ch4_3脉冲响应不变法

| w s | 2 | w m | | w m |
s
2

T
H (e
jW
)
1 T
H (j
W T
)
1 T
H ( j w ),
W π
数字滤波器在W点的频率响应和模拟滤波器 在w 点的频率响应只差一个常数因子1/T 数字频率W与模拟频率w的关系为
脉冲响应不变法
W wT
6
冲激响应不变法中的频响混叠现象
H(s)
h(t)
h[k]
H(z)
设H(s)只有一阶极点，即
h ( t ) L [ H ( s )]
1

M
l 1
Al e
pl t
u (t )
对h(t)等间隔抽样得
h [ k ] h ( kT )
M

M
l 1
Al e
p l kT
u[ k ]
H ( z ) Z {h[ k ]}
h[ k ] h ( t )
t kT
H(ejW)和H(jw)的关系
H (e
jW
W 2π n ) Hj T n T 1

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓
脉冲响应不变法
5
脉冲响应不变法的基本原理
根据采样定理，只有当模拟滤波器的频率响应是带限的， 且 |w |
0 -2 -4 Gain,dB -6 -8 -10 -12
Ap = 1.72dB As = 14.2dB
-14
-16 -18 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Normalized frequency 0.7 0.8 0.9 1
1 1 2
0 . 321 2 z
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足
Wp=0.2, Ws=0.6, Ap2dB, As15dB 。
脉冲响应不变法的MATLAB实现 [numd,dend] = impinvar(num,den,Fs)
num,den：AF分子、分母多项式的系数向量 Fs=1/T：抽样频率 numd,dend：DF分子、分母多项式的系数向量
wp=0.2/T, ws=0.6/T, Ap2dB, As15dB
(2) 设计模拟低通滤波器 （BW型）
lg( N 10 10
0 .1 As 0 .1 A p
1 1
)
2 lg( w s / w p )
=2
wc
(10
ws
0 . 1 As
1)
1 /( 2 N )
=0.801 3 /T
H L (s) 0 . 567 8 j s s1 0 . 567 8 j s s2
极点为s1=(0.567 8 + 0.565 4j)/T, s2=(0.567 8 0.565 4j)/T 利用
1 s si 1 1 e
si T 1
z
可得DF的系统函数为
H (z) 0 . 344 8 z 1 0 . 957 1 z
H (s)
wc
s wc
利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。
解：
利用单极点H(s) 与H(z)的映射关系，可得
H (z)
wc
1 e
w cT
z
1
AF与DF的频率响应分别为
H ( jw )
jW
wc
jw w c
H (e
)
wc
1 e
w cT
幅度响应最 大值归一化
脉冲响应不变法
3
问题的提出
频率 变换 设计模拟 滤波器
Wp,Ws
wp,ws
H(s)
AF到DF 的转换
H(z)
如何将模拟滤波器转变为数字滤波器? 1. 脉冲响应不变法 2. 双线性变换法
脉冲响应不变法
4
脉冲响应不变法的基本原理
对模拟滤波器的单位冲激响应h(t)等间隔抽样 来获得数字滤波器的单位脉冲响应h[k]
l 1
Al 1 e
pl T
z
1
脉冲响应不变法
8
脉冲响应不变法的基本原理
脉冲响应不变法由H(s)获得H(z) —— 单极点情况
H ( s)
l 1 M
Al s pl

H (z)
l 1
M
Al 1 e
pl T
z
1
将H(s)和H(z)加以比较，可以看出： （1）S平面的每一个单极点s=sl 变换到Z平面上z=eslT处的单极点。 （2） H (s)与H(z)的部分分式的系数是相同的，都是Al。
数字信号处理
(Digital Signal Processing)
Chap 4 IIR数字滤波器的设计
1
IIR数字滤波器设计的基本思想
模拟低通滤波器设计
模拟域频率变换
脉冲响应不变法
双线性变换法
脉冲响应不变法 (Impulse Invariance)
问题的提出
脉冲响应不变法的基本原理 脉冲响应不变法设计DF的步骤
脉冲响应不变法
9
脉冲响应不变法的基本原理
（3）如果模拟滤波器是因果稳定的，则所有极点sl位于S平面
的左半平面，即Re［sl］<0， 则变换后的数字滤波器的全部极
点在单位圆内，即|eslT|=eRe［sl］T<1， 因此数字滤波器也是因果 稳定的。
脉冲响应不变法
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例: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为
| H a ( jjΩ ) ) | H( w
2π T
ห้องสมุดไป่ตู้
－ π T
o
π T
2π T
jW
W w
| H (e jw ) ) | H (e
… －3 －2 － o 2 3
…
w ＝W T
W
脉冲响应不变法
7
脉冲响应不变法的基本原理
脉冲响应不变法由H(s)获得H(z)步骤:
拉氏反变换 抽样t=kT z变换
脉冲响应不变法的优缺点 优点：数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性
W wT
缺点：存在频谱混叠，故不能用脉冲响应不变法设
计高通、带阻等滤波器。
脉冲响应不变法
14
脉冲响应不变法设计DF的步骤
1. 将数字滤波器的频率指标{Wk}转换为 模拟滤波器的频率指标{wk}
wk W k /T
2. 由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。
3. 利用脉冲响应不变法，将H(s)转换H(z)。
Wp,Ws
w=W/T
wp,ws
设计模拟
脉冲响应不变
滤波器
H(s)
H(z)
15
脉冲响应不变法
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足
Wp=0.2, Ws=0.6, Ap2dB, As15dB。
解：
(1) 将数字低通指标转换成模拟低通指标w=W / T.
jW
e
H (e
jW
)
1 e 1 e
w cT
w cT
e
jW
其中W wT，抽样频率为50，200Hz的幅度响应如下
例: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为
H (s)
wc
s wc
利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。
解：
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 Hz 15 20 25
H L (s) (
1 s
0 . 642 1 ( sT ) 1 . 135 6 ( sT ) 0 . 642 1
2
wc
)
2
2
s
wc
1
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足
Wp=0.2, Ws=0.6, Ap2dB, As15dB 。
解：(3) 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器
DF AF
fsam=50 Hz
例: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为
H (s)
wc
s wc
利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。
解：
1 0.8 0.6 0.4
DF AF
0.2
0 0 20 40 Hz 60 80 100
fsam=200 Hz
脉冲响应不变法的基本原理