 2022S AB AC A =⨯⨯⨯=. 综上所述，ABC △的面积为24或202.故选D.xy(10,0)(6cos θ,6sin θ)AB OC D13. 解析 133s i n 242S b c A c ===，故2c =. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-11421232=+-⨯⨯⨯=，故3a =. 14. 解析 展开式的第1r +项为()7171C 2rrrr T x x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭7727C 2r r rx --=， 故令723r -=-，即5r =，所以31x的系数为5757C 221484-=⨯=． 15. 分析 通过常规的配凑无法实现，故尝试计算几个观察规律. 解析 因为111n n n a a a --⋅=-，且10n a -≠，故111n n n a a a ---=， 因此25a =，345a =，414a =-，55a =，…， 故数列{}n a 是以3为周期的数列．又因为201536712=⨯+，因此20155a =． 16.解析 由题意得()122M x λλλ=+-⨯=-+， 故12,22M λλλ⎛⎫---⎪-⎝⎭，[]0,1λ∈. ()1ON OA OB λλ=+-()()31,012,2λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭332,22λλ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.3312222MN λλλ=--++-111222λλ=--+-()1132222λλ=-+--．令2t λ=-，则[]1,2t ∈，问题转化为1322t k t +-…在[]1,2t ∈恒成立时，求k 的取值范围． A ECBDO令13()22t g t t =+-，因为()1322t g t t =+-在1,2⎡⎤⎣⎦上单调递减，在2,2⎡⎤⎣⎦上单调递增，0故()()min 3222g t g==-，()10g =，()20g =，故()max 0g t =，因此1330,2222t t ⎡⎤+-∈-⎢⎥⎣⎦，故32,2k ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭.限时训练（八）答案部分一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案AABBCCBCBABC二、填空题： 13．335 14．2 15.2201516. ①④ 解析部分1.解析 首先，注意到集合A 代表元素为y ，也就是23y x =-+的值域，故(],3A =-∞.集合B 代表元素为x ，故()1,5B =-，则(),5A B =-∞，(]1,3A B =-，所以()(](),13,5ABA B =-∞-ð.故选A.2.解析 利用复数运算性质1122z z z z =和z z =， 可得12015201520151221155z z z z ===.故选A.3.解析 首先，根据奇函数定义可排除C ；又3y x x =-，231y x '=-不是恒大于0，故排除D ；又A 虽是奇函数，但不满足在定义域上始终增（是分两个区间单调递增），故排除A ；B 选项是奇函数，可利用判定奇函数的等价条件()()0f x f x +-=来判断，先求导，再利用对称性判断单调性，只判断0x >部分即可. 故选B.4.解析 通过两相邻对称轴间距为π2，可得π2π2T =⨯=，故2π=2Tω=. 将图像平移后的新函数为πsin 24y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，该函数为偶函数， 则πππ42k ϕ+=+，ππ4k ϕ=+，k ∈Z . 所以ϕ的一个可能取值为π4.故选B. 5.解析 ①无必然联系，原命题为真，则它的逆否命题为真.故①错误； ②转化成逆否命题“若4a =且4b =，则8a b +=”为真命题， 故其逆否命题，即原命题也为真. 故②错误； ③2x >可推出112x <，但112x <未必有2x >（还可以0x <）.故③正确； ④全称命题的否定，先将“任意”变为“存在”，再否定结论，故④正确.综上可得，③④正确.故选C.6.解析 由程序框图可得12345120S =⨯⨯⨯⨯=.故选C.7.解析 11517222828225x ++++==，21618232627225x ++++==，12x x =. 因为()()()()()2222215221722222228222822146-+-+-+-+-=，又()()()()()222221622182223222622272294-+-+-+-+-=， 所以12s s >.故选B.8.解析 先考虑特殊元素.甲、乙放在两端，有22A 种站法. 再考虑丙、丁绑定成一体，有22A 种站法. 将丙、丁整体与剩下人排，有33A 种站法.故由分步乘法计数原理，共有223223A A A 24⋅⋅=（种）站法. 故选C. 9.解析 令1x =，()1001210211a a a a ⨯-=++++ ①令1x =-，()1001210211a a a a ⨯--=-+++⎡⎤⎣⎦②。
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客观题限时满分练(一)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg x }，集合B ＝{y |y ＝x ＋1}，那么A ∩(∁U B )＝( ) A ．∅ B ．(0，1] C ．(0，1)D ．(1，＋∞)解析：A ＝{x |x ＞0}＝(0，＋∞)，又因为y ＝x ＋1≥1，所以B ＝{y |y ≥1}＝[1，＋∞)，所以A ∩(∁U B )＝(0，1)．答案：C2．(2018·福州五校联考)若复数1－b i 2＋i (b ∈R)的实部与虚部相等，则b 的值为( )A ．－6B ．－3C ．3D ．6解析：1－b i 2＋i ＝（1－b i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝2－b －（2b ＋1）i 5.依题意得，2－b 5＝－（2b ＋1）5，解得b ＝－3.答案：B3．函数y ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数解析：y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x ，是周期为π的奇函数． 答案：A4．(2018·日照模拟)设a ＝20.1，b ＝lg 52，c ＝log 3910，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b ＞c ＞aB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c解析：因为a ＝20.1∈(1，2)，b ＝lg 52∈(0，1)，c ＝log 3 910＜0，所以a ＞b ＞c . 答案：D5．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，(a －b )·a ＝7，则a 与b 的夹角为( )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6解析：向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，(a －b )·a ＝7. 可得a 2－a·b ＝4－a·b ＝7，可得a·b ＝－3，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝－32×3＝－12，由0≤〈a ，b 〉≤π，得〈a ，b 〉＝2π3.答案：C6．