二次函数在闭区间上的最值教案

专题课：二次函数在闭区间上的最值授课人：高一数学组——商丽君【教学设计说明】1．教材分析《二次函数》是高中数学（必修）的内容，是在学习了《函数》一节内容之后编排的。

通过本节课的学习，既可以对二次函数的概念等知识进一步巩固和深化，又可以为后面进一步学习利用函数的图象来研究函数的性质打下坚实的概念和图象基础，又因为加上参数的二次函数是进入高中以后学生遇到的新的问题，虽说在初中学生接触过二次函数，但是毕竟初中的要求比较少。

只需掌握必要的求配方、顶点坐标、对称轴方程、最值作图等。

而在高中阶段需要研究二次函数完整的函数知识，为初步培养函数的应用意识打下了良好的学习基础。

所以本课题不仅是本章《函数》的重点内容，也是高中阶段的主要研究内容之一，有着不可替代的重要作用。

2．教法说明由于这节课的特殊地位，在本节课的教法设计中，我力图通过这一节课的教学达到不仅使学生理解并能简单应用所学的知识，更期望能引领学生掌握一般思路和方法，为今后研究其它的函数做好准备，从而达到培养学生学习能力的目的。

我根据自己对“启发式”教学模式和“情景式”教学模式的认识，将二者结合起来1.创设问题情景2.突出图象的作用3.注意数学与生活和实践的联系和体现。

3．教学手段运用说明在教学手段方面我选择了ppt多媒体辅助教学的方式。

为教师进行教学演示和学生的观察和发现提供了平台。

4．教学过程设计说明在设计本节课的教学过程中，本着遵循学生的认知规律、让学生去经历知识的形成与发展过程的原则，我设计了如下的教学程序，启发学生逐步发现问题。

1）创设情景、导入新课教师活动：给出实例（应用题），得出本课研究重点。

学生活动：①分别写出面积S与x的关系式②发现参数a，困难形成。

设计意图：通过生活实例激发学生的学习动机，培养学生思维的主动性，为突破难点做好准备；2）启发诱导、探求新知教师活动：①给出一个简单的二次函数并要求学生画它们的图象②在区间变化的过程中，不断给出问题引导。

学生活动：①画出函数图象②学习解题的方法③归纳。

设计意图：让学生动手作简单的二次函数的图象对深刻理解本节课的内容有着一定的促进作用，在学生完成基本作图之后，教师再利用提问的方式，步步深入，让学生自然而然地发现问题解决方法。

然后借助多媒体将问题一般化。

推广到一般情况，学生就会很自然的通过观察图象总结出规律，同时对于a讨论也就变得顺理成章。

3）巩固新知、举一反三教师活动：①板书②规范步骤学生活动：①交流、讨论②得出结论，在解决问题之后，扩展视野，体会数学的应用价值。

设计意图：本环节的设计目的是实现学生知识的应用，完成学生学习的“实践―――认识―――再实践”过程，力求通过例题的讲授、规范的板书养成学生良好地解题习惯，起到教师的示范作用。

4）归纳小结、深化目标教师活动：①引导学生对课堂知识进行归纳，完成对分类讨论、数形结合等数学方法的归纳；②布置课后及拓展作业学生活动：完成课内小结并通过课后作业进一步深化学习目标。

设计意图：教师在本环节引导学生对知识点进行梳理，深化知识与技能目标，并通过作业实现目标的巩固。

5．学法说明1.领会常见数学思想方法。

在借助图象研究问题时会遇到分类讨论、数形结合等基本数学思想方法，这些方法将会贯穿整个高中的数学学习。

2.在互相交流和自主探究中获得发展。

在生活实例的课堂导入、问题研究、例题与训练、课内小节等教学环节中都安排了学生的讨论、分组、交流等活动，让学生变被动的接受和记忆知识为在合作学习的乐趣中主动地建构新知识的框架和体系，从而完成知识的认知过程。

3.注意学习过程的循序渐进。

在问题、图象、应用、拓展的过程中按照先易后难的顺序层层递进，让学生感到有挑战、有收获，跳一跳，够得着，不同难度的题目设计将尽可能照顾到课堂学生的个体差异。

【教案】一、教学目标（1）知识与技能：学会利用二次函数的图象和性质，解决在区间变化或对称轴变化时最值的求法；（2）过程与方法：经历用多媒体技术探索二次函数当区间变化或对称轴变化时对函数最值的影响；（3）情感、态度、价值观：通过实例的引入，学生体会数学来源于生活，感悟数形结合及分类讨论的解题思想。

二、教学重点：区间或对称轴变化时二次函数最值的求法。

三、教学难点：对称轴含参数时二次函数最值的求法。

四、教学手段和方法：运用多媒体技术，探索启发。

五、教学过程：1.创设情景、导入新课课本例：2010年世博会将在上海召开。

筹备委员会计划利用边长为2，a(a>2)长方形旧场地（如图）改造成室内展区（图中阴影）和露天展区两部分，现被平行于两边的线段所分割。

为使室内展区面积S 最小，应如何分割？分析：问题①：求出解析式S （x ）;引导学生看图，找出S 与x 的的等量关系。

（学生思考）得出：[]2()()(2);0,2S x x a x x x =+--∈化简得：（二次函数）[]2222124()2(2)2,[0,2].()2();0,248a a a S x x a x a x S x x x +-+-=-++∈=-+∈得到问题：即求含参数二次函数在区间[0，2]的最小值。

