22.3实际问题与一元二次方程(第1课时)公开课
人教版九年级上册数学 22.3 实际问题与二次函数 第1课时 传播问题与一元二次方程教案
22．3 实际问题与二次函数 第1课时 几何图形的最大面积1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题．一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD .设AB 边的长为x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米．当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．二、合作探究 探究点：最大面积问题 【类型一】利用二次函数求最大面积小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S (单位：平方米)随矩形一边长x (单位：米)的变化而变化．(1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x ，则另一边长为60－2x2，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．解：(1)根据题意，得S ＝60－2x 2·x ＝－x2＋30x .自变量x 的取值范围是0＜x ＜30.(2)S ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，∵a＝－1＜0，∴S 有最大值，即当x ＝15(米)时，S 最大值＝225平方米．方法总结：二次函数与日常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件(2014·江苏淮安)用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y 平方米．(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)求出y 的最大值，与70比较大小，即可作出判断．解：(1)y ＝x (16－x )＝－x 2＋16x (0＜x ＜16)；(2)当y ＝60时，－x 2＋16x ＝60，解得x 1＝10，x 2＝6.所以当x ＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；(3)方法一：当y ＝70时，－x 2＋16x ＝70，整理得：x 2－16x ＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法二：y ＝－x 2＋16x ＝－(x －8)2＋64，当x ＝8时，y 有最大值64，即能围成的养鸡场的最大面积为64平方米，所以不能围成70平方米的养鸡场．方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程．【类型三】最大面积方案设计施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．解：(1)M (12，0)，P (6，6)．(2)设这条抛物线的函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，因为抛物线过O (0，0)，所以a (0－6)2＋6＝0，解得，a ＝－16，所以这条抛物线的函数关系式为：y ＝－16(x －6)2＋6，即y ＝－16x2＋2x .(3)设OB ＝m 米，则点A 的坐标为(m ，－16m2＋2m )，所以AB ＝DC ＝－16m 2＋2m .根据抛物线的轴对称，可得OB ＝CM ＝m ，所以BC ＝12－2m ，即AD ＝12－2m ，所以l ＝AB ＋AD ＋DC ＝－16m 2＋2m ＋12－2m －16m 2＋2m ＝－13m 2＋2m ＋12＝－13(m－3)2＋15.所以当m ＝3，即OB ＝3米时，三根木杆长度之和l 的最大值为15米．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况.。
华东师大版九年级数学上册第22章第3节《第1课时 利用一元二次方程解决图形、数字问题》课件
3、探究：重力势能的大小与哪些因素有关
a、概念：被举高的物体具有的能叫做重力势能 [活动]：重力势能与哪些因素有关 被举高的高度 “猜想”： 重力势能可能与 物体的质量 “实验”： 模拟打桩 有关
要想将桩打得深，可以采用哪些方法？
（1）将物体举得高些 （2）增大物体的质量
b、物体的重力势能大小与被举高的高度和物体的 质量有关。物体被举得越高，质量越大，物体具 有的重力势能就越大
A B
动 画
A B
动 画
二、动能
• • • • 1、定义：物体由于运动而具有的能量 2、与动能有关的因素： ①物体的质量 ②物体的速度 结论:运动物体的质量越大,速度越大,它的动能 就越大
• 为什么在高速公路上要限制汽车的最大行驶速度?
想一想
为什么在高速公路上要限制汽车的最大 行驶速度? 为什么不同的汽车限制的最大行驶速度 不同？ 生活中还有哪些例子能说明上述结论？
动能势能机械能
§12.1 动能 势能 机械能
例1：运动着的锤 子能将钉子钉入木 板中 分析：运动着的锤 子能对钉子做功， 因此，运动着的锤 子具有能量。
例2：拉长的弹弓能将子弹射出
例2：举高的重锤能将木桩打入沙坑
一、功和能
• 1、如果一个物体能够对另一做功, 这个物 体具有能量。 • 2、功是能的量度。 • 3、能量的单位：焦耳（J）
重力势能转化为动能 b a：
动能转化为重力势能
卫星在近地点势能最小，
卫星在远地点势能最大。
远地点 近地点 近地点 重力势能转化为动能 远地点 动能转化为重力势能
卫星在运行过程中，也发生动能和势能的相互转化
结论：物体的 动能和重力势能可以相互转化。
• 运动员脚踩滑板从高处滑下,为什么会越来越快?
