自然数之数学归纳法
高二数学第一课重要知识点总结
高二数学第一课重要知识点总结高二数学第一课是归纳与推理。
本课程是高中数学的重要基础部分，也是后续数学学习的基石。
在本课程中，我们将学习一些基本的归纳与推理的方法，以及常见的数学推理题型。
以下是高二数学第一课重要知识点的总结：知识点一：数学归纳法数学归纳法是一种证明某个命题在自然数集上成立的方法。
其基本思想是：先证明这个命题在n=1时成立，然后假设它在n=k时成立，再推出它在n=k+1时也成立，由此可以推知这个命题对于所有自然数都成立。
知识点二：数学归纳法的应用数学归纳法可以应用于解决一些数列、不等式、恒等式等问题。
在使用数学归纳法时，通常需要确定证明命题的前提条件，并应用归纳假设进行推理。
知识点三：等差数列和等比数列等差数列是指一个数列的相邻两项之差为常数的数列。
等比数列是指一个数列的相邻两项之比为常数的数列。
在求等差数列和等比数列的时候，我们可以使用数学归纳法来证明其通项公式，并利用通项公式进行计算。
知识点四：递推关系与递推公式递推关系是指一个数列各项之间的关系式，通过这个关系式可以从前一项推出后一项。
递推公式是指一个数列各项之间的关系式的一般形式。
在使用递推公式时，我们需要根据已知条件，推导出该递推公式的具体形式。
知识点五：数学归纳法与递推关系的联系数学归纳法与递推关系有着密切的联系，可以相互验证和证明。
在使用数学归纳法证明递推关系时，通常需要确定归纳假设，并进行归纳假设的推理过程。
知识点六：命题与条件语句命题是陈述性质的句子，可以是真或假。
条件语句是指一个陈述性质的句子与一个条件之间的关系。
在数学中，我们常常使用条件语句来表达数学命题，以及使用逻辑推理来证明这些命题的真假。
以上是高二数学第一课的重要知识点总结。
通过学习这些知识点，我们可以建立数学思维，提高逻辑推理能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。
数学归纳法的基本原理
数学归纳法的基本原理
归纳法基本原理概述
归纳法基本原理概述
▪ 归纳法的基本原理概述
1.归纳法是通过观察具体事例，总结出普遍规律的一种思维方法。 2.归纳法的基本原理包括：观察、归纳、推理和验证。 3.归纳法的目的是发现事物之间的内在联系和规律，为实践提供指导。
▪ 观察
1.观察是归纳法的基础，通过对具体事例的观察，获取丰富的感性材料。 2.观察要具备系统性和客观性，避免主观臆断和片面性。 3.现代科技手段可以帮助我们进行更加深入、细致的观察，提高归纳的准确性。
▪ 算法的正确性证明
1.算法的正确性证明是通过数学归纳法等方法证明算法能够正 确地解决特定问题的过程。 2.在进行算法的正确性证明时，需要明确算法的基本思想和步 骤，并分析算法的时间复杂度和空间复杂度等因素。 3.算法的正确性证明是计算机科学中的重要问题，可以保证算 法的正确性和可靠性，为计算机应用提供坚实的基础。
▪ 归纳法的基本原理
1.数学归纳法的基本原理包括归纳基础和归纳步骤两个部分，其中归纳基础是指某 个命题在n=1时成立，归纳步骤是指在n=k时命题成立的情况下，可以推导出 n=k+1时命题也成立。 2.归纳法的正确性是建立在“自然数集合是有序的”这个基础上的，因此在使用归 纳法进行证明时需要注意确保归纳基础和归纳步骤的正确性。 3.归纳法的应用范围广泛，可以用于证明各种数学命题，包括代数、几何、数论、
▪ 归纳法面临的挑战
1.数据获取和处理的难度：随着数据规模的不断扩大，如何有效获取和处理数据成为归纳法面 临的挑战之一。 2.计算能力和算法的限制：随着问题复杂度的提高，对计算能力和算法的要求也越来越高，如 何提升计算能力和改进算法是归纳法面临的另一个挑战。 3.理论和实践的差距：归纳法的理论研究和实际应用之间存在一定的差距，如何将理论知识更 好地应用于实践中，提高归纳法的实用性是亟待解决的问题。 以上内容仅供参考，具体内容可以根据您的需求进行调整优化。
数学归纳法
骨牌一个接一个倒下，就如同一个值到下一个值的过程。
1.证明当n = 1 时命题成立。
2.证明如果在n = m时命题成立，那么可以推导出在n = m+1 时命题也成立。
（m代表任意自然数）这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。
当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。
把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。
例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以：1.证明第一张骨牌会倒。
2.证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。
