用冲激响应不变法将以下

1． 用冲激响应不变法将以下 )(s H a 变换为)(z H ，抽样周期为T。

为任意正整数 ,)()( )2()()( )1(022n s s As H b a s a s s H na a -=+++=分析：①冲激响应不变法满足)()()(nT h t h n h a nT t a ===，T 为抽样间隔。

这种变换法必须)(s H a 先用部分分式展开。

②第（2）小题要复习拉普拉斯变换公式1!][+=n nSn t L ,na n t s a S S As H t u n t Ae t h )()()()!1()(010-=⇔-=-，可求出 )()()(kT Th t Th k h a kT t a ===，又 dzz dX zk kx )()(-⇔，则可递推求解。

解: (1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++++=+++=jb a s jb a s b a s a s s H a 1121 )()(22[])( 21)()()(t u e e t h t jb a tjb a a --+-+=由冲激响应不变法可得：[])( 2)()()()(n u e e T nT Th n h nT jb a nTjb a a --+-+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-==-----∞=-∑11011112 )( )(z e e z e e T z n h z H j b T aT jbT aT n n2211c o s 21c o s 1 ------+--⋅=z e bT z e bT z e T aT aT aT(2) 先引用拉氏变换的结论[]1!+=n n s n t L 可得： na s s As H )()(0-=)()!1()(10t u n t Ae t h n t s a -=-则)()!1()()()(10k u n kT Ae T Tk Th k h n kT s a -⋅==-dzz dX zk kx az k u a ZZk )()(, 11)( 1-−→←-−→←-且按)11()()!1( )()!1( )()(111111000--∞=---∞=----=-==∑∑ze dz d z n AT e z k n T TA z k h z H T s n n k kT s n n k k可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=∙∙∙---,3,2)1(1,1)(111000n z e z e AT n z e AT z H n T s T S n T s ，可以递推求得：2. 已知模拟二阶巴特沃思低通滤波器的归一化系统函数为：2'4142136.111)(s s s H a ++=而3dB 截止频率为50Hz 的模拟滤波器，需将归一化的)('s H a 中的s 变量用502⨯πs 来代替424'108696044.928830.444108696044.9)100()(⨯++⨯==s s s H s H a a π 设系统抽样频率为Hz f s 500=，要求从这一低通模拟滤波器设计一个低通数字滤波器，采用阶跃响应不变法。

分析：阶跃响应不变法，使离散系统的阶跃响应等于连续系统 阶跃响应的等间隔抽样，)()()(nT g t g n g a nTt a ===,由模拟系统函数)(s H a 变换成数字系统函数的关系式为：}]])([{[1)(1nT t a ss H L Z z z z H =--=， 还要用到一些变换关系式。

解:根据书上公式可得模拟滤波器阶跃响应的拉普拉斯变换为：)(1)(s H ss G a a =)108696044.928830.444(108696044.9424⨯++⨯=s s s 22)14415.222()14415.222(14415.222)14415.222(1++++-=s s s 由于[]2020)()()(sin Ω++Ω=Ω-a s t u t e L at []2020)()()(c o s Ω+++=Ω-a s a s t u t e L at[]s t u L 1)(=故[])()(1s G L t g a a -=u(t))]} 14415.222cos( ) 14415.222[sin(1{ 14415.222t t e t +-=-则)()(nT g n g a =u(n))]}T 14415.222cos( )T 14415.222[sin(1{nT 14415.222n n e +-=-利用以下z 变换关系： [])()(z X n x Z =[])()(z e X n x eZ aTnaT=-[]1cos 2sin )()(sin 2+-=aT z z aTz n u naT Z[]1cos 2cos )()(cos 22+--=aT z z aTz z n u naT Z[]1)(-=z zn u Z且代入a=222.14415 s f T s 310250011-⨯===可得阶跃响应的z 变换[])()(n g Z z G =41124070.01580459.130339071.0122+----=z z z z z z)41124070.01580459.1)(1(10784999.014534481.022+--+=z z z z z 由此可得数字低通滤波器的系统函数为：)(1)(z G zz z H -=212141124070.01580459.1110784999.014534481.0----+-+=zz z z3．设有一模拟滤波器11)(2++=s s s H a抽样周期 T = 2，试用双线性变换法将它转变为数字 系统函数)(z H 。

分析：双线性变换法将模拟系统函数的S 平面和离散的系统函数 的Z 平面之间是一一对应的关系，消除了频谱的混叠现象，变换关系为1111--+-=z z cs 。

解：由变换公式 1111--+-⋅=zz c s及 Tc 2= 可得：T = 2时：1111--+-=z z s1111|)()(--+-==∴z z s a s H z H 11111111211+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=----z z z z2213)1(--++=z z4．要求从二阶巴特沃思模拟滤波器用双线性变换导出一低通数字滤波器，已知3dB 截止频率为 100Hz ，系统抽样频率为1kHz 。

