冲激响应求解举例
第二章(2)冲激响应和阶跃响应
f (k )
f t
f t
f k
f (t )
- 0 2
k
t
k
f (k ) p (t k )
n
pn (t )作用于系统的零状态响 hn (t ) 应为
y f (t )
k
f (k )h (t k )
y f ( t ) lim f ( k )hn ( t k )
f ht d
这是求解零状态响 应的另一种方法.
y f (t ) f t * ht
f t * ht
二、卷积的图示
第一步，画出 f1 ( t ) 与 f 2 ( t ) 波形，将波形图中的t轴 改换成τ轴，分别得到 f1 () f 2 () 和 的波形。
h(t ) b h (t ) b h
( m) m 1
( m1) m1 1
(t ) b0h1 (t )
例2.2-2：描述系统的微分方程为：
y'' ( t ) y' ( t ) y( t ) f '' ( t ) f ' ( t ) f ( t )
单位阶跃响应时，系统的零状态响应。
1.若n阶微分方程等号右端只含激励f(t),当
f (t ) (t )时，系统的零状态响应g(t)满足方程：
g ( n ) ( t ) a n 1 g ( n 1 ) ( t ) a0 g ( t ) ( t ) ( j) g (0 ) 0 j 0,1,2, , n 1
g1 t C1e C 2 e
t
§2.2++冲激响应和阶跃响应及卷积(1)
冲激响应求解举例2 冲激响应求解举例
例2 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f’(t) + 3f(t) 求其冲激响应h(t)。 求其冲激响应 。 根据h(t)的定义 有 解 根据 的定义 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1) h’(0-) = h(0-) = 0 先求h’(0+)和h(0+)。 先求 和 。 由方程可知， h(t) 中含δ(t) 由方程可知， 中含 故令 h”(t) = aδ”(t) + bδ’(t) + cδ(t)+ r1(t) h’(t) = aδ’(t) + bδ(t) + r2(t) h(t) = aδ(t) + r3(t) [ri(t) 为不含 为不含δ(t) 的某函数 的某函数] 代入式(1)， 代入式 ，有
dm f (t) dt m
+ bm−1
dm−1 f (t) d t m−1
+L+ b1
响应及其各 阶导数(最 阶导数 最 高阶为n次 高阶为 次)
令 f(t)=δ(t) 则 y(t)=h(t)
= bmδ (m) (t) + bm−1δ (m−1) (t) +L+ b1δ (1) (t) + b0δ (t)
第 4页
冲激响应求解举例1 冲激响应求解举例
d2 y(t)
求系统 dt 2 解：将f(t)→δ(t)， → ，
+4
d y(t) d f (t) + 3y(t) = + 2 f (t) dt dt
§205 冲激响应和阶跃响应 优质课件
dr t
et
2
dt 2
dt
r t
d
子系统交换 dt
d 2rˆt
drˆt
et dt 2
dt
4 3
rˆt
2 rt
4
d
3
dt
X
求冲激响应的几种方法
方法1：冲激函数匹配法求出0 ~ 0 跃变值，定系数A。 方法2：奇异函数项相平衡法，定系数A。 方法3: 齐次解法求冲激响应
dt
υ C t aut
代入方程得 RCa t RCbut aut t
得出 所以
RCa 1 即 a 1 RC
υC 0
υC 0
a
0
1 RC
1 RC
把C 0 代入C t
Ae
1 RC
t
2
A2
1
2 1
2
2
二．阶跃响应
1．定义
系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单 位阶跃响应，简称阶跃响应。
et
H
r t
ut
gt
H
系统的输入 et ut ，其响应为 rt gt 。系统 方程的右端将包含阶跃函数 ut ，所以除了齐次解外，
d e(t) dt
2e(t )
，求h(t)
。
hˆ(t) A1e t A2e 3t u(t) hˆ0 1 hˆ0 0
将边界条件代入 h t
hˆ(t)
式
1
微积分讲座---Z2.9 冲激响应的定义和求法
第二章 连续系统的时域分析
例1 如图所示LTI系统，求其冲激响应。
解：(1)先列写系统的微分方程 积分器的输出为x(t)，列出左端加法器的方程：