22.3实际问题与一元二次方程(第1课时)_课件_2
1 回顾与复习 2 例题赏析
公平竟争
例4.某种药剂原售价为每盒4元, 经过两次降价后 每盒售价为2.56元,求该药品平均每次的降价率。
解 : 设每次平均降价的百分 数为x, 根据题意, 得
4(1 x) 2 2.56.
解这个方程 : (1 x) 2 0.64, (1 x) 0.8, x 1 0.8,
回顾旧知
一、列方程解应用题的一般步骤是:
Байду номын сангаас
1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系; 2.设:设未知数,语句要完整,有单位的要注明单位;
3.列:列代数式,列方程;
4.解:解所列的方程; 5.验:是否是所列方程的解;是否符合题意; 6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位.
32m
xm
耕地矩形的长（横向）为（32-x) 米 ， 耕地矩形的宽（纵向）为 (20-x) 米 。 相等关系是：耕地长×耕地宽=540米2 即 32 x 20 x 540 .
2 x 化简得： 52 x 100 0, x1 50, x2 2
再往下的计算、格式书写与解法1相同。
二、列方程解应用题的关键是:
找出相等关系.
有关面积问题：
常见的图形有下列几种：
课前热身1：二中小明学习非常认真，学习成绩直线上升， 第一次月考数学成绩是a分，第二次月考增长了10%， 第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？
分析： 第一次
a
aX10% 第二次 a（1+10%）X10% 第三次
x1 1 0.8 20%; x2 1 0.8 1(不合题意, 舍去).
初中数学《实际问题与一元二次方程(1)》公开课优质课PPT课件
4.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共 握手10次,有多少人参加聚会?
练习:
1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产
量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( B )
A.500(1+2x)=720
试一试
1.某乡无公害蔬菜的产量在两年内从20吨增加到35吨. 设这两年无公害蔬菜产量的年平均增长率为x,根据题意, 列出方程为 __________________ .
2．某电视机厂1999年生产一种彩色电视机,每台成本 3000元,由于该厂不断进行技术革新,连续两年降低成本, 至2001年这种彩电每台成本仅为1920元,设平均每年降 低成本的百分数为x,可列方程_____________.
3.某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元,第一季
度总产值175亿元,设二月、三月平均每月增长的百分率
为x,根据题意得方程为(
)
练习
党的 十六大提出全面建设小康社会，加快社会主 义现代化 建设 ，力争国民生产总值到2020年比 2000年翻两翻，在本世纪的头20年（2001—2020 年）要实现这一目标，以十年为单位计算，设每 个十年的国民生产总值的增长率是Ⅹ 那么Ⅹ满 足的
这里要特别注意:在列一元二次方程解应 用题时，由于所得的根一般有两个，所 以要检验这两个根是否符合实际问题的 要求．
x2 1.8 不合题意舍去． ∴x 0.2 20%
．
答：平均每月降价 20％ ．
1、平均增长（降低）率公式
a(1 x)2 b
2、注意： （1）1与x的位置不要调换 （2）解这类问题列出的方程一般
22.3实际问题与一元二次方程(第1课时)-教学设计
学生独立思考问题，并发表个人意见。
教师对学生的回答给予适当评价。
教师板书甲种药品年平均下降率的求解过程。
学生独立完成乙种年平均下降率的求解过程并根据计算结果回答问题。
由于本节问题的背景和表达都比较贴近实际，其中的有些数量关系比较隐蔽，所以突破难点的关键是弄清问题背景，把有关数量关系分析透彻，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系.因此，探究1、2在学生充分独立思考的基础上，进行小组讨论，分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程的应用价值。