那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒。
[编辑]例子假设我们要证明下面这个公式（命题）：其中n为任意自然数。
这是用于计算前n个自然数的和的简单公式。
证明这个公式成立的步骤如下。
[编辑]证明[编辑]第一步第一步是验证这个公式在n = 1时成立。
我们有左边 = 1，而右边 = 1(1 + 1) / 2 = 1，所以这个公式在n = 1时成立。
第一步完成。
[编辑]第二步第二步我们需要证明如果假设n = m时公式成立，那么可以推导出n = m+1 时公式也成立。
证明步骤如下。
我们先假设n = m时公式成立。
即（等式 1）然后在等式等号两边分别加上m + 1 得到（等式 2）这就是n = m+1 时的等式。
我们现在需要根据等式 1 证明等式 2 成立。
通过因式分解合并，等式 2 的右手边也就是说这样便证明了从 P(m) 成立可以推导出 P(m+1) 也成立。
证明至此结束，结论：对于任意自然数n，P(n) 均成立。
[编辑]解释在这个证明中，归纳推理的过程如下：1.首先证明 P(1) 成立，即公式在n = 1 时成立。
2.然后证明从 P(m) 成立可以推导出 P(m+1) 也成立。
（这里实际应用的是演绎推理法）3.根据上两条从 P(1) 成立可以推导出 P(1+1)，也就是 P(2) 成立。
4.继续推导，可以知道 P(3)成立。
数学归纳法证明的步骤
数学归纳法证明的步骤数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个自然数范围内成立。
以下是小编精心准备的数学归纳法证明的步骤，大家可以参考以下内容哦！第一数学归纳法：一般地,证明一个与自然数n有关的命题P(n）,有如下步骤：证明当n取第一个值n0时命题成立.n0对于一般数列取值为0或1,但也有特殊情况；假设当n=k时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.综合,对一切自然数n,命题P(n）都成立.第二数学归纳法：对于某个与自然数有关的命题P(n）,验证n=n0时P(n）成立；假设n0≤nn0）成立,能推出Q(k）成立,假设 Q(k）成立,能推出 P(k+1）成立；综合,对一切自然数n,P(n）,Q(n）都成立.最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。
证明分下面两步：证明当n= 1时命题成立。
假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。
这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。
当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。
把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。
例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以：证明第一张骨牌会倒。
证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。
数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中，第一步：验证n取第一个自然数时成立第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。
最后一步总结表述。
需要强调是数学归纳法的两步都很重要，缺一不可，否则可能得到下面的荒谬证明：证明1：所有的马都是一种颜色首先，第一步，这个命题对n=1时成立，即，只有1匹马时，马的颜色只有一种。
第二步，假设这个命题对n成立，即假设任何n匹马都是一种颜色。
那么当我们有n+1匹马时，不妨把它们编好号：1, 2, 3……n, n+1对其中这些马，由我们的假设可以得到，它们都是同一种颜色；对这些马，我们也可以得到它们是一种颜色；由于这两组中都有这些马，所以可以得到，这n+1种马都是同一种颜色。
1、数学归纳法
a a2 a3 1 + + ⋅⋅⋅ + n ) + 。 n n 2 3
2
ak a2 a3 1 • 假设当 n = k 时，命题成立，即 ak > 2( + + ⋅⋅⋅ + ) + ， k k 2 3 则 2ak 1 2 1 2 2 ak +1 = (ak + ) = ak + + k +1 k + 1 (k + 1) 2 a a a 1 2 1 1 > 2( 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + k ) + + (ak +1 − )+ 2 3 k k k +1 k + 1 (k + 1) 2 a a a 1 1 = 2( 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + k +1 ) + − 2 3 k + 1 k (k + 1) 2 ak +1 a2 a3 1 )+ > 2( + + ⋅⋅⋅ + k +1 k +1 2 3
