第五章离中趋势测量法
描述离中趋势的测定内容
描述离中趋势的测定内容离中趋势是指一个数据集或样本中的数据点偏离中心或均值的趋势。
在统计学和机器学习中，离中趋势的测定是非常重要的，可以用于评估数据集中的数据分布、检测异常值、预测趋势等。
以下是几种常见的离中趋势测定方法:1. 中心度测定 (Centrality Determination):中心度是指一个数据点在网络中的重要性。
在社交网络分析中，中心度可以用于测定一个节点在网络中的中心地位。
在图论中，节点的中心度是指该节点在网络中的度数总和。
在统计学中，中心度可以用于测定数据的中心度。
2. 分布测定 (Distribution Determination):分布是指数据集或样本的分布情况。
在统计学中，分布测定可以用于评估数据的分布形状、对称程度、峰度等。
常用的分布测定方法包括正态分布测定 (Normal Distribution Determination)、偏态分布测定 (Unimodal Distribution Determination)、双态分布测定 (Bimodal Distribution Determination) 等。
3. 异常值检测 (Outlier Detection):异常值是指数据集或样本中偏离正常范围的数据点。
在统计学和机器学习中，异常值检测可以用于检测数据集中的异常值、预测趋势等。
常用的异常值检测方法包括离群值检测 (Outlier Detection)、异常点检测 (Outlier Detection)、离中趋势测定 (Centrality Determination) 等。
4. 趋势测定 (Trend Determination):趋势是指数据集或样本在一定时间内的变化趋势。
在统计学和机器学习中，趋势测定可以用于评估数据的变化情况、预测未来趋势等。
常用的趋势测定方法包括时间序列分析 (Time SeriesAnalysis)、回归分析 (Regression Analysis) 等。
第5章离中趋势度量法
四分位差
(quartile deviation)
1. 对顺序数据离散程度的测度
2. 也称为内距或四分间距
3. 上四分位数与下四分位数之差
Qd = QU – QL 4. 反映了中间50%数据的离散程度
5. 不受极端值的影响
6. 用于衡量中位数的代表性
4 - 20
西北工业大学管理学院
为什么称作标准差
Mary Smith 和Jason Jones都在申请奖学金，Mary 参加的是the Academic College Testing Service (ACT)test ， 成 绩 为 26 ； Jason 参 加 的 是 the Stanford Admission Test (SAT)，成绩是1100。两 类 考 试 的 分 数 范 围 分 别 是 0-36 、 200-1600 ， 那 么 谁将获得奖学金？
M d i1 n
k
组距分组数据
Mi x fi
M d i1 n
4 - 24
西北工业大学管理学院
统计学
STATISTICS
平均差
(例题分析)
某电脑公司销售量数据平均差计算表
按销售量分组
140~150 150 ~ 160 160 ~ 170 170 ~ 180 180 ~ 190 190 ~ 200 200 ~ 210 210 ~ 220 220 ~ 230 230 ~ 240
2040
统计学
STATISTICS
平均差
(例题分析)
k
M d
i 1
Mi x n
fi
2040 120
17(台)
含义：每一天的销售量平均数相比，
第五章离散趋势的测量
• QU＝（1500＋1630）÷2＝1565（元） • QL和QU之间包含了50%的数据，因此，我
们可以说有一半的家庭人均月收入在815～ 1565元之间。 • 根据例3.2资料计算上下四分位数，那么家 庭人均月收入的四分位差为： • QU—QL=?
