张家口市一中高二数学作业极坐标作业二
高中极坐标试题及答案
高中极坐标试题及答案一、选择题1. 在极坐标系中，点P的极坐标为(ρ,θ)，则点P的直角坐标为：A. (ρcosθ, ρsinθ)B. (ρsinθ, ρcosθ)C. (ρcosθ, -ρsinθ)D. (-ρcosθ, ρsinθ)答案：A2. 极坐标方程ρ = 2cosθ表示的曲线是：A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线答案：A二、填空题3. 已知点A的极坐标为(3, π/3)，求点A的直角坐标。
答案：(3/2, 3√3/2)4. 将极坐标方程ρ= 4sinθ转化为直角坐标方程。
答案：x² + (y - 2)² = 4三、解答题5. 已知极坐标方程ρ = 6cosθ，求该曲线的圆心和半径。
答案：圆心为(3, 0)，半径为3。
6. 将极坐标方程ρ = 2θ转换为直角坐标方程，并说明其代表的图形。
答案：直角坐标方程为x² + y² - 2y = 0，代表的图形是一个圆心在(0, 1)，半径为1的圆。
四、计算题7. 已知点P的极坐标为(5, π/4)，求点P到原点O的距离。
答案：58. 已知极坐标方程ρ = 4sinθ + 2cosθ，求该曲线与极坐标轴的交点。
答案：交点为(2, π/4)和(2, 5π/4)。
五、证明题9. 证明极坐标方程ρ² = 2ρcosθ表示的曲线是一条直线。
答案：将极坐标方程ρ² = 2ρcosθ转换为直角坐标方程，得到x²+ y² = 2x，即(x - 1)² + y² = 1，这是一个以(1, 0)为圆心，半径为1的圆的方程，因此原极坐标方程表示的曲线是一条直线。
六、应用题10. 一个圆的极坐标方程为ρ = 4，求该圆的面积。
答案：圆的面积为16π。
高二数学极坐标试题答案及解析
高二数学极坐标试题答案及解析1.已知直线：（为参数）；椭圆：（为参数）（Ⅰ）求直线倾斜角的余弦值；（Ⅱ）试判断直线与椭圆的交点个数.【答案】（1）；（2）没有交点.【解析】（1）将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程；（2）掌握常见的将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程;（3）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式．试题解析：（1）将直线参数方程化为普通方程得：，得斜率为，则倾斜角的余弦值为椭圆的普通方程为：,得：所以没有交点.【考点】（1）参数方程的应用；（2）直线与椭圆相交的综合问题.2.在直角坐标系中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的直角坐标方程为．（1）求曲线C1的直角坐标方程；（2）已知为曲线C2上一点，Q为曲线C1上一点，求P、Q两点间距离的最小值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法；（2）将参数方程转化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若有范围限制，要标出的取值范围；（3）先转化为普通方程和直角坐标方程后根据题意设点根据点到直线的距离公式.试题解析：解：（1）由得， 3分即,所以直线l的直角坐标方程为； 6分（2）P为上一点，设，其中, 8分则P到直线l的距离,其中所以当时,的最大值为．【考点】（1）参数方程与普通方程的互化；（2）参数方程的应用.3.在平面直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为: （为参数），两曲线相交于两点. 求：（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若求的值.【答案】(1),x-y-2="0;" (2)【解析】(1) 由得,曲线C的直角坐标方程为,由中两式相减的x-y=2,直线l的普通方程为x-y-2="0;(2)" 将代入得,设M,N对应的参数分别为,则所以试题解析：(1)由得,曲线C的直角坐标方程为,由中两式相减的x-y=2,直线l的普通方程为x-y-2=0(2)将代入得,设M,N对应的参数分别为,则所以.【考点】1.极坐标与直角坐标的互化;2.参数方程与普通方程的互化;3.参数的几何意义4.已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为。