，知 n = k + 1时（1）（2）成立。 ，
• 故（1）（2）对一切自然数都成立，因此命题成立。 ，
1 3 • 例 7 证明： ( )( ) 2 4
2n − 1 1 ( )≤ 。 2n 3n
• 分析：用数学归纳法直接证明原不等式，当 n = k + 1时，即证 1 3 2n − 1 2n + 1 1 ( )( ) ( )( )≤ 。 2 4 2n 2n + 2 3n + 3
xk = 1时， x1 + x2 +
数学归纳法
D．P(n)对所有自然数n都成立
4 2 n ＋ n (2)用数学归纳法证明 1＋2＋3＋„＋n2＝ 2 ， 则当 n＝k
＋1 时左端应在 n＝k 的基础上加上 A．k2＋1 B．(k＋1)2 k＋14＋k＋12 C. 2 D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋„＋(k＋1)2
题号 (1)
)
D．1＋a＋a2＋a3
解析：当n＝1时，an＋1＝a2. ∴验证n＝1时，等式左端计算所得的项是1＋a＋a2.
答案：C
1 1 1 1 1 1 3．用数学归纳法证明 1－2＋3－4＋„＋ － ＝ 2n－1 2n n＋1 1 1 ＋ ＋„＋2n(n∈N*)中，则从 k 到 k＋1 时，等式左边所要添 n＋2 加的项是( 1 A. 2k＋1 1 1 C. － 2k＋1 2k＋2 ) 1 1 B． － 2k＋2 2k＋4 1 D．－ 2k＋2
1 1 1 1 解析：n＝2 时，左边＝1＋ ＋ 2 ＝1＋ ＋ ，右边＝2. 2 2 －1 2 3
1 1 答案：1＋2＋3＜2
5．设凸k边形的内角和为 f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋
1)＝f(k)＋________. 解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时， 增加了一个三角形． 答案：π或180°
2n·1·3·…·(2n － 1) ， 从 k 到 k ＋ 1 时 左 边 需 要 增 乘 的 代 数 式 为 ________．
解析：当 n＝k 时，左边＝(k＋1)(k＋2)„(k＋k) 当 n＝k＋1 时，左边＝[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]„[(k＋1)＋(k ＋1)] ＝(k＋2)(k＋3)„(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2) k＋k＋1k＋k＋2 ＝(k＋1)(k＋2)„(k＋k) k＋1 ＝(k＋1)(k＋2)„(k＋k)[2(2k＋1)]， ∴从 k 到 k＋1，左边需要增乘的代数式为 2(2k＋1)．
数学归纳法
第一节数学归纳法一、基本知识概要：1.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法2. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.3.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.1．用数学归纳法证题要注意下面几点：①证题的两个步骤缺一不可，要认真完成第一步的验证过程；②成败的关键取决于第二步对1n的证明：1）突破对“归纳=k+假设”的运用；2）用好命题的条件；3）正确选择与命题有关的知识及变换技巧.2．中学教材内，用数学归纳法证明的问题的主要题型有“等式问题”、“整除问题”、“不等式问题”等，要积累这几种题型的证题经验.3．必须注意，数学归纳法不是对所有“与正整数n 有关的命题”都有效.基础题：1．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明 )214121(2114131211nn n n +++++=-++-+- 时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （B ）A ．1+=k n 时等式成立B ．2+=k n 时等式成立C ．22+=k n 时等式成立D ．)2(2+=k n 时等式成立2．设1111()()(1)()1232f n n N f n f n n n n n*=++++∈+-=+++有，则=-+)()1(n f n f （ D ）A ．121+nB ．221+n C ．