“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：由f (x )＝m ＋log 2x ＝0(x ≥1)， 得m ＝－log 2x ≤0，所以“m ＜0”是“函数f (x )(x ≥1)存在零点”的充分不必要条件． 答案：A7．(2018·武昌调研)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 为( )A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4解析：由三视图知，商鞅铜方升为一圆柱和一长方体的组合体，依题意，得(5.4－x )×3×1＋π⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＝12.6，解得x ＝1.6.答案：B8．已知在递增的等差数列{a n }中，a 1＝3，a 2－4，a 3－2，a 7成等比数列，则S 10＝( ) A ．180 B ．190 C ．200 D ．210 解析：设等差数列{a n }的公差为d (d ＞0)，因为a 2－4，a 3－2，a 7成等比数列，所以(a 3－2)2＝(a 2－4)a 7，即(2d ＋1)2＝(d －1)(3＋6d )，解得d ＝－12(舍去)或d ＝4.所以S 10＝3×10＋10×92×4＝210.答案：D9．(2018·青岛调研)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4的两个动点，|AB →|＝2，OC →＝13OA →＋23OB →，若M 是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( )A. 3 B ．2 3 C ．2 D ．3解析：由OC →＝13OA →＋23OB →，又OM →＝12(OA →＋OB →)，所以OC →·OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13OA →＋23OB →·12(OA →＋OB →)＝16(OA →2＋2OB →2＋3OA →·OB →)，又△OAB 为等边三角形， 所以OA →·OB →＝2×2cos 60°＝2. 因此OC →·OM →＝16(22＋2×22＋3×2)＝3.答案：D10．下列命题，其中说法错误的是( ) A ．双曲线x 22－y 23＝1的焦点到其渐近线距离为 3B ．若命题p ：∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ≥2，则¬p ：∀x ∈R ，都有sin x ＋cos x ＜2C ．若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题D ．设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得a ⊂α，且b ∥α 解析：双曲线x 22－y 23＝1的焦点(5，0)到其渐近线3x －2y ＝0的距离为d ＝|3·5－0|3＋2＝3，故A 正确．若命题p ：∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ≥2，则¬p ：∀x ∈R ，都有sin x ＋cos x ＜2，B 正确．若p ∧q 是假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，故C 不正确．设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，由a ，b 是互不垂直的两条异面直线，把它放入正方体中，如图，则存在平面α，使得a ⊂α，且b ∥α，故D 正确．答案：C11．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，且其离心率e ＝32，则该双曲线的方程为( )A.x 24－y 25＝1B.x 25－y 24＝1C.y 24－x 25＝1 D.y 25－x 24＝1 解析：易知抛物线y 2＝8x 的焦点为(2，0)，所以双曲线的右顶点是(2，0)，所以a ＝2.又双曲线的离心率e ＝32，所以c ＝3，b 2＝c 2－a 2＝5，所以该双曲线的方程为x 24－y 25＝1.答案：A12．定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足x 2f ′(x )＋1＞0，f (1)＝6，则不等式f (lg x )＜1lg x＋5的解集为( ) A ．(10，10) B ．(0，10) C ．(10，＋∞)D ．(1，10)解析：设g (x )＝f (x )－1x －5，则g ′(x )＝f ′(x )＋1x 2＝x 2f ′（x ）＋1x2＞0，故函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝0，故g (x )＜0的解集为(0，1)，即f (x )＜1x＋5的解集为(0，1)．由0＜lg x ＜1，得1＜x ＜10，则所求不等式的解集为(1，10)． 答案：D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填写在各小题的横线上．)13．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤2表示的平面区域的面积为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影所示，则点A (－2，2)，B (2，－2)，C (2，10)，所以平面区域面积为S △ABC ＝12|BC |·h ＝12×(10＋2)×(2＋2)＝24.答案：2414．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫55x 2＋1x 6的展开式中的常数项为m ，则∫m 1x 2d x ＝________．解析：依题意m ＝T 5＝C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝3，则∫m 1x 2d x ＝∫31x 2d x ＝x 33|31＝263.答案：26315．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________． 解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程是x ＝－p2，双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点F 1(－2，0)．因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，所以－p2＝－2，解得p ＝2 2.答案：2 216．(2018·全国大联考)2017年吴京执导的动作、军事电影《战狼2》上映三个月，以56.8亿震撼世界的票房成绩圆满收官，该片也是首部跻身全球票房TOP100的中国电影．小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《战狼2》，并把标识分别为A 、B 、C 、D 的四张电影票放在编号分别为1、2、3、4的四个不同盒子里，让四位好朋友进行猜测：甲说：第1个盒子里面放的是B ，第3个盒子里面放的是C ； 乙说：第2个盒子里面放的是B ，第3个盒子里面放的是D ； 丙说：第4个盒子里面放的是D ，第2个盒子里面放的是C ； 丁说：第4个盒子里面放的是A ，第3个盒子里面放的是C . 小明说：“四位朋友，你们都只说对了一半．” 可以推测，第4个盒子里面放的电影票为________．解析：甲说：“第1个盒子里放的是B ，第3个盒子里放C ”，(1)若第1个盒子里放的是B 正确，则第3个盒子里放C 错误，由乙知，第3个盒子放D 正确，结合丙知第2个盒子里放C ，结合丁，第4个盒子里面放的是A 正确．(2)若第1个盒子放的是B 错，则第3个盒子里放C 正确．同理判断第4个盒子里面放的是D .故可以推测，第4个盒子里放的电影票为A或D. 答案：A或D。