数学2.3《双曲线的几何性质》课件(新人教B版选修2-1)
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人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第二章 平面解析几何 2.6.2 双曲线的几何性质
解 由题意设双曲线的方程为
2
x2-y2=λ(λ>0),即
−
2
=1(λ>0),因为双曲线的一
个焦点是 F1(-6,0),所以 2λ=36,所以 λ=18.所以双曲线的标准方程为
2
18
−
2
=1.
18
角度2.双曲线焦点到渐近线的距离
【例4】 [北师大版教材习题]求双曲线
2 2
− =1的焦点到其渐近线的距
16 9
离.
解 由已知可得双曲线的一个焦点为F(5,0),一条渐近线方程为3x-4y=0,焦
|35-40|
点到渐近线的距离为
32 + (-4)
2
=3.
变式训练 4 已知双曲线
2
渐近线的距离为7c,则
11 2
A. 15
2
C: 2
−
2
=1(a>0,b>0)的一个焦点
2
C 的离心率为( C )
3 3
±
=0
或
−
2
2
y=± x,则双曲线方程可设为
λ>0 时,焦点在 x 轴上;当 λ<0 时,焦点在 y 轴上.
变式训练3(1)[北师大版教材习题改编]双曲线4x2-9y2=k的渐近线方程
为 2x±3y=0 .
(2)[人教A版教材习题改编]对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点
是F1(-6,0),求双曲线的标准方程.
B.4x±3y=0
C. 3 x±2y=0 D.9x±16y=0
解析
2
双曲线
9
2
− =1
16
的渐近线方程为 3x±4y=0.
2
x2-y2=λ(λ>0),即
−
2
=1(λ>0),因为双曲线的一
个焦点是 F1(-6,0),所以 2λ=36,所以 λ=18.所以双曲线的标准方程为
2
18
−
2
=1.
18
角度2.双曲线焦点到渐近线的距离
【例4】 [北师大版教材习题]求双曲线
2 2
− =1的焦点到其渐近线的距
16 9
离.
解 由已知可得双曲线的一个焦点为F(5,0),一条渐近线方程为3x-4y=0,焦
|35-40|
点到渐近线的距离为
32 + (-4)
2
=3.
变式训练 4 已知双曲线
2
渐近线的距离为7c,则
11 2
A. 15
2
C: 2
−
2
=1(a>0,b>0)的一个焦点
2
C 的离心率为( C )
3 3
±
=0
或
−
2
2
y=± x,则双曲线方程可设为
λ>0 时,焦点在 x 轴上;当 λ<0 时,焦点在 y 轴上.
变式训练3(1)[北师大版教材习题改编]双曲线4x2-9y2=k的渐近线方程
为 2x±3y=0 .
(2)[人教A版教材习题改编]对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点
是F1(-6,0),求双曲线的标准方程.
B.4x±3y=0
C. 3 x±2y=0 D.9x±16y=0
解析
2
双曲线
9
2
− =1
16
的渐近线方程为 3x±4y=0.
选修1-1课件2.2.2 双曲线的简单几何性质
b b 2 2 解得y1 25 12 481 12 12 b 5 2 2 y2 13 12 b. 12 12 又塔高为 米, 所以y2 y1 55.即 55 5b b 481 55. 12 12 解得 : b 24.5(米).所以双曲线的 方程为 x y 1. 2 2 12 24.5
2
2
2 ; 渐近
线方程x y; 准线方程y 2 .
练习题:
1.求下列双曲线的实轴和虚轴的 长、顶点和焦点坐标、离心率、 渐近线方程和准线方程：
x y 4 1 49 25
2
2
y x 4 方程化为 1, 于是a 5, b 7, 25 49 c 25 49 74 , 2a 10, 2b 14; 顶 点坐标0, 5 , 0,5 ; 焦点坐标 0, 74 ,
叫做等轴双曲线 .
x
双曲线虚轴的变化对双曲线的影响：
性质4—渐近线
y B2
N x ,Y Q M(x,y)
b
A1
o a A2
x
b y x a
B1
b y x a
在第一象限内 双曲线方程化为 , b 2 2 y x a x a a 设M x , y 是双曲线上的任意一 b 点, N x ,Y 是直线y x上与M a b 有相同横坐标的点则Y x . , a
1 x
2
8 y 32
2
x y 1方程化为 1, 于是a 4 2 , 32 4 b 2, c 32 4 6, 2a 8 2 , 2b 4; 顶点坐标 4 2 ,0 , 4 2 ,0 ; 焦点坐 3 标6,0 , 6,0 ; e 2 ; 渐近线方程 4 2 16 y x; 准线方程x . 4 3
(人教版)高中数学选修2-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.3.2 第1课时
a＝13，b＝m1 ，
9 m2
取顶点0，13，一条渐近线为 mx－3y＝0， 所以15＝|－m32×＋139|，则 m2＋9＝25，
∵m＞0，∴m＝4.
