高三年级八校联考数学(理)试题(附答案)
湖北省八校高三数学第一次联考试题 理(含解析)新人教A版
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.方程2250x x -+=的一个根是（ ） A.12i +B.12i -+C.2i +D.2i -2.集合2{3,log }P a =，{,}Q a b =，若{0}P Q =,则P Q =（ ）A.{3,0}B.{3,0,2}C.{3,0,1}D.{3,0,1,2}3.下列命题，正确的是（ ）A.命题:x ∃∈R ，使得210x -<的否定是：x ∀∈R ，均有210x -<.B.命题：若3x =,则2230x x --=的否命题是：若3x ≠，则2230x x --≠.C.命题：存在四边相等的四边形不是正方形，该命题是假命题.D.命题：cos cos x y =，则x y =的逆否命题是真命题.4.已知,x y 满足220240330x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤，则关于22x y +的说法，正确的是（ ）A.有最小值1B.有最小值45C.有最大值13D.有最小值2555.函数c bx ax x f ++=23)('2有极值点，则（ ） A. 23b ac ≤ B. 23b ac ≥ C. 23b ac <D. 23b ac >6.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A.13B.23C.2D.17.△ABC 中，角,,A B C 成等差数列是sin (3cos sin )cos C A A B =+成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】8.在弹性限度内，弹簧所受的压缩力F 与缩短的距离l 按 胡克定律F kl =计算.今有一弹簧原长80cm ，每压缩1cm 需0.049N 的压缩力，若把这根弹簧从70cm 压缩至50cm （在弹性限度内），外力克服弹簧的弹力做了（ ）功（单位：J ） A.0.196B.0.294C.0.686D.0.9811111正（主）视图 侧（左）视图俯 视 图第6题图9.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F ∥平面1D AE ，记1A F 与平面11BCC B 所成的角为θ，下列说法错误的是（ ） A.点F 的轨迹是一条线段 B.1A F 与1D E 不可能平行 C. 1A F 与BE 是异面直线 D.tan 22θ≤【答案】B 【解析】10.若直线1y kx =+与曲线11||||y x x x x=+--有四个公共点，则k 的取值集合是（ ） A.11{0,,}88-B.11[,]88-C.11(,)88-D.11{,}88-11D 1B B1F第9题图第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.） (一)必考题（11—14题）11.平面向量,a b 满足||1,||2==a b ，且()(2)7+⋅-=-a b a b ，则向量,a b 的夹角为 ．12.已知正三角形内切圆的半径r 与它的高h 的关系是：13r h =,把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径r 与正四面体高h 的关系是 ．13.将函数sin(2)y x ϕ=+的图象向左平移4π个单位后得到的函数图象关于点4(,0)3π成中心对称，那么||ϕ的最小值为 .14.无穷数列{}n a 中，12,,,m a a a 是首项为10，公差为2-的等差数列；122,,,m m m a a a ++是首项为12，公比为12的等比数列（其中*3,m m ∈N ≥），并且对于任意的*n ∈N ，都有2n m n a a +=成立.若51164a =，则m 的取值集合为____________.记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则使得12852013m S +≥*3,)m m ∈(N ≥的m 的取值集合为____________.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分）15．（选修4—1：几何证明选讲）已知⊙O 1和⊙O 2交于点C 和D ，⊙O 1上的点P 处的切线交⊙O 2于A 、B 点，交直线CD 于点E ，M是⊙O 2上的一点，若PE =2，EA =1，45AMB ∠=，那么⊙O 2的半径为 .考点：1.切线定理；2.割线定理；3.圆周角定理16.（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线1:4C ρ=上有3个不同的点到曲线2:sin()4C m πρθ+=的距离等于2，则ABC DP MEO 1O 2______m=.三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知向量2(2sin(),2)3xπω=+a，(2cos,0)xω=b(0)ω>，函数()f x=⋅a b的图象与直线23y=-+的相邻两个交点之间的距离为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x在[0,2]π上的单调递增区间．18.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：2418,a a +=791S =．递增的等比数列{}n b 前n 项和为n T ，满足：12166,128,126k k k b b b b T -+===． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n c 对*n ∀∈N ，均有12112nn nc c c a b b b ++++=成立，求122013c c c +++．19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面△ABC 为等腰直角三角形，90ABC ∠=，D 为棱1BB 上一点，且平面1DA C ⊥平面11AA C C .(Ⅰ)求证：D 为棱1BB 的中点；（Ⅱ）ABAA 1为何值时，二面角1A A D C --的平面角为60.ABCA 1B 1C 1D 第19题图A1 C1B1ACBDy Ox Z20.（本小题满分12分）如图，山顶有一座石塔BC，已知石塔的高度为a.（Ⅰ）若以,B C为观测点，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β，用,,aαβ表示山的高度h；（Ⅱ）若将观测点选在地面的直线AD上，其中D是塔顶B在地面上的射影. 已知石塔高度20a=,当观测点E在AD上满足6010DE=时看BC的视角(即BEC∠)最大，求山的高度h.第20题21.（本小题满分13分）已知n a 是关于x 的方程1210n n n x x x x --++++-=(0,2)x n n >∈N 且≥的根，证明：（Ⅰ）1112n n a a +<<<; （Ⅱ）11()22n n a <+.22.(本小题满分14分)已知函数()e 1x f x ax =--（e 为自然对数的底数）.（Ⅰ）求函数()f x的单调区间；（Ⅱ）当0a>时，若()0f x≥对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（Ⅲ）求证：22222232323ln1ln1ln12(31)(31)(31)nn⎡⎤⎡⎤⎡⎤⨯⨯⨯++++++<⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦.。
高三年级八校联考数学(理)试题
陕西省西安市2022年高三年级八校联考数学试题〔理〕命题人：西工大附中 许德刚 审题人：西安铁一中 刘康宁考前须知：1．本试卷分为第一卷和第二卷.第一卷为选择题,第二卷为非选择题.2．考生须到试卷后,须按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答卡上填涂对应的 试卷类型和信息点.3．所有答案必须在做题卡上指定区域内作答.测试结束后,将本试卷和做题卡一并交 回.第一卷〔选择题 共60分〕参考公式：如果事件A 、B 互斥,那么P 〔A+B 〕=P 〔A 〕+P 〔B 〕 如果事件A 、B 相互独立,那么 P 〔A·B 〕=P 〔A 〕·P 〔B 〕如果事件A 在一次试验中发生的概率是P,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k kn n P P C k P --=)1()(球的外表积公式24R S π=,其中R 表示球的半径 球的体积公式334R V π=球,其中R 表示球的半径一、选择题〔本大题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的〕 1．设U 为全集,M 、P 是U 的两个子集,且P M P P M C U ⋂=⋂则,)(等于 〔 〕A ．MB ．PC ．C U PD ．○2．假设复数i a z 32+-=为纯虚数,其中R a ∈,i 为虚数单位,那么aii a ++12007的值为〔 〕 A ．－1 B ．－i C ．1 D ．i3．在空间中,设m 、n 为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,那么m ⊥α的一个充分 条件是 〔 〕 A ．α⊥β且m ⊂β B ．α⊥β且m//β C ．α//β且m ⊥β D ．m ⊥n 且n //α 4．圆1)2()4(:221=-+-y x C 与圆1)4()2(:222=-+-y x C 关于直线l 对称,那么 直线l 的方程为〔 〕A ．x －y=0B ．x+y=0C ．x －y +6=0D ．x+y －6=05．设O 为平行四边形ABCD 的对称中央,212132,6,4e e e BC e AB -==则等于 〔 〕A ．OAB ．OBC ．OCD ．OD6．某小组共有8名同学,其中男生6人,女生2人,现从中按性别分层随机抽4个参加一 项公益活动,那么不同的抽取方法共有〔 〕A ．40种B ．70种C ．80种D ．240种 7．假设0<a<1,那么函数||)(x xa x f x=的图象的大致形状是〔 〕8．假设*)(123N n x x n∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+的展开式中只有第6项的系数最大,那么该展开式中的常数项为〔 〕A ．462B ．252C ．210D ．109．假设点P 〔a ,3〕到直线4x －3y +1=0的距离为4,且点P 在不等式2x+y －3<0表示的平面区域内,那么a 的值为 〔 〕 A ．－3 B ．3 C ．7 D ．－7 10．如图1,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面ABB 1A 1内有一动点P 到直 线AA 1和BC 的距离相等,那么动点 P 的轨迹是 〔 〕 A ．线段 B ．椭圆的一局部 C ．双曲线的一局部 D ．抛物线的一局部11．在△ABC 中,tan A 是第3项为－4、第7项为4的等差数列的 公差,tan B 是第3项为31,第6项为9的等比数列的公比,那么△ABC 是 〔 〕A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形12．设函数),(||)(R c b c bx x x x f ∈++=,给出以下四个命题 ①假设c=0,那么f 〔x 〕为奇函数；②假设b=0,c >0,那么方程f 〔x 〕=0只有一个实根；③函数y = f 〔x 〕的图象关于点〔O,C 〕成中央对称图形； ④关于x 的方程f 〔x 〕=0最多有两个实根. 其中正确的命题是 〔 〕A ．①、③B ．①、④C ．①、②、③D ．①、②、④第二卷〔非选择题 共90分〕二、填空题〔本大题共4小题,每题4分,共16分.把答案填在题中的横线上〕13．函数3)sin 3)(cos cos 3(sin +--=x x x x y 的最小正周期是 . 14．正三棱锥S —ABC 内接于球,且球心O 在平面ABC 上.假设正三棱锥A —ABC 的底面边 长为a ,那么该三棱锥的体积是 . 15．如图2,在△ABC 中,∠ABC=∠ACB=30°,AB 、AC 边上的高分别为CD 、BE ,那么以B 、 C 为焦点,且经过D 、E 两点的椭圆与双曲 线的离心率之和为 .16．在直角坐标平面内,点到P 1〔1、2〕,P 2〔2,22〕,P 3〔3,23〕,…,P n 〔n,2n 〕,…如果n 为正整数,那么向量n n P P P P P P P P 212654321-++++ 的坐标为 .〔用n 表示〕 三、解做题〔本大题共6小题,共74分,解容许写出文字说明、推理过程或演算步骤〕 17．〔本小题总分值12分〕在直角坐标平面内,三点A 〔3,0〕、B 〔3,0〕、C 〔cos θ,sin θ〕,其中).23,2(ππθ∈〔Ⅰ〕假设|,|||BC AC =求角θ的弧度数；〔Ⅱ〕假设θθθtan 12sin sin 2,12++-=⋅求BC AC 的值.18．〔本小题总分值12分〕袋中装有大小相等的3个白球、2个红球和n 和黑球,现从中任取2个球,每取得一个白球得1分,每取得一个红球得2分,每取得一个黑球得0分,用ξ表示所得分数,得0分的概率为61： 〔Ⅰ〕袋中黑球的个数n ；〔Ⅱ〕ξ的概率分布列及数学期望E ξ.19．〔本小题总分值12分〕如图3,四棱锥P —ABCD 的底面是边长为1的正方形,PD ⊥BC, PD=1,PC=2.〔Ⅰ〕求证：PD ⊥平面ABCD ； 〔Ⅱ〕求二面角A —PB —D 的大小.20．〔本小题总分值12分〕设函数),10(3231)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-=. 〔Ⅰ〕求函数f 〔x 〕的单调区间和极值；〔Ⅱ〕假设对任意的],2,1[++∈a a x 不等式| f ′〔x 〕|≤a 恒成立,求a 的取值范围. 21．〔本小题总分值12分〕设双曲线的中央在原点,焦点在x 轴上,实轴长为2,它的两条渐近≠ 线与以A 〔0,1〕为圆心、22为半径的圆相切.