221121+++n n D ．221121+-+n n 3．用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n 时，由k n =的假设到证明1+=k n 时，等式左边应添加的式子是（ B ）A ．222)1(k k ++ B．22)1(k k ++ C ．2)1(+kD ．]1)1(2)[1(312+++k k4．用数学归纳法证明“(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=⋅⋅⋅⋅-”（+∈N n ）时，从“1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是 （ B ）A ．12+kB ．)12(2+kC ．112++k k D ．122++k k 5．某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立. 现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得（ C ） A ．当n=6时该命题不成立 B ．当n=6时该命题成立 C ．当n=4时该命题不成立D ．当n=4时该命题成立【典型例题选讲】【例1】用数学归纳法证明下述等式问题：（Ⅰ）)1)(1(41)()2(2)1(12222222+-=-++-⋅+-⋅n n n n n n n n . [证明]︒1. 当1=n 时，左边0)11(122=-⋅=，右边0201412=⋅⋅⋅=，∴左边=右边，1=n 时等式成立；︒2. 假设k n =时等式成立，即 )1)(1(41)()2(2)1(12222222+-=-⋅++-⋅+-⋅k k k k k k k k ， ∴当1+=k n 时，左边])1()1)[(1(])1[(]2)1[(2]1)1[(122222222+-+++-+⋅++-+⋅+-+⋅=k k k k k k k k)]12()12(2)12(1[)]()2(2)1(1[222222++++⋅++⋅+-⋅++-+-⋅=k k k k k k k k k )]12(2)1)[(1(41)12(2)1()1)(1(412++-+=+⋅+++-=k k k k k k k k k k )2()1(41)23)(1(4122++=+++=k k k k k k k =右边，即1+=k n 时等式成立，根据︒︒21与，等式对*∈N n 都正确.【例2】用数学归纳法证明下述整除问题： （Ⅰ）求证：)(53*∈+N n n n 能被6 整除. [证明]︒1. 当1=n 时，13+5×1=6能被6整除，命题正确； ︒2. 假设k n =时命题正确，即k k 53+能被6整除，∴当1+=k n 时，)5()55()133()1(5)1(3233k k k k k k k k +=+++++=+++6)1(3+++k k ，∵两个连续的整数的乘积)1(+k k 是偶数，)1(3+∴k k 能被6整除，6)1(3)5(3++++∴k k k k 能被6整除，即当1+=k n 时命题也正确，由︒︒2,1知命题时*∈N n 都正确.例3、（优化设计P202例1）比较2n 与n 2的大小()n N ∈剖析：比较两数（或式）大小的常用方法本题不适用，故考虑用归纳法推测大小关系，再用数学归纳法证明.解：当n =1时，21＞12，当n =2时，22=22，当n =3时，23＜32， 当n =4时，24=42，当n =5时，25＞52， 猜想：当n ≥5时，2n ＞n 2. 下面用数学归纳法证明： （1）当n =5时，25＞52成立.（2）假设n =k （k ∈N *，k ≥5）时2k ＞k 2，那么2k +1=2·2k =2k +2k ＞k 2+（1+1）k ＞k 2+C 0k +C 1k +C 1-k k =k 2+2k +1=（k +1） 2.∴当n =k +1时，2n ＞n 2.由（1）（2）可知，对n ≥5的一切自然数2n ＞n 2都成立. 综上，得当n =1或n ≥5时，2n ＞n 2；当n =2，4时，2n =n 2；当n =3时，2n ＜n 2.评述：用数学归纳法证不等式时，要恰当地凑出目标和凑出归纳假设，凑目标时可适当放缩. 例4、是否存在常数使 a 、b 、 c 等式2222222421(1)2(2)....(1)n n n n an bn c•-+-+-=++ 对一切正整数n 成立？证明你的结论。
数学归纳法
5．由 k 到 k＋1 这一步，要善于分析题目的结构特点，进行适 当的变形，常用分析、添项、拆项、作差等方法．
6．用不完全归纳法给出结论，用数学归纳法给出证明是高考题 中经常出现的题型，希望同学们用心体会．
7．本节内容是选修与选考内容，在复习时要注意把握好难度 能证明一些简单的数学命题就可以了．
