酉不变范数不等式

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矩阵frobenius范数不等式

矩阵frobenius范数不等式矩阵Frobenius范数是矩阵理论中的一种重要的范数，它的定义为：设A为m×n实矩阵，则Frobenius范数是A的元素的绝对值之和：$\left\|A\right\|_F=\sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n\left|a_{ij}\right|^2}$其中$a_{ij}$代表矩阵A的第$i$行、第$j$列的元素。

Frobenius范数不仅在矩阵理论中有用处，它还在其他科学和技术领域之中有可能应用，如数据挖掘领域，假设有m×n维的特征矩阵A，那么可以计算它的frobenius范数并把它用来反映特征矩阵的大小，确定特征矩阵的重要性以及进行特征矩阵的选择。

另外，Frobenius范数还可以用来表示两个矩阵之间的距离，设A和B是m×n实矩阵，它们之间的Frobenius范数距离定义为：$\left\|A-B\right\|_F=\sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n\left|a_{ij}-b_{ij}\right|^2}$，用来衡量两个矩阵之间的相似度，可用来进行数据挖掘各种模型的比较。

总之，Frobenius范数在矩阵理论中非常重要，他不仅可以用来计算矩阵大小，也可以用来计算矩阵之间的距离，此外，Frobenius范数也满足一种简单的恒等式，也称为法罗纳(Frobenius)不等式，这种不等式可以用来辅助解决一些难题。

关于矩阵范数的几个不等式

关于矩阵范数的几个不等式
舍克范数是一种用于度量矩阵的度量，它是一种比较矩阵的规模的一种方法，被广泛地用于数学和工程应用。

一种有用的性质是，它反映了矩阵中元素的总模数。

矩阵范数还经常用于解决数值计算问题，比如解决线性方程组，最小二乘估计等。

它也被用于图像处理，比如对图像进行锐化和缩放。

关于矩阵范数的几个不等式
1.列范数达到最大值
一个m×n矩阵A的舍克范数达到最大值，当它的每个元素都被最大可能的数值代替时，即Aij=|Aij|.
2.列范数的凸性
如果A和B是m×n矩阵，并且α是一个实数，α>0,
那么有：
|A+B| <= |A|+|B| .
3.列范数的依赖性
如果A是m×n矩阵，那么有：
|A| = |UAV|，
其中U是m×m矩阵，V是n×n矩阵，A = UAV是A的奇异值分解
4.等性
如果A和B是m×n矩阵，那么有：
|A| = |B|当且仅当A和B是相等的。

