2021年高考数学总复习第66讲：独立重复试验与二项分布练习题及答案解析
高考数学重点专项：独立重复试验与二项分布(含详细解析部分)
高考数学重点专项：独立重复试验与二项分布（含详细解析部分）问题导学一、独立重复试验活动与探究1某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后面第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．迁移与应用1．(2013四川广元模拟)打靶时，某人每打10发可中靶8次，则他打100发子弹有4发中靶的概率为()A．C41000.84×0.296B．0.84C．0.84×0.296D．0.24×0.2962．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为__________．(1)n次独立重复试验的特征：①每次试验的条件都完全相同，有关事件的概率保持不变；②每次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立；③每次试验只有两种结果，这两种可能的结果是对立的．(2)独立重复试验概率求解的关注点：①运用独立重复试验的概率公式求概率时，要判断问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，判断时可依据n次独立重复试验的特征．②解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．二、二项分布活动与探究2某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社会医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A，B，C三家社区医院，并且他们的选择相互独立．设4名参加保险人员选择A社区医院的人数为X，求X的分布列．迁移与应用1．某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现在连续射击4次，则击中目标的次数X的概率分布列为__________．2．如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域，用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动)，且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每位家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(a，b)(假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动)．若规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．(1)求某个家庭获奖的概率；(2)若共有5个家庭参加家庭抽奖活动，记获奖的家庭数为X，求X的分布列．利用二项分布来解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．三、二项分布的综合应用活动与探究3甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错者得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．迁移与应用某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min．(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min的概率．对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式，最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解．答案：课前·预习导学【预习导引】1．相同预习交流1提示：①在相同条件下重复做n次试验的过程中，各次试验的结果都不会受到其他试验结果的影响，即P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)，A i(i＝1,2，…，n)是第i次试验的结果．②在独立重复试验中，每一次试验只有两个结果，也就是事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中，某事件发生的概率都是一样的．2．C k n p k(1－p)n－k成功概率预习交流2(1)提示：两点分布是特殊的二项分布，即X～B(n，p)中，当n＝1时，二项分布也就是两点分布，因此它们的关系是特殊与一般的关系．(2)提示：B课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(准确或不准确)，符合独立重复试验模型．解：(1)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8．5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P＝25C×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率为0.05．(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝05C×(0.2)5＋15C×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01．∴所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99．(3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．∴概率为P＝C14×0.8×0.23×0.8＝0.020 48≈0.02．∴恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02．迁移与应用1．A解析：由题意可知中靶的概率为0.8，故打100发子弹有4发中靶的概率为C4100·0．84×0．296．2．