x(t)=-3x(t) 2x(t) f (t) x(t)+3x(t) 2x(t)=f (t)
右端加法器方程： y(t)=-x(t) 2x(t) 合并整理： y(t) 3y(t) 2 y(t)=-f (t) 2 f (t)
4
2.2 冲激响应与阶跃响应
第二章 连续系统的时域分析
(2)求h1(t)，满足如下方程
h1(t
) 3h1(t) h1 (0 )
2h1(t h1(0 )
)
0
(t
)
由系数匹配法：
h1(0+) = h1 (0-) = 0 h1’(0+)- h1’(0-)=1, 即：h1’(0+)= 1
其特征根为-1和-2，特解为0，设定解为：
h1(t)=C1et C2e2t , t 0
代入初始值可求得：
h1(t) (et e2t ) (t)
5
2.2 冲激响应与阶跃响应
第二章 连续系统的时域分析
(3)求h(t)，满足如下方程 h(t) h1(t) 2h1(t)
计算h1’(t)： h1(t) (et e2t ) (t) (et 2e2t ) (t) (et 2e2t ) (t)
应，记为h(t)。
h(t)隐含的条件：
f(t)=δ(t)
h(0-)=h’(0-)=0 (对二阶系统)
基本信号：冲激函数δ(t)
基本响应：冲激响应h(t)
2
2.2 冲激响应与阶跃响应
第二章 连续系统的时域分析
2. 求法
§2.2++冲激响应和阶跃响应及卷积(1)
将边界条件代入h 式 将边界条件代入 1(t)式，解得 C1=1/2， C2=-1/2， ， - ，
1 −t −3t h1(t) = e − e ε (t) 2
(
)
则由系统的线性时不变特性
h(t ) = dh1(t) 1 + 2h1(t ) = e−t + e−3t ε (t) dt 2
(
)
第 8页
3535页页f1f2f2f2f2t1t1t12t1t12f1f2t1t1t1f1f2t1t1f1tf2t1r12阴影部分面积阴影部分面积3636页页3f1f23737页页4p85219b3838页页dtdf3939页页4040页页图示线性时不变系统是由三个子系统组成已知总系统的分别为所示求子系统的冲激响应4141页页也应为矩形波此题的关键是利用了两个不同宽度的矩形波的卷积结果是梯形波
第 4页
冲激响应求解举例1 冲激响应求解举例
d2 y(t)
求系统 dt 2 解：将f(t)→δ(t)， → ，
+4
d y(t) d f (t) + 3y(t) = + 2 f (t) dt dt
的冲激响应。 的冲激响应。
y(t)→h(t) →
d2 h(t ) d h(t ) dδ (t ) +4 + 3h(t ) = + 2δ (t ) 2 dt dt dt
冲激响应求解举例2 冲激响应求解举例
例2 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f’(t) + 3f(t) 求其冲激响应h(t)。 求其冲激响应 。 根据h(t)的定义 有 解 根据 的定义 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1) h’(0-) = h(0-) = 0 先求h’(0+)和h(0+)。 先求 和 。 由方程可知， h(t) 中含δ(t) 由方程可知， 中含 故令 h”(t) = aδ”(t) + bδ’(t) + cδ(t)+ r1(t) h’(t) = aδ’(t) + bδ(t) + r2(t) h(t) = aδ(t) + r3(t) [ri(t) 为不含 为不含δ(t) 的某函数 的某函数] 代入式(1)， 代入式 ，有
各种响应的解法
uS
解:系统转移算子为: 系统转移算子为: u2 1 p +1 1 1 1 H( p) = = = = + p us 2 p +1 2 4 p + 1 2 1+ 1+ p 电路的微分方程为: 电路的微分方程为: 2u′ (t) + u2 (t) = u′ (t) + us (t) 2 s 冲激响应为: 冲激响应为:
16
2.4
卷 积 积 分
卷积积分的意义 卷积积分的图解计算 卷积积分的性质
17
卷积积分的意义
用δ(t)表示任意信号 t)表示 表示任意信号
f (t) = ∫
∞ ∞
f (τ )δ (t τ )dτ
即任意信号 f (t)可以分解为无穷多个不同强度的冲激函数之和. (t)可以分解为无穷多个不同强度的冲激函数之和 可以分解为无穷多个不同强度的冲激函数之和. 来表示. 也就是任意信号可以用函数 δ(t) 来表示.