5. 三角不等式
如果A和B是m×n矩阵，那么有：
|A + B| |A| + |B|。

这些不等式能够决定某矩阵的范数的大小和上限，进一步帮助研究人员深入探索矩阵范数的特性和性质。

这些不等式提供了一个明确的方法，用于在计算机科学中提高数值计算精度和效率。

以上就是有关矩阵范数的几个不等式的内容，它们可以有效地提高数值计算的精度和效率，为计算机科学提供有价值的参考。

同时，这些不等式也可以作为有关矩阵范数的研究基础，为人们了解这一概念提供明确的参考。

数值代数主要知识点

20世纪最好的十个算法( Computing in Science & Engineering 评选)1.1946.Los Alamos的Von Neumann,Stan Vlam,Nick Metropolis编的Metropolis算法,即Monte Carlo方法2.1947兰德公司的Grorge Dantzig创造的线性规划的单纯性算法3.1950.美国国家标准局数值分析所的Magnus Hestenes,Edward Stiefel, Cornelius Lanczos的Krylovz空间迭代法4.1951 橡树岭国家实验室的Alston Householder矩阵计算的分解方法5.1951 John Backus在IBM领导的小组研制的Fortron最优编译程序6.1959-61 伦敦的Ferranti Ltd的J.G.F.Francis的称为QR的算法的计算机本征值的稳定的算法7.1962London的Elliot Brothers Ltd的Tony Hoare提出的快速(按大小)分类法8.1965 IBM的Cooley与Princeton及Bell的Turkey的FFT算法9.1977 Brighham Young大学的Helaman Ferguson和Rodney Forcede的整数关系侦察算法10.1987 Yale的Leslie Greengard和Vladinimir Rokhlin发明的快速多级算法数值代数上课内容：一、预备知识（基础）1）误差分析2）范数理论3）初等变换与矩阵分解二、线性方程组的求解1）直接法2）迭代法3）最小二乘问题与矩阵广义逆三、矩阵特征值问题1）普通特征值问题a)幂法和反幂法b)QR方法2）对称特征值问题各部分的主要知识要点：（主要看上课笔记）一、预备知识（基础）§1 误差分析基本要求：1）了解数值代数的研究对象与特点及主要研究内容2）了解误差的基本知识及误差来源、误差种类3）了解浮点运算和舍入误差分析4）了解算法的评价及算法的向后稳定§2范数理论基本要求：1）熟练掌握向量范数的定义，会判断给定的某个函数是否是向量范数（范数的三个条件正定性、齐次性和三角不等式）2）了解常用向量范数、范数等价定理3）熟练掌握矩阵范数的定义，会判断给定的某个函数是否是矩阵范数（范数的三个条件正定性、齐次性和三角不等式）4）熟练掌握几个特殊的矩阵范数－算子范数、相容范数、酉不变范数的定义5）掌握常用矩阵范数1－范数，2－范数，－范数，F－范数的定义，并清楚且会证明它们分别属于算子范数、相容范数、酉不变范数的那一种范数6）会证明常用的范数不等式7）了解矩阵的谱和谱半径的定义二、初等变换与矩阵分解§1初等变换（主要看上课笔记）基本要求：1）了解初等变换的一般形式和一般初等变换的性质2）熟练掌握两种特殊的初等变换－Gauss消元变换、Household变换a)熟练掌握Gauss消元变换的定义和性质，特别是消元性质，会利用Gauss消元变换对向量进行消元b) 熟练掌握Householder变换/初等Hermit阵的定义和性质，特别是变换性质和消元性质，会利用Householder变换对向量进行消元，会求Householder变换矩阵3)熟练掌握Givens旋转变换的定义和性质，特别是消元性质即消元特点，会灵活运用Givens 旋转变换对向量进行消元（消调某一个变量）4）了解交换阵的定义即性质§2 矩阵分解1、基于Gauss消元阵的分解基于Gauss消元阵的分解，包括无主元LU分解、列主元LU分解、对称正定阵的Cholesky 分解基本要求：1）熟练掌握无主元LU分解的具体过程，会写出相应的程序，给定一个矩阵，会计算它的LU 分解矩阵2）了解LU 分解的不稳定性和LU 分解的唯一性及存在条件det()0(1,2,,).1n n k k n A R D A k n A L U A LU ⨯∈=≠== 若阶方阵的顺序主子式则可唯一地分解为一个单位下三角阵和非奇异的上三角阵的乘积。

酉矩阵通用表达式

酉矩阵通用表达式
酉矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。

它是一个特殊的方阵，具有一些特殊的性质和特征。

酉矩阵的定义和性质可以用以下通用表达式来描述：
设A是一个n阶复数方阵，如果满足以下条件：
1. A的共轭转置矩阵等于A的逆矩阵，即A* = A^(-1)；
2. A的每个元素的模的平方之和等于1，即对于任意的i和j，|A(i,j)|^2 + |A(i+1,j)|^2 + ... + |A(n,j)|^2 = 1，其中|A(i,j)|表示A的第i 行第j列元素的模。