827解析：每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，设申请A片区房源记为A，则P(A)＝13，∴恰有2人申请A片区的概率为P(2)＝24C·⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫232＝827．活动与探究2思路分析：本题符合二项分布模型，根据题意，可直接利用二项分布的概率计算方法解答．解：由已知每位参加保险人员选择A社区的概率为13，4名人员选择A社区即4次独立重复试验，即X～B⎝⎛⎭⎫4，13，∴P (X＝k)＝4C k·⎝⎛⎭⎫13k·⎝⎛⎭⎫234－k＝4C k·24－k81(k＝0,1,2,3,4)，∴X的分布列为迁移与应用1．由已知，n＝4，p＝0.8，P(X＝k)＝C k4×0.8k×0.24－k，k＝0,1,2,3,4，∴P(X＝0)＝C04×0.80×0.24＝0.001 6，P(X＝1)＝C14×0.81×0.23＝0.025 6，P (X ＝2)＝C 24×0.82×0.22＝0.153 6，P (X ＝3)＝C 34×0.83×0.21＝0.409 6，P (X ＝4)＝C 44×0.84×0.20＝0.409 6． ∴X 的概率分布列为2．解：(1)记事件A 3种情况，∴P (A )＝13×13＋13×13＋13×13＝13．∴某个家庭获奖的概率为13．(2)由(1)知每个家庭获奖的概率都是13，5个家庭参加游戏相当于5次独立重复试验．∴X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13． ∴P (X ＝0)＝05C ·⎝⎛⎭⎫130·⎝⎛⎭⎫235＝32243，P (X ＝1)＝15C ·⎝⎛⎭⎫131·⎝⎛⎭⎫234＝80243，P (X ＝2)＝25C ·⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫233＝80243，P (X ＝3)＝35C ·⎝⎛⎭⎫133·⎝⎛⎭⎫232＝40243，P (X ＝4)＝45C ·⎝⎛⎭⎫134·⎝⎛⎭⎫231＝10243，P (X ＝5)＝55C ·⎝⎛⎭⎫135·⎝⎛⎭⎫230＝1243． ∴X 的分布列为活动与探究3 思路分析：解：(1)由已知，甲队中3人回答问题相当于3次独立重复试验，∴ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，23． P (ξ＝0)＝03C ×⎝⎛⎭⎫1－233＝127， P (ξ＝1)＝13C ×23×⎝⎛⎭⎫1－232＝29， P (ξ＝2)＝23C ×⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－23＝49，P (ξ＝3)＝33C ×⎝⎛⎭⎫233＝827， 所以ξ的分布列为(2)用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，AB ＝C ∪D ，C ，D 互斥．P (C )＝23C ×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛ 23×13×12＋13×⎭⎫23×12＋13×13×12＝1081． P (D )＝827×⎝⎛⎭⎫1－23⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－12＝4243． ∴P (AB )＝P (C )＋P (D )＝1081＋4243＝34243．迁移与应用 解：(1)记“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A ．因为事件A 等价于事件“这名学生在第一和第二个路口都没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 发生的概率为：P (A )＝⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－13×13＝427． (2)记“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min ”为事件B ，“这名学生在上学路上遇到k 次红灯”为事件B k (k ＝0,1,2,3,4)．由题意，得P (B 0)＝⎝⎛⎭⎫234＝1681，P (B 1)＝C 14×⎝⎛⎭⎫131×⎝⎛⎭⎫233＝3281， P (B 2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫232＝827． 由于事件B 等价于事件“这名学生在上学路上至多遇到2次红灯”，所以事件B 发生的概率为P (B )＝P (B 0)＋P (B 1)＋P (B 2)＝89． 当堂检测1．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是( ) A ．49125 B ．48125 C ．1625 D ．925答案：B 解析：∵每1粒发芽的概率为定值，∴播下3粒种子相当于做了3次试验，设发芽的种子数为X ，则X 服从二项分布，即X ～B 43,5⎛⎫⎪⎝⎭， ∴P (X ＝2)＝C23×214155⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝48125．故选B ．2．设随机变量ξ服从二项分布ξ～B 162⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则P (ξ≤3)等于( )A ．1132B ．732C ．2132D ．764答案：C 解析：P (ξ≤3)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝6666012366661111C C C C 2222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++＝2132． 3．一只蚂蚁位于数轴x ＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为23，向左移动的概率为13，则3秒后，这只蚂蚁在x ＝1处的概率为__________． 答案：49解析：由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位，向右移动两个单位，所以蚂蚁在x ＝1处的概率为2123214C 339⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．