直线l 过点A 且与双曲线的左支交于B 、C 两点.〔Ⅰ〕求双曲线的方程.〔Ⅱ〕假设,BC AB =求直线l 的方程；22．〔本小题总分值14分〕曲线C ：n A A C x x f ,,)(2上点=的横坐标分别为1和),3,2,1( =n a n ,且a 1=5,数列{x n }满足x n +1=tf 〔x n －1〕+1〔t>0〕,且〔1,21≠≠t t 〕.设区间),1](,1[>=n n n a a D 当n D x ∈时,曲线C 上存在点)),(,(n n n x f x P 使得点P n 处的切线与直线AA n 平行.〔Ⅰ〕证实：}1)1({log +-n t x 是等比数列；〔Ⅱ〕当1+n D ⊂n D 对一切*N n ∈恒成立时,求t 的取值范围；〔Ⅲ〕记数列{a n }的前n 项和为S n ,当41=t 时,试比拟S n 与n+7的大小,并证实你的结论.陕西省西安市2022年高三年级八校联考数学试题〔理〕参考答案一、选择题〔每题5分,共60分〕1．D 2．B 3．C 4．A 5．B 6．A 7．D 8．C 9．A10．D 11．B 12．C二、填空题〔每题4分,共16分〕 13．π 14．3121a 15．32 16．)14(32-n三、解做题〔共74分〕17．〔Ⅰ〕)3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=θθθθBC AC〔2分〕∴由2222)3(sin cos sin )3(cos |,|||-+=+-=θθθθ得BC AC 即cos θ=sin θ. 〔4分〕又),23,2(ππθ∈∴45πθ=〔6分〕〔Ⅱ〕由1-=⋅BC AC ,得cos θ〔cos θ－3〕+sin θ〔sin θ－3〕=－1即sin θ+cos θ=.32 〔8分〕 两边平方,得2sin θcos θ=95-. 〔9分〕θθθθθθθθcos sin 1cos sin 2sin 2tan 12sin sin 222++=++∴95cos sin 2-==θθ〔12分〕18．〔Ⅰ〕∵,61)0(252===+n n C C P ξ〔3分〕∴,0432=--n n 解得n=－1〔舍去〕或n=4. 即袋中有4个黑球.〔5分〕 〔Ⅱ〕ξ可能的取值为0,1,2,3,4.〔6分〕∵,61)0(==ξP,31)1(291314===C C C P ξ,3611)2(29121423=⋅+==C C C C P ξ ,61)3(291213=+==C C C P ξ,361)4(2922===C C P ξ〔8分〕∴ξ的概率分布列为ξ0 1 2 3 4P 61 31 3611 61 361 〔.914361461336112311610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE〔12分〕19．〔Ⅰ〕∵PD=CD=1,PC=2∴PD 2+CD 2=PC 2,即PD ⊥CD.〔3分〕 又PD ⊥平面ABCD.〔6分〕〔Ⅱ〕如图,连结AC 交BD 于O,那么AC ⊥BD.∵PD ⊥平面ABCD, ∴PD ⊥AC.∴AC ⊥平面PBD.〔8分〕过O 点作OE ⊥PB 于E,连结AE, 那么AE ⊥PB,故∠AEO 为二面角 A —PB —D 的平面 角.〔10分〕由Rt △OEB ∽Rt △PDB,得OE=66=⋅PB OB PD . ∴tan ∠AEO=,3=OEAO即∠AEO=60° 〔22分〕 20．〔Ⅰ〕2234)(a ax x x f -+-='〔1分〕令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为〔a ,3a 〕令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为〔－∞,a 〕和〔3a ,+∞〕 〔4分〕∴当x=a 时,)(x f 极小值=;433b a +- 当x=3a 时,)(x f 极小值=b.〔6分〕〔Ⅱ〕由|)(x f '|≤a ,得－a ≤－x 2+4ax －3a 2≤a .①〔7分〕∵0<a <1, ∴a +1>2a .∴]2,1[34)(22++-+-='a a a ax x x f 在上是减函数. 〔9分〕∴.44)2()(.12)1()(min max -=+='-=+'='a a f x f a a f x f 于是,对任意]2,1[++∈a a x ,不等式①恒成立,等价于.154.12,44≤≤⎩⎨⎧-≥-≤-a a a a a 解得 又,10<<a ∴.154<≤a 〔12分〕21．〔Ⅰ〕依题意,设双曲线方程为).0(1222>=-b by x∴双曲线的两条渐近线为y bx ±=0 〔2分〕又圆A 的方程为.21)1(22=-+y x ∴,22112=+b 得b=1. 故所求双曲线方程为.122=-y x 〔6分〕 〔Ⅱ〕显然,l 与x 轴不垂直,设l ：y=kx +1.由022)1(,112222=++-⎩⎨⎧=-+=kx x k y x kx y 得 〔8分〕≠显然,,012≠-k设B 〔x 1,y 1〕、C 〔x 2,y 2〕〔x 1<0,x 2<0〕那么.21.012,012,0)1(8422122122<<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-=<--=+<--=∆k k x x k k x x k k 得 〔9分〕又由.2,12x x BC AB ==得〔10分〕∴53.122,12322121=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=k k x k k x 解得 故553,153:+-+=y x x y l 即=0〔12分〕22．〔Ⅰ〕∵由线在点P n 的切线与直线AA n 平行,∴.21,1122+=--=n n n n n a x a a x 即〔1分〕由211)1(1,1)1(-=-+-=++n n n n x t x x tf x 得〔2分〕∴),1(log 21)1(log 1-+=-+n t n t x x 即].1)1([log 21)1(log 1+-=+-+n t n t x x∴}1)1({log +-n t x 是首项为t log 2+1为首项,公比为2的等比数列. 〔4分〕〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得1)1(log +-n t x =〔t log 2+1〕·2n-1,∴12)2(11-+=n n t tx从而a n =2x n －1=1+12)2(2-n t t〔6分〕由D n+1⊂D n ,得a n+1<a n ,即〔2t 〕2n <〔2t 〕12-n . 〔8分〕∴0<2t <1,即0<t <.21〔9分〕 〔Ⅲ〕当41=t 时,.)21(8112-+=n n a〔10分〕 ∴])21()21()21(21[81242-+++++=n n S n不难证实：当n ≤3时,2n-1≤n+1；当n ≥4时,2n-1>n+1. 〔11分〕 ∴当n ≤3时,;7213])21()21(21[842+<+=+++≤n n n S n〔12分〕 当n ≥4时,])21()21()21()21()21(21[816542+++++++<n n n S .7)21(72+<-+=-n n n〔13分〕 综上所述,对任意的.7*,+<∈n S N n n 都有 〔14分〕。
陕西省西安市八校联考2024届高三下学期理科数学试题(含答案与解析)_3730
西安市八校2023~2024学年高三下学期联考试题数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持纸面清洁，不折叠，不破损.5.若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应的题号后填写.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集U =R ，集合{|M x y ==，{N =，则()U M N = ð（ ）．A. {}B.C. {1,D. {2}N =2. i 是虚数单位，若复数6i 2i 1iz +=+，则z 的共轭复数z =（ ）．A.13i 22- B.13i 22+ C. 13i 22-+ D.31i 22- 3. 将函数π()2sin(2)3f x x =-的图象向左平移m （0m >）个单位，所得图象关于原点对称，则m 的值可以是（ ）． A.π3B. πC.4π3D.5π34. 已知某随机变量X 的分布列如图表，则随机变量X 的方差()D X =（ ）X20 40Pm2mmA. 120B. 160C. 200D. 2605. 已知x ，y 满足约束条件02422x y x y x ≤+≤⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩，则36z x y =-+最大值为（ ）A 18B. 14C. 10D. 30-6. 随机取实数t ，(1,8)t ∈-，则关于x 方程22430x tx t ++-=有两个负根的概率为（ ）． A.23B.59C.79D.7127. 如图，网格纸上绘制的是某几何体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）．A. 15πB. 20πC. 26πD. 30π8. 已知二次函数()2y x b a x ab =-+-+的图象与x 轴交于A 、B 两点，图象在A 、B 两点处的切线相交于点P ．若1ab =，则ABP 的面积的最小值为（ ）． A. 1B.C. 2D. 49. 某三甲医院选定A 、B 、C 、D 、E ，5名医生到3所乡镇医院进行医疗扶持，每个医院至少一人，其中，A 与B 必须在同一医院，B 与C 一定不在同一医院.则不同的选派方案有（ ） A 48种B. 42种C. 36种D. 30种10. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点()3,9P -，则该双曲线的离心率为（ ）．A.B. 3C.D.的.的.11. 已知函数()f x 为偶函数，满足()()12f x f x +=-，且20x -≤≤时，()2xf x =-，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=至少有两解，则a 的取值范围为（ ）． A. 1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B. [)10,3,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦C. [)10,53,⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D. 1,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦12. 已知函数()4ln 2x f x x =+-的零点为1x ，()g x 存在零点2x ，使121||2x x -<，则()g x 不能是（ ）．A. 32()3232g x x x x =--+B. 11()42x x g x ---=-C. 5π()cos(12g x x =+D. ()lg(51)g x x =+第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知单位向量12e e ⊥ ，向量122a e e λ=- ，122b e e =+ ，若a b ⊥，则实数λ＝________．14. 已知521110x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含x 项的系数为k ，()10210012101kx a a x a x a x -=++++ .则1210a a a +++= ________.15. 某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）．其中，成绩分组区间为)[[60,70),70,80),80,90),9[0,100[，100,110),110,120),120,]130),130,14[[0),14[[0,150[．用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计值为________．16. 已知椭圆2221(1)x y a a+=>的上顶点为A ，B 、C 在椭圆上，△ABC 为等腰直角三角形，A 为直角，若这样的△ABC 有且只有一个，则该椭圆的离心率的取值范围为_______．三、解答题（共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.第22，23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17. 已知各项均为正数的等比数列{}n a ，满足132163a a +=，23642a a a =．（1）求数列{}n a 通项公式；（2）设21log nn i i b a ==∑，数列1{}n b 的前n 项和为n T ．求证：21n T -<≤-． 18. 已知△ABC 为钝角三角形，它的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且22ππsin sin sin()cos()36C B B B =+++，a c <，b c <．（1）求tan()A B +的值；（2）若△ABC的面积为，求c 的最小值．19. 如图所示多面体EF ABCD -中，四边形ABCD 和四边形ACEF 均为正方形，棱AF BD ⊥，G 为EF 的中点.（1）求证：CE ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A CG B --的余弦值.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)=>S x py p ，其焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线S 于A 和B 两点，16||3AB =，角60θ=︒（如图）．