则称A为酉矩阵。

酉矩阵具有许多重要的性质和特征，下面将对其中一些进行介绍。

酉矩阵是一个幺正矩阵。

幺正矩阵是指满足A*A = I的方阵，其中I 是单位矩阵。

这意味着酉矩阵的共轭转置矩阵和它本身的乘积等于单位矩阵。

酉矩阵保持向量的内积不变。

对于任意的复数列向量x和y，如果A是一个酉矩阵，则有(x,y) = (Ax,Ay)，其中(x,y)表示x和y的内积。

这个性质在量子力学中有重要的应用。

酉矩阵的特征值都具有模长为1的性质。

对于酉矩阵A，它的特征值λ满足|λ| = 1。

这意味着酉矩阵的特征值总是在单位圆上。

酉矩阵是可逆的。

由于酉矩阵的共轭转置矩阵等于它的逆矩阵，所以酉矩阵是可逆的。

这个性质在矩阵求逆的计算中是非常有用的。

酉矩阵是一类具有特殊性质和特征的方阵。

它在许多领域中都有广泛的应用，特别是在量子力学中。

通过上述通用表达式的描述，我们可以更好地理解和应用酉矩阵的各种性质和特征。

τ-可测正算子生成的交换子的若干不等式

．由此得到了若ＡＥ．是正算子，Ｘ是可测正算子，『／ —Ｘ则ｌｌＡ
１Ａｌ ① Ｘ，ｊＸ２ＩｆＩ．
关键词：ＶＩＮｕａｎ数；交换ＢｎｃＯｅｍｎ代１非ａａｈ函数空间；ｒ可测算子；算子；换子一正交
￡）＝｛，Ｔ∈
；在投影Ｅ ∈ 存
满足ｌｌ
Ｉｌ≤ ￡ｒ１一Ｅ）≤ ｝且（．
则，￡；，＞０组成．中０的拓扑基，中ｆ，ｅ占｝其
是完备的拓扑＊一数．代
定义２１．设为可测算子，（（１为ｌｆ区问（，上的谱投影，．ｆ１）在＿）ｔ ∞）则的
上的稠定闭线性算子，定义域为
重属于．若重属于 ∥，对任意￡＞０都存在，
（积）对任意ｅ占＞０令强．，，
ｒ１一Ｅ）ｅ则称是可测算子．（ ≤ ，设由所有可测算子组成．
中的和（）义为强和积定
中图分类号：Ｏ】７７
１引
言
上所有有界线性算子生成的Ｃ代数．算子Ａ， ∈ 一若日
设Ｂ（是由复希尔伯特空间．
Ｂ（，Ａ与Ｂ生成的交换子为Ａ —Ｂ文献［］，．ｉａｅ。则ＢＡ．１中ＦＫｔｎｈ证明了若Ａ，Ｘ ∈ Ｂ（ｔＢ，．其中，曰为正的紧算子，对任意的酉不变范数 …・有则 …，

各类范数定义

范数的定义设X是数域K上线性空间，称║˙║为X上的范数(norm)，若它满足：1。

正定性：║x║≥0,且║x║=0 〈=〉x=0;2. 齐次性：║cx║=│c│║x║；3。

次可加性（三角不等式)：║x+y║≤║x║+║y║ 。

注意到║x+y║≤║x║+║y║中如令y=-x，再利用║-x║=║x║可以得到║x║≥0，即║x║≥0在定义中不是必要的。

如果线性空间上定义了范数，则称之为赋范线性空间。

注记：范数与内积,度量，拓扑是相互联系的。

1. 利用范数可以诱导出度量:d（x，y）=║x-y║，进而诱导出拓扑，因此赋范线性空间是度量空间。

但是反过来度量不一定可以由范数来诱导。

2。

如果赋范线性空间作为(由其范数自然诱导度量d（x,y)=║x-y║的)度量空间是完备的，即任何柯西(Cauchy)序列在其中都收敛，则称这个赋范线性空间为巴拿赫(Banach）空间。

3。

利用内积〈˙,˙>可以诱导出范数:║x║=<x,x>^{1/2}。

反过来，范数不一定可以由内积来诱导。

当范数满足平行四边形公式║x+y║^2+║x—y║^2 =2（║x║^2+║y║^2)时，这个范数一定可以由内积来诱导。

完备的内积空间成为希尔伯特(Hilbert）空间.4。

如果去掉范数定义中的正定性，那么得到的泛函称为半范数（seminorm或者叫准范数)，相应的完备空间称为Fréchet空间。

对于X上的两种范数║x║α,║x║β，若存在正常数C满足║x║β≤C║x║α那么称║x║β弱于║x║α.如果║x║β弱于║x║α且║x║α弱于║x║β，那么称这两种范数等价。