4．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论： ①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1； ③他至少击中目标1次的概率是1－0.14．其中正确结论的序号是__________．(写出所有正确结论的序号)答案：①③ 解析：②中恰好击中目标3次的概率应为34C ×0.93×0.1＝0.93×0.4，①③正确．5．9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5．若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．求：(1)甲坑不需要补种的概率； 答案：解：因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝18，所以甲坑不需要补种的概率为1－18＝78＝0.875． (2)3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率； 答案：3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为21371C 0.04188⎛⎫⨯⨯≈ ⎪⎝⎭．(3)有坑需要补种的概率．(精确到0.001)答案：方法一：因为3个坑都不需要补种的概率为378⎛⎫⎪⎝⎭，所以有坑需要补种的概率为1－378⎛⎫⎪⎝⎭≈0.330．方法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为21317C 0.28788⎛⎫⨯⨯≈ ⎪⎝⎭；恰有2个坑需要补种的概率为22317C 0.04188⎛⎫⨯⨯≈ ⎪⎝⎭；3个坑都需要补种的概率为33317C 0.00288⎛⎫⎛⎫⨯⨯≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以有坑需要补种的概率为0.287＋0.041＋0.002＝0.330．。
2021学年高中数学2.2.3独立重复试验与二项分布课堂练习含解析人教A版选修2_3.doc
第二章 2.2 2.2.31．下列随机变量X 不服从二项分布的是( B )A ．投掷一枚均匀的骰子5次，X 表示点数为6出现的次数B ．某射手射中目标的概率为p ，设每次射击是相互独立的，X 为从开始射击到击中目标所需要的射击次数C ．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X 表示甲获胜的次数D ．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X 表示下载n 次数据电脑被病毒感染的次数[解析] 选项A ，试验出现的结果只有两种：点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中都为16，每一次试验都是独立的，故随机变量X 服从二项分布；选项B ，虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种，每一次试验事件相互独立且概率不发生变化，但随机变量的取值不确定，故随机变量X 不服从二项分布；选项C ，甲、乙的获胜率相等，进行5次比赛，相当于进行了5次独立重复试验，故X 服从二项分布；选项D ，由二项分布的定义，可知被感染次数X ～B (n,0.3)．2．设在一次试验中事件A 出现的概率为p ，在n 次独立重复试验中事件A 出现k 次的概率为p k ，则( B )A ．p 1＋p 2＋…＋p n ＝1B ．p 0＋p 1＋p 2＋…＋p n ＝1C ．p 0＋p 1＋p 2＋…＋p n ＝0D ．p 1＋p 2＋…＋p n －1＝1[解析] 由题意可知ξ～B (n ，p )，由分布列的性质可知 k ＝0np k ＝1．3．一个学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值为( C )A ．6B ．5C ．4D ．3[解析] 由1－C 0n (1－12)n >0.9得(12)n <0.1，∴n ≥4．4．某处有水龙头5个，调查表明每个水龙头被打开的概率都为110，若随机变量ξ表示同时打开的水龙头的个数，则P (ξ＝3)＝__0.0081__．[解析] 由题意，知ξ～B (5，110)，则P (ξ＝3)＝C 35(110)3·(1－110)2＝0.0081．5．一个布袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中每次取一个球，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数ξ是一个随机变量，试求ξ＝12的概率．[解析] 记事件A 表示“取到红球”，则事件A 表示“取到白球”，P (A )＝38，P (A )＝58，ξ＝12表示事件A 在前11次独立重复试验中恰有9次发生且第12次试验也发生，故P (ξ＝12)＝C 911×(38)9×(58)2×38＝C 911×(38)10×(58)2≈0.0012．。
高三复习数学233_独立重复试验与二项分布(二)(有答案)
2.3.3 独立重复试验与二项分布(二)一、解答题。
1. 某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作，且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9．求发生险情时，下列事件的概率： 3台都未报警；恰有1台报警；恰有2台报警．2. 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ） A.12 B.512C.14D.163. 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． 任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列．4. 某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响． 假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总分数，求ξ的分布列．