的（1）求抛物线S 的方程；（2）在抛物线S 上是否存在关于直线l 对称的相异两点，若存在，求出该两点所在直线的方程，若不存在，请说明理由．21. 已知函数()()()ln 1R 2kxf x x k x =++∈+. （1）若()f x 在其定义域上单调递增，求k 的取值范围； （2）证明：对n +∀∈N ，1111ln 21232n n n n++++<+++ . （二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写. [选修4-4：极坐标与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Γ的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求出直线l 的普通方程和曲线Γ的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线Γ相交于A 、B 两点，求|AB |的值．[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数2()|2|2||f x x a x a=++-． （1）求()f x 的最小值；（2）若min [()]a f x =，求不等式(1)25f x x -≤+的解集．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集U =R，集合{|M x y ==，{N =，则()U M N = ð（ ）．A{}B.C. {1,D. {2}N =【答案】B 【解析】【分析】先求集合M ，然后由集合的运算可得. 【详解】由10x -≥解得(],1M ∞=-，所以()1,U M ∞=+ð，所以{()U M N ⋂=ð. 故选：B2. i 是虚数单位，若复数6i 2i 1iz +=+，则z 共轭复数z =（ ）．A.13i 22- B.13i 22+ C. 13i 22-+ D.31i 22- 【答案】A 【解析】【分析】利用复数的乘方及复数除法运算，结合共轭复数的意义求解即得. 【详解】依题意，12i (12i)(1i)13i 13i 1i (1i)(1i)222z -+-+-+====+++-， 所以13i 22z =-. 故选：A3. 将函数π()2sin(2)3f x x =-的图象向左平移m （0m >）个单位，所得图象关于原点对称，则m 的值可以是（ ）． A.π3B. πC.4π3D.5π3【答案】D 【解析】【分析】先求平移后图象的解析式，然后根据正弦函数的对称性可得..的【详解】将函数π()2sin(2)3f x x =-的图象向左平移m 个单位， 得()ππ2sin 22sin 2233y x m x m ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 因为π2sin 223y x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象关于原点对称， 所以π2π,3m k k -=∈Z ，即ππ,62k m k =+∈Z ， 当3k =时，得5π3m =，使πππ623k m =+=，πππ62k m =+=，ππ4π623k m =+=的整数k 不存在.故选：D4. 已知某随机变量X 的分布列如图表，则随机变量X 的方差()D X =（ ）X20 40P m2mmA. 120B. 160C. 200D. 260【答案】C 【解析】【分析】根据概率和为1，求得m ，再根据分布列求()E X ，再求()D X 即可. 【详解】由题可知：21m m m ++=，解得14m =，则()040408020E X m m m m =⨯++==； 故()()()()222111020202040201000100200424D X =-+-+-=++=. 故选：C.5. 已知x ，y 满足约束条件02422x y x y x ≤+≤⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩，则36z x y =-+的最大值为（ ）A. 18B. 14C. 10D. 30-【答案】B 【解析】【分析】作出可行域，由图可以得到目标函数取最大值时的位置，求得点的坐标代入即可. 【详解】由约束条件作出可行域如图，目标函数36z x y =-+，即为1126y x z =+，作出直线12y x =， 由图可知，当直线12y x =平移至A 处时，z 取得最大值， 联立224x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得28(,)33A ，则目标函数z 的最大值为z =36148323-⨯+⨯=. 故选：B.6. 随机取实数t ，(1,8)t ∈-，则关于x 的方程22430x tx t ++-=有两个负根的概率为（ ）． A.23B.59C.79D.712【答案】D 【解析】【分析】利用韦达定理和判别式求出方程有两个负根时t 的范围，然后由区间长度比可得. 【详解】若方程22430x tx t ++-=有两个负根，则()2043044430t t t t ⎧-<⎪->⎨⎪-->⎩，解得314t <<或3t >，又(1,8)t ∈-，所以当314t <<或38t <<时，方程22430x tx t ++-=有两个负根， 故所求概率()3183741281P -+-==--. 故选：D7. 如图，网格纸上绘制的是某几何体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）．A. 15πB. 20πC. 26πD. 30π【答案】A 【解析】【分析】根据三视图还原几何体即可由圆锥体积公式得解.【详解】由三视图可知，几何体左边为底面半径为3，高为4的圆锥的一半，右边为底面半径为3，高为6的圆锥的一半构成的组合体，如图，所以221111π34π3615π2323V =⨯⋅⨯+⨯⋅⨯=， 故选：A8. 已知二次函数()2y x b a x ab =-+-+的图象与x 轴交于A 、B 两点，图象在A 、B 两点处的切线相交于点P ．若1ab =，则ABP 的面积的最小值为（ ）．A. 1B.C. 2D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据导数的几何意义可得切线方程及点P 坐标，结合韦达定理及面积公式可得面积的最值. 【详解】设()1,0A x ，()2,0B x ，则1x 与2x 是方程()20x b a x ab -+-+=的两根，则12x x b a +=-，12x x ab =-，12AB x x a b =-==+，又2y x b a '=-+-，则函数()2y x b a x ab =-+-+在点()1,0A x 处的切线方程为()()112y x b a x x =-+--，同理函数()2y x b a x ab =-+-+在点()2,0B x 处切线方程为()()222y x b a x x =-+--，则()()()()112222y x b a x x y x b a x x ⎧=-+--⎪⎨=-+--⎪⎩，解得()()()12222121212224222x x b a x x x x x x x a b y +-⎧==⎪⎪⎨-++-+⎪===⎪⎩，即点()2,22a b b a P ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，则311142244ABP P S AB y a b ab =⋅=+≥⋅⋅= ，当且仅当1a b ==时等号成立，故选：C.9. 某三甲医院选定A 、B 、C 、D 、E ，5名医生到3所乡镇医院进行医疗扶持，每个医院至少一人，其中，A 与B 必须在同一医院，B 与C 一定不在同一医院.则不同的选派方案有（ ） A. 48种 B. 42种 C. 36种 D. 30种【答案】D 【解析】【分析】根据题意，分三种分堆情况进行讨论，先分类再分步，即可求得结果. 【详解】先把5人分为3堆，根据题意，则有如下三种情况：第一种：第一堆除了,A B 之外，还有一名医生，第二堆是C ，第三堆是1名医生， 则此时选派方案有：1323C A 12⋅=种；第二种：第一堆为,A B ，第二堆是C ，第三堆是剩余两名医生， 则此时选派方案有：2323C A 6⋅=种；第三种：第一堆为,A B ，第二堆是C 以及另外一名医生，第三堆是剩余的一名医生， 则此时选派方案有：1323C A 12⋅=种；的综上所述，所有选派方案有：1261230++=种； 故选：D.10. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点()3,9P -，则该双曲线的离心率为（ ）．A.B. 3C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据渐近线方程及离心率公式可得解.【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，又渐近线过点()3,9P -，即93b a-=-⨯，则3ba =，所以离心率c e a ====，故选：A.11. 已知函数()f x 为偶函数，满足()()12f x f x +=-，且20x -≤≤时，()2xf x =-，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=至少有两解，则a 的取值范围为（ ）． A. 1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B. [)10,3,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦C. [)10,53,⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D. 1,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】根据函数的对称性与周期性，数形结合可得函数交点情况，进而确定方程解的情况. 【详解】由已知()()12f x f x +=-，则()()12f x f x =--，则()()22f x f x +=-， 可知函数()f x 为周期函数，最小正周期4T =，又当20x -≤≤时，()2xf x =-，可知函数()f x 的图象如图所示，且()f x 的值域为[]1,1-， 关于x 的方程()()log 10a f x x -+=至少有两解，可得函数()y f x =与函数()log 1a y x =+的图象至少有两个交点， 如图所示，可知当01a <<时，()1log 411log a aa +≥-=，解得15a ≤，即10,5a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 当1a >时，()log 211log a a a +≤=，解得3a ≥，即[)3,a ∞∈+， 综上所述[)10,3,5a ∞⎛⎤∈⋃+ ⎥⎝⎦，故选：C.12. 已知函数()4ln 2x f x x =+-的零点为1x ，()g x 存在零点2x ，使121||2x x -<，则()g x 不能是（ ）．A. 32()3232g x x x x =--+B. 11()42x x g x ---=-C. 5π()cos(12g x x =+ D. ()lg(51)g x x =+【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理求出1x 的范围，再求出各选项中函数的零点即可判断得解. 【详解】函数()4ln 2x f x x =+-定义域为(0,)+∞，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，而1211(4ln 2ln 20,(1)2022f f =+-=-<=>，因此1112x <<，对于A ，由()0g x =，得(1)(1)(32)0x x x +--=，解得=1x -或23x =或1x =， 显然121||32x -<或11|1|2x -<，A 能；对于B ，由()0g x =，得211120422x x ⋅-⋅=，解得13x =，332233(2ln 22ln 2 2.5044f =+->+-=->，即11324x <<，1115163122x <-<<，B 能；对于C ，由()0g x =，得5πcos(012x +=，则5πππ,Z 122x k k +=+∈， 解得ππ,Z 12x k k =+∈，取π110,(,1243k x ==∈，11π16122x <-<，C 能； 对于D ，函数()lg(51)g x x =+在1(,)5-+∞上单调递增，(0)0g =，而1102x ->，D 不能.故选：D【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知单位向量12e e ⊥ ，向量122a e e λ=- ，122b e e =+ ，若a b ⊥，则实数λ＝________．【答案】1 【解析】【分析】利用向量垂直的性质即可求解.【详解】因为a b ⊥，所以()()()221212112222242220a b e e e e e e e e λλλλ⋅=-⋅+=+-⋅-=-=故1λ=. 故答案为：114. 已知521110x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含x 项的系数为k ，()10210012101kx a a x a x a x -=++++ .则1210a a a +++= ________. 【答案】1023 【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式，结合题意求得k ，再通过赋值法先求0a ，再求目标即可.【详解】521110x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()52103155111C C 1,0,1,2,51010rrr r r r r T xx r x --+⎛⎫=-=⋅-⋅= ⎪⎝⎭ ， 令3r =，则可得含x 项的系数()3351C 1110k =⨯⨯-=-，则()101kx -()101x =+， 对()101x +，令0x =，解得01a =；对()101x +，令1x =，解得10011021024a a a +++== ，故1210a a a +++= 102411023-=. 