垂径定理汇报课学案
九年级数学上册《垂径定理》教案、教学设计
4.通过解决实际问题，使学生认识到数学在生活中的重要作用，增强学生的社会责任感。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了圆的基本概念和相关性质，能运用这些知识解决一些简单问题。但在垂径定理这一部分，学生可能会在理解与应用上存在一定的困难。因此，在教学过程中，要注意以下几点：
-在复杂问题中，如何识别和应用垂径定理，以及如何将垂径定理与圆的其他性质相结合解决综合问题。
（二）教学设想
1.教学策略：
-采用探究式教学法，引导学生通过观察、猜想、验证、总结的学习过程，自主发现垂径定理。
-利用多媒体和实物模型辅助教学，增强学生的直观体验，帮助学生建立起对圆的几何直觉。
-设计梯度性问题，由浅入深，逐步引导学生掌握垂径定理的运用，提高学生的解题技巧。
-总结反思：引导学生总结垂径定理的特点和应用方法，反思学习过程中的困惑和收获。
3.教学评价：
-采用形成性评价和终结性评价相结合的方式，关注学生的学习过程和结果。
-通过课堂问答、小组讨论、课后作业、阶段测试等多种形式，全面评估学生对垂径定理的理解和应用水平。
-鼓励学生自我评价和同伴评价，培养学生的自我反思能力和批判性思维。
3.关注学生的情感态度，激发学习兴趣，培养克服困难的意志。
4.突出数学与生活的联系，使学生认识到数学知识在实际生活中的重要性。
在此基础上，教师应制定针对性的教学策略，帮助学生在掌握垂径定理的基础上，提高解决实际问题的能力，培养他们热爱数学、勇于探索的精神。
五、作业布置
为了巩固学生对垂径定理的理解和应用，以及提高他们的解题技能，特此布置以下作业：
1.学生在理解垂径定理时，可能会对定理的证明过程感到困惑决问题时，可能会对如何找出垂径和弦的关系感到迷茫。教师应通过典型例题，帮助学生总结解题方法，提高解题能力。
垂径定理 （共21张PPT）学案
3.3.2垂径定理导学案一、教材79页想一想垂径定理的逆命题是什么？已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP.求证：CD⊥AB，⌒AC=⌒BC师生共同归纳定理1： . 探索:平分弧的直径垂直于弧所对的弦。
已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，⌒AC=⌒BC 求证：CD⊥AB归纳出：定理2：。
二、教材79页例题例3、赵州桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为 37.02 m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m, 求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.01m).1．下列命题中，正确的是( )A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧2．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( )A．8 B．2 C．10 D．53．已知⊙O的半径为2 cm，弦AB长2√3 cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为( )A． 1 cm B．2 cm C.√2cm D.√3 cm【方法宝典】利用垂径定理推论进行解答即可。
1.如图所示，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为().A.10cmB.16cmC.24cmD.26cm2.杭州市钱江新城，最有名的标志性建筑就是“日月同辉”，其中“日”指的是“杭州国际会议中心”，如图所示为它的主视图.已知这个球体的高度是85m，球的半径是50m，则杭州国际会议中心的占地面积是().A.1275πm2B.2550πm2C.3825πm2D.5100πm23.如图所示，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O ，另一边所在直线与半圆相交于点D ，E ，量出半径OC=5cm ，弦DE=8cm ，则直尺的宽度为( ).A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm4.如图所示，将一个半径为5cm 的半圆O 折叠，使经过点O ，则折痕AF 的长度为( ).A.5cmB.52cmC.53cmD.103cm5.如图所示，在⊙O 中，AB ，AC 是互相垂直的两条弦，OD⊥AB 于点D ，OE⊥AC 于点E ，且AB=8cm ，AC=6cm ，那么⊙O 的半径OA 长为 ．6.如图所示，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60m ，拱高PD=18m.