用数学归纳法证明与正整数n有关的等式 用数学归纳法证明：2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2n21n＋2 ＝4nn＋1. 【思路分析】 本题主要考查用数学归纳法证明等式的步骤， 注意当 n＝k＋1 时，两边加上的项和结论各是什么．
【证明】 (1)当 n＝1 时，左边＝2×1 4＝18，右边＝18等式成立． (2)假设 n＝k 时，2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k21k＋2＝4k＋k 1成立． 当 n＝k＋1 时， 2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k21k＋2＋2k＋212k＋4 ＝4k＋k 1＋4k＋11k＋2＝4kk＋k＋12k＋＋12 ＝4k＋k＋11k＋2 2＝4kk＋＋12＝4[k＋k＋11＋1] ∴n＝k＋1 时，等式成立． 由(1)(2)可得对一切正整数 n∈N*，等式成立．
【名师点睛】 数学归纳法证题的两个步骤缺一不可．证 n＝k＋1 成立时，必须用 n＝k 成立的结论，否则，就不是数学 归纳法证明．
1．用数学归纳法证明： 1·n＋2(n－1)＋3(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝16n(n＋1)(n＋2)． 证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1， 右边＝16(1＋1)(1＋2)＝1，等式成立． (2)假设 n＝k 时，1·k＋2(k－1)＋3(k－2)＋…＋(k－1)·2＋k·1＝ 16k(k＋1)(k＋2)成立．
(2)假设 n＝2k(k∈N*)时，命题成立， 即 x2k－y2k 能被 x＋y 整除． 当 n＝2k＋2 时，x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－y2·y2k ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2) ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x＋y)(x－y)． ∵x2(x2k－y2k)、y2k(x＋y)(x－y)都能被 x＋y 整除， ∴x2k＋2－y2k＋2 能被 x＋y 整除，即 n＝2k＋2 时命题成立． 由(1)(2)知原命题对一切正偶数均成立． 【名师点睛】 因证明的命题对所有正偶数成立，所以归纳假 设中采用了 n＝2k(k∈N*)与它相邻的是 n＝2k＋2.要注意体会 n ＝2k＋2 时的变形方法．
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“归纳法”混淆 .假设给定某种方法 注 :A有最大元素 a,且 B有最小元素 b是不可能的 ,因为这样就有一 万人屡见不鲜的有趣事实引起了他的注意 同的电子计算机上 戴德金分割 : ,用了 1200 个小时,作了 把所有的有理数分为两个集合 100 ,他感到这种现象决非偶然 亿判断 ,终于完成了四色 个有理数不存在于 A和B两个集合中 , 与 A和B的并集是所有的有理数 ,可能隐藏着深刻的科学道理 定理的证明 ， A和 B，A中的每一个元素都小于 .四色猜想的计算机证明 .他把他的想法告诉了他的哥哥弗德雷 B ,中的每一个元素 轰动了世界 .它不仅解决了一个 ,任何一种分类 数学史上最早使用数学归纳法的人首推法国数学家帕斯卡 ,但他 矛盾 . 克 历时 方法称为有理数的一个分割 .弗德雷克是著名数学家摩根的学生 100多年的难题,而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点 .对于任一分割 ,他对这个问题极感兴趣 ,必有3种可能,其中有且只 ,于是. 并未确立方法的理论依据 .直到意大利数学家皮亚诺建立了自然数的 便设法证明 不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就 有 1种成立 第 3种情况 : .可是 ,戴德金称这个分割为定义了一个无理数 ,尽管他绞尽脑汁,仍百思不得其解 ,, 于是他以“四色 他们还在寻找一 ,或者简单的 理论 ,才标志着数学归纳法逻辑基础的奠定 . 定理”为名,请他的老师摩根证明 种简捷明快的书面证明方法 说这个分割是一个无理数 .前面 . 2种情况中 . ,分割是有理数.
(2)加大" 跨度 ": 对于定义在 M {n0 , n0 r ,, n0 m r,}( n0 , r , m N )上的 命题 P(n), 在采用数学归纳法时应 考虑加大 " 跨度 "的方法 ,即第一步验证 P(n0 ), 第二步假设 P(k )(k M )成立, 推出 P(k r )成立.