故答案为：1023.15. 某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）．其中，成绩分组区间为)[[60,70),70,80),80,90),9[0,100[，100,110),110,120),120,]130),130,14[[0),14[[0,150[．用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计值为________．【答案】114 【解析】【分析】利用频率分布直方图计算、估计数学成绩的中位数. 【详解】观察频率分布直方图，得数学成绩在区间[60,110)的频率为(0.010.0050.010.015)100.4+++⨯=，数学成绩在区间[60,120)的频率为0.40.025100.65+⨯=，因此数学成绩的中位数(110,120)m ∈，且(110)0.0250.1m -⨯=，解得114m =， 所以这次考试数学成绩的中位数的估计值为114. 故答案为：11416. 已知椭圆2221(1)x y a a+=>的上顶点为A ，B 、C 在椭圆上，△ABC 为等腰直角三角形，A 为直角，若这样的△ABC 有且只有一个，则该椭圆的离心率的取值范围为_______．【答案】⎛ ⎝【解析】【分析】设直线AB 方程为1y kx =+，直线AC 方程为11y x k=-+，求出弦长,AB AC ，根据AB AC =整理可得()()221110k k a k ⎡⎤-+-+=⎣⎦，由方程有唯一实数解可得1a <≤，然后可得离心率.【详解】由椭圆2221(1)x y a a+=>可知()0,1A ，易知，直线AB 与AC 的斜率存在且不为0，故可设直线AB 方程为1y kx =+，直线AC 方程为11y x k=-+， 联立22221y kx x a y a=+⎧⎨+=⎩消元得()2222120a k x a kx ++=， 解得22221B a kx a k =-+，同理，联立222211y x k x a y a⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩可解得2222C a kx a k =+， 由题知，AB AC =，222222221a k a k a k a k=++， 整理得()()221110k k ak ⎡⎤-+-+=⎣⎦，因为1k =为上述方程的根，所以，要使满足条件的△ABC 有且只有一个，方程()22110k a k +-+=没有实数解，或者有两个相等的根1k =.当()22Δ140a =--<时，解得1a <<，当()22Δ140a =--=时，解得a =()22110k a k +-+=的根为1.综上，1a <≤.所以，e ⎛= ⎝.故答案为：⎛ ⎝【点睛】求离心率的方法主要有：（1）定义法：根据题意求出a ，c ，然后由离心率公式直接求解；（2）齐次式法：根据题意或结合图形中的几何关系，求得222,,a b c 的关系式，利用222b a c =-消去2b ，然后两边同时除以2a 转化为关于e 的方程或不等式即可求解.三、解答题（共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.第22，23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17. 已知各项均为正数的等比数列{}n a ，满足132163a a +=，23642a a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21log nn ii b a ==∑，数列1{}n b 的前n 项和为n T ．求证：21n T -<≤-． 【答案】（1）12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）证明见详解. 【解析】【分析】（1）根据已知列方程组求出基本量，然后可得通项；（2）先根据等差数列求和公式求n b ，然后利用裂项相消法求n T 即可得证. 【小问1详解】记数列{}n a 的公比为q ，则211252611121632a a q a q a q a q⎧+=⎨⋅=⎩，解得112a q ==， 所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）可得，221log log 2nn a n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()()2111log2nnn i i i n n b a i ==+==-=-∑∑，所以()122211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭， 所以22222222221223111n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-+⋅⋅⋅+-=--=-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为*n ∈N ，所以2011n <≤+， 所以22211n -<-≤-+，即21n T -<≤-. 18. 已知△ABC 为钝角三角形，它的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且22ππsin sin sin()cos()36C B B B =+++，a c <，b c <．（1）求tan()A B +的值；（2）若△ABC的面积为，求c 的最小值． 【答案】（1（2）12【解析】【分析】（1）由三角恒等变换化简可得sin C ，再由同角三角函数的基本关系及诱导公式得解； （2）由三角形面积公式、余弦定理及重要不等式即可求解. 【小问1详解】因为222ππ1ππsin sin sin()cos()sin sin 2sin 36226C B B B B B ⎡⎤⎛⎫=+++=+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()22211113sin cos 2sin 12sin 22244B B B B ⎛⎫=++=+-+= ⎪⎝⎭，因为sin 0C >，所以sin C =由△ABC 为钝角三角形且a c <，b c <知，C 为钝角，所以1cos 2C =-，即tan C =，所以()tan()tan πtan A B C C +=-=-=【小问2详解】因为1sin 2ABC S ab C ===△， 所以48ab =，由余弦定理，222222cos 3144c a b ab C a b ab ab =+-=++≥=，当且仅当a b ==此时2c 的最小值为144，所以c 的最小值为12.19. 如图所示多面体EF ABCD -中，四边形ABCD 和四边形ACEF 均为正方形，棱AF BD ⊥，G 为EF 的中点.（1）求证：CE ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A CG B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）利用线面垂直判定定理证明AF ⊥平面ABCD ，再利用AF CE ∥即可证得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解二面角A CG B --的余弦值即可. 【小问1详解】证明： 四边形ABCD 和四边形ACEF 均为正方形.AF AC ∴⊥，又AF BD ⊥，且AC 与BD 是平面ABCD 上的两条相交直线.AF ∴⊥平面ABCD .由ACEF 为正方形，得AF CE ∥，CE ∴⊥平面ABCD .【小问2详解】由题意知，直线AB 、AD 、AF 两两互相垂直.分别以直线AB 、AD 、AF 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐系A xyz -.设2AB =，则AC =，于是，有()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D，(2,2,E，(0,0,F，(1,1,G ，(1,1,BG ∴=- ，()0,2,0BC = ，()2,2,0DB =-.设平面BCG 的一个法向量为()111,,n x y z =，则11111110020y n BG x y x n BC y ⎧=⎧⋅=-++=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅==⎪⎪⎩⎩，令11z =，得1x =所以()n =，AF DB ⊥ ，DB AC ⊥，AF AC A = ，,AF AC ⊂平面ACEF ，DB ∴⊥平面ACEF ，即DB ⊥平面ACG ()2,2,0DB ∴=-是平面ACG 的一个法向量.设二面角A CG B --的大小为α，结合图形，知α为锐角，2cos cos ,3n DB n DB n DBα⋅∴=====⋅，∴二面角A CG B --的余弦值为23. 20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)=>S x py p ，其焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线S 于A 和B 两点，16||3AB =，角60θ=︒（如图）．（1）求抛物线S 的方程；（2）在抛物线S 上是否存在关于直线l 对称的相异两点，若存在，求出该两点所在直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）24x y =；（2）不存在，理由见解析. 【解析】【分析】（1）求出直线l 的方程，与抛物线方程联立，结合抛物线定义及给定弦长求出p 即得. （2）假设存在符合要求的两点，并设出两点坐标，再利用对称思想列式求解判断即得. 【小问1详解】抛物线2:2S x py =的焦点(0,)2p F ，直线l方程为2py x =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由222py x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y得：22330x p --=，则12x x p +=，12125)3y y x x p p +=++=，128||||||3AB AF BF y y p p =+=++=，于是81633p =，解得2p =，所以抛物线S 的方程为24x y =. 【小问2详解】 由（1）知直线l：1y x =+， 假设在抛物线S 上存在关于直线l 对称的相异两点，设这两点坐标为221212(,(,44x x M x N x ，于是直线MN的斜率22121212144()4MNx x k x x x x -==+=-，解得12+=-x x 线段MN的中点0()y -在直线l 上，则01y =-，而0()y -应在线段AB 上，必有00y >与01y =-矛盾，所以在抛物线S 上不存在关于直线l 对称的相异两点.【点睛】思路点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||AB x x p =++（或12||AB y y p =++），若不过焦点，则必须用一般弦长公式. 21. 已知函数()()()ln 1R 2kxf x x k x =++∈+. （1）若()f x 在其定义域上单调递增，求k 的取值范围； （2）证明：对n +∀∈N ，1111ln 21232n n n n++++<+++ . 【答案】（1）[)2,-+∞（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）考查已知带参函数的单调性求参数取值范围的问题，根据导数正负与函数单调递增的关系：函数()f x 单调递增()0f x '⇒≥恒成立，令导数()0f x '≥，过程中对参数k 进行分离参数得()()2221x k x +≥-+在()1,-+∞上恒成立，再将问题转化成研究具体函数()()()()22121x h x x x +=->-+的最值问题即可.（2）由（1）知，当2k =-时，()f x 在()1,-+∞上单调递增得()2ln 12xx x +>+，再根据所需求证不等式的特征令22x a x =+不等式变成2ln2a a a +>-，再根据所需依次令()1111,,,,1232a n n n n nN +=++∈+ 进行研究即可得到.小问1详解】由题()f x 的定义域为()1,-+∞，()()()()()()()()2222221111212k x kx x k x x x f x x x x '+-+++=+=>-++++， ()f x ()1,-+∞上单调递增时，()0f x '≥在()1,-+∞上恒成立，得()()22210x k x +++≥在()1,-+∞恒成立，即()()2221x k x +≥-+在()1,-+∞上恒成立，设()()()()22121x h x x x +=->-+，得()()()()()()()2222212212121x x x x x h x x x ++-++'=-⨯=-++，由()0h x '=，得0x =，或2x =-（舍去），当10x -<<时，()0h x '>，()h x 在()1,0-上单调道增；当0x >时，()0h x '<，()h x 在()0,∞+上单调递增，()h x ∴在0x =处取得极大值也是最大值，即()()max 02h x h ==-⎡⎤⎣⎦， 2k ∴≥-，()f x \在其定义域上单调递增时，k 的取值范围为[)2,-+∞.【小问2详解】由（1）知，当2k =-时，()f x 在()1,-+∞上单调递增.【在∴当2k =-，0x >时，()()()2ln 1002xf x x f x =+->=+，即()2ln 12x x x +>+.① 令22x a x =+，则22a x a =-，代入①，整理得2ln2a a a+>-.② 在②中，依次令()1111,,,,1232a n n n n nN +=++∈+ . 