5. （2018四川南充高三第一次适应性考试）一个盒子中装有大量形状大小一样但质量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的质量（单位：克），质量分组区间为[5,15]，(15,25]，(25,35]，(35,45]，由此得到样本的质量频率分布直方图（如图）．求a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球质量的众数与平均值；从盒子中随机抽取3个小球，其中质量在[5,15]内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望．（以频率分布直方图中的频率作为概率）6. 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动，质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动六次后位于点(4,2)的概率是（ ）A.(12)6B.C 62(12)6C.C 64(12)4D.C 64C 62(12)67. 高二（1）班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为13，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验．第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次发芽成功的概率；第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但实验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布列．8. 某校要组建明星篮球队，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩A 级的可作为入围选手，选拔过程中每人投篮5次，若投中3次则确定为B 级，若投中4次及以上可确定为A 级，已知某班同学阿明每次投篮投中的概率为0.5．求阿明投篮4次才被确定为B 级的概率；设阿明投篮投中次数为X ，求X 的分布列；若连续两次投篮不中则停止投篮，求阿明不能入围的概率．参考答案与试题解析2.3.3 独立重复试验与二项分布(二)一、解答题。
高中数学知识点题库 111独立重复试验与二项分布
1．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为P1和P2．则（）A、P1=P2B、P1＜P2C、P1＞P2D、以上三种情况都有可能答案：D解析：每箱的选中的概率为1/10，总概率为1-0.910；题干评注：独立重复试验与二项分布问题评注：独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验。
2．设随机变量ξ的概率分布为P（ξ=k）=p k•（1-p）1-k（k=0，1），则Eξ、Dξ的值分别是（）A、0和1B、p和p2C、p和1-pD、p和（1-p）p答案：D解析：设随机变量ξ的概率分布为P（ξ=k）=p k•（1-p）1-k（k=0，1），则P（ξ=0）=p，P（ξ=1）=1-pEξ=0×p+1×（1-p）=1-p，Dξ=[0-（1-p）]2×p+[1-（1-p）]2×（1-p）=p（1-p）．题干评注：独立重复试验与二项分布问题评注：独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验。
二项分布是在每次试验中只有两种可能的结果,而且是互相对立的，是独立的，与其它各次试验结果无关，结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变。
3．已知随机变量x服从二项分布x～B（6，1/3），则P（x=2）=（）A、3/16B、4/243C、16/243D、80/243答案：D解析：x～B（6，13）表示6此独立重复试验，每次实验成功概率为1/3，P（x=2）表示6次试验中成功两次的概率．题干评注：独立重复试验与二项分布问题评注：独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验。
二项分布是在每次试验中只有两种可能的结果,而且是互相对立的，是独立的，与其它各次试验结果无关，结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变。
2021版新高考数学：节n次独立重复试验与二项分布含答案
A ．12B ．512C ．14D ．16B [因为两人加工成一等品的概率分别为23和34、且相互独立、所以两个零件中恰好有一个一等品的概率P ＝23×14＋13×34＝512.]3．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题、则在第1次抽到文科题的条件下、第2次抽到理科题的概率为( )A ．12B ．25C ．35D ．34D [根据题意、在第1次抽到文科题后、还剩4道题、其中有3道理科题；则第2次抽到理科题的概率P ＝34、故选D.]4．一批产品的二等品率为0.02、从这批产品中每次随机抽取一件、有放回地抽取100次、X 表示抽到的二等品的件数、则X 服从二项分布、记作________．X ～B (100、0.02) [根据题意、X ～B (100、0.02).](对应学生用书第199页)考点1 条件概率公式、得P(B|A)＝P（AB）P（A）＝11025＝14.法二(缩小样本空间法)：事件A包括的基本事件：(1、3)、(1、5)、(3、5)、(2、4)共4个．事件AB发生的结果只有(2、4)一种情形、即n(AB)＝1.故由古典概型概率P(B|A)＝n（AB）n（A）＝14.]2．(20xx·运城模拟)有一批种子的发芽率为0.9、出芽后的幼苗成活率为0.8、在这批种子中、随机抽取一粒、则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．0.72[设“种子发芽”为事件A、“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽、又成活为幼苗).出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8、P(A)＝0.9、根据条件概率公式得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72、即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.]