有时从归纳假设 p (k )直接推导 p(k 1)并不容易 , 我们可以从 p(k 1)着手, 设法从中把 p (k 1)转化为 p (k )以及其他一些简单命 题的组合 , 从而证得 p(k 1).
证明 : n 1时, 显然有 a1 1(mod4), a2 2(mod4), a3 3(mod4). 假设 n k时, 有a3k 2 1(mod4), a3k 1 2(mod4), a3k 3(mod4).于是 a3( k 1) 2 a3k 1 5a3k 3a3k 1 15 6(mod4) 1(mod4) a3( k 1) 1 a3k 2 a3k 1 a3k 1 3(mod4) 2(mod4) .即n k 1正确. a 3( k 1) a3k 3 5a3k 2 3a3k 1 10 3(mod4) 3(mod4) 从而对一切正整数 n, 猜测正确.从而 an 都不是 4的倍数 , 故an 0.
5an 1 3an 2 , 若an 2 an 1为偶数 例2. 已知 a1 1, a2 2,当n 3时, an an 1 an 2 , 若an 2 an 1为奇数 证明 : 对一切正整数 n, 都有 a2,7,29,22,23,49,26,17,163,.它们都 不是 0,而且它们中没有 4的倍数 , 进而把这些数除以 4, 考察所得的余数 1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,.于是猜测对正整数 n, 有 a3n 2 1(mod4), a3n 1 2(mod4), a3n 3(mod4)
0.数学归纳法的背景 1.A有一个最大元素 数学归纳法是数学中最基本也是最重要的方法之一 摩根 摩根也无法解决这个问题 戴德金 (Morgan,1806-1871) (Dedekind,1831 a,B — 没有最小元素 英国著名数学家 1916), ,于是德 最伟大的德国数学家、理论家和 · 摩根写信请著名数学家哈密 (例如 ,所著的《代数学》是 A是所有≤ .1 它在数学各 的有理数 个分支里都有广泛应用 我国第一本代数学译本 尔顿帮助解答 教育家 . B是所有 ,近代抽象数学的先驱 >1的有理数 ,这位智慧超群的人也被这个简单的问题弄得一筹莫展 ). .该法的实质在于 . :将一个无法(或很难)穷尽验 证的命题转化为证明两个普通命题 , 他冥思苦想了 13年,直至逝世仍毫无结果 :“p(1) 真”和“若 .(19 p(k )真 ,年 则, p (k+1) 2. B有一个最小元素 b,A没有最大元素 例如 A是所有 <1 的有理数 负数的认识问题 由无理数引发的数学危机一直延续到 :摩根不承认负数 .1831 年 世纪 ,摩根在他的《论数学 .直到 1872 德国
真” ,从而达到证明的目的 . . B是所有 ≥1的有理数 ). 的研究和困难》中仍坚持认为负数是荒谬的 数学家戴德金从连续性的要求出发 在 1876 年,当时很有名望的数学家凯莱在数学年会上把这个问题 ,用有理数的“分割”来定义无理 . 归纳为“四色猜想”提出 数 ,并把实数理论建立在严格的科学基础上 3. A没有最大元素 ,B也没有最小元素 ,并征求问题的解答 (例如 ,才结束了无理数被认为 .于是“四色猜想”开 A是所有负的有理数 , 数学归纳法早期叫逐次归纳法 (始见于英国数学家摩根 或完全 四色猜想 :四色猜想是世界近代三大数学难题之一 .1852)年 ,刚从
说明 : 上述证明的关键是如何 从归纳假设过度到 P(k 1), 这里采用 了分类讨论的方法 .也可采用跳跃数学归纳 法来证明.
另证 : (1)当n 8,9,10时,由8 3 5,9 3 3 3,10 5 5知命题成立 . (2) 假设当 n k (k 7, k N )时命题成立 .则当 n k 3时,由(1)及 归纳假设知显然成立 .