活动3：课堂巩固
1．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（）．
A．100（1+x）2=250
B．100（1+x）+100（1+x）2=250
C．100（1-x）2=250 D．100（1+x）2
教学重点
列一元二次方程解有关传播问题、平均变化率等问题的应用，解决实际问题。
教学难点
发现传播问题、平均变化率问题中的等量关系，正确地建立一元二次方程。
二、教学流程安排
序号
活动流程图
活动内容和目的
1
复习引入
通过列一元一次方程解决实际问题，回忆列方程解实际问题的一般步骤，为类比学习一元二次方程解实际问题做好铺垫。
例题分析：探究1；探究2；探究3
三、归纳小节：
探究2以成本下降为问题背景，讨论平均变化率的问题.这类问题在现实世界中有很多原型，例如经济增长率、人口增长率等.本节中讨论的是两轮（即两个时间段）的平均变化率，它可以用一元二次方程作为数学模型，设平均变化率为x，则有下列关系：变化前数量×（1+x）²=变化后数量。
22.3实际问题与一元二次方程(公开课)
变化前的数量 × (1 + x ) = 变化后的数量
25(1+x)3 2010年缴税_______________________万元 2010年缴税_______________________万元 年缴税_______________________ 25(1+x)2 =36
解：设每轮感染中平均一台电脑感染 了X台。 台 列方程： 列方程：（1+X）2=81 ）
探究2 探究2：
某公司2007年缴税25万元，2009年缴税36万元， 某公司2007年缴税25万元，2009年缴税36万元， 2007年缴税25万元 年缴税36万元 则该公司缴税的年平均增长率为多少？ 则该公司缴每件售价由原来的 某商品经过两次连续降价,每件售价由原来的 某商品经过两次连续降价 55元降到了 元，设平均每次降价的百分率为 元降到了35元 元降到了 x,则可列方程 则可列方程 为 .
解：设2002年,2003年 年 年 两年绿地面积的年平 3.美化城市，改善人们的居住环境已 均增长率为 ，根据题 美化城市， 美化城市 均增长率为x， 成为城市建设的一项重要内容。 成为城市建设的一项重要内容。某城 意，得 市近几年来通过拆迁旧房，植草， 市近几年来通过拆迁旧房，植草，栽 60 (1＋x)2＝72.6 ． ＋ 树，修公园等措施，使城区绿地面积 修公园等措施， (1＋x)2=1.21． ＋ ． 不断增加（如图所示）。（ ）。（1） 不断增加（如图所示）。（ ）根据 ∴1＋x=±1.1． ＋ ± ． 图中所提供的信息回答下列问题： 图中所提供的信息回答下列问题： 2001年底的绿地面积为 60 公顷，∴ x1 = 0.1=10%, 公顷， 年底的绿地面积为 不合题意,舍 － 不合题意 公顷； 比2000年底增加了 4 公顷；在 x2 =－2.1(不合题意 舍 年底增加了 1999年，2000年，2001年这三年中， ) 年这三年中， 年 年 年这三年中 去 答： 2002年,2003年 年 年 绿地面积增加最多的是 1998 1999 2000 2001 2000 ____________年； 年 两年绿地面积的年平 （2）为满足城市发展的需要，计划 均增长率为 ）为满足城市发展的需要， 均增长率为10%． ．
人教版九年级数学上册21.3 实际问题与一元二次方程-解决代数问题(第1课时)公开课优质教案
21.3实际问题与一元二次方程第1课时解决代数问题教学目标知识技能1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤.2.通过学生自主探究，会根据传播问题，百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题解题的具体步骤.3.通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准.数学思考与问题解决1.通过列一元二次方程解决实际问题，培养学生的“模型思想”和对数学的“应用意识”.2.