判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的“已知”“在……前提下(条件下)”等字眼．第2题中没有出现上述字眼、但已知事件的发生影响了所求事件的概率、也认为是条件概率问题．运用P(AB)＝P(B|A)·P(A)、求条件概率的关键是求出P(A)和P(AB)、要注意结合题目的具体情况进行分析．考点2相互独立事件的概率考点3独立重复试验与二项分布独立重复试验的概率独立重复试验概率求解的策略(1)首先判断问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验、判断时注意各次试验之间是相互独立的、并且每次试验的结果只有两种、在任何一次试验中、某一事件发生的概率都相等、然后用相关公式求解．(2)解此类题时常用互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．。
高中数学独立重复试验与二项分布综合测试题(附答案)-精选教学文档
高中数学独立重复试验与二项分布综合测试题（附答案）独立重复试验与二项分布一、选择题1．某一试验中事件A发生的概率为p，则在n次这样的试验中，A发生k次的概率为()A．1－pkB．(1－p)kpn－kC．(1－p)kD．Ckn(1－p)kpn－k[答案] D[解析] 在n次独立重复试验中，事件A恰发生k次，符合二项分布，而P(A)＝p，则P(A)＝1－p，故P(X＝k)＝Ckn(1－p)kpn－k，故答案选D.2．在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为6581，则事件A在1次试验中发生的概率为()A.13B.25C.56D.34[答案] A[解析] 事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1－C04p0(1－p)4＝6581，所以1－p＝23，p＝13，故答案选A.3．流星穿过大气层落在地面上的概率为0.002，流星数为10的流星群穿过大气层有4个落在地面上的概率为() A．3.3210－5 B．3.3210－9C．6.6410－5 D．6.6410－9[答案] B[解析] 相当于1个流星独立重复10次，其中落在地面上的有4次的概率P＝C4100.0024(1－0.002)63.3210－9，应选B.4．已知随机变量X服从二项分布，X～B6，13，则P(X＝2)等于()A.316B.4243C.13243D.80243[答案] D[解析] 已知X～B6，13，P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，当X＝2，n＝6，p＝13时有P(X＝2)＝C261321－136－2＝C26132234＝80243.5．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是()A.16625B.96625C.192625D.256625[答案] B[解析] P＝C24452152＝96625.6．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第次首次测到正品，则P(＝3)＝()A．C2314234 B．C2334214C.14234D.34214[答案] C7．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则他恰好击中目标3次的概率为()A．0.930.1B．0.93C．C340.930.1D．1－0.13[答案] C[解析] 由独立重复试验公式可知选C.8．(2019保定高二期末)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是()A．(12)5 B．C25(12)5C．C35(12)3 D．C25C35(12)5[答案] B[解析] 由于质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动二次，向上移动三次，故其概率为C35(12)3(12)2＝C35(12)5＝C25(12)5.二、填空题9．已知随机变量X～B(5，13)，则P(X4)＝________. [答案] 1124310．下列例子中随机变量服从二项分布的有________．①随机变量表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数；③有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数(MN)；④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数．[答案] ①③[解析] 对于①，设事件A为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，P(A)＝13.而在n次独立重复试验中事件A恰好发生了k次(k＝0,1,2，……，n)的概率P(＝k)＝Ckn13k23n －k，符合二项分布的定义，即有～B(n，13)．对于②，的取值是1,2,3，……，P(＝k)＝0.90.1k－1(k＝1,2,3，……n)，显然不符合二项分布的定义，因此不服从二项分布．③和④的区别是：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中n次试验是不独立的，因此不服从二项分布，对于③有～Bn，MN.故应填①③.11．(2019湖北文，13)一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．[答案] 0.9477[解析] 本题主要考查二项分布．C340.930.1＋(0.9)4＝0.9477.12．如果X～B(20，p)，当p＝12且P(X＝k)取得最大值时，k＝________.[答案] 10[解析] 当p＝12时，P(X＝k)＝Ck2019k1220－k＝1220Ck20，显然当k＝10时，P(X＝k)取得最大值．三、解答题13．在一次测试中，甲、乙两人独立解出一道数学题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的概率是0.36，写出解出该题人数X的分布列．