问题②：含参数二次函数在区间[0，2]的最小值.（给出本课研究重点） [设计意图由应用实例引入新课，激发兴趣。

] 2.启发诱导、探求新知 给出例1：已知函数322--=x x y ，求函数()y f x =在下列区间上的最值。

（1）[]2,0x ∈-；（2）[]2,4x ∈；（3）1522,⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（4）()[]2232f x x x ,x t,t =--∈+ 过程：1）对称轴为[]12,0x =∉-.由图象得：max min ()(2)5()(0)3f x f f x f =-===-(指出对称轴与区间位置特征)2）对称轴[]12,4x =∉. 由图象得：()()54max ==f x f ，()()32min -==f x f (指出对称轴与区间位置特征)3）对称轴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=25,211x .由图象得：()4725max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f x f ，()()41min -==f x f (指出对称轴与区间位置特征)引导学生的得出规律——二次函数的最值与区间之间存在着某种关系？(教师引导、学生讨论)总结规律：求二次函数最值问题时，要紧紧抓住对称轴和区间的位置关系。

分为四种情况： （1）对称轴在区间右边 （2）对称轴在区间左边（3）对称轴在区间内，且靠近左端点 （4）对称轴在区间内，且靠近右端点针对不同的位置，二次函数的最值得取法（让学生阐述）使学生体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用运动的观点看问题。

归纳：在闭区间[]n m ,上，求二次函数()()20f x ax bx c a =++>最值的一般步骤：（1）配方： （2）判断2b a -是否属于闭区间[]n m ,：①[]2b m,n a -∈，()2424min b ac b x ,f x a a-=-=时最大值在闭区间端点处取得，为()f m 与()f n 中的最大者；②[]2bm,n a-∉，()f x 在[]n m ,上是单调函数，()f m 与()f n 中最大的为最大值，最小的为最小值. 注：二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，对于函数()()20f x ax bx c a =++<在[]n m ,上的最值类似方法求得. （4）定轴动区间解析：对称轴为 x =1 固定不变,要求函数的最值, 即要看区间[t ,t +2]与对称轴 x =1的位置,则从以下几个方面解决（用幻灯片做出动画）注：①a >0时，求最小值分三种情况讨论，因为最小值可能在区间端点处取得；求最大值时分两种情况讨论，因为最大值只可能在区间的两个端点处取得。

同理a <0时，求最小值分两种情况讨论；求最大值时分三种情况讨论。

②最值的结果用分段函数形式写出。

例2：求二次函数()322--=ax x x f 在闭区间[3,4]上的最小值。

（学生板演，教师点评）归纳：二次函数()20y ax bx c a =++>在闭区间[m ,n ]上的最值一般分对称轴在区间的左、中、右三种情况进行讨论：小结：本节课我们主要学习了以下三种二次函数在闭区间上的最值：1 .区间和对称轴都已知；2 .只有区间已知；3 .只有对称轴已知； 3.巩固新知、举一反三例2：已知函数2223,y x ax a =-+-若[]1,2,x ∈-求函数最大值()M a 及最小值()m a 。

学生分析：讨论对称轴x=a 与区间[-1，2]的位置关系。

当 时(,1)a ∈-∞-2max 2min ()()(2)41()()(1)22f x M a f a a f x m a f a a ===-+==-=+-S()22424b ac b f x a(x )a a-=++2bm a-2bm n a≤-≤2bn a-()f n ()f n ()f m ()f m 最大值最小值()2bf a-f (m )与f (n )中的较大者类别当 时①当②当 当 时 综上所述：（回到引入课题） 求函数[]222124()2();0,248a a a S x x x +-+-=-+∈的最小值。

得对称轴24a x +=2a > 且只需求最小值∴只需讨论两种情况：①当[]20,2264a a +∈⇒<≤时2min 2124()()48a a a S x S +-+-== ②当()22,64a a +∈+∞⇒>时min ()(2)4S x S == 推广：思考问题（5）若[],2x t t ∈+，求函数223y x x =-- 的最值。

(学生课后讨论解决)本环节的目的是实现学生知识的应用，完成“实践―――认识―――再实践”过程，力求通过例题的讲授、规范的板书养成学生良好地解题习惯，起到教师的示范作用。

4.归纳小结、深化目标小结：利用分类讨论思想来解决含参数的二次函数的最值问题。

主要抓住二次函数对称轴与所给区间之间的不同位置关系，存在四种情况，针对不同情况，最值也随之变化。

作业：1、求函数221,[2,1]y x ax x =++∈-的最值。

2、求函数221,[,1]y x x x m m =+-∈+的最值。

3、若函数221,[0,1]y x ax a x =-++-∈的最大值为2，求a 。

[]1,2a ∈-min ()()()3f x m a f a ===-11,;2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2max ()()(2)41f x M a f a a ===-+1,2;2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦2max ()()(1)22f x M a f a a ==-=+-(2,)a ∈+∞2max 2min ()()(1)22()()(2)41f x M a f a a f x m a f a a ==-=+-===-+()M a =241a a -+222a a +-1,21,2a a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭(),1a ∈-∞-()m a =222a a +-3-241a a -+[]1,2a ∈-()2,a ∈+∞。