合作博弈与讨价还价

联盟型博弈的相关概念
• 合作博弈是非本质的，若有V()= ∑V(i)。 • 合作博弈是本质的，若有V()>∑V(i)。 • 合作博弈是常和的，若对任何联盟S，有 V(S)+V(\S)=V() • 如何求得特征函数： 由策略型博弈导出特征函数型博弈：最 小最大值法 对实际博弈局势的分析
由策略型博弈导出特征函数型博弈
第5章
合作博弈和讨价还价
非合作博弈与合作博弈 联盟型博弈 合作博弈解 讨价还价
一、非合作博弈与合作博弈
• 博弈根据是否可以达成具有约束力的协议 分为合作博弈和非合作博弈。
• 非合作博弈研究参与人策略相互影响下理 性经济人的决策及其均衡问题。 • 非合作博弈要素：参与人、策略、支付函 数、均衡 • 参与人（局中人）： 双人博弈和多人博弈
• 稳定集是由冯· 诺依曼与摩根斯坦提出，也被称 为VN-M解。记所有可能分配的集合为E(V)。
合作博弈（，V）的分配集W E（V）为稳定集，若： （ 1 ）（内部稳定性）不存 在x, y W，满足x y； （2）（外部稳定性）对于 任意x W，存在y W， 使得y x。 • 定理5：对简单博弈（，V），S是一个极小获胜联盟 （即V(S)=1，对任一TS，有V(T)=0）则稳定集为： W={x|x=(x1,x2, …, xI) ∈E(V)，若i S，则xi=0} • 定理6：设I人合作博弈（，V）的稳定集为W，核为C （V），则C(V)W。
S
对于两个分配x和y，如果存在某联盟S，使得x 超y，也记为x y。
S
S
y，则称x优
对S= 或S={i}，不可能有x
y。
核：I人合作博弈（ ，V）中所有不被优超的分 配的集合， 记为C(V)。
核的特征
定理1：I人合作博弈（ ，V）中的核由所有满足以 下条 （ 1 ）对任意S ， xi V (S ); (2) xi V ( )
例：垃圾博弈－－分析博弈局势
• 在一区域中住着7户居民，每户居民每天产生 一袋垃圾，这些垃圾只能扔在这一区域的某一 户人家领地（区域中没有空地）。 • 记Vn(n=0,1, …,7)表示任意n个局中人组成的 特征函数值，在合作博弈条件下，有： V0=V()=0 V1=-6 V2=-5 V3=-4， V4=-3， V5=-2 V6=-1， V7=-7
核仁的求解
• 定义一个任意的实数ε，满足条件e(T,x)≤ε, nucleolus就是在n个博弈者可能组成的2n-1种 组合中，出现最大的ε时，最小化e(T,x)所得到 的解矢量x=(x1,x2,…,xn)，即 min max e(T , x ) • 它可转化为一线性规划问题：
熊、狼、狐狸合作博弈求解
• 该博弈的特征函数为：V0=V()=0 ，V1=0，V2=1， V3=1。 • 在该博弈中，没有任何一种方案不被另一种方 案在某个联盟上优超。 • 若分配（x,y,z） ∈C(V)，则存在非负的x,y,z满足： x+y+z=1 x+y≥1 y+z≥1 x+z≥1
（三）稳定集
熊、狼、狐狸合作博弈的稳定集
• 在该简单博弈中，有三种稳定集： {(x,y,0)|x,y≥0,x+y=1} {(x,0,z)|x,z≥0,x+z=1} {(0,y,z)|y,z≥0,y+z=1} • 该稳定集中不包含平均分配。 • 接下来将考察公平如何进入合作解概念。
（四）核仁
• 核仁具有如下意义的性质：1）每个博弈有且 仅有一个核仁；2）如果核存在的话，则核仁 是它的一部分。 • 对于I人合作博弈（，V），S为一个联盟， x=(x1,x2, …, xI) 为一个收益向量（不一定为一 个分配），记x(S)=iSxi，则称e(S,x)=V(S)-x(S) 为S关于x的剩余。 • 若x为一个分配，则剩余e(S,x)反映了联盟对 于分配的不满意程度。
（二）联盟型博弈
• 在策略型（标准型）博弈中，若引入合作博弈 假设，不考虑策略细节，将研究重点放在合作 的价值上，则形成联盟型博弈。 • 联盟型博弈：又称特征函数型博弈，它对每一 种可能联盟给出相应的联盟总和收益，称为特 征函数V(· )。 • 特征函数的超加性：对任意两个独立联盟S和T （S ∩ T=），有V(S ∪T) ≥ V(S)+V(T)。 • 特征函数型博弈记为（，V）。
非合作博弈要素
• 策略 指导参与人在每个信息集上如何选择行动 完全信息静态博弈：参与人只有一个信息集，策略和 行动等价 完全信息动态博弈中，后行动者至少有两个信息集， 策略告诉参与人在达到一个信息集时应如何行动 不完全信息博弈中，策略告诉不同类型的参与者选择 类型依存的行动 • 支付（效用）函数 参与人策略组合的函数 • 均衡分析 理性结局