皮亚诺公理
1.1是一个自然数 . 2.在自然数集合中 , 每个自然数 a有一个确定的 "直接后继 " 数a ' . 3.a ' 1(表示 : 1不是任何自然数的 "直接后继 " 数). 4.由a ' b ' a b(表示 : 每一自然数只能是另唯 一自然数的 "直接后继 " 数). 5.设M是自然数的一个集合 , 如果它具有下列性质 : i自然数 . 1 M , ii.如果自然数 a M , 那么它的一个 "直接后继 " 数a ' M , 则集合 M包含一切自然数 .
k ,则 k 1 k 1 1 k 1 1 S k 1 arctan arctan[ ]( 0 arctan , arctan[ ] ) 2 2 k 1 2 (k 1) k 1 2 (k 1) 4 k 1 k 1 tan S k 1 S k 1 arctan , 即n k 1时成立. (k 1) 1 (k 1) 1 证明 :当n 1时显然成立 .假设当 n k时有 S k arctan
1 1 1 1 2 猜测结论 : S1 arctan , [过程 : S 2 arctan arctan( 2 ) tan S 2 , 2 2 2 2 3 1 1 1 2 3 又0 arctan , arctan( 2 ) ]S 2 arctan , [同样过程 ]S3 arctan ， 2 2 2 4 3 4 n 由此猜测 S n arctan . n 1
2.数学归纳法的证题技巧
(1)" 起点前移 " 或" 起点后移 ": 有些关于自然数 n的命题 P(n), 验证 P(1)比较 困难, 或者 P(1), P(2),, P(r 1)不能统一到 "归纳"的过程中去 , 这时可考虑到将 起点前移至 P(0)(如果有意义 ), 或将起点后移至 P(r )(这时 P(1), P(2),, P(r 1) 应另行证明 ).
其中的第5条公理又叫做归纳公理,它是数学归纳法的依据.
最小数定理
• 自然数的任何非空集合A必有一个最小数,即这个数小 于集合A中所有其他的数. 证明:由于A不是空集,其中必含有一个自然数.我们在A中任取一
个数m,因为从1到m共有m个自然数,所以在A中不大于m的数最多只 有m个.显然在这有限个数中存在着最小的数,我们用l来代表它.那么,l 就是A中最小的数.事实上,l对于A中不大于m的数来说,它是最小的;而 A中其余的数都比m大,因而更比l大,所以l就是A中最小的数.
(3)加强命题 : 有些不易直接用数学归 纳法证明的命题 , 通过加强命题后反 而可能用数学归纳法证 明比较方便 . 加强命题通常有两种方 法 : 1o 将命题一般化 ,2o 加强结论 .一个命题的结论 " 加强" 到何种程度为宜 , 只有抓住命题的特点 , 细心探索 ,大胆猜测 , 才又可能找 到适宜的解决方案 .
例 1.试证用面值为 3角和5角的邮票可支付任何 n(n 7, n N )角的 邮资.
证 : (1)当n 8时, 结论显然成立 . (2) 假设当 n k (k 7, k N )时命题成立 .若这 k角邮资全用 3角票支 付, 则至少有 3张, 将3张3角票换成 2张5角票就可支付 k 1角邮资 ; 若这 k角 邮资中至少有一张 5角票, 只要将一张 5角票换成 2张3角票就仍可支付 k 1角邮资 .故当 n k 1时命题也成立 . 综上, 对n 7的任何自然数命题都成 立.
零和平方小于 始引人注目 “无理”的时代 . 2的正有理数 ,也结束了持续 ,B是所有平方大于 2000 多年的数学史上的第一次大危机 2的正有理数).,显然 A和 归纳法 (始见于德国数学家戴德金 ).但后来人们更喜欢用数学归纳法 伦敦大学毕业的弗南西斯 · 葛斯里在对英国地图着色时发现 对无论 . B 的并集是所有的有理数 ,因为平方等于2的数不是有理数 . .这个千 的名称 .因为它更能体现论证的严格性和科学性 ,又不与逻辑学中的 多么复杂的地图 1976 年,美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不 ,只需用四种颜色就足够将相邻的区域分开