答案： D
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
3．已知点(2,3)在双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)上， C 的焦距为 4，则它的离心率为________．
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1．双曲线 2x2－y2＝8 的实轴长是( )
A．2
B．2 2
C．4
D．4 2
解析： 双曲线方程可化为x42－y82＝1，∴a2＝4，a＝2，
则 2a＝4，故选 C. 答案： C
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
c e＝__a__
__y_＝__±_ba_x_
_y_＝__±_ab_x__
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
等轴双曲线
___实__轴__和___虚__轴___等长的双曲线叫做等轴双曲线．
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
由①②联立，无解．
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
令 y＝0，解得 x＝±3，因此顶点坐标为 A1(－3,0)，A2(3,0)， 焦点坐标为 F1(－ 13，0)，F2( 13，0)． 实轴长是 2a＝6，虚轴长是 2b＝4， 离心率 e＝ac＝ 313， 渐近线方程 y＝±bax＝±23x. 作出草图(如图所示)．
人教B版高中数学【选修1-1】第2章-2.1-2.2.2双曲线的几何性质-课件
【思路探究】
(1)双曲线的焦点位置确定了吗？如果不确定
该怎么办？(2)与双曲线 x2－2y2＝2 有公共渐近线的双曲线有什么 特点？如何设出方程？
【自主解答】
(1)设双曲线的标准方程为
x 2 y2 y2 x2 － ＝1 或 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)． a2 b2 a b c 5 由题意知 2b＝12， ＝ 且 c2＝a2＋b2， a 4 ∴b＝6，c＝10，a＝8， x2 y2 y2 x2 ∴双曲线标准方程为 － ＝1 或 － ＝1. 64 36 64 36
2．过程与方法 培养学生的观察能力、 想象能力、 数形结合能力和逻辑推理能 力，以及类比的学习方法． 3．情感、态度与价值观 培养学生对待知识的科学态度和探索精神， 而且能够运用运动 的、变化的观点分析理解事物．
●重点、难点 重点：由方程导出性质及其应用． 难点：渐近线的理解． 从学生的认知水平来看， 对渐近线分析方法的理解和掌握有一 定的困难． 同时渐进线概念如何顺应学生思维的自然呈现， 是教法 中的一个困惑．因此，将渐近线的呈现与分析设置为本课时的难 点．为突破该难点，从“如何画双曲线草图”入手，分析作草图必 须的条件， 以“双曲线的走向”为切入口， 通过复习反比例函数图
【思路探究】
2 2 x y 【自主解答】 双曲线的方程 25y2－4x2＋100＝0 可化为 － 25 4
＝1.
∴实半轴长 a＝5，虚半轴长 b＝2，顶点坐标为(－5,0)，(5,0)． 由 c＝ a2＋b2＝ 29，焦点坐标为( 29，0)，(－ 29，0)． c 29 2 离心率 e＝ ＝ ，渐近线方程 y＝± x. a 5 5
故两条双曲线的实轴长、 虚轴长、 焦距都不相等， 离心率相等．
(2)椭圆的焦点坐标为(± 3，0)，所以双曲线的顶点为(± 3， 2 6 c 2 6 0)，即 a＝ 3，又 e＝ ，所以 e＝ ＝ ，解得 c＝2 2，所以 3 a 3 b＝ c2－a2＝ 5.所以双曲线的焦点坐标为(2 2， 0)， (－2 2， 0)． 双 b 5 15 曲线的渐近线方程为 y＝± x＝± x＝± x. a 3 3
数学：2.3.2《双曲线的几何性质》(1)课件(新人教A版选修2-1)
3.顶 点 顶 双曲线和它的对称轴有两个交点, 双曲线和它的对称轴有两个交点 它们叫做 双曲线的顶点. 双曲线的顶点 顶点坐标 A1 (－a, 0), A2 (a,0) － 线段A 叫做双曲线的实轴 线段 1A2叫做双曲线的实轴
B2
y x 双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>o)的几何性质 的几何性质 a b
O
F2 x
y x 双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>o)的几何性质 的几何性质 a b
2
2
1. 范围 双曲线在不等式 x≤－a与 x≥a所表示 － 与 所表示 的区域内. 的区域内
X=－a X=a
y2 x 双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>o)的几何性质 的几何性质 a b
2
2. 对称性 双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的. 双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的 是双曲线的对称轴, 这时, 坐标轴是双曲线的对称轴 原点是双 这时 坐标轴是双曲线的对称轴 原点是双 曲线的对称中心. 曲线的对称中心. 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心 双曲线的中心. 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心
2
2
线段B1B2叫做双曲线的虚轴 线段 叫做双曲线的虚轴 其中B － 、 其中 1(0,－b)、 B2(0, b)
A1
A2 B1
4.渐近线 渐近线
y x 双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>o)的几何性质 的几何性质 a b N
y N M B2 Q M
2
2
A1
O B1
A2
X
x2 y2 b 两条直线 y=± x叫做双曲线 2 − 2 =1 叫做双曲线 a a b
4
, 半虚轴长
3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)(第3课时)课件(人教版)
当1-k2≠0即k≠±1时，若直线与双曲线只有一个公共点
5
2
则 20 16k 0, 即 k
2
5
综上，k 1 或 k
2
例1 已知双曲线C：x2-y2=4，直线l：y=kx-1.