• 上四分位数 下四分位数: • 数值型分组数据的四分位数(计算公式)
• [例3.17] 从一批产品中随机抽取100件产品
进行质量测试，测试的结果为9Fra bibliotek件合格，4 件不合格，试计算成数的方差和标准差。
• 是非标志的方差、标准差，当时取得最大
值，方差最大值为0.25，标准差最大值为 0.5，也就是说，此时是非标志的变异程度 最大。如某学生群体中男生数和女生数相 等，即男女生的成数均为0.5（50%）， 说明该学生群体性别差异程度最大。是非 标志的方差、标准差的最小值均为0。
•
低 平均指标作为总体各单位某一数量标志的代表值， 其代表性的高低与总体差异程度有直接关系：总 体的标志变异指标值愈大，平均数的代表性愈低； 反之，标志变异指标值愈小，平均数代表性愈高。 另一方面，平均指标代表性的高低同总体各单位 变量值分布的均衡性也有直接关系：总体各单位 变量值分布的均衡性越高，平均指标代表性就越 高；反之，总体各单位变量值分布的均衡性越低, 平均指标代表性就越低。
第二节、全距与四分位差
• 一、全距 • 1、未分组资料计算公式 • 全距又称极差，是一组数据的最大值与最小值之 • •
i
差，用表示。计算公式为： R max( X i ) min( X i ) max( min( ) 式中， X i ) 、 X 分别表示为一组数据的最大值与 最小值。由于全距是根据一组数据的两个极值表 示的，所以全距表明了一组数据数值的变动范围。 越大，表明数值变动的范围越大，即数列中各变 量值差异大，反之，越小，表明数值变动的范围 越小，即数列中各变量值差异小。
离中趋势的含义和
离中趋势的含义和离中趋势，也被称为离散趋势，是统计学中常用于描述一组数据的波动情况的概念。
它表明数据点相对于数据集的中心位置（通常指平均值）的偏差程度。
离中趋势可以帮助我们了解数据的分布规律及变化情况，进而对数据进行更全面的分析和解读。
在本文中，我将详细探讨离中趋势的含义、计算方法以及其在实际应用中的重要性。
离中趋势是一组数据点相对于其平均值的离散程度的度量。
在统计学中，我们常常使用平均数作为数据集的中心位置的代表，因此离中趋势通常是指数据点与平均数之间的偏差。
这个偏差可以分为正偏差和负偏差，分别表示数据点大于平均数和小于平均数。
离中趋势的计算方法有很多种，常见的包括范围（range）、方差（variance）、标准差（standard deviation）和四分位数（quartiles）等。
范围是指数据集中最大值与最小值之间的差异，它可以快速计算出数据的整体离散程度，但忽略了数据分布的形状。
方差是数据点离平均数的偏差的平方和的平均值。
它量化了数据点与平均数之间的距离，可以反映数据的整体离散程度。
然而，由于方差计算得到的单位是原数据单位的平方，难以直观地解释和比较。
标准差是方差的平方根，它与原数据具有相同的单位，更加直观和易于理解。
标准差越大，表示数据的离中趋势越大；标准差越小，表示数据的离中趋势越小。
四分位数是将数据集按大小顺序排列后，将数据分为四等份，分别是最小值、第一四分位数、中位数和第三四分位数。
四分位数可以帮助我们判断数据的分布情况以及离中趋势的大小。
离中趋势在实际应用中具有重要作用。
首先，它可以帮助我们了解数据的波动情况，即数据点相对于平均数的分散程度。
对于金融市场、股票交易等实时数据，离中趋势的计算可以揭示市场的波动性和不确定性，为风险评估和投资决策提供参考。
其次，离中趋势可以帮助我们比较不同数据集之间的差异。
例如，在市场研究中，我们可能需要比较不同地区或不同年份的销售数据，离中趋势可以帮助我们分析并解释这些差异。
第五章 离中趋势测量法
Σ( x − x ) f σ= Σf
2
…………（5.6） （ ）
例4，仍以例 的资料为例说明加权标 ，仍以例2的资料为例说明加权标 准差的计算，见表5－ 。 准差的计算，见表 －4。(FJ5-5)