顺次得到231ln 211n n n +>++，251ln 232n n n +>++，271ln 253n n n +>++，…，411ln 412n n n+>-. 将以上各不等式两边分别相加并整理，得1111411ln ln 2ln 212322121n n n n n n n +⎛⎫++++<=-< ⎪+++++⎝⎭.证毕. 【点睛】方法点睛：导数与单调性关系：（1）在函数定义域内，不等式'()0f x >的解即为函数()y f x =的增区间；不等式'()0f x <的解即为函数()y f x =的减区间.（2）若函数()y f x =在区间(),a b （区间端点也可闭）内单调递增，则'()0f x ≥对(),x a b ∈恒成立；若函数()y f x =在区间(),a b （区间端点也可闭）内单调递减，则'()0f x ≤对(),x a b ∈恒成立.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写. [选修4-4：极坐标与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Γ的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求出直线l 的普通方程和曲线Γ的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线Γ相交于A 、B 两点，求|AB |的值．【答案】（1）直线l 的普通方程为30x y +-=，曲线Γ的直角坐标方程()2224x y -+=（2）AB =【解析】【分析】（1）利用消元法可得直线l 的普通方程，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得曲线Γ的直角坐标方程.（2）把直线l的参数方程1,2,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线Γ的直角坐标方程()2224x y -+=，利用韦达定理和弦长公式，即可得到结果. 【小问1详解】直线l的参数方程为1,2,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），相加消去t ，得其普通方程为30x y +-=， 曲线Γ的极坐标方程为4cos ρθ=，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，转化成直角坐标方程为()2224x y -+=.【小问2详解】设A 、B 两点对应的参数为12,t t ，把直线l的参数方程1,2,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入()2224x y -+=，得到210t ++=，12121t t t t +=-=， 故12AB t t =-==.[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数2()|2|2||f x x a x a=++-． （1）求()f x 的最小值；（2）若min [()]a f x =，求不等式(1)25f x x -≤+的解集． 【答案】（1）4（2）[]0,3 【解析】【分析】（1）根据绝对值不等式的性质及均值不等式求解即可； （2）分区间讨论去掉绝对值解不等式即可.【小问1详解】()244442222224f x x a x x a x x a x a a a a a a a =++-=++-≥++-=+=+≥, 当且仅当()42204x a x a a a ⎧⎛⎫+⋅-≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩时，即2a =±，11x -≤≤时等号成立，所以函数()f x 的最小值为4 【小问2详解】由（1）知，min [()]4a f x ==， 则2()24224124f x x x x x =++-=++-， 所以(1)2232f x x x -=++-25x ≤+，①当1x ≤-时，原不等式可化为：222325x x x ---+≤+， 即46x -≤，解得23x ≥-，又1x ≤-，故无解； ②当312x -<≤时，原不等式可化为：222325x x x +-+≤+， 即525x ≤+，解得0x ≥，又312x -<≤，所以302x ≤≤；③当32x <时，原不等式可化为：222325x x x ++-≤+，即26x ≤，解得3x ≤，又32x <，所以332x <≤.综上，不等式的解集为[]0,3.。
2021-2022学年安徽省皖南八校高三(上)第一次联考数学试卷(理科)(10月份)-附答案详解
2021-2022学年安徽省皖南八校高三（上）第一次联考数学试卷（理科）（10月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−2<x<3}，B={x|x2−7x+10<0}，则A∪B=()A. {x|2<x<3}B. {x|−2<x<2}C. {x|−2<x<5}D. {x|2<x<5}2.已知i为虚数单位，若复数z=1+i，z−为z的共轭复数，则(1+z−)⋅z=()A. 3+iB. 3−iC. 1+3iD. 1−3i3.“|a|≠3”是“a≠3”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知向量a⃗=(1,2)，a⃗+2b⃗ =(7,−2)，则向量a⃗在向量b⃗ 方向上的投影为()A. √22B. −√22C. √1313D. −√13135.若cos2t=∫c t0osxdx，其中t∈(0,π2)，则t=()A. π6B. π3C. π2D. 5π66.函数f(x)=x⋅2x−1+x2x+1，a=f(lg3)，b=f(ln12)，c=f(213)，则a，b，c的大小关系为()A. a>b>cB. c>a>bC. b>a>cD. b>c>a7.1471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长(即视角最大，视角是指由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角)，这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大．米勒问题在实际生活中应用十分广泛．某人观察一座山上的铁塔，塔高90m，山高160m，此人站在对塔“最大视角”(忽略人身高)的水平地面位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为()A. 12B. 941C. 1625D. 9168. 已知函数f(x)=cos(12x +π3)的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，再向右平移π6个单位，得到的函数的一个对称中心是( )A. (π18,0)B. (π9,0)C. (2π9,0)D. (37π288,0)9. 如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB =33，CD =21，AD =14，BC =10，∠A ，∠B 均为锐角，则对角线BD =( )A. 5B. 15C. 25D. 3010. 已知定义在R 上的函数f(x)满足：f(x −1)关于(1,0)中心对称，f(x +1)是偶函数，且f(−32)=1.则下列选项中说法正确的有( )A. f(x)为偶函数B. f(x)周期为2C. f(92)=1D. f(x −2)是奇函数11. 已知M(cosα,sinα)，N(cos(α+π3),sin(α+π3))，P(√3,3)，则|2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为( )A. 2√3B. 3√3C. 2−√3D. 2+√312. 已知函数f(x)=(3a)x −x 3a (a >1)，当x ≥2e 时，f(x)≥0恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. (e3,+∞)B. [2e3,+∞)C. (1,e)D. (1,2e3]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 命题“∀x >1，x 2+x −1≥0”的否定是______． 14. 已知sin(α+π12)=35，则sin(2α−π3)=______．15. 已知f(x)={sin(π2x +π6)(−2π≤x ≤0)|lnx −1|(x >0)，若方程f(x)=m 恰有4个不同的实数解a ，b ，c ，d ，且a <b <c <d ，则cda+b =______． 16. 如图，正三角形ABC 内有一点P ，∠BPC =π2，∠APC =5π6，连接AP 并延长交BC 于D ，则|CD||CB|=______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.若平面向量a⃗、b⃗ 满足a⃗=(3,3)，|b⃗ |=2．(1)若|a⃗+2b⃗ |=√58，求a⃗与b⃗ 的夹角；(2)若(a⃗+b⃗ )//(a⃗−2b⃗ )，求b⃗ 的坐标．18.已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω>0,φ∈(−π2,π2)).其图像相邻两条对称轴的距离为π2，且f(0)=1，f(π6)=A．(1)求f(x)；(2)把函数f(x)图像向右平移π12中得到函数g(x)图像，若g(α)=1，求tan(α−π)+tan(π2−α)的值．19. 已知函数f(x)=√x−ax−a−3的定义域为A ，函数g(x)=2x+1+42x +1的值域为B ．(1)当a =3时，求(∁R A)∩B ；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．20. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c =1，√2sin(A +π4)=b ．(1)求角C ；(2)求△ABC 的面积的最大值．21. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f(x)=log 2(a −x)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对任意的x ∈[−1,1]，都有不等式f(x 2−mx +m)+f(2x 2−mx +2)<0恒成立，求实数m 的取值范围．22.已知函数f(x)=ae x−lnx−e．(1)当a=1时，讨论函数f(x)的零点存在情况；(2)当a>1时，证明：当x>0时，f(x)>2−e．答案和解析1.【答案】C【解析】解：B={x|x2−7x+10<0}={x|2<x<5}，∴A∪B={x|−2<x<5}，故选：C．先求出集合B，再利用集合的并集运算求解．本题主要考查了集合间的基本运算，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵z=1+i，∴z−=1−i，∴(1+z−)⋅z=(1+1−i)(1+i)=3+i．故选：A．根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：若|a|≠3，则a≠3的逆否命题为：若a=3，则|a|=3，①若a=3，则|a|=3成立，②若|a|=3，则a=3或a=−3，∴a=3是|a|=3的充分不必要条件，即|a|≠3是a≠3的充分不必要条件，故选：A．先得到若|a|≠3，则a≠3的逆否命题为：若a=3，则|a|=3，再判断逆否命题即可．本题考查了充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：∵向量a⃗=(1,2)，a⃗+2b⃗ =(7,−2)，∴b⃗ =(3,−2)，∴a⃗在向量b⃗ 方向上的投影为a⃗ ⋅b⃗|b⃗|=√32+(−2)2=−√1313，故选：D．根据向量的坐标运算以及向量投影的定义求解即可．本题考查向量投影的求法，主要涉及向量的坐标运算，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：根据题意，∫c tosxdx=sinx|0t=sint，若cos2t=∫c t0osxdx，则cos2t=sint，解可得sint=12或−1，又由t∈(0,π2)，则t=π6，故选：A．根据题意，求出∫c tosxdx的值，进而可得cos2t=sint，结合三角函数恒等变形公式分析可得答案．本题考查定积分的计算，注意定积分的定义和计算公式，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：f(x)=x−12x+1，函数f(x)在R递增，而ln12<0，0<lg3<1，213>1，故b<a<c，故选：B．求出函数f(x)的单调性，通过判断自变量的大小，判断函数值的大小即可．本题考查了函数的单调性问题，考查数的大小比较，是基础题．7.【答案】B【解析】解：由米勒问题的解答可知，此人应站在离塔水平距离为l=√160×250= 200m处观察，设此时的视角为θ，塔底离地面的高度为n，塔顶离地面的高度为m，则l=√mn，所以tanθ=ml−nl1+ml⋅nl=l(m−n)l2+mn=2√mn，则sinθ=m−nm+n =90250+160=941，所以此时“最大视角”的正弦值为941．故选：B．由米勒问题的解答求出此人应站在离塔水平距离l，设此时的视角为θ，塔底离地面的高度为n，塔顶离地面的高度为m，得到l=√mn，然后利用两角和差公式以及同角三角函数关系式，列式求解即可．本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：函数f(x)=cos(12x+π3)的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，可得y=cos(3x+π3)的图象；再向右平移π6个单位，可得y=cos[3(x−π6)+π3]=cos(3x−π6)的图象，令3x−π6=kπ+π2，求得x=kπ3+2π9，故函数的图象的对称中心为(kπ3+2π9,0)，k∈Z，令k=0，可得到的函数的一个对称中心为(2π9,0)，故选：C．