2020学年高中数学课时分层作业2极坐标系(含解析)新人教B版选修4-4(2021-2022学年)
课时分层作业(二)(建议用时：４5分钟）一、选择题1.下列各点中与(2,错误!未定义书签。
)不表示极坐标系中同一个点的是( )A ．(2,-错误!未定义书签。
π)B ．（2,错误!π)C ．（2，错误!π）ﻩD ．（2，错误!π)[解析] 与极坐标(2，错误!未定义书签。
）相同的点可以表示为（２,错误!未定义书签。
+2ｋπ)(k ∈Ｚ),只有(2,错误!未定义书签。
π）不适合．[答案] Ｃ2.在极坐标系中与点A (３,－错误!未定义书签。
）关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是（ )A ．（3，错误!未定义书签。
π) ﻩB ．（3,错误!未定义书签。
)C ．(3，43π) Ｄ.(3，错误!π)［解析] 与点Ａ(3，－错误!未定义书签。
）关于极轴所在的直线对称的点的极坐标可以表示为(3，2k π+错误!未定义书签。
)（k ∈Z ）.［答案］ B3.将点Ｐ的直角坐标(－1，错误!未定义书签。
)化为极坐标是（ ）A ．(２，-错误!未定义书签。
）ﻩB ．(2,错误!)C.(－2,-错误!未定义书签。
） Ｄ．（－２,错误!未定义书签。
)[解析] 在直角坐标系中(－1，＼r （3))对应的极径ρ=(－１)2＋(3)2＝２,极角θ满足tanθ=错误!未定义书签。
=-＼ｒ(3）,∴由于点(－１，错误!未定义书签。
)在第二象限，所以θ＝错误!.［答案］ Ｂ４.在极坐标系中，点A (2,错误!未定义书签。
)与B （２,-错误!未定义书签。
)之间的距离为( ）A.１ B ．2 Ｃ．3 D.４［解析］ 点A (2，错误!未定义书签。
）与Ｂ(2，-＼f(π,6))的直角坐标分别为(错误!未定义书签。
,1)与(错误!未定义书签。
,－1)．于是|ＡB |＝错误!未定义书签。
＝２。
ﻬ[答案］ B二、填空题5．关于极坐标系的下列叙述正确的是_______＿.①极轴是一条射线;②极点的极坐标是（０，０);③点（0，0)表示极点;④点M(4，错误!）与点Ｎ(４，错误!未定义书签。
高中极坐标试题及答案
高中极坐标试题及答案
一、选择题
1. 点P(3,4)在极坐标系中，其极径ρ的值为多少？
A. 1
B. 5
C. 3
D. 4
2. 若点A的极坐标为(ρ,θ)，且ρ>0，θ∈(0,2π)，则点A的直角坐标为：
A. (ρcosθ, ρsinθ)
B. (ρsinθ, ρcosθ)
C. (ρsinθ, -ρcosθ)
D. (-ρsinθ, ρcosθ)
3. 在极坐标系中，点M的直角坐标为(1,1)，其对应的极坐标为：
A. (√2, π/4)
B. (√2, 3π/4)
C. (2, π/4)
D. (2, 3π/4)
二、填空题
4. 若点P的极坐标为(ρ,π/3)，则点P的直角坐标为_________。
5. 已知点A的直角坐标为(3,4)，求点A的极坐标ρ的值。
三、解答题
6. 点Q的极坐标为(6,π/6)，求点Q的直角坐标。
7. 已知点B的直角坐标为(-2,3)，求点B的极坐标。
四、综合题
8. 某圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，求该圆的直角坐标方程，并说明
圆心和半径。
答案：
1. B
2. A
3. A
4. (3, √3)
5. 5
6. (3√3, 3)
7. (1, 2π/3)
8. 圆的直角坐标方程为 (x-2)² + y² = 4，圆心在(2,0)，半径为2。
结束语：
通过本试题的练习，同学们可以更好地理解和掌握极坐标与直角坐标
之间的转换方法，以及极坐标方程与直角坐标方程之间的相互转换，
为进一步学习高等数学打下坚实的基础。
高中数学极坐标方程与直角坐标方程的互化练习题含答案
解： 曲线 的参数方程为 为参数)，
∴ ， ，
∴ ，
∴转换为直角坐标方程为 ，
即 ，
整理得， ，
∴转换为极坐标方程为 ．
直线 的参数方程为 ( 为参数)．转换为直角坐标方程为
联立 ，
得到
解得，
或
所以直线 被曲线所截得的线段长为：
．
9.
【答案】
解： 曲线 的参数方程为 （ 为参数）．
消去 得 ，
将 代入上式得曲线 的极坐标方程：
，
整理得 ，
因为 ，
所以曲线 的普通方程为 .