• 由于的子集共有2I个，故e(S,x)也有2I个，将它们按 照由大到小的顺序排列为一个向量(x)=（1(x), 2(x), …,2I(x)）。 • 定义(x)<(y)，是指或者1(x)<1(y)，或者对k=1,2, …,i-1，有k(x)=k(y)，而 i(x)<i(y)。 • 对于I人合作博弈（，V），核仁是指集合： N(V)={x|x∈E(V)，对一切y∈E(V)，y ≠ x，有 (x)<(y)} • 定理7：对于I人合作博弈（，V），有： （1）它的核仁非空，且只包含一个元素； （2）若核C（V）非空，则必定包含核仁N（V）。
优超的分析方法
• 在优超定义中，最关键的是联盟能提供给成员的效用 分配，主要分析方法有三种： （1）联盟中各成员在联盟外成员策略固定时能获得的 效用水平：联盟内的局中人将联盟外局中人所采取的 策略视为既定的，即不期望任何报复性反应。 （2）联盟不能被阻止得到的效用：即不管联盟外成员 如何行动，联盟总可以达成的效用水平。由此得到的 合作博弈均衡集合称为合作博弈的核心。 （3）联盟能保证自己得到的效用，它是联盟外收益的 最悲观的评价。对应的合作博弈均衡集合是合作博弈 的核心。 • 在优超这一思路下，合作博弈的解概念还包括：稳定 集、谈判集、核心、核仁等
熊、狼、狐狸瓜分猎物
• 熊、狼、狐狸一起抓到了一只兔子，协商如何分配。 • 狐狸对熊说：平分只能各得1/3，我们联合起来平分 如何？熊要答应，狼急了。 • 狐狸对狼说：我和熊联合起来你什么也得不到，不如 我和你合作，但你只得1/4如何？狼很感激地点头。 • 熊琢磨过来，对狼说：别听那个两面三刀的，和我合 作，我给你1/3。 • 狼正得意，没想到狐狸和熊又开始嘀咕起来，大有把 自己晾在一边之势，狼连忙钻过去继续讨价还价。 • 三个家伙继续这样协商下去，结果呢？
• 一种效用向量u=(u1,u2, …, uI)被优超意味着存在一种联盟S( 或者说，联盟S瓦解效用配置u)，对于联盟中的每一成员i， 联盟赋予他的效用将大于效用向量中他得到的，即有 ui(S)>ui，对任意i ∈ S成立。 • 合作均衡，指这样的局中人策略组合，它产生的效用向 量不被任何联盟所优超（核） • 对具有可转移效用的特征函数型博弈而言，一种效用分 配向量被优超是指，存在一种联盟，该联盟获得的总和 收益大于效用向量提供给该联盟各成员的效用之和。
非合作博弈的重点是个体，合作博弈研究的重点 是群体，讨论何种联盟会形成，联盟中的成员如何 分配。 • 用非合作博弈的框架来研究合作博弈： 将达成合作的谈判过程和执行合作协议的强制过 程纳入扩展式博弈中研究
熊、狼、狐狸瓜分猎物
• 熊、狼、狐狸一起抓到了一只兔子，协商如何分配。 • 狐狸对熊说：平分只能各得1/3，我们联合起来平分 如何？熊要答应，狼急了。 • 狐狸对狼说：我和熊联合起来你什么也得不到，不如 我和你合作，但你只得1/4如何？狼很感激地点头。 • 熊琢磨过来，对狼说：别听那个两面三刀的，和我合 作，我给你1/3。 • 狼正得意，没想到狐狸和熊又开始嘀咕起来，大有把 自己晾在一边之势，狼连忙钻过去继续讨价还价。 • 三个家伙继续这样协商下去，结果呢？
i 1 iS I
有最小值z* V ( )。
简单博弈的核
• 简单博弈：如果合作博弈中的联盟的特征函数 值不是0就是1。 • 在简单博弈（，V）中，如果对于某局中人i0， 有V（\｛i0｝）＝0，则称该局中人为具有否 决权的局中人。 • 定理4：在简单博弈（，V）中，核C(V)非空 的充要条件是存在有否决权的局中人。
三、合作博弈解
（一）合作博弈求解 • 在合作博弈中，有多种解概念。 • 合作博弈解的核心思想是合作均衡概念。 • 合作博弈理论求解的目的是得到博弈的理 性最终分配。 • 求解的方法主要有两种： 优超 赋值
1、优超
• 每个局中人有相应的可选择策略，在所有可能的策略组 合上定义各局中人的效用函数，效用向量则表现了博弈 的一种分配。
合作博弈存在的基本条件
• 合作博弈存在的两个基本条件： （1）对联盟来说，整体收益大于其每个成员单 独经营时的收益之和； （2）对联盟内部而言，应有着具有帕累托改进 性质的分配规则，即每个成员能获得比不加入 联盟时要多一些的收益。 • 实现和满足上述条件的保障：成员之间的信息 是可相互交换的，所达成的协议是强制执行的。
2、赋值
• 赋值：对每种博弈形式，构造一种考虑冲 突各方要求折中的合理结果，通过公理化 方法描述解的性质，进而得到惟一的解， 及博弈后各局中人得到的效用分配。 夏普利值
（二）核
优超：设x和y为I人合作博弈（ ，V）的两个分配， S 为
iS
一个联盟，如果（ 1 ）对任意i S，有xi yi，（2） xi V (S )， 则称x在S上优超y，记为x y。
合作博弈－－分配问题
• 合作博弈研究人们达成合作时如何分配合作 得到的收益，即收益分配问题。 • 熊、狼、狐狸一起抓到了一只兔子，协商如 何分配。 • 在少数服从多数的规则下，理性的分配结局 将如何？
合作博弈与非合作博弈比较
• 合约强制力不同
在合作博弈中，协议有外在力量保证强制执行； 在非合作博弈中，协议没有外在力量保证强制执行。 囚徒困境博弈 • 研究重点不同：