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：过C ，D 分别向AB 作垂线，垂足分别为M ，N ，如图：设DN =ℎ，AB//CD ，AB =33，CD =21，AD =14，BC =10，∠A ，∠B 均为锐角， 则在△ADN 中，AN 2=142−ℎ2，即AN =√142−ℎ2， 同理在△BCM 中，BM =√102−ℎ2， ∵AN +NM +MB =33且MN =DC =21， ∴√142−ℎ2+√102−ℎ2=12， 移项平方整理得，ℎ2=96，∴BM =2，在△BDN 中，BD =√DN 2+NB 2=√ℎ2+232=√625=25， 故选：C ．利用题中的条件，过C ，D 分别向AB 作垂线，构造直角三角形，利用勾股定理即可解出． 本题考查了三角形的运算，几何性质，直角三角形的勾股定理，学生的数学运算能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：由f(x −1)关于(1,0)中心对称，可得f(x −1)+f(2−x −1)=0， 即为f(x −1)+f(1−x)=0，即有f(−x)=−f(x)，即f(x)为奇函数，故A 错误； 由f(x +1)是偶函数，可得f(−x +1)=f(x +1)， 即为f(−x)=f(x +2)， 所以f(x +2)=−f(x)， 则f(x +4)=−f(x +2)=f(x)， 所以f(x)的周期为4，故B 错误；由f(92)=f(92−4)=f(12)=f(32)=−f(−32)=−1，故C 错误；由f(x −2)=f(x +2)=−f(−x −2)，可得f(x −2)为奇函数，故D 正确． 故选：D ．由函数的对称性和奇偶性的定义，可判断A ；由奇偶性和周期性的定义，求得f(x)的周期，可判断B ；由周期性和奇偶性的定义，计算可判断C ；由周期性和奇偶性的定义，可判断D ．本题考查函数的奇偶性和对称性、周期性的判断和运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：因为M(cosα,sinα)，N(cos(α+π3),sin(α+π3))，P(√3,3)， 所以PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα−√3,sinα−3)，PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos(α+π3)−√3,sin(α+π3)−3)， 所以2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2cosα−cos(α+π3)−√3,2sinα−sin(α+π3)−3) =(2cosα−12cosα+√32sinα−√3,2sinα−12sinα−√32cosα−3)=(32cosα+√32sinα−√3,32sinα−√32cosα−3)=(√3cos(α−π6)−√3,√3sin(α−π6)−3)所以|2PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(√3cos(α−π6)−√3)2+(√3sin(α−π6)−3)2 =√15−6cos(α−π6)−6√3sin(α−π6) =√15−12sinα，当sinα=−1时，√15−12sinα取得最大值为3√3， 即|2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为3√3， 故选：B ．利用向量的坐标运算求出2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用模的运算及三角恒等变换即可求解|2PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值． 本题主要考查平面向量向量的坐标运算，模的运算，以及三角恒等变换的应用，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：函数f(x)=(3a)x −x 3a (a >1)， 因为当x ≥2e 时，f(x)≥0恒成立， 则(3a)x ≥x 3a 对x ≥2e 恒成立，所以xln(3a)≥3alnx对x≥2e恒成立，故ln(3a)3a ≥lnxx对x≥2e恒成立，令g(x)=lnxx(x≥1)，则g′(x)=1−lnxx2(x≥1)，当1<x<e时，g′(x)>0，则g(x)单调递增，当x>e时，g′(x)<0，则g(x)单调递减，因为a>1，则3a>3>e，又g(3a)≥g(x)对x≥2e恒成立，所以3a≤x对x≥2e恒成立，即3a≤2e，解得a≤2e3，又a>1，所以实数a的取值范围为(1,2e3]．故选：D．不等式可变形为ln(3a)3a ≥lnxx对x≥2e恒成立，构造函数g(x)=lnxx(x≥1)，则g(3a)≥g(x)对x≥2e恒成立，利用导数判断函数g(x)的单调性，利用单调性去掉“f”，从而将问题转化为3a≤x对x≥2e恒成立，即可求出a的取值范围．本题考查了不等式恒成立问题，利用导数研究函数的单调性以及函数的最值，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于中档题．13.【答案】∃x>1，x2+x−1<0【解析】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，则命题“∀x>1，x2+x−1≥0”的否定为：∃x>1，x2+x−1<0．故答案为：∃x>1，x2+x−1<0．利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．14.【答案】−725【解析】解：∵sin(α+π12)=35， ∴sin(2α−π3)=sin[2(α+π12)−π2]=−cos2(α+π12)=2sin 2(α+π12)−1=2×(35)2−1=−725． 故答案为：−725．由已知，结合sin(2α−π3)=sin[2(α+π12)−π2]，利用诱导公式及倍角公式变形求解． 本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础题．15.【答案】−3e 220【解析】解：画出函数f(x)的图像，如图所示，方程f(x)=m 恰有4个不同的实数解，等价于函数y =f(x)与y =m 图形有4个交点，交点横坐标从左到右依次为a ，b ，c ，d ， 当−2π≤x ≤0时，f(x)=sin(π2x +π6)， 令π2x +π6=π2+kπ(k ∈Z)得，x =23+2k ， 再令k =−2得，x =−103， ∴a ，b 关于对称轴x =−103对称，∴a +b =−203，当x >0时，f(x)=|lnx −1|， ∴lnd −1=−(lnc −1)， 即lnd +lnc =2，即ln(cd)=2， ∴cd =e 2， ∴cda+b =e 2−203=−3e 220，故答案为：−3e 220．画出函数f(x)的图像，方程f(x)=m 恰有4个不同的实数解，等价于函数y =f(x)与y =m 图形有4个交点，交点横坐标从左到右依次为a ，b ，c ，d ，求出f(x)=sin(π2x +π6)在y 轴左侧的第二条对称轴，即可求出a +b 的值，当x >0时lnd −1=−(lnc −1)，可求出cd 的值，从而求出结果．本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了三角函数的图像和性质，同时考查了数形结合的数学思想，是中档题．16.【答案】13【解析】解：设正三角形ABC 的边长为2，|CD|=2λ，∠CDP =θ， 在△CAD 中，∠CAD =2π3−θ，由正弦定理得CD sin(2π3−θ)=CA sinθ，∴2λsin(2π3−θ)=2sinθ ①，在△CPB 中，CP =CB ⋅cos∠BCP =2cos(5π6−θ)， 在△CPD 中，由正弦定理得CDsin π6=CPsinθ，∴4λ=2cos(5π6−θ)sinθ②，∴cos(5π6−θ)=2sin(2π3−θ)，∴−√32cosθ+12sinθ=√3cosθ+sinθ，∴sinθ=−3√3cosθ，∴tanθ=−3√3， 代入①得，λ=sin(2π3−θ)sinθ=√32cosθ+12sinθsinθ=√32+12tanθtanθ=13， ∴|CD|=23，∴|CD||CB|=13． 故答案为：13．利用正弦定理得到①②，进而得到cos(5π6−θ)=2sin(2π3−θ)，再利用三角恒等变换得到tanθ=−3√3，求解即可．本题考查正弦定理，三角恒等变换再解三角形中的应用，属于中档题．17.【答案】解：因为a⃗=(3,3)，所以|a⃗|=3√2，(1)因为|a⃗+2b⃗ |=√58，所以(a⃗+2b⃗ )2=|a⃗+2b⃗ |2=58，即a⃗2+4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=|a⃗|2+4|a⃗||b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >+4|b⃗ |2=58，所以cos<a⃗,b⃗ >=√22，所以<a⃗,b⃗ >=π4．(2)设b⃗ =(x,y)所以a⃗+b⃗ =(x+3,y+3)，a⃗−2b⃗ =(3−2x,3−2y)，若(a⃗+b⃗ )//(a⃗−2b⃗ )所以x+33−2x =y+33−2y，整理得x=y，①又|b⃗ |=2，所以x2+y2=4，②①②联立，解得x=y=√2或x=y=−√2，所以b⃗ =(√2,√2)或(−√2,−√2)【解析】y由条件先求向量a的模，(1)由a⃗2=|a⃗|2代入数据进行运算．(2)设出向量b的坐标，根据向量平行关系以及向量b的模为2，构造方程组求解．本题考查了向量的数量积的运算与性质，坐标运算等向量知识，属于基础题．18.【答案】解：(1)由题意得T2=π2，则T=π=2πω，则ω=2，f(π6)=Asin(2π6+φ)=A，则sin(π3+φ)=1，∴φ=π6，又f(0)=Asinφ=1，则A=2，故f(x)=2sin(2x+π6)，(2)由题意可得g(x)=2sin2x，g(α)=2sin2α=1，∴sinαcosα=14，则tan(α−π)+tan(π2−α)=tanα+1tanα=1sinαcosα=4．【解析】(1)由三角函数的对称轴和特殊值，可得f(x)的函数解析式，(2)由三角函数的平移可得g(x)，再进行化简即可．本题考查三角函数的对称性及特殊点的值，和三角函数的平移化简，属于中档题．19.【答案】解：令x−ax−a−3≥0，则x>a+3或x≤a，∴A={x|x>a+3或x≤a}，∵g(x)=2x+1+42x+1=22x+1+2，∵2x>0，∴2x+1>1，∴0<22x+1<2，∴2<22x+1+2<4，∴B={x|2<x<4}，(1)当a=3时，A={x|x>6或x≤3}，∴∁R A={x|3<x≤6}，∴(∁R A)∩B={x|3<x<4}．(2)∵x∈A是x∈B的必要不充分条件，∴B⊊A，∴a+3≤2或a≥4，∴a≤−1或a≥4，∴实数a的取值范围为{a|a≤−1或a≥4}．【解析】(1)分别求解函数的定义域和值域得到集合A，B，求出∁R A，然后利用交集运算得答案．(2)由x∈A是x∈B的必要不充分条件，得B⊆A，然后转化为两集合端点值间的关系得答案．本题考查函数的定义域及其值域的求法，考查了交、并、补集的混合运算，属中档题．20.【答案】解：(1)因为c=1，所以√2c(√22sinA+√22cosA)=b，由正弦定理得sinCsinA+sinCcosA=sinB=sin(π−A−C)=sin(A+C)= sinAcosC+cosAsinC，即sinCsinA=sinAcosC，又sinA≠0，所以tanC=1，又C∈(0,π)，所以C=π4．(2)由(1)C=π4，再由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC，所以1=a2+b2−√2ab⩾(2−√2)ab，故ab⩽2+√22，所以S△ABC=12absinC=√24ab⩽√2+14(当且仅当a=b时等号成立)，所以三角形ABC面积的最大值为√2+14．【解析】(1)将方程转化为√2c(√22sinA+√22cosA)=b，是化简的关键，转化之后化简求解；(2)由余弦定理和基本不等式求出ab的范围，代入面积公式可得面积最大值．本题考查三角形的正弦定理的灵活应用以及三角形面积公式，属于基础题．21.【答案】解：(1)f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0，又当x≤0时，f(x)=log2(a−x)，则f(0)=log2a=0，解得a=1，所以当x≤0时，f(x)=log2(1−x)，设x>0，则−x<0，所以f(−x)=log2(1+x)，又f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)，所以−f(x)=log2(1+x)，则当x>0时，f(x)=−log2(1+x)，综上所述，f(x)={log2(1−x),x≤0−log2(1+x),x>0；(2)当x≤0时，f(x)=log2(1−x)，所以f(x)在(∞,0]上单调递减，又f(x)为R上的奇函数，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减，故f(x)在R上为单调递减函数，则不等式f(x2−mx+m)+f(2x2−mx+2)<0变形为f(x2−mx+m)<−f(2x2−mx+2)=f(−2x2+mx−2)，所以x2−mx+m>−2x2+mx−2对任意的x∈[−1,1]恒成立，即3x2−2mx+m+2>0对任意的x∈[−1,1]恒成立，令g(x)=3x2−2mx+m+2，其对称轴为x=m3，则g(x)min>0，①当m3<−1，即m<−3时，g(x)在[−1,1]上单调递增，所以g(x)min=g(−1)=5+3m>0，解得m>−53，与m<−3矛盾，此时无解；②当−1≤m3≤1，即−3≤m≤3时，g(x)在[−1,m3]上单调递减，在[m3,1]上单调递增，所以g(x)min=g(m3)=−m23+m+2>0，解得3−√332<m<3+√332，又因为−3≤m≤3，所以3−√332<m≤3；③当m3>1，即m>3时，g(x)在[−1,1]上单调递减，所以g(x)min=g(1)=5−m>0，解得m<5，又因为m>3，所以3<m<5．