因为 在曲线 上，
所以将 的参数方程 （ 为参数）
代入到 的直角坐标方程得：
，
则有 ，
由参数 的几何意义得 .
【考点】
椭圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
直线的极坐标方程
直线的参数方程
参数方程与普通方程的互化
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解： 当 时，曲线 的极坐标方程为 ，
即 ，
∴曲线 的直角坐标方程为 ；
∵直线 的参数方程为 （ 为参数）
∴直线 的普通方程为
∵曲线 的极坐标方程为 ，
即 ，
∴曲线 的普通方程为 ， ，
联立 得 ，
∵曲线 与直线 交于点 ， ， ，
，
由 ，得 ，
设 ， ，
则 ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得 或 （舍），
解得 ；
解得 ；
所以： ．
【考点】
椭圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
【解析】
高中数学二极坐标系专项测试同步训练
高中数学二极坐标系专项测试同步训练2020.031,已知向量)23sin ,23(cosx x =，)2sin ,2(cos x x -=，且]2,0[π∈x ． ⑴求⋅+；⑵若b a x f +-⋅=2)(的最小值是23-，求实数λ的值．2,设D 为ABC ∆的边AB 上一点，P 为ABC ∆内一点，且满足23AD AB=u u u r u u u r ，14AP AD BC=+u u u r u u u r u u u r ，则S APDS ABC ∆∆=（ ）．A ．16B ．29C ．754 D ．4273,已知C B A 、、三点共线，O 为直线外任意一点，且)0(>+=n m n m ，，则n m 91+的最小值为（ ）．A ．8B ．12C ．16D ．324,已知等差数列{}n a 的公差d 不为零，它的前n 项和为n S ，设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=*N n n S a A n n ),(，若以A 中元素作为点的坐标，这些点都在同一条直线上，那么这条直线的斜率为（ ）．A ．21B ．31C ．41D ．515,ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 3A π=，a =1b =，则角B 等于（ ）．A ．3πB ．6πC ．56πD ．6π或56π6,已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：)1(1--=n n a a aS （a 为常数，且1,0≠≠a a ）．⑴求{}n a 的通项公式；⑵设12+=nnn a S b ，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；⑶在满足条件⑵的情形下，设11111+-++=n n n a a c ，数列{}n c 的前n 项和为nT .求证：312->n T n ．7,定义在R 上的偶函数()y f x =满足(2)()f x f x +=-，且在[]2,0-上单调递减，)23(f a =，7()2b f =，21(log )8c f =，则下列成立的是（ ）．A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<8,在ABC ∆中，A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若B c aC b cos )2(cos -=．⑴求B 的值；⑵若7=b ，4=+c a ，求ABC ∆的面积．9,=+000072cos 42cos 18cos 42sin10,已知)2,1(-A ，)1,3(-B ，点P 分AB 的比为31，则P 点坐标为11,设331)(+=x x f ，则)12()11()0()10()11()12(f f f f f f +++++-+-+-ΛΛ)13(f +的值为（ ）．A ．3B ．313C ．3328D ．331312,已知函数x b x a x f cos sin )(-=图象的一条对称轴方程是4π=x ，则直线0=+-c by ax 的倾斜角是 ．13,对于函数)(x f ，若存在R x ∈0，使00)(x x f =成立，则称0x 为)(x f 的不动点．如果函数),()(2*∈-+=N c b c bx a x x f 有且只有两个不动点0，2，且21)2(-<-f ．⑴试求函数)(x f 的单调区间及单调性； ⑵已知各项不为零且不为1的数列{}n a 满足1)1(4=⋅nn a f S ，求证：)(11ln 11*∈-<+<-N n a n n a nn ；⑶求证：200712112008ln 200813121+++<<+++ΛΛ 14,设函数x x x f 1)(+=的图象为1C ，1C 关于点)1,2(A 对称的图象为2C ，2C 对应的函数为)(x g ． ⑴求)(x g 的解析式； ⑵解关于x 的不等式29log )(log aa x g <（0>a ，且1≠a ）．15,设函数)(12)(R x x xx f ∈+=，区间],[b a M =（其中b a <），集合{}M x x f y y N ∈==),(，则能使N M =成立的实数对),(b a 有个．答案1, ⑴x xx x x 2cos 2sin 23sin 2cos 23cos=-=⋅，x xx x x 2cos 22)2sin 23(sin )2cos 23(cos)(222+=-++=+xx cos 22cos 22=+=+（∵]2,0[π∈x ） ⑵12)(cos 21cos 4cos 22cos 2222cos )(222---=--=+-=λλλλx x x x x x f ， 若)0,(-∞∈λ，当0cos =x 时，)(x f 有最小值1-，与题意不符；若]1,0[∈λ，当λ=x cos 时，)(x f 有最小值122--λ，由23122-=--λ，得21=λ；若),1(+∞∈λ，当1cos =x 时，)(x f 有最小值λ41-， 由2341-=-λ，得85=λ与),1(+∞∈λ矛盾． ∴21=λ．2, A 3, C 4, A 5, B6, 解：⑴11(1),1－=-Q aS a a ∴1,=a a当2n ≥时，11,11n n n n n a aa S S a a a a --=-=---1nn a aa -=，即{}n a 是等比数列．∴1n n n a a aa -=⋅=；⑵由⑴知，2(1)(31)211(1)n n n n n aa a a a ab a a a ⋅----=+=-，若{}n b 为等比数列，则有2213,b b b =而21232323223,,,a a a b b b a a +++===故22232322()3a a a a a +++=⋅，解得13a =，再将13a =代入得3nn b =成立，所以13a =．⑶证明：由⑵知1()3nn a =， 所以11111331131311()1()33n n n n n n n c +++=+=++-+-111311311111131313131n n n n n n ++++--+=+=-+++-+-1112()3131+=--+-n n ，由111111,313313n n n n ++<>+-得111111,313133n n n n ++-<-+-所以1113112()2()313133＋++=-->---n n n n n c ，从而122231111111[2()][2()][2()]333333n n n n T c c c +=+++>--+--+--L L 22311111112[()()()]333333n n n +=--+-++-L11112()2333n n n +=-->-． 