在实际应用中， 在实际应用中，标准差和方差的计算 可采用下列简单公式计算。 可采用下列简单公式计算。 在资料未分组时，简单公式为： 在资料未分组时，简单公式为：
Z分数的数学性质： 分数的数学性质： 分数的数学性质
分数之和等于零， ⑴Z分数之和等于零，因为： 分数之和等于零 因为： (x − x ) 1 ΣZ = Σ = Σ( x − x ) = 0LLL （5.13） σ σ 分数的算术平均数等于零， ⑵Z分数的算术平均数等于零，因为： 分数的算术平均数等于零 因为： ΣZ Z= = 0LLL （5.14） n 分数的标准差等于1， 分数的方差也等于 分数的方差也等于1，因为： ⑶Z分数的标准差等于 ，Z分数的方差也等于 ，因为： 分数的标准差等于
Σ( Z − Z ) 2 ΣZ 2 1 x−x 2 Z 分数的标准差 = = = Σ( ) n n n σ 1 Σ( x − x ) 2 = = 1LLL （5.15a） 2 σ n
Z分数的方差＝1 分数的方差＝ 分数的方差
……………（5.15b） （ ）
（五）是非标志与成数 是非标志是指能将统计总体的全部 单位划分为具有某种属性和不具有 某种属性的两组的分组标志。 某种属性的两组的分组标志。 成数就是总体中具有某种属性的 单位数占全部单位数的比重， 单位数占全部单位数的比重，一 般用英文字母p或 表示 表示。 般用英文字母 或q表示。
(总标准差)σ = 209.98 = 14.49(分)
（四）标准分 标准分是离差与标准差的比值， 标准分是离差与标准差的比值，即：
离中趋势的测定
离中趋势的测定
离中趋势是统计学中用于描述数据集中趋势的一种指标。
常见的离中趋势测定方法包括以下几种：
1. 平均值：计算数据集的算术平均值，即将所有数据相加后除以数据的个数。
2. 中位数：将数据集按照大小的顺序排列，然后找出中间位置的数值。
如果数据个数为奇数，则中位数是中间的数值；如果数据个数为偶数，则中位数是中间两个数值的平均值。
3. 四分位数：将数据集按照大小的顺序排列，然后将数据集分成四个等分，每个等分包含25%的数据。
第一个四分位数(Q1)是数据集的25%位置处的数值，第二个四分位数是数据集的50%位置处的数值（即中位数），第三个四分位数(Q3)是数据集的75%位置处的数值。
4. 极差：计算数据集的最大值与最小值之间的差值。
5. 方差：计算数据集中每个数据与平均值的差值的平方的平均值。
6. 标准差：方差的平方根。
这些测定方法可以帮助我们了解数据集的离散程度和分布情况，从而揭示出数据集的离中趋势。
选择合适的测定方法取决于数据集的特点以及我们希望得到的信息。
反应总体的离中趋势
反应总体的离中趋势
反应总体的离中趋势可以通过计算平均值、中位数、众数等指标来衡量。
1. 平均值：计算所有数据的平均值，得到一个总体的中心点，离中趋势可以通过计算每个数据与平均值的差异来表示。
2. 中位数：将数据从小到大排序，取中间的数作为中位数，中位数能较好地反映数据的集中程度，如果数据的中位数与平均值相差较大，表示数据的离中趋势较大。
3. 众数：出现频率最高的数值，反映了数据集中的倾向，如果众数唯一且与平均值相近，则表示数据的离中趋势较小。
此外，还可以使用箱线图来观察数据的离中趋势。
箱线图通过绘制数据的四分位数范围内的盒子和两侧的触须来表示数据的离散程度，如果盒子较大或触须较长，则表示数据的离中趋势较大。
需要注意的是，单纯使用以上指标无法完全描述离中趋势，还需结合业务背景和分析的目的来综合判断。
第五章 离中趋势测量法
第五章 离中趋势测量法第一节 全距与四分位差 全矩与全矩的性质·四分位差第二节 平均差对于未分组资料·对于分组资料·平均差的性质 第三节 标准差对于未分组资料·对于分组资料·标准差的性质及方差·标准分（Z 分数） 第四节 相对离势变异系数（全矩系数、平均差系数·标准差系数）·异众比率一、填空1．对收集来的数据，数值最大者和最小者之差叫作（ ）,又称之为（ ）。