,5)．综上所述，实数m的取值范围(3−√332【解析】(1)先利用f(0)=0，求出a的值，然后设x>0，则−x<0，由已知的解析式以及奇函数的定义，即可求出x>0时的解析式，最后用分段函数表示f(x)的解析式即可；(2)利用函数f(x)的奇偶性和单调性将不等式转化为3x2−2mx+m+2>0对任意的x∈[−1,1]恒成立，构造函数g(x)=3x2−2mx+m+2，则转化为g(x)min>0，由函数g(x)对称轴与区间的位置关系，分类讨论，分别求解g(x)的最小值，即可得到m的取值范围．本题考查了函数奇偶性的应用，函数解析式的求解以及函数单调性的运用，二次函数图象与性质的应用，二次函数最值的求解，不等式恒成立问题的求解，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．22.【答案】(1)解：函数f(x)=ae x−lnx−e，当a=1时，f(x)=e x−lnx−e，则f(1)=0，f′(x)=e x−1，x所以f′(x)在(0,+∞)上单调递增，)=e13−3<0，f′(1)=e−1>0，又f′(13,1)存在唯一的零点x0，所以f′(x)在(13则函数f(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，)=e1e3+3−e>0，由于f(x0)<f(1)=0，f(1e3故在(0,x0)上，函数f(x)存在一个函数零点，综上所述，函数f(x)存在两个零点；(2)证明：当a>1，x>0时，ae x>e x，要证明f(x)>2−e，只需证明e x−lnx−e>2−e，即证e x−lnx>2，令g(x)=e x−lnx−2，则g′(x)=e x−1x，由(1)可知，g′(x)单调递增且在(13,1)内存在唯一零点x0，即e x0−1x0=0，当0<x<x0时，g′(x)<0，则g(x)单调递减，当x>x0时，g′(x)>0，则g(x)单调递增，所以g(x)≥g(x0)=e x0−lnx0−2=e x0−ln1e x0−2=1x0+x0−2>0，故当a>1，x>0时，f(x)>2−e．【解析】(1)求出f(x)，f′(x)，利用导函数的单调性确定f′(x)在(13,1)存在唯一的零点x0，从而得到f(x)的单调性，结合零点的存在性定理进行分析求解即可；(2)利用放缩法将问题转化为证明e x−lnx>2，构造g(x)=e x−lnx−2，利用(1)中的结论得到g(x)≥g(x0)，结合e x0−1x=0，即可证明．本题考查了导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性以及函数的取值情况，函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于难题．。
2020届江苏省高三上学期八校联考数学(理)试题(PDF解析版)
1 to 4
答案：11
4．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了 n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频
率分布直方图如图所示．已知在[50，75)中的频数为 100，则 n 的值为
．
答案：1000
5．某校有 A，B 两个学生食堂，若 a，b，c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人在同一个
．
答案： a 0 或 a 1
二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤．）
15．（本小题满分 14 分）
已知集合 A＝ x y log2 (4x2 15x 9)，x R ，B＝ x x m 1，x R ．
．
4
3
4
4
答案： 6 3
11．直角△ABC 中，点 D 为斜边 BC 中点，AB＝ 6
3
，AC＝6，
uuur AE
1
uuur ED ，则
uuur AE
uuur EB
＝
．
2
B
D
E
A
C
答案：14
12．已知奇函数 f (x) 满足 f (1 x) f (1 x) ，若当 x(﹣1，1)时， f (x) lg 1 x 且 f (2019 a) 1 (0
食堂用餐的概率为
．
答案： 1 4
6．已知 是第二象限角，其终边上一点 P(x， 5 )，且 cos 2 ，则 x 的值为
．
3
答案：﹣2
7．将函数 y sin(x ) 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左 3
安徽省黄山市普通高中2019届高三12月“八校联考”试题 数学(理)试题含答案
安徽省黄山市普通高中2019届高三11月“八校联考”试题数学（理）全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
参考公式：球的体积公式其中是球半径．锥体的体积公式锥体，其中是锥体的底面积，是锥体的高．台体的体积公式台体，其中分别是台体上、下底面的面积，是台体的高．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。
1．设集合2{|40}A x x =->,{|20}B x x =+<，则AB =（ ）（A ）{|2}x x > （B ）{|2}x x <- （C ）{|22}x x x <->或 （D ）1{|}2x x <2．已知复数z 满足(1)2i zi -?（i 是虚数单位），则z 的共轭复数是（ ）（A ）1i - （B ）1i + （C ）12i - （D ）1i - 3．“1a <-”是“直线10ax y +-=的倾斜角大于4p”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 4．已知sin()cos()66p pa a +=-，则cos 2a =( )（A ） 1 （B ）12（C ） 0 （D ）1- 5．若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） (A)若,m αββ⊥⊥，则m α∥ (B)若,m n m α⊥∥，则n α⊥(C)若,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥，则αβ∥ (D)若,,m m n βααβ⊂=∥I ，则m n ∥ 6．下列命题正确的个数是（ ）1:p 已知点(,)M a b 在圆22:1O x y +=外， 则直线1ax by +=与圆O 没有公共点．2:p 命题“32000,10x x x ∃∈-+≤R ”的否定是“32,10x R x x ∀∈-+≥” ．3:p 已知随机变量X 服从正态分布2(3,)N σ，(4)0.8P X ≤=，则(2)0.2P X ≤=．4:p 实数,x y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥，则目标函数2z x y =-的最小值为1．（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 7．函数2ln xy x=的图象大致为（ ）8．等比数列{}n a 的首项14a =，前n 项和为n S ，若639S S =，则数列{}2log n a 的前10项和为（ ）（A ） 65 （B ） 75 （C ）90 （D ）1109．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如： []2.13-=-， []3.13=，已知函数()121123x x f x +=-+，则函数)]([x f y =的值域是（ ）（A ） {}0,1 （B ）{}1,1- （C ）{}1,0- （D ）{}1,0,1- 10．某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的表面积的数值之比为（ ）（A ）13π （B ）19π （C ）23π （D ）29π11．已知点()(),00F c c ->是双曲线22221x y a b-=的左焦点，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆222x y c +=交于点F 和另一个点P ，且点P 在抛物线24y cx =上，则该双曲线的离心率是（ ）(A)(B)12．已知函数2()ln(1)f x a x x =+-在区间(0,1)内任取两个实数,p q ，且p q ¹，不等式(1)(1)1f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围是 ( )（A ）[11,)+∞ （B ）[13,)+∞ （C ）[15,)+∞ （D ） [17,)+∞第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请在答题卡上答题.）13．一个盒子中装有6张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：31f (x)=x ,2()f x x =，3()sin f x x =, 4()cos f x x =，5()2xf x =，612()12xxf x -=+从盒子中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率是 ．14．二项式6ax ⎛ ⎝⎭的展开式中5x0=⎰________． 15．在ABC ∆中，D 是BC 的中点，H 是AD 的中点，过点H 作一直线MN 分别与边,AB AC 交于,M N ，若A M x A B =⋅，AN y AC =⋅，则4x y +的最小值是________．16．不等式2(cos 3)sin 3a x x -≥-对x R ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （一）必考题：60分。
安徽省皖南八校2020届高三上学期第一次联考数学（理）试题
“皖南八校”2020届高三第一次联考数 学（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在复平面内，复数21iz i=+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D 【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可.详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112i i i i i z i i i i --====+++-， 则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.若集合{}2|560A x x x =-->，{}|21xB x =>，则()R C A B =（ ）A. {}|10x x -≤<B. {}|06x x <≤C. {}|20x x -≤<D. {}|03x x <≤【答案】B 【解析】 【分析】求得集合{|1A x x =<-或6}x >，{}|0B x x =>，根据集合运算，即可求解，得到答案．【详解】由题意，集合{}2|560{|1A x x x x x =-->=<-或6}x >，{}{}|21|0x B x x x =>=>，则{}|16R C A x x =-≤≤，所以(){}|06R C A B x x =<≤.故选B ．【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3.若3log 0.3a =，0.3log 0.2b =，0.30.2c =，则（ ） A. a b c << B. b c a << C. a c b << D. b a c <<【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数性质，逐个分析abc 取值范围，进而比较大小。
安徽皖南八校2022高三9月第一次联考试卷-数学(理)word版
安徽皖南八校2022高三9月第一次联考试卷-数学（理）word 版数学（理科）2020.9一、选择题（50分）1、已知复数z ＝2＋i 的实数部为a ，虚训为b ，则a －b ＝A 、2B 、－1C 、1D 、32、若f （x ）是R 上周期为7的奇函数，且满足f （3）＝1，f （2）＝2，则f （－2）－f （8）＝A 、－1B 、1C 、3D 、－33、若右边的程序框图输出的S 是62，则条件①可为A 、m ≤5B 、m ≤6C 、m ≤7D 、m ≤84、已知等差数列{na }满足14a =-，46a a +＝16，则它的前10项和10S ＝A 、138B 、95C 、23D 、1355、已知直线m ，l 和平面,αβ，则α⊥β的充分条件是A ．m ⊥l ，m ∥α，l ∥βB ．m ⊥l ，α∩β=m ，l ⊂αC ．m ∥l ，m ⊥α，l ⊥βD ．m ∥l ，l ⊥β，m ⊂α6、已知一组观测值具有线性相关关系，若对y bx a =+，求得b=0. 5，x =5. 4，y =6. 2，则线性回来方程为A y =0. 5x+3. 5 B. y =0. 5x+8. 9 C. y ＝3. 5x+0. 5 D. y =8.9x ＋3.57、已知8()a x x-展开式中常数项为5670，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是 A 、28 B. 48 C. 28或48 D. 1或28 8. 在△ABC 中，BA BC ＝3，333[,]22ABC S ∈，则∠B 的取值范畴是9.双曲线x 2－y 2=8的左右焦点分别为F 1，F 2，点在其右支上，且满足则x 2020的值是A.80402B.804842C.8048D.804010.将4个相同的小球放人编号为1,2,3的3个盒子中（能够有空盒），当某个盒子中球的个数等于该盒子的编号时称为一个和谐盒，则恰有两个和谐盒的概率为A 、1681B 、281C 、415D 、215第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题．每小题5分，共25分。