即123n T n >-．7, D8, ⑴由已知得B C B A C B cos sin cos sin 2cos sin -= ∴A C B C B C B B A sin )sin(sin cos cos sin cos sin 2=+=+= ∴21cos =B ，又∵π<<B 0，∴3π=B ．⑵∵ac ac c a ac c a B ac c a b 3163)(cos 27222222-=-+=-+=-+== ∴3=ac ，∴43323321sin 21=⨯⨯==∆B ac S ABC9, 2310, )47,23(-11, D12, 135o13, 解：⑴设)1(0)1(22≠=++-⇒=-+b a cx x b x c bx ax ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⨯--=+⇒b a b c 102102，∴⎪⎩⎪⎨⎧+==210c b a ，∴c x c x x f -+=)21()(2．由32112)2(<⇒-<+-=-c c f ，又*∈N c b ,，∴2,2==b c ．∴)1()1(2)(2≠-=x x x x f∴2222)1(22)1(42)1(22)(--=-⋅--⋅='x x x x x x x x f ，由0)(>'x f 得0<x 或2>x ；由0)(<'x f 得10<<x 或21<<x ．∴函数)(x f 的单调递增区间为]0,(-∞和),2[+∞，单调递减区间为)1,0[和]2,1(．⑵由已知可得22nn n a a S -=，∴当2≥n 时，21112----=n n n a a S ，两式相减得：0)1)((11=+-+--n n n n a a a a ， ∴01=+-n n a a 或11-=--n n a a当1=n 时，1212111-=⇒-=a a a a 若01=+-n n a a ，则12=a ，这与1≠n a 矛盾， ∴11-=--n n a a ，∴n a n -=．于是待证不等式即为n n n n 11ln 11<+<+． 为此证明不等式)0(11ln 11><+<+x x x x x ．令0,11>=+x t x ，则11,1-=>t x t ．再令t t t g ln 1)(--=，∴t t g 11)(-='． 由),1(+∞∈t 知，0)(>'t g ．∴当),1(+∞∈t 时，)(t g 单调递增．∴0)1()(=>g t g ，于是t t ln 1>-，即)0(1ln )11ln(1>+=+>x x x x x ． 令t t t h 11ln )(+-=，∴22111)(t t t t t h -=-='．∴当),1(+∞∈t 时，0)(>'t h ，)(t h 单调递增． ∴0)1()(=>h t h ，于是t t 11ln ->，即)0(11)11ln(>+>+x x x ．∴)0(11ln 11><+<+x x x x x ．∴)(11ln 11*∈<+<+N n n n n n ，即)(11ln 11*∈-<+<-N n a n n a n n 成立．⑶在⑵的结论中令2007,,3,2,1Λ=n ，并将各式相加可得2007121120072008ln 23ln 12ln 200813121+++<+++<+++ΛΛΛ，即200712112008ln 200813121+++<<+++ΛΛ． 14, 解：⑴设),(y x P 为2C 上任意一点，点P 关于点A 的对称点为),(y x M ''． 则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='+='+1222y y x x 即⎩⎨⎧-='-='y y x x 24代入)(x f 中得：x x y -+-=-4142，即412)(-+-=x x x g ．⑵原不等式即为29log )412(log aa x x <-+-当10<<a 时，29412294120412>-+-⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+->-+-x x x x x x 得294<<x 或6>x 当1>a 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--->--⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+->-+-04)6)(29(04)3(2941204122x x x x x x x x x 得629<<x综上，当10<<a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<6,294x x x 或； 当1>a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<629x x ． 15, 3。
2019-2020高中北师版数学选修4-4 课时分层作业2 极坐标系的概念
课时分层作业(二)(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．在极坐标系中，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，π6的位置 ，可按如下规则确定( )A ．作射线OP ，使∠xOP ＝π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 B ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 C ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2D ．作射线OP ，使∠xOP ＝－π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 [解析] 当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置按下列规定确定：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的反向延长线上取|OM |＝|ρ|，则点M 就是坐标(ρ，θ)的点，故选B ．[答案] B2．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( ) A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．关于过极点与极轴成π4角的直线对称[解析] 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)，由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称，故选A.[答案] A3．