可以证明，有限维空间上的范数都等价,无限维空间上至少有阿列夫1（实数集的基数）种不等价的范数.算子范数如果X和Y是巴拿赫空间，T是X—〉Y的线性算子，那么可以按下述方式定义║T║：║T║ = sup｛║Tx║：║x║<=1}根据定义容易证明║Tx║ 〈= ║T║║x║。

矩阵Young不等式

矩阵Young不等式刘新;杨晓英;王亚强【摘要】针对矩阵不等式问题,先给出一个新的标量不等式,进而利用新标量不等式与Cauchy-Schwarz不等式,得到一组新的矩阵Young不等式和酉不变范数不等式. 与前人的结果相比较,新不等式改进了相关文献的结果.%In view of the inequalities for matrices,firstly,a new inequality for scalars is given. Then,some new Young inequalities for matrices and a new inequality of unitarily invariant norm are given by using some inequalities for scalars and Cauchy-Schwarz inequality. New inequalities are refinements of some existing inequalities.【期刊名称】《河南科学》【年(卷),期】2015(033)010【总页数】4页(P1706-1709)【关键词】半正定矩阵;Young不等式;酉不变范数【作者】刘新;杨晓英;王亚强【作者单位】四川信息职业技术学院基础教育部,四川广元 628017;四川信息职业技术学院基础教育部,四川广元 628017;宝鸡文理学院数学与信息科学学院,陕西宝鸡 721013【正文语种】中文【中图分类】O151.21酉不变范数是矩阵理论的一个重要研究领域，在矩阵计算，优化领域，最佳逼近问题以及扰动理论中有着重要的应用.而关于矩阵不等式问题是矩阵理论的研究热点之一，近年来受到国内外许多学者的广泛关注和研究［1-10］.文献［3］研究了矩阵形式下的Young不等式；文献［5］给出了一些关于迹和行列式的Young不等式和Heinz不等式的改进结果；文献［7］证明了一些Hilbert-Schmidt范数不等式；文献［10］得到了一组酉不变范数不等式的改进结果.本文在文献［5］的基础上，给出一组新的关于迹和行列式的Young不等式和酉不变范数不等式，新不等式改进了文献［5］中的相应结果.记Mn表示n×n阶复矩阵集合.用表示Mn上任意的酉不变范数，即对于所有矩阵A∈Mn和酉矩阵，都有成立.这其中，两类酉不变范数尤为重要.一类是Hilbert-Schmidt范数，即；第二类是迹范数，即其中tr表示迹函数，s1（A），s2（A），…，sn（A），表示矩阵A的奇异值，并记s1（A）≥…≥sn（A）.显然Hilbert-Schmidt范数和迹范数都是酉不变范数，并且，酉不变范数是奇异值的对称规度函数，详见文献［1-2］.经典的标量Young不等式是v-加权算术-几何平均值不等式，表述如下.设a,b≥0,0≤v≤1，则若，则可以得到算术-几何平均值不等式文献［3］中证明了关于矩阵的Young不等式：设A,B∈Mn是半正定的，0≤v≤1，则由上式，可以得到关于迹的Young不等式文献［4］中给出了关于行列式的Young不等式Kittaneh和Manasrah在文献［5］中，改进了上述两个结果，得到Bhatia与Parthasarathy在文献［6］中以及Kosaki在文献［7］中分别证明了：若A,B,X∈Mn，A与B半正定，0≤v≤1，则但是，当时，上述结论对其他的酉不变范数不成立.同时，Kosaki［7］也给出一个对于所有酉不变范数均成立的结果Kittaneh和Manasrah在文献［5］中，改进了文献［7］中的结果，得到其中引理1 设a,b≥0，0≤v≤1，则证明由文献［8］中的引理1不难证明之.引理2［2］设A,B∈Mn，则引理3［9］设A,B,X∈Mn，A,B是半正定矩阵，0≤v≤1，则定理1 设A,B∈Mn是半正定矩阵，0≤v≤1，则如果A,B是正定矩阵，则证明由引理1，可知那么，由引理2与Cauchy-Schwarz不等式，得关于迹的不等式得证.关于行列式的不等式，再由引理1，可知进而所以，注容易验证因此，定理1改进了文献［5］中定理3.2的结果.定理2 设A,B,X∈Mn，A,B，是半正定矩阵，0≤v≤1，则证明由引理1与引理3，可得证毕.注①显然，定理2改进了文献［5］中的定理3.7.②由定理2和三角不等式，可以得到文献［10］中的定理3.2.【相关文献】［1］詹兴致.矩阵论［M］.北京：高等教育出版社，2008：2，54-56.［2］ Bhatia R.Matrix Analysis［M］.New York：Springer-Verlag，1997：91，94，265. ［3］ Ando T.Matrix Young inequality［J］.Oper.Theory Adv Appl，1995，75：33-38. ［4］ Horn R A，Johnson C R.Matrix Analysis［M］.New York：Cambridge University Press，1985：467.［5］ Kittaneh F，Manasrah Y.Improved Young and Heinz inequalities for matrices ［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applica⁃tions，2010，361：262-269. ［6］ Bhatia R，Parthasarathy K R.Positive definite functions and operator inequalities ［J］.Bull London Math Soc，2000，32：214-228.［7］ Kosaki H.Arithmetic-geometric mean and related inequalities for operators ［J］.Journal of Functional Analysis，1998，156：429-451.［8］ Bhatia R.Interpolating the arithmetic-geometric mean inequality and its operator version［J］.Linear Algebra Appl，2006，413：355-363.［9］ Kittaneh F.Norm inequalities for fractional powers of positive operators［J］.Lett Math Phys，1993，27：279-285.［10］邹黎敏.矩阵的几个不等式［J］.数学学报：中文版，2012，55（4）：715-720.。