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陕西省西安市2007年高三年级八校联考数学试题（理）注意事项：1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷。
第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题。
2．考生须到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答卡上填涂对应的 试卷类型和信息点。
3．所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交 回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()(球的表面积公式24R S π=，其中R 表示球的半径球的体积公式334R V π=球，其中R 表示球的半径一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设U 为全集，M 、P 是U 的两个子集，且P M P P M C U ⋂=⋂则,)(等于 （ ）A ．MB ．PC ．C U PD ．○2．若复数i a z 32+-=为纯虚数，其中R a ∈，i 为虚数单位，则aii a ++12007的值为（ ）A ．－1B ．－iC ．1D ．i3．在空间中，设m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则m ⊥α的一个充分 条件是 （ ） A ．α⊥β且m ⊂β B ．α⊥β且m//β C ．α//β且m ⊥βD ．m ⊥n 且n //α4．已知圆1)2()4(:221=-+-y x C 与圆1)4()2(:222=-+-y x C 关于直线l 对称，则 直线l 的方程为（ ）A ．x －y=0B ．x+y=0C ．x －y +6=0D ．x+y －6=05．设O 为平行四边形ABCD 的对称中心，212132,6,4e e e e -==则等于 （ ）A ．B ．C ．D ．6．某小组共有8名同学，其中男生6人，女生2人，现从中按性别分层随机抽4个参加一 项公益活动，则不同的抽取方法共有（ ）A ．40种B ．70种C ．80种D ．240种 7．若0<a<1，则函数||)(x xa x f x=的图象的大致形状是（ ）8．若*)(123N n x x n∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+的展开式中只有第6项的系数最大，则该展开式中的常数项为（ ）A ．462B ．252C ．210D ．109．若点P （a ,3）到直线4x －3y +1=0的距离为4，且点P 在不等式2x+y －3<0表示的平面区域内，则a 的值为 （ ） A ．－3 B ．3 C ．7 D ．－7 10．如图1，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面ABB 1A 1内有一动点P 到直 线AA 1和BC 的距离相等，则动点 P 的轨迹是 （ ） A ．线段 B ．椭圆的一部分 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分11．在△ABC 中，tan A 是第3项为－4、第7项为4的等差数列的 公差，tan B 是第3项为31， 第6项为9的等比数列的公比，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形12．设函数),(||)(R c b c bx x x x f ∈++=，给出下列四个命题 ①若c=0，则f （x ）为奇函数；②若b=0，c >0，则方程f （x ）=0只有一个实根；③函数y = f （x ）的图象关于点（O ，C ）成中心对称图形； ④关于x 的方程f （x ）=0最多有两个实根. 其中正确的命题是 （ ）A ．①、③B ．①、④C ．①、②、③D ．①、②、④第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
把答案填在题中的横线上） 13．函数3)sin 3)(cos cos 3(sin +--=x x x x y 的最小正周期是 . 14．正三棱锥S —ABC 内接于球O 在平面ABC 上.若正三棱锥A —的底面边 长为a . 15．如图2，在△ABC 中，∠ACB=30°，AB 、AC 边上的高分别为CD B 、 C 为焦点，且经过D 、E 两点的椭圆与双曲 线的离心率之和为 .16．在直角坐标平面内，已知点到P 1（1、2），P 2（2，22），P 3（3，23），…，P n （n,2n ），…如果n 为正整数，则向量n n P P P P P P P P 212654321-++++ 的坐标为 .（用n 表示）三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在直角坐标平面内，已知三点A （3，0）、B （3，0）、C （cos θ，sin θ），其中).23,2(ππθ∈（Ⅰ）若|,|||=求角θ的弧度数；（Ⅱ）若θθθtan 12sin sin 2,12++-=⋅求的值.18．（本小题满分12分）袋中装有大小相等的3个白球、2个红球和n 和黑球，现从中任取2个球，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，每取得一个黑球得0分，用ξ表示所得分数，已知得0分的概率为61： （Ⅰ）袋中黑球的个数n ；（Ⅱ）ξ的概率分布列及数学期望E ξ.19．（本小题满分12分）如图3，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为1的正方形，PD ⊥BC ， PD=1，PC=2.（Ⅰ）求证：PD ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角A —PB —D 的大小.20．（本小题满分12分）设函数),10(3231)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-=. （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式| f ′（x ）|≤a 恒成立，求a 的取值范围. 21．（本小题满分12分）设双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，实轴长为2，它的两条渐近线与以A （0，1）为圆心、22为半径的圆相切。
直线l 过点A 且与双曲线的左支交≠ 于B 、C 两点.（Ⅰ）求双曲线的方程.（Ⅱ）若,BC AB =求直线l 的方程；22．（本小题满分14分）已知曲线C ：n A A C x x f ,,)(2上点=的横坐标分别为1和),3,2,1( =n a n ，且a 1=5，数列{x n }满足x n +1=tf （x n －1）+1（t>0）,且（1,21≠≠t t ）.设区间),1](,1[>=n n n a a D 当n D x ∈时，曲线C 上存在点)),(,(n n n x f x P 使得点P n 处的切线与直线AA n 平行.（Ⅰ）证明：}1)1({log +-n t x 是等比数列；（Ⅱ）当1+n D ⊂n D 对一切*N n ∈恒成立时，求t 的取值范围；（Ⅲ）记数列{a n }的前n 项和为S n ，当41=t 时，试比较S n 与n+7的大小，并证明你的结论.陕西省西安市2007年高三年级八校联考数学试题（理）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1．D 2．B 3．C 4．A 5．B 6．A 7．D 8．C 9．A 10．D 11．B 12．C二、填空题（每小题4分，共16分）13．π 14．3121a 15．32 16．)14(32-n三、解答题（共74分）17．（Ⅰ）)3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=θθθθ（2分）∴由2222)3(sin cos sin )3(cos |,|||-+=+-=θθθθ得 即cos θ=sin θ. （4分）又),23,2(ππθ∈∴45πθ=（6分）（Ⅱ）由1-=⋅，得cos θ（cos θ－3）+sin θ（sin θ－3）=－1即sin θ+cos θ=.32 （8分） 两边平方，得2sin θcos θ=95-. （9分）θθθθθθθθcos sin 1cos sin 2sin 2tan 12sin sin 222++=++∴95cos sin 2-==θθ（12分）18．（Ⅰ）∵,61)0(252===+n n C C P ξ（3分）∴,0432=--n n 解得n=－1（舍去）或n=4. 即袋中有4个黑球.（5分） （Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，4.（6分）∵,61)0(==ξP ,31)1(291314===C C C P ξ,3611)2(29121423=⋅+==C C C C P ξ,61)3(291213=+==C C C P ξ ,361)4(2922===C C P ξ（8分）∴ξ的概率分布列为（.914361461336112311610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE（12分）19．（Ⅰ）∵PD=CD=1，PC=2∴PD 2+CD 2=PC 2，即PD ⊥CD.（3分） 又PD ⊥平面ABCD.（6分）（Ⅱ）如图，连结AC 交BD 于O ，则AC ⊥BD.∵PD ⊥平面ABCD ， ∴PD ⊥AC.∴AC ⊥平面PBD.（8分）过O 点作OE ⊥PB 于E ，连结AE ， 则AE ⊥PB ，故∠AEO 为二面角 A —PB —D 的平面 角.（10分）由Rt △OEB ∽Rt △PDB ，得OE=66=⋅PB OB PD . ∴tan ∠AEO=,3=OEAO即∠AEO=60° （22分） 20．（Ⅰ）2234)(a ax x x f -+-='（1分）令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为（a ,3a ）令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为（－∞，a ）和（3a ，+∞）（4分）∴当x=a 时，)(x f 极小值=;433b a +- 当x=3a 时，)(x f 极小值=b.（6分）（Ⅱ）由|)(x f '|≤a ，得－a ≤－x 2+4ax －3a 2≤a .①（7分）∵0<a <1， ∴a +1>2a .∴]2,1[34)(22++-+-='a a a ax x x f 在上是减函数. （9分）∴.44)2()(.12)1()(min max -=+='-=+'='a a f x f a a f x f 于是，对任意]2,1[++∈a a x ，不等式①恒成立，等价于.154.12,44≤≤⎩⎨⎧-≥-≤-a a a a a 解得 又,10<<a ∴.154<≤a （12分）21．（Ⅰ）依题意，设双曲线方程为).0(1222>=-b by x∴双曲线的两条渐近线为y bx ±=0 （2分）又圆A 的方程为.21)1(22=-+y x ∴,22112=+b 得b=1. 故所求双曲线方程为.122=-y x （6分） （Ⅱ）显然，l 与x 轴不垂直，设l ：y=kx +1.由022)1(,112222=++-⎩⎨⎧=-+=kx x k y x kx y 得 （8分）显然，,012≠-k设B （x 1,y 1）、C （x 2,y 2）（x 1<0,x 2<0）则≠ .21.012,012,0)1(8422122122<<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-=<--=+<--=∆k k x x k k x x k k 得 （9分）又由.2,12x x ==得（10分）∴53.122,12322121=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=k k x k k x 解得 故553,153:+-+=y x x y l 即=0（12分）22．（Ⅰ）∵由线在点P n 的切线与直线AA n 平行，∴.21,1122+=--=n n n n n a x a a x 即（1分）由211)1(1,1)1(-=-+-=++n n n n x t x x tf x 得（2分）∴),1(log 21)1(log 1-+=-+n t n t x x 即].1)1([log 21)1(log 1+-=+-+n t n t x x∴}1)1({log +-n t x 是首项为t log 2+1为首项，公比为2的等比数列. （4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得1)1(log +-n t x =（t log 2+1）·2n-1，∴12)2(11-+=n n t tx从而a n =2x n －1=1+12)2(2-n t t（6分）由D n+1⊂D n ，得a n+1<a n ，即（2t ）2n <（2t ）12-n . （8分） ∴0<2t <1，即0<t <.21 （9分）（Ⅲ）当41=t 时，.)21(8112-+=n n a （10分） ∴])21()21()21(21[81242-+++++=n n S n 不难证明：当n ≤3时，2n-1≤n+1；当n ≥4时，2n-1>n+1. （11分）∴当n ≤3时，;7213])21()21(21[842+<+=+++≤n n n S n （12分） 当n ≥4时，])21()21()21()21()21(21[816542+++++++<n n n S .7)21(72+<-+=-n n n（13分） 综上所述，对任意的.7*,+<∈n S N n n 都有 （14分）。