在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π，若P 的极角满足－π<θ<π，ρ∈R ，则下列点中与点P 重合的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43π，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53π B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83π，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43π，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，43π，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53π，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－43π D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π3 [解析] 因为－π<θ<π，故只有⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π3与P 点重合．[答案] D4．在极坐标系中，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－π6，则OA ，OB 的夹角为( )A.π6 B ．0 C.π3D ．5π6[解析] 如图所示，夹角为π3.[答案] C5．在极坐标系中与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，4π3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6[解析] 点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π3关于极轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3.[答案] B 二、填空题6．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，5π6到极轴所在直线的距离为________．[解析] 依题意，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，5π6到极轴所在的直线的距离为d ＝6×sin 5π6＝3.[答案] 37．已知两点的极坐标是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8，π12，则AB 中点的一个极坐标是________．[解析]3－82＝－52，∴AB 中点的极坐标可以写为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，π12. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，π128．在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34π，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，则A ，B 两点间的距离为________．[解析] 由条件可知∠AOB ＝90°，即△AOB 为直角三角形，所以AB ＝12＋22＝ 5. [答案]5三、解答题9．在极坐标系中作下列各点，并说明每组中各点的位置关系．(1)A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32π，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，54π，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，116π；(2)A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，54π，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，54π，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4.[解] (1)所有点都在以极点为圆心，以2为半径的圆上．(2)所有点都在与极轴的倾斜角为π4，且过极点的直线上．10．已知A ，B 两点的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π6，求A ，B 两点间的距离和△AOB 的面积．[解] 求两点间的距离可用如下公式：|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos (θ1－θ2)＝4＋16－2×2×4×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝20＝2 5.S △AOB ＝12|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×4×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝12×2×4＝4.[能力提升练]1．在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，那么可能是顶点C 的坐标的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4C ．(23，π)D ．(3，π)[解析] 如图，由题设，可知A ，B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点．又|AB |＝4，△ABC 为正三角形，∴|OC |＝23，∠AOC ＝π2，点C 的极角θ＝π4＋π2＝3π4或5π4＋π2＝7π4， 即点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，7π4.[答案] B2．已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π12，则A 和B 之间的距离等于( )A.32＋62B ．32－62C.36＋322D ．36－322[解析] A ，B 在极坐标中的位置，如图，则由图可知∠AOB ＝13π12－π4＝5π6. 在△AOB 中，|AO |＝|BO |＝3，所以，由余弦定理，得|AB |2＝|OB |2＋|OA |2－2|OB |·|OA |·cos 5π6＝9＋9－2×9×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝18＋93＝92(4＋23)，|AB |＝36＋322. [答案] C3．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ＜2π，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，在直线OM 上与点M的距离为4的点的极坐标为______．[解析] 如图所示，|OM |＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P ，Q ， 使|OP |＝7，|OQ |＝1，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4， |QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.点P ，Q 都满足条件，且∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43π4．