(1)求圆弧所在的圆的半径r 的长.(2)当洪水泛滥到跨度只有30m 时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4m ，即PE=4m 时，是否要采取紧急措施？参考答案： 当堂检测：1．C 2.A 3.C 4.C5．5cm6．(1)如答图所示，连结OA.由题意得AD=21AB=30(m)，OD=(r-18)(m).在Rt△ADO 中，由勾股定理得r 2=302+(r-18)2，解得r=34.∴圆弧所在的圆的半径r 的长为34m.。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标：让学生掌握垂径定理的内容及其应用。
1.2 过程与方法目标：通过观察、分析、推理等方法，引导学生发现垂径定理。
1.3 情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的观察能力和思考能力。
第二章：教学内容2.1 教材分析：本节课主要通过探究圆中的性质，引导学生发现垂径定理。
2.2 学情分析：学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本性质和几何图形的观察分析能力。
第三章：教学过程3.1 导入：通过展示一些与圆有关的实际问题，引发学生对圆的性质的思考。
3.2 新课导入：引导学生观察圆中的垂径关系，引导学生发现垂径定理。
3.3 讲解与演示：通过几何画板或实物模型，讲解垂径定理的内容，并展示其应用。
3.4 练习与讨论：设计一些练习题，让学生巩固垂径定理的理解，并进行小组讨论。
第四章：教学策略4.1 教学方法：采用问题驱动法、观察分析法、小组合作法等教学方法。
4.2 教学媒体：几何画板、实物模型、PPT等。
第五章：教学评价5.1 评价标准：学生能够正确理解垂径定理，能够运用垂径定理解决实际问题。
5.2 评价方式：课堂问答、练习题、小组讨论等。
第六章：教学资源6.1 教具准备：几何画板、实物模型、PPT、练习题等。
6.2 教学环境：教室环境舒适，学生座位有序，教学设备齐全。
第七章：教学步骤7.1 回顾圆的性质：回顾已学过的圆的性质，如圆的周长、直径等。
7.2 观察垂径关系：引导学生观察圆中的垂径关系，发现垂径定理。
7.3 讲解垂径定理：详细讲解垂径定理的内容，解释其含义和应用。
7.4 演示应用实例：通过几何画板或实物模型，展示垂径定理的应用实例。
7.5 练习与巩固：设计一些练习题，让学生运用垂径定理解决问题，巩固所学知识。
第八章：作业布置8.1 设计一些相关的练习题，让学生巩固垂径定理的理解。
8.2 鼓励学生自主探究，寻找生活中的圆的性质应用，增强对数学的应用意识。
垂径定理学案
B C=C D=D E(5题图）(1---4题图）D 圆的对称性 （垂径定理）学习目标：1.探索并了解圆的对称性以及垂径定理。
2.通过对垂径定理以及推论的探索，加强推理能力。
3.会利用垂径定理及其推论，解决圆中的有关计算问题 。
学习重点，难点：垂径定理及其推论的探索及应用。
学习过程：一、 上节知识回顾：1、弦AB 等于圆的半径，则弦AB 所对的圆心角为＿＿。
图2图12、 如图1，AB 是直径，∠BOC=40°，则∠AOE=＿＿。
3、 如图2，在⊙O 中 ，弧AB=弧AC,∠B=70°，则∠C=＿＿，∠A=＿＿。
二、学习（自学）过程：1.圆既是＿＿＿＿＿图形，又是＿＿＿＿图形，它有＿＿条对称轴，它的对称轴是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
2.垂径定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
3.垂径定理推论1：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 垂径定理推论2：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 三、典型例题学习：1. ∵ CD 是直径 ，C D ⊥AB∴＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿。
2．∵ CD 是直径，AB 是非直径的弦，AE=BE ∴ ＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿。
3. ∵ CD 是直径，弧AD=弧BD ∴ ＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿＿.垂径定理及其推论可概括为：对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个性质中任何两个性质，那么就具备其余三个性质，这五个性质分别为：（1）经过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧。