+ (C1 2C2 )δ (t)+ (C1et + 4C2e2 t )ε (t)
10
例 2.8
方法一:用直接求解法 方法一:
将上述三个等式及f (t) = δ (t) 代入原微分方程,经整理 代入原微分方程,
此例说明了用直接法的步骤: 此例说明了用直接法的步骤: 比较方程两边系数,解得: 比较方程两边系数,解得: 确定冲激响应的形式; 确定冲激响应的形式; 将冲激响应代入原方程, 3 将冲激响应代入原方程, B1 = 1 B0 = 1 C1 = 2 C2 = 用待定系数法确定其系数. 用待定系数法确定其系数. 系统的冲激响应为: 故,系统的冲激响应为:
对于任意信号为输入信号的零状态响应: 对于任意信号为输入信号的零状态响应:
§2.4冲激响应和阶跃响应
C0
dn r(t dtn
)
C1
dn1 r(t d t n1
)
Cn1
d r(t dt
)
Cnr(t)
E0
dm d
e(t ) tm
E1
dm1 e(t d t m1
)
Em1
d e(t) dt
Em e(t )
响应及其各 阶导数(最 高阶为n次)
令 e(t)=(t)
则 r(t)=h(t)
激励及其各 阶导数(最 高阶为m次)
解的形式相同。
①与特征根有关
设特征根为简单根（无重根的单根）
n
h(t )
Ai
e
i
t
u(
t
)
i1
②与n, m相对大小有关
•当n m时，ht 不含 t 及其各阶导数；
•当n m时，ht 中应包含 t ；
•当n m时，ht 应包含 t 及其各阶导数。
X
二．阶跃响应g(t)
第 5
页
1．定义
§2.4 冲激响应和阶跃响应
•冲激响应 •阶跃响应
一．冲激响应h(t)
第 2
页
1．定义
系统在单位冲激信号 (作t) 用下产生的零状态响应，称
为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
t
ht
H
X
第
2. 冲激响应求解
3
页
(1)冲激响应的数学模型
对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示
dt
t
g(t) h( ) d
阶跃响应是冲激响应的 积分，注意积分限：
t
－
,对因果系统：t
0
X
§2.3 冲激响应和阶跃响应
§2.3 冲激响应和阶跃响应通信与信息工程学院江帆系统在单位冲激信号作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h (t )表示。
一．冲激响应)(t δ)(t h 1．定义)(t δh(t)=T[{0},δ(t)]例2-3-1描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。
根据h(t)的定义有h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ(t)h’(0-) = h(0-) = 0先求h’(0+)和h(0+)。
因方程右端有δ(t)，故利用系数平衡法。
h”(t)中含δ(t)，h’(t)含ε(t)，h’(0+)≠h’(0-)，h(t)在t=0连续，即h(0+)=h(0-)。
积分得[h’(0+) -h’(0-)] + 5[h(0+) -h(0-)] + 6 = 1∫+−00)(dt t h考虑h(0+)= h(0-)，由上式可得h(0+)=h(0-)=0 , h’(0+) =1 + h’(0-) = 1对t>0时，有h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = 0故系统的冲激响应为一齐次解。
微分方程的特征根为-2，-3。
故系统的冲激响应为h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)ε(t)代入初始条件求得C1=1,C2=-1, 所以h(t)=( e-2t-e-3t)ε(t)例2-3-1续例2-3-2描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f’(t) + 3f(t)求其冲激响应h(t)。
根据h(t)的定义有h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1)h’(0-) = h(0-) = 0先求h’(0+)和h(0+)。
由方程可知，h(t) 中含δ(t)故令h(t) = aδ(t) + p1(t) [p i(t) 为不含δ(t) 的某函数] h’(t) = aδ’(t) + bδ(t) + p2(t)h”(t) = aδ”(t) + bδ’(t) + cδ(t)+ p3(t)代入式(1)，有aδ”(t) + bδ’(t)+ cδ(t) + p3(t) + 5[aδ’(t) + bδ(t) + p2(t) ] + 6[aδ(t) + p1(t) ] = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t)整理得aδ”(t)+(b+5a)δ’(t)+(c +5b+6a)δ(t) + p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t) = δ”(t) + 2δ’(t) + 3δ(t)利用δ(t) 系数匹配，得 a =1 ，b = -3，c = 12所以h(t) = δ(t) + p1(t) （2）h’(t) = δ’(t) -3δ(t) + p2(t) （3）h”(t) = δ”(t) -3 δ’(t) + 12δ(t)+ p3(t) （4）对式(3)从0-到0+积分得h(0+) –h(0-) = –3对式(4)从0-到0+积分得h’(0+) –h’(0-) =12故h(0+) = –3，h’(0+) =12微分方程的特征根为–2，–3。