酉不变范数不等式

酉不变范数不等式
酉不变范数不等式是高等教育学科中相当重要的数学原理，它指在多元函数中，若局部变分恒定时，范数不变。

酉不变范数不等式的具体形式可表示为：
设函数f : Rm→Rn，m<n有局部变分恒定时，则存在正实数μ，使得f（x）
的范数|f（x）|不大于μ|x|。

通俗的讲，就是当变量的局部变分恒定时，函数的取值就会受到变量的影响而
受到限制，于是即使在函数的取值发生改变时，函数的范数也不会大于特定值，这种情况就称为“酉不变范数不等式”。

酉不变范数不等式可以解决很多复杂的数学问题，它可以用来分析函数的特征、求解最优化问题以及判断系统的稳定性，对于高等教育学科来讲，具有十分重要的作用。

因为它可以保证函数在取值范围内得到优化，又能保证数学模型的稳定性，有效控制函数的变化趋势，这对于研究特征变量、有限元模型以及最优控制系统来说，都有着不可替代的作用。

此外，酉不变范数不等式在信息论中也有广泛的应用，如多元函数拟合问题、
信息数据压缩及广义城市选择问题等，在这些问题中都可以很好地使用酉不变范数不等式来求解。

由此可见，酉不变范数不等式在高等教育学科以及信息论及经济数学等方向的
研究中十分重要，它的应用可见有效改善了各个领域的许多问题，显著提升了研究者的工作效率。

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院，陕西宝鸡７２１０１３）
摘
要：针对酉不变范数不等式问题，先给出一组新的标量不等式，进而利用新标量不等式与谱分
解定理，得到关于矩阵酉不变范数新的不等式。与前人的结果相比较，新不等式推广了相关文献的
结果。
定矩阵，Ａ ≥ 丑表示Ａ一是半正定的。Ａ ∈Ｍ的奇异值定义为ＡＡ的特征值的非负平方根。用ｓ。（Ａ）≥ … ≥ｓ（Ａ）表示Ａ ∈ Ｍ的奇异值，并记
ｓ（Ａ）＝（（Ａ）， …，ｓ（Ａ））。用『ｌ・『ｌ表示上
ｎｅｗｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｏｆｕｎｉｔａｒｉｌｙｉｎｖａｒｉａｎｔｎｏｒｍｓｆｏｒｍａｔｒｉｃｅｓａｒｅｇｉｖｅｎｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｓｐｅｃｔｒａｌｔｈｅｏｒｅｍａｎｄｓｏｍｅｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｖｉｅｗｏｆｔｈｅｕｎｉｔａｒｉｌｙｉｎｖａｒｉａｎｔｎｏｒｍｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ，ｓｏｍｅｎｅｗｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｆｏｒｓｃａｌａｒｓａｒｅｇｉｖｅｎ．Ｔｈｅｎ，ｓｏｍｅ
得到一些Ｙｏｕｎｇ不等式和Ｈｅｉｎｚ不等式的改进结