4、 如图，已知⊙O 中直径CD 垂直于弦AB,垂足为E,若CD=10，AB=8，则DE 的长为＿＿。
5、 如图，已知⊙O 的直径为12㎝，弦AB 垂直平分半径OC,那么弦AB 的长为＿＿＿。
(9题图）(8题图）(7题图）(6题图）6、 如图，⊙O 的直径为34，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为8，则弦AB 的长是＿＿＿。
2024版垂径定理公开课教案[1]
![2024版垂径定理公开课教案[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/afac6e8b4128915f804d2b160b4e767f5acf80b1.png)
垂径定理公开课教案contents •课程介绍与目标•基础知识回顾•垂径定理及其证明过程•垂径定理在几何问题中的应用举例•学生自主练习与互动环节•课程总结与拓展延伸目录01课程介绍与目标通过生活中的实例，如桥梁、建筑等，引出垂径定理的概念。
简要介绍垂径定理的历史背景和重要性。
通过图形展示，让学生直观感受垂径定理的基本思想。
垂径定理概念引入掌握垂径定理的基本内容和证明方法。
知识目标能力目标情感目标能够运用垂径定理解决相关问题，提高分析问题和解决问题的能力。
培养学生对数学的兴趣和热爱，增强自信心和合作精神。
030201教学目标与要求课程安排与时间课程时间45分钟课程安排概念引入（5分钟），定理证明（15分钟），例题讲解（10分钟），学生练习（10分钟），总结与回顾（5分钟）。
02基础知识回顾圆的性质及定义圆是平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合。
圆的性质包括：圆上任意两点间的线段（弦）中，过圆心的弦（直径）最长；圆内任意一点到圆上的距离中，过该点且与直径垂直的线段最短。
直径、半径和弧长关系01直径是过圆心的弦，其长度等于两倍的半径。
02弧长是圆上两点间的弧所对应的圆心角的度数与半径的乘积。
特别地，当圆心角为360°时，弧长等于圆的周长。
圆心角、弧度和弦长关系圆心角是由两条半径和它们所夹的弧所围成的角。
圆心角的度数等于它所夹的弧的度数。
弧度是圆心角的另一种度量单位，1弧度等于长度等于半径的弧所对的圆心角。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
03垂径定理及其证明过程垂径定理内容阐述垂径定理描述垂直于弦的直径平分该弦，并且平分该弦所对的两条弧。
定理中的关键概念直径、弦、弧、垂直。
定理的应用范围在几何学中，垂径定理是解决与弦、弧和直径相关问题的重要工具。
证明方法一：利用相似三角形性质构造相似三角形通过作垂线，将直径和弦所在的直线分割成两个直角三角形。
应用相似三角形性质由于两个直角三角形有一个公共角和两个直角，因此它们是相似的。
九年级数学下册 3_3 垂径定理导学案(新版)北师大版
EAO CD B第3节 垂径定理【学习目标】1、理解圆的有关概念。
2、掌握垂径定理，并会运用垂径定理解决有关问题。
【学习重难点】重点：理解并掌握垂径定理及其推论 难点：运用垂径定理解决问题 【学习过程】 模块一 预习反馈 一、知识回顾1、圆是_________图形，其对称轴是_________________的直线，有 条。
2、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦与 也 。
在同圆或等圆中，两个 ，两条 ，两条 ，两条 中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
二、自主学习看书74页—75页后，解答下列问题：1、如图， CD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，且CD⊥AB，垂足为E ， 观察并猜测：⑴相等的线段： ＝______（除半径外）⑵相等的弧_______ ＝_______, _______＝_______。
证明：2、反过来：CD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦（不是直径）且AE ＝BE ，求证： CD⊥AB, AC=BC ，AD=BD 证明：实践练习：如图, AB 是︵ ︵ ︵ ︵OCBA BAO MBACED O BA CEDOF⊙O 的直径,点C 在⊙O 上, CE ⊥AB 于D, 已知CE=8, OD=3, 求：AB 的长.模块二 合作探究探究1、如图所示，两个同心圆O ，大圆的弦AB 交小圆于C 、D .求证：BD AC =探究2、如图，A 、B 、C 在圆上，且AB=AC=5厘米，BC=8厘米，求圆的半径。
模块三、小结反思： 本课知识：1.垂径定理： 弦的直径 这条弦，并平分弦所对的 . 几何符号语言：∵CD 是⊙O 的直径 又∵CD AB ⊥∴ ， ， 。