在极坐标系中，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，74π，试判断点B ，D 的位置是否具有对称性，并求出B ，D 关于极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，θ∈[0,2π))．[解] 由B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π4，知|OB |＝|OD |＝3，极角π4与7π4的终边关于极轴对称． 所以点B ，D 关于极轴对称．设点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π4关于极点的对称点分别为E (ρ1，θ1)，F (ρ2，θ2)，且ρ1＝ρ2＝3.当θ∈[0,2π)时，θ1＝5π4，θ2＝3π4， ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π4，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，3π4为所求.。
张家口市一中高二数学作业极坐标作业一
作业一、一、选择题(每小题5分，共20分)1．动点P 到直线x ＋y －4＝0的距离等于它到点M (2,2)的距离，则点P 的轨迹是( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线2．若△ABC 三个顶点的坐标分别是A (1,2)，B (2,3)，C (3,1)，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形3．在同一平面直角坐标系中，将曲线y ＝13cos 2x 按伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y后为( )A ．y ＝cos xB ．y ＝3cos 12xC ．y ＝2cos 13xD ．y ＝12cos 3x4．将直线x ＋y ＝1变换为直线2x ＋3y ＝6的一个伸缩变换为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝3x y ′＝2y B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y C.⎩⎨⎧x ′＝13x y ′＝12yD.⎩⎨⎧x ′＝12xy ′＝13y二、填空题(每小题5分，共10分)5．若点P (－2 012,2 013)经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x 2 013，y ′＝y2 012.后的点在曲线x ′y ′＝k 上，则k ＝________.6．△ABC 中，若BC 的长度为4，中线AD 的长为3，则A 点的轨迹是________． 三、解答题(每小题10分，共30分)7．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x 3，y ′＝y 2后的图形．(1)x 2－y 2＝1；(2)x 29＋y 28＝1.8．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处．求城市B处于危险区内的时间．9.图1－1－1学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图1－1－1，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，M (0，647)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8,0)，观测点A (4,0)，B (6,0)同时跟踪航天器．(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A ，B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？10．已知A(－1,0)，B(1,0)，圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，在圆C上是否分别存在一点P，使|P A|2＋|PB|2取得最小值与最大值？若存在，求出点P的坐标及相应的最值；若不存在，请说明理由．。
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作业二、
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列各点中与(2，π6
)不表示极坐标系中同一个点的是( ) A ．(2，－116π) B ．(2，136
π) C ．(2，116π) D ．(2，－236
π) 2．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为( )
A ．(π，0)
B ．(π，2π)
C ．(－π，0)
D ．(－2π，0)
3．在极坐标系中，已知A (2，π6)、B (6，－π6
)，则OA 、OB 的夹角为( ) A.π6 B ．0C.π3 D.5π6
4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是( )
A ．(2，－π3)
B ．(2，4π3
) C ．(1，－π3) D ．(2，－4π3
) 二、填空题(每小题5分，共10分)
5．平面直角坐标系中，若点P (3，7π2)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝2x y ′＝13y 后的点为Q ，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于________．
6．极坐标系中，点A 的极坐标是(3，π6
)，则 (1)点A 关于极轴的对称点的极坐标是________；
(2)点A 关于极点的对称点的极坐标是________；
(3)点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是________．(本题中规定ρ>0，θ∈[0,2π))
三、解答题(每小题10分，共30分)
7．已知点P 的直角坐标按伸缩变换⎩⎨⎧
x ′＝2x y ′＝3y
变换为点P ′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ<2π时，求点P 的极坐标．
8．(1)已知点的极坐标分别为A (3，－π4)，B (2，2π3)，C (32，π)，D (－4，π2
)，求它们的直角坐标．
(2)已知点的直角坐标分别为A (3，3)，B (0，－53
)，C (－2，－23)，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
9．在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A (2，π3)，B (2，π)，C (2，5π3
)． (1)判断△ABC 的形状；
(2)求△ABC 的面积．
10．某大学校园的部分平面示意图如图：
用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书
馆，车库，花园，其中|AB |＝|BC |，|OC |＝600 m ．建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π且极点为(0,0))．。