分析：双线性变换关系同上题，先要用归一化的巴特沃思 滤波器（1 c =Ω）。

利用c s sΩ/=关系代入其中得到截止频率为c Ω的模拟巴特沃思滤波器，然后 变换成数字巴特沃思滤波器。

解:归一化的二阶巴特沃思滤波器的系统函数为：14142136.11121)(22++=++=s s s s s H a则将cs s Ω=代入得出截止频率为c Ω的模拟原型为 1)200(4142136.1)200(1)(2++=ππss s H a18.39478458.88818.3947842++=s s由双线性变换公式可得：11112|)()(--+-⋅==z z T s a s H z H18.394784)11102(58.888)11102(18.3947841132113++-⋅⨯⨯++-⋅⨯=----z z z z 21214241.01683.11)21(064.0----+-++=z z z z5. 试导出二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数（设 s rad c 1=Ω）。

分析：巴特沃思逼近或称最平幅度逼近，其幅度平方函数定义为因而，的极点在左半平面的极点即为而可得：在上式中代入 )( )()( )(11)()( )(11)( 222s H s H s H j ss H s H s j j j j H a a a Nca a Nca -+=-=+=ΩΩΩΩΩ来确定。

时由，其中，1)(0,....2,1 )()(00]21221[1====-=-+=∏s H s K N k es ss K s H a Nk j c k Nk ka πΩ此题利用幅度平方函数求出其左半平面极点而求得系统函数，不是归一化滤波器）。

注意( 3 c =Ω 解:幅度平方函数为：42)/(11|)(|c j H ΩΩΩ+=令22s -=Ω，则有4)/(11)()(c a a s s H s H Ω+=- 各极点满足下式：]4122[ππΩ-+=k j c k es ，k=1,2,3,4则k=1,2时，所得的k s 即为)(s H a 的极点：2222 431j e s j c --=Ω=π223223 452j e s j c --=Ω=π由以上两个极点构成的系统函数为3233)( 3, 1)( 0 323 ))(()( 2020210++====++=--=s s s H k s H s s s k s s s s k s H a a a 所以可得时代入 6. 试导出二阶切贝雪夫低通滤波器的系统函数。

已知通带波纹 为2dB ，归一化截止频率为s rad c 1=Ω。

(试用不同于书本的解法解答） 分析：切贝雪夫滤波器的幅度特性就是在一个频带中 (通带或阻带)具有等波纹特性；一种是在通带 中是等波纹的，在阻带中是单调的,称为切贝雪 夫I 型；一种是在通带内是单调的，在阻带内 是等波纹的，称为切贝雪夫II 型。

切贝雪夫I 型滤波器的幅度平方函数为：)(11)( 222cN a C j H ΩΩΩε+=由上式可以看出切贝雪夫滤波器有三个参数：。

, , c N Ωε此三个参数给定后，可以求得滤波器的系统函 型切贝雪夫滤波器的幅，可以证明。

数 I )( s H a 度平方函数的极点为：k k k j s Ω+=σ其中 （ k = 1 , 2 , … ,2N ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--)1(1, )1(1 )12(2cos )12(2sin 11εεππσsh Nch b sh N sh a k N b k N a c k c k 其中ΩΩΩ注意在求系统函数分子的系数时，对切贝雪夫滤波器，时，偶数，当对)0(0 ===Ωs N为通带的极大值。

奇数时对，而不是，是通带的极小值有 1)0( ) 1 ( 11)0(2==+=a a H N H ε解:7647831.05848932.05848932.0 110110 2 2.010211==⇒=-=-==εεδδ则，由于dB因为截止频率为 s rad c 2=Ω，则-0.804222)765.01(21)4sin()1(1 4sin 111=⋅⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⋅⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=--sh sh sh Nsh a c c πεπσΩΩ）（ 378.1 222)765.01(21)4cos()1(1)4cos(111=⋅⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡==--sh ch sh Nch b c c πεπΩΩΩ0116057.1 7943282.02735362.17943282.011)0( )0(0 22735362.1608.10116057.1 ))(()(378.1804.0 378.1804.02221121=⨯==+====++=--=--==+-=*A H s N s s s s s s As H j s s j s a a 可求得时，有故是偶数，因为则则εΩ7. 已知模拟滤波器有低通、高通、带通、带阻等类型， 而实际应用中的数字滤波器有低通、高通、带通、 带阻等类型。