2.推论： （不是直径）的直径 于弦，并 弦所对的两条弧 几何符号语言：∵CD 是⊙O 的直径 又∵AE BE =（AB 不是直径）∴ ， ， 。
模块四： 形成提升1、如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是 。
3.3 垂径定理 导学案
榆中五中三导六步课堂教学模式§3.3垂径定理班级：姓名：导预习垂径定理：垂径定理逆定理：导课堂第一步：类比引入活动：1.等腰三角形是轴对称图形吗？2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？（画图尝试）第二步：目标展示1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理；2．运用垂径定理及其逆定理解决问题．第三步：预习检测如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？第四步：猜想探索活动内容：1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由．条件：①；②结论（等量关系）：③；④；⑤ .求证：AM=BM，AC=BC,AD=BD.证明：连接OA,OB,则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中, 接前面的∴∵，，∵∠ =180°-∠∴Rt△OAM≌Rt△OBM.（）∠ =180°-∠∴，。
∴∠ = ∠∴ = 。
∴ = 。
2、你能用文字语言表述前面证明的内容吗？ —— 于 的 这条弦，并且 所对的 ．3．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件缺一不可—— （ ）， 弦．4．垂径定理逆定理的探索如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M .（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.条件：① ；②结论（等量关系）：③ ；④ ；⑤ . —— 弦（ ）的 垂直于弦,并且 所对的 .5．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？（举反例）第五步：课堂练习 例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD ,点0是CD 所在圆的圆心），其中CD =600m ，E 为CD 上的一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =90m.求这段弯路的半径．解：第六步：归纳小结1．利用圆的 性研究了 定理及其 定理.2．解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.导作业 习题3.3第1、2、3题四、教学设计反思1．要从培养学生学习方法的角度使用教材教材为教师提供了基本的教学素材，但如何使用这些素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整．学生在探索垂径定理的时候，其中一个难点在于如何证明垂径定理，这时通过类比等腰三角形的轴对称性，可以使学生对证明的思考得到突破，从而寻找出合理的证明方向．这既使学生掌握了新知识，也培养了学生的学习数学的类比思想和观察、猜想的能力．2．要鼓励学生敢于表述和善于纠错垂径定理及其逆定理的文字表述是一个难点，教师如果直接给出，则学生就少了一个锻炼表述能力和严谨地分析的机会．因此，应该让学生大胆表述，并对各人的表述严谨分析，找出漏洞，反复提炼，直至得出正确的说法，使学生得到更好的锻炼．3．注意改进的方面本节课的另一个难点是如何添加辅助线，这在最后的归纳反思中应该要有足够的时间让学生交流讨论，但是限于本节课的时间，这是一个客观限制，不应该勉强在课堂上完成，效果并不理想，应该留作课后作业，让学生能通过更充分的讨论才得出结论，这样才能起到更好地交流和反思的作用．。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：导入教学目标：1. 激发学生对垂径定理的兴趣。
2. 引导学生通过实际问题发现垂径定理。
教学内容：1. 引导学生回顾圆的性质和基本概念。
2. 提出问题：在圆中，如何判断一条直线是否垂直于一条弦？教学活动：1. 利用实物或图片展示圆和直线，引导学生观察和思考。
2. 引导学生通过实际操作，尝试判断直线是否垂直于弦。
教学评估：1. 观察学生在实际操作中的表现，了解他们对垂径定理的理解程度。
第二章：探索垂径定理教学目标：1. 帮助学生理解和掌握垂径定理的内容。
2. 培养学生通过几何推理解决问题的能力。
教学内容：1. 引导学生通过几何推理，探索垂径定理。