在病毒的传播问题中要弄清每一轮的传播源(即每一轮的感染者也是下一轮的传播者)，同时要注意与细胞分裂、电脑病毒的传播等问题的区别与联系；在百分率问题中，注意弄清数量与百分率的关系，会归纳总结出增长率(降低率)问题的等量关系.情境态度通过列方程解决实际问题，让学生体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，感知数学与生活的密切联系，体会数学知识应用的价值，不断提高学生学习数学的兴趣.重点难点重点利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题.难点如何理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题、百分率问题中的数量关系.教学设计活动1 创设情境一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共多少人？分析：设这个小组x人，那么每个人要送给除了他自己以外的人，共送张贺卡，由此可列方程： .提出问题：列一元二次方程解决实际问题的步骤有哪些？总结：(1)审：认真审题，分清题意，弄清已知量和未知量，寻找相等关系；(2)设：就是设未知数，分直接设未知数和间接设未知数，到底选择何种方式设未知数，要以有利于列出方程为准则；(3)列：就是根据题目中的已知量和未知量之间的关系列出方程；(4)解：就是求出所列方程的解；(5) 就是检验方程的解.首先检验计算是否正确，然后检验每个解是否复合问题的实际意义，再正确取舍；(6)答：就是对实际问题进行回答.提出问题：列一元二次方程解决实际问题的步骤与列一元一次方程解决实际问题的一般步骤有哪些相同点和不同点？活动2 探究新知例1 教材第19页探究2变化率问题.提出问题：(1)如何比较哪种药品成本的年平均下降率较大？(2)本题中应该如何设未知数？如何列方程？(3)讨论：在本题解方程的过程中，方程有两个解应该怎么办？(4)哪种药品成本的年平均下降率较大？哪种药品成本的年平均下降额较大？(5)讨论：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？总结:变化率问题的公式若平均增长(或降低)的百分率为x ，增长(或降低)前的量是a ，增长(或降低)n 次后的量是b ，则它们的数量关系可表示为b x a n=±)1((其中增长取＋，降低取－).例2 教材第19页探究1传播问题.提出问题：(1)本题中的已知量未知量分别是什么？(2)本题中我们设直接未知数还是间接未知数？(3)本题中的数量关系是什么？设每轮传染中平均一个人传染x 个人，那么①患流感的这个人在第一轮传染中传染了 人；第一轮传染后，共有 人患了流感.②在第二轮传染中传染源是 人，这些人中每一个人有传染了 人，第二轮传染后，共有 人患流感.(4)怎么列方程？(5)方程的解是多少？10和－12都是这个实际问题的解吗？(6)如果按这样的传染速度，三轮传染后有多少人患了流感？(7)请观察式子)1(1x x x +++与[])1(1)1(1x x x x x x x +++++++能不能化简？请在课后写出表示四轮传染、五轮传染后的患病人数的代数式，并猜测n 轮传染后的患病人数.活动3 练习巩固1.参加篮球联赛的每两队之间都进行了两次比赛(双双循环比赛)，共要比赛90场，共有多少个队参加了比赛？2.某商场2014年的经营中，一月份的营业额为200万元.一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求平均每月营业额的增长率.3.某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？ 活动4 课堂小结与作业布置课堂小结1. 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤是哪些？2.列一元二次方程解决实际问题中，最关键是那一步？检验应该要注意什么？3.变化率问题和传播问题有什么规律？布置作业教材21－22页习题21.3第2—7题.。
22.3实际问题与一元二次方程(第一课时)
是同一场比赛,所以全部比赛共 即
1 x( x 1) 28 2
化简:得
1 x( x 1) 2
场.
2 x 56 0 x
?
探究1: 有一人患了流感,经过两轮传染后共有
121人患了流感,每轮传染中平均一个人 传染了几个人?