１预备知识
记
．
为ｍ× 阶复合矩阵，Ｍ：Ｍｎ设
．
。
Ａ（Ａ）， …，Ａ（Ａ）为矩阵Ａ的所有特征值，并且
ＩＡ】（Ａ）ｌ≥ … ≥ＩＡ（Ａ）ｌ。设Ａ，Ｂ ∈Ｍｎ是半正
ｏｒｆｓｃａｌａｒｓ．Ｎｅｗｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓａｒｅｒｅｆｉｎｅｍｅｎｔｓｏｆｓｏｍｅｅｘｉｓｔｉｎｇｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐｏｓｉｔｉｖｅｓｅｍｉｄｅｉｆｎｉｔｅｍａｔｒｉｘ，ｕｎｉｔａｒｉｌｙｉｎｖａｒｉａｎｔｎｏｒｍ，Ｈｉｌｂｅｒｔ — Ｓｃｈｍｉｄｔｎｏｒｍ
ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅ，ＢａｌｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＡｒｔｓａｎｄＳｃｉｅｎｃｅｓ，Ｂａｏｊｉ，７２１０１３，Ｃｈｉｎａ）
Ｖｏ１．１４Ｎｏ．５０ｅｔ．２０１５
酉不变范数不等式
刘新，杨晓英，王亚强
（１．四川信息职业技术学院基础教育部，四川广元６２８０１７；２．宝鸡文理学院数学与信息科学学
关键词：半正定矩阵；酉不变范数；Ｈｉｌｂｅｒｔ．Ｓｃｈｍｉｄｔ范数
中图分类号：Ｏ１５１．２１文献标志码：Ａ文章编号：１６７１—７１４７（２０１５）０５—０６６３—０３
ＩｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓＦｏｒＵｎｉｔａｒｉｌｙＩｎｖａｒｉａｎｔＮｏｒｍｓ
ＬＩＵＸｉｎ，ＹＡＮ来自Ｘｉａｏｙｉｎｇ，ＷＡＮＧＹａｑｉａｎｇ
（１．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＢａｓｉｃＥｄｕｃａｔｉｏｎ，ＳｉｃｈｕａｎＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＣｏｌｌｅｇｅ，Ｇｕａｎｇｙｕａｎ６２８０１７，Ｃｈｉｎａ；２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ
第ｌ４卷第５期２０１５年１０月
江南大学学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉａｎｇｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
酉不变范数是矩阵理论的一个重要研究领域，
在矩阵计算、优化领域、最佳逼近问题以及扰动理论中有着重要的应用。关于矩阵酉不变范数不等式问题是矩阵不等式的研究热点之一，近年来受到国
内外学者的广泛关注Ｌ１引。ＢｈａｔｉａＲ等研究了矩阵范数下几何算术平均值不等式；ＫｉｔｔａｎｅｈＦ等