2. 引导学生验证垂径定理的正确性。
教学活动：1. 引导学生通过画图和几何推理，探索垂径定理。
2. 组织学生进行小组讨论，分享各自的解题思路和方法。
教学评估：1. 观察学生在探索过程中的表现，了解他们的思考和解决问题的能力。
第三章：应用垂径定理教学目标：1. 帮助学生掌握垂径定理的应用方法。
2. 培养学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 引导学生运用垂径定理解决实际问题。
教学活动：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 组织学生进行实际问题解决练习，引导学生运用垂径定理。
教学评估：1. 观察学生在实际问题解决中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第四章：巩固与提高教学目标：1. 帮助学生巩固垂径定理的知识。
2. 提高学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学活动：1. 组织学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学评估：1. 观察学生在练习中的表现，了解他们巩固垂径定理的能力。
2. 观察学生在解决更复杂问题中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第五章：总结与拓展教学目标：1. 帮助学生总结垂径定理的主要内容和应用方法。
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24.1.2垂直于弦的直径
学习目标：
1、通过圆的轴对称性质的学习，理解垂直于弦的直径的性质；
2、能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题。
学习过程：
一、自学指导：
1、研读课题－－垂直于弦的直径
2、研读课本80页及81页内容，并利用手中的学具，完成下面问题。
任务一突出本节要点
①圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
思考：它还是中心对称图形，
②垂径定理：垂直于弦的直径弦，并且弦所对的两条弧。
二、合作探究，学习研讨。
任务二探索垂径定理
如图. AB是⊙O的弦(不是直径)，作直径CD，使CD ⊥AB,垂足为E。
问题：（1）右图是轴对称图形吗？
解（1）
（2
说一说你的理由。
解：（2）相等线段：
（即：）
相等弧：
（即：
垂径定理：
用几何语言描述：
∵为⊙O的直径（或弦CD过圆心）
⊥
∴ = ,= ，= ，
反思：
垂直于弦的直径,可以是直径，也可以是半径，甚至可以是过圆心的直线或线段。
例1、赵州桥主拱桥半径问题。
小结：
1、解决有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线。
2、圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个。
例2、在⊙O 中，弦AB 的长为16cm ，圆的半径是10cm ，求圆心O 到AB 的距离。
解：连接AO ，作OE ⊥AB 于E
∵OE 经过⊙O 的圆心，OE ⊥AB ∴AE= = cm （ ）
在Rt △AOE 中，∵OE 2= （ ）
∴OE= = cm
答：OE 的长为
任务三 快乐闯关
1．在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，
圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径。
2.在半径为5㎜的⊙O 中，AB 为弦， OC ⊥ AB 于 点D ，交⊙O 于点C ，且CD=1mm ，求弦AB 的长。
O
B
a
3.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的
两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
求证四边形ADOE是正方形．
三、课堂小结，谈谈你的收获。
四、课堂检测
1、在⊙O中，AB是弦，OC⊥AB，垂足为D。
（1）已知半径是5，AB=8，则OD=
（2）已知OD=5，AB=24，则半径=
（3）已知半径是10，CD=4，则AB=
（4）已知半径是5，AB=8，则CD=
（5）已知CD=4，AB=16，则半径=
3、已知，如图，⊙O 的半径为13cm ，两弦AB ∥CD ，AB=10cm ，CD=24cm,求两弦AB 、CD 的距离。
3、已知：以O 为圆心的两个同心圆,大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，求证：AC=BD
五、课后作业
A B D
C
O
·。