解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则第一轮后共有 X+1 人患了流感,第二轮后共有x(x+1) 人患了流感. 列方程得 1+x+x(x+1)=121
x
∴(1 x)2 1 36% ∴1 x 0.8
∴ x1 0.2 x2 1.8
． 答：平均每月降价
x2 1.8 不合题意舍去． ∴ x 0.2 20%
20％ ．
例1. 某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000 元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银 行，若银行存款的利率不变，到期后得本金和利息共1155元，求 这种存款方式的年利率． 解：设这种存款方式的年利率为
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后
甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本 为 5000(1-x)2 元,依题意得
5000 (1 x) 3000
2
解方程,得
x 0.225, x 1.775(不合题意, 舍去)
1 2
答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
x2+2x-120=0 解方程,得 x1=-12, x2=10
根据问题的实际意义,x=10
答:每轮传染中平均传染速度,三轮传染后有多少人患流感?
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究 1
有一个人患了流感，经过两轮传染 后共有121人患了流感，每轮传染 中平均一个人传染了几个？
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．
开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了 x个人，用代数式表示，第一轮后共有_______人患了流感； 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代 xx 1 数式表示，第二轮后共有_______人患了流感．
答：每个支干长出9个小分支．
2.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两 次比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加 比赛．
解：设有x个队参加比赛 根据题意可列方程 x ( x － 1 ) = 90. x2－x －90 = 0. 整理得 解得 x1=10, x2=－9(不符合题意舍去). 答：共有10队参加比赛．
乙种药品成本的年 平均下降率是多少？ 请比较两种药品成 本的年平均下降 率．
经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较 大的药品，它的成本下降率一定也较大吗？应 怎样全面地比较几个对象的变化状况？ 得到的结论就是：甲乙两种药品的平均下降率 相同 成本下降额较大的药品，它的成本下降率 不一定较大．
不但要考虑它们的平均下降额，而且要考虑它 们的平均下降率．
解方程，得: 5000（1－x）2=3000 x1≈0.225，x2≈1.775 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降 率约为22.5％ 设乙种药品的下降率为y 列方程 6000 ( 1－y )2 = 3600 解方程，得 y1≈0.225，y2≈－1.775 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下 降率约为22.5％ 甲乙两种药品成本的平均下降率相同，都是22.5％
青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200kg， 2003年平均每公顷产8450kg，求水稻每公顷 产量的年平均增长率． 解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x， 根据题意可列方程
7200 ( 1 + x )2 = 8450. ( 1 + x )2 ≈ 1.17. 解得 x1 ≈ 0.08 x2 ≈－2.08 ( 不符合实际舍去 ). 答：水稻每公顷产量的年平均增长率约为8％．
探 究 2 两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生 产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技 术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是 3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元， 哪种药品成本的年平均下降率较大？
分析：容易求出，甲种药品成本的年平均下降额为：
（5000－3000）÷2＝1000（元） _________________________
乙种药品成本的年平均下降额为：
（6000－3600）÷2＝1200（元） __________________________________
显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．但是年
平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）
设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲 种药品成本为5000（1－x）元，两年后甲种药品 成本为5000（1－x）2元，于是有
1.某种植物的主干长出若干树木的支干,每个 支干又长出同样数目的小分支,主干、支干、 和小分支的总数是91，每个支干长出多少小 分支？ 解：设每个支干长出x个小分支． 根据题意可列方程 1 + x + x2 =91 整理得 解得
x2 + x －90 = 0
x1=9, x2= －10(不符合题意舍去)
x 1
列方程
1＋x+x(1+x)=121
解方程，得 10 －12 x1=_____, x2=_____. 10 平均一个人传染了______个人．
三轮传染的总人数为: ( 1 + x ) + x ( 1 + x ) + x ( 1 + x )(1+x) = 11+110+1210 = 1331 平均每人传染10人，第二轮传染的人数是 110人，第三轮为10×121＝1210，三轮共传 染了1+10+110+1210＝1331人