2．各变量值对其算术平均数(或中位数)离差绝对值的算术平均数。
称之为（ ）。
3．全距由于没有度量（ ）之间的变异性，所以数据资料的利用率很低。
4．用绝对离势除以均值得到的相对指标，即为（ ）。
5．所谓（ ），是指非众数的频数与总体单位数的比值6．偏斜系数是以标准差为单位的算术平均数与众数的离差，其取值一般在（ ）之间。
偏斜系数为0表示（ ），偏斜系数为3+或3-则表示极右或极左偏态。
二、单项选择1．下面资料中哪个厂子的平均工资代表性意义最大（ ），哪个厂子最小（ ）。
平均工资（元） 职工人数 工资标准差（元）A 甲厂 108 346 9.80B 乙厂 96 530 11.40C 丙厂 128 210 12.10D 丁厂 84 175 9.60 2．变异指标中，以两数之差为计算基准的是（ ）A 全距B 平均差C 标准差D 方差3．比较两个性质不同的变量数列的平均数的代表性大小，必须计算（ ）A 标准差B 平均差C 全距D 标准差系数4．设有甲乙两个变量数列，甲数列的平均数和标准差分别为20和2.5,乙数列的平均数和标准差分别为50和5.2 ，这些数据说明（ ）A 甲数列的稳定性高于乙数列B 甲数列的稳定性低于乙数列C 甲乙两数列的稳定性相同D 甲乙两数列的稳定性无法比较5．某企业1994年职工平均工资为5200元，标准差为110元，1998年职工平均工资增长了40%，标准差扩大到150元。
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第五章 离中趋势测量法
第一节 全距与四分位差 全矩与全矩的性质·四分位差
第二节 平均差
对于未分组资料·对于分组资料·平均差的性质 第三节 标准差
对于未分组资料·对于分组资料·标准差的性质及方差·标准分（Z 分数） 第四节 相对离势
变异系数（全矩系数·平均差系数·标准差系数）·异众比率
一、填空
1．对收集来的数据，数值最大者和最小者之差叫作（ ）,又称之为（ ）。
2．各变量值对其算术平均数(或中位数)离差绝对值的算术平均数，称之为（ ）。
3．全距由于没有度量（ ）之间的变异性，所以数据资料的利用率很低。
4．用绝对离势除以均值得到的相对指标，即为（ ）。
5．所谓（ ），是指非众数的频数与总体单位数的比值。
6．偏斜系数是以标准差为单位的算术平均数与众数的离差，其取值一般在（ ）之间。
偏斜系数为0表示（ ），偏斜系数为3+或3-则表示极右或极左偏态。
二、单项选择
1．下面资料中哪个厂子的平均工资代表性意义最大（ ），哪个厂子最小（ ）。
平均工资（元） 职工人数 工资标准差（元）
A 甲厂 108 346 9.80
B 乙厂 96 530 11.40
C 丙厂 128 210 12.10
D 丁厂 84 175 9.60 2．变异指标中，以两数之差为计算基准的是（ ）。
A 全距
B 平均差
C 标准差
D 方差
3．比较两个性质不同的变量数列的平均数的代表性大小，必须计算（ ）。
A 标准差
B 平均差
C 全距
D 标准差系数
4．设有甲乙两个变量数列，甲数列的平均数和标准差分别为20和2.5,乙数列的平均数和标准差分别为50和5.2 ，这些数据说明（ ）。
A 甲数列的稳定性高于乙数列
B 甲数列的稳定性低于乙数列
C 甲乙两数列的稳定性相同
D 甲乙两数列的稳定性无法比较
5．某企业1994年职工平均工资为5200元，标准差为110元，1998年职工平均工资增长了40%，标准差扩大到150元。
职工平均工资的相对变异（ ）。
A 增大
B 减小
C 不变
D 不能比较
三、多项选择
1．凡用绝对数来表达的变异指标，统称绝对离势，主要有（ ）。
A 极差
B 平均差