[解析] 设甲、乙独立解出该题的概率为x，由题意1－(1－x)2＝0.36，解得x＝0.2.所以解出该题人数X的分布列为X 0 1 2P 0.64 0.32 0.0414.已知某种疗法的治愈率是90%，在对10位病人采用这种疗法后，正好有90%被治愈的概率是多少？(精确到0.01) [解析] 10位病人中被治愈的人数X服从二项分布，即X～B(10,0.9)，故有9人被治愈的概率为P(X＝9)＝C9100.990.110.39.15．9粒种子分种在3个坑中，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用X表示补种的费用，写出X的分布列．[解析] 因为一个坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝18，所以一个坑不需要补种的概率为1－18＝78. 3个坑都不需要补种的概率为C031807830.670，恰有1个坑需要补种的概率为C131817820.287，恰有2个坑需要补种的概率为C231827810.041，3个坑都需要补种的概率为C331837800.002.补种费用X的分布列为X 0 10 20 30P 0.670 0.287 0.041 0.00216.(2019全国Ⅰ理，18)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审．(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(2)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列．[分析] 本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识，以及运用概率知识解决实际问题的能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想．(1)“稿件被录用”这一事件转化为事件“稿件能通过两位初审专家的评审”和事件“稿件能通过复审专家的评审”的和事件，利用加法公式求解．(2)X服从二项分布，结合公式求解即可．[解析] (1)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D表示事件：稿件被录用．则D＝A＋BC，而P(A)＝0.50.5＝0.25，P(B)＝20.50.5＝0.5，P(C)＝0.3 故P(D)＝P(A＋BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝0.25＋0.50.3＝0.4.(2)随机变量X服从二项分布，即X～B(4,0.4)，X的可能取值为0,1,2,3,4，且P(X＝0)＝(1－0.4)4＝0.1296 P(X＝1)＝C140.4(1－0.4)3＝0.3456P(X＝2)＝C240.42(1－0.4)2＝0.3456P(X＝3)＝C340.43(1－0.4)＝0.1536P(X＝4)＝0.44＝0.0256。
高中数学223_独立重复试验与二项分布(一)(有答案)
2.2.3 独立重复试验与二项分布(一)一、选择题。
1. 每次试验的成功率为p (0<p <1)，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ）A.C 103p 3(1−p )7B.C 103p 3(1−p )3C.p 3(1−p )7D.p 7(1−p )32. 10张奖券中含有3张中奖的奖劵，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有1人中奖的概率为（ ）A.C 103×0.72×0.3B.C 31×0.72×0.3C.310D.3A 72⋅A 31A 1033. 某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是（ ） A.1−A 33A 53B.A 32⋅A 21A 53+A 31⋅A 22A 53C.1−(35)3D.C 32×(35)2×(25)+C 31×(35)1×(25)24. 甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）A.C 32(35)3⋅25B.C 32(35)2(23)C.C 43(35)3(25)D.C 43(23)3(13)5. 设两个相互独立事件A 、B 都不发生的概率是19，则A 与B 都发生的概率范围是（ ）A.[0, 89] B.[19, 59]C.[23, 89]D.[0, 49]6. 一台M 型号的自动机床在1小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在1小时内至多2台机床需要工人照看的概率为（ ） A.0.1536B.0.1808C.0.5632D.0.9728二、填空题。
一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为________．（设每次命中的环数都是自然数）一名篮球运动员投篮命中率为60%，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为________一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X=12)等于________．三、解答题。
高中数学 知识点考点解析含答案 知识讲解 独立重复试验与二项分布(理)(基础)
独立重复试验与二项分布【学习目标】1．理解n 次独立重复试验模型及二项分布．2．能利用n 次独立重复试验及二项分布解决一些简单的实际问题． 【要点梳理】要点一、n 次独立重复试验每次试验只考虑两种可能结果A 与A ，并且事件A 发生的概率相同。
在相同的条件下重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，称为n 次独立重复试验。
要点诠释：在n 次独立重复试验中，一定要抓住四点： ①每次试验在同样的条件下进行；②每次试验只有两种结果A 与A ，即某事件要么发生，要么不发生； ③每次试验中，某事件发生的概率是相同的； ④各次试验之间相互独立。
总之，独立重复试验，是在同样的条件下重复的，各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次的试验结果只有两种，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。