C 四分位差
D 标准差
E 标准分 2．凡用相对数来表达的变异指标，统称相对离势，主要有（ ）。
A 标准差
B 异众比率
C 标准差系数
D 平均差系数
E 偏态系数。
3 不同总体间的标准差，不能进行简单对比的原因是（ ）。
A 平均数不一致
B 总体单位数不一致
C 标准差不一致
D 计量单位不一致
E 离差平方和不一致 4．平均差的性质是（ ）。
A 易受极端值的影响
B 要采取绝对值进行运算
C 数据信息利用率很低
D 以算术平均数为基准求出的平均差，其值最小
E 受抽样变动影响大。
5．若甲X <乙X ,甲σ>乙σ，由此可推断：（ ）。
A 乙组X 的代表性好于甲组；
B 乙组的标志均衡性比甲组好；
C 甲组X 的代表性好于乙组；
D 甲组的标志均衡性比甲组好；
E 甲组的标志变动度比乙组大。
6．下面易受极端值影响的指标有（ ）
A 平均差
B 标准差
C 算术平均数
D 全距
7．比较不同企业的同种产品平均质量水平的稳定性时，可选用（ ）
A 极差
B 标准差
C 平均数
D 平均计划完成程度
E 标准差系数 8．对比两个计量单位不同的变量数列标志值的离散程度，应使用（ ）
A 平均数
B 全距
C 均方差系数
D 标准差
E 平均差系数
四、简答题
1．Z 分数的性质有哪些？ 2．简述平均差的性质。
五、计算题
1．某工厂50名职工每周工资数分配情况如下表，试求：
1
2．已知一数列为2，3，5，7及8，试求其平均差。
4．有一自然数列
20=N , 10=X ,2=S , 从中删去一数为5，试求新的数列分布的
算术平均数和标准差为多少？
5．某车间职工工资分布情况如下表，求该车间职工的平均工资，职工工资
6．求下列数字的全距、平均差、标准差和标准差系数。
26 37 43 21 58
7．已知算术平均数等于12，各变量值平方的平均数为169，试问标准差系数为多少？
8．根据下表，求四分位差。
某少教所少年犯入所前的作案次数
9．某车间两个小组开展劳动竞赛，每人日产量如下（件）：
甲组：12，15，17，10，12，20，18，16，19，14
乙组：8，16，10，9 ，24，23，25，10，11，20
试计算两组职工平均日产量及其标准差系数。
10．某社区2口之家有8户，3口之家有25户，4口之家有20户，5口之家有12户，6口之家8户，7口之家3户，8口之家2户。
（1）求居民户人口的标准差；（2）标准差系数。
参考答案
一、填空题
1．全距，极差2．平均差3．中间各个单位4．离散系数
5．异众比率6．0与土3，对称分布
二、单项选择
1．A，B 2．A 3．D 4．B 5．B
三、多项选择
1．ABCD 2．BCDE 3．AD 4．ABE
5．ABE 6．ABCD 7．ABE 8．CE
四、简答题
1．①Z分数之和等于0
②Z分数的算术平均数等于0
③Z分数的标准差等于1，Z分数的方差也等于1
2．平均差以及接下来要讨论的标准差，虽都是变异指标，但就其计算的数学方法来看，仍属于算术平均数。
所以，平均差在受抽样变动影响、受极端值影响和处理不确定组距这三方面，它的性质均同于算术平均数。
与此同时，平均差由于计算时采用了取绝对值来消除正负号的影响的方法，它不便于代数运算，而且平均差的意义在理论上也不容易作出阐述。
所以，平均差作为变异指标，其运用比下面的标准差要少得多。
五、计算题
1．平均差2.316；第一四分位数65.35 第三四分位数69.54
2．2.16
3．全距45 标准差系数0.158
4．算术平均数10.26 标准差1.68
5．平均工资146.67 中位数148 标准差23.14
6．全距32 标准差13.07 标准差系数0.35
7．0.417
8．2.10
9．第一组：平均日产量15.3 标准差系数0.20
第二组：平均日产量15.6 标准差系数0.41
10．1.43；0.35。