要点二、独立重复试验的概率公式 1.定义如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为：()(1)k kn k n n P k C p p -=-（k=0，1，2，…，n ）．令0k =得，在n 次独立重复试验中，事件A 没有发生的概率为．．．．．．．．00(0)(1)(1)n nn n P C p p p =-=- 令k n =得，在n 次独立重复试验中，事件A 全部发生的概率为．．．．．．．．0()(1)n n n n n P n C p p p =-=。
要点诠释：1. 在公式中，n 是独立重复试验的次数，p 是一次试验中某事件A 发生的概率，k 是在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生的次数，只有弄清公式中n ，p ，k 的意义，才能正确地运用公式．2. 独立重复试验是相互独立事件的特例，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更方便．要点三、n 次独立重复试验常见实例：1.反复抛掷一枚均匀硬币2.已知产品率的抽样3.有放回的抽样4.射手射击目标命中率已知的若干次射击 要点诠释：抽样问题中的独立重复试验模型：①从产品中有放回地抽样是独立事件，可按独立重复试验来处理； ②从小数量的产品中无放回地抽样不是独立事件，只能用等可能事件计算；③从大批量的产品中无放回地抽样，每次得到某种事件的概率是不一样的，但由于差别太小，相当于是独立事件，所以一般情况下仍按独立重复试验来处理。
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2021年高考数学总复习第66讲：独立重复试验与二项
分布
1．设随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，1
2，则P (X ＝3)等于( ) A ．5
16
B ．3
16
C ．5
8
D ．38
A [X ～
B ⎝⎛⎭⎫6，12，由二项分布可得，P (X ＝3)＝
C 36⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－123＝516
.] 2．如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为( )
A ．2
3
B ．1
2
C ．3
4
D ．14
B [设女孩个数为X ，女孩多于男孩的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝
C 23×⎝⎛⎭
⎫122×
12＋C 33×⎝⎛⎭⎫123＝3×18＋18＝12
.] 3．(2019·湖北武汉调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，
设事件A 为“4个人去的景点不相同”，事件B 为“小赵独自去一个景点”，则P (A |B )＝( )
A ．2
9
B ．1
3
C ．4
9
D ．59
A [小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种情况，即n (
B )＝108,4个人去的景点不同的情况有A 44＝4×3×2×1＝24种，即n (AB )＝24，∴P (A |B )＝
n (AB )n (B )＝24108＝2
9
.] 4．甲、乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是( )
A ．2
9
B ．4
9
C ．2
3
D ．79
D [甲不跑第一棒共有A 13·A 3
3＝18(种)情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：
①乙跑第一棒，共有A 33＝6(种)情况；②乙不跑第一棒，共有A 12·A 12·A 22＝8(种)情况，∴
甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为6＋818＝7
9
.]
5．(2019·陕西西安质检)中秋节放假，甲回老家过节的概率为1
3，乙、丙回老家过节的概
率分别为14，1
5.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的
概率为( )
A ．59
60
B ．3
5
C ．1
2
D ．160
B [“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A ，B ，
C ，则P (A )＝13，P (B )＝1
4，P (C )
＝15，所以P (A －)＝23，P (B －)＝34，P (C －)＝4
5，由题意知，A ，B ，C 相互独立．所以三人都不回老家过节的概率P (A － B － C －)＝P (A －)P (B －)P (C －)＝2
5.故至少有一人回老家过节的概率P ＝1
－25＝35
.] 6．如图，用K ，A 1，A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为________．
0.864 [可知K ，A 1，A 2三类元件正常工作相互独立．所以当A 1，A 2至少有一个能正常工作的概率为P ＝1－(1－0.8)2＝0.96，所以系统能正常工作的概率为P K ·P ＝0.9×0.96＝0.864.]
7．设由0,1组成的三位编号中，若用A 表示“第二位数字为0的事件”，用B 表示“第一位数字为0的事件”，则P (A |B )＝________.
12 [因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P (B )＝12，第一位数字为0且第二位数字也是0，即事件A ，B 同时发生的概率P (AB )＝12×12＝14，所以P (A |B )＝P (AB )P (B )＝
1
412
＝12.] 8．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第17,18,19,20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这四层的每一层下电梯的概率为1
4
，用ξ表示5位乘客在第20层下电。