(3)若直线l与双曲线C的右支有2个公共点，求k的取值范围.
y kx 1
2
A. － ＝1
3
6
x2 y2
B. － ＝1
4
5
x2 y2
C. － ＝1
6
3
)
x2 y2
D. － ＝1
5
4
x2 y2
解：设双曲线的标准方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)，由题意知 c＝3，a2＋b2＝9，
a
b
x12 y12
－ 2 ＝1，
2
a
b
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x22 y22
第 3 章圆锥曲线的方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
复 焦点位置
习 方程
x轴
x2
y2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
图形
范围
对称性
顶点
y轴
y2
x2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
M(x,y)
F2
F1 O
F2
x
即x a或x a , y R
O
x
即y a或y a , x R
两式作差，
－
＝1，
a2
b2
y1－y2 b2（x 1＋x2） －12b2 4b2
5
2
则 20 16k 0, 即 k
2
5
综上，k 1 或 k
2
例1 已知双曲线C：x2-y2=4，直线l：y=kx-1.
(3)若直线l与双曲线C的右支有2个公共点，求k的取值范围.
y kx 1
2
A. － ＝1
3
6
x2 y2
B. － ＝1
4
5
x2 y2
C. － ＝1
6
3
)
x2 y2
D. － ＝1
5
4
x2 y2
解：设双曲线的标准方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)，由题意知 c＝3，a2＋b2＝9，
a
b
x12 y12
－ 2 ＝1，
2
a
b
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x22 y22
第 3 章圆锥曲线的方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
复 焦点位置
习 方程
x轴
x2
y2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
图形
范围
对称性
顶点
y轴
y2
x2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
M(x,y)
F2
F1 O
F2
x
即x a或x a , y R
O
x
即y a或y a , x R
两式作差，
－
＝1，
a2
b2
y1－y2 b2（x 1＋x2） －12b2 4b2
高二数学 第二章 第3节 双曲线(理)知识精讲 人教实验B版选修2-1
高二数学 第二章 第3节 双曲线 人教实验B 版（理）选修2－1【本讲教育信息】一、教学内容：选修2－1：双曲线二、教学目标：1、掌握双曲线的定义，标准方程，能根据条件利用待定系数法求双曲线方程，掌握双曲线的几何性质，了解双曲线的初步应用。
2、了解双曲线的参数方程，能根据方程讨论双曲线的性质，掌握直线与双曲线位置关系的判断方法，能够正确熟练地解决直线和双曲线的位置关系的一些问题。
三、知识要点分析： （一）双曲线的定义双曲线的定义：平面内与两定点F 1，F 2距离的差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线，即||PF 1|－|PF 2||＝2a （2a ＜|F 1F 2|）。
此定义中，“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|，不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
（二）双曲线的标准方程及几何性质1、标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的双曲线方程中心在原点，焦点在x 轴上 中心在原点，焦点在y 轴上 标准方程22221(0,0)x y a b a b -=>> 22221(0,0)y x a b a b-=>> 图形顶点 )0,(),0,(21a A a A - ),0(),,0(21a B a B - 对称轴 x 轴，y 轴；虚轴为b 2，实轴为a 2 焦点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F - 焦距 )0(2||21>=c c F F 222b a c +=离心率 )1(>=e a ce （离心率越大，开口越大）准线c a x 2±=ca y 2±=渐近线 x ab y ±= x bay ±= 焦准距cb c a c p 22=-=2、判断椭圆方程中焦点位置的不同，是通过比较x 2，y 2系数的大小，而双曲线是看x 2，y 2的系数的正负号，焦点在系数为正的坐标轴上，简称为“焦点在轴看正号”3、共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。
2.3.2《双曲线的简单几何性质》(人教版选修2-1)
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴，它的长为2a,a叫做
实半轴长；线段 B1B2 叫做双
曲线的虚轴，它的长为2b,b
y
叫做双曲线的虚半轴长.
（见教材P.56)
b B2
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
x2 y 2 m(m 0)
A1 -a o a A2
x
-b B1
第6页，共69页。
2.3.2 双曲线简单的几何性质 (一)
第1页，共69页。
定义 图象
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
y
M F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关系
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
(x,-y)
x以轴-x、代yx轴方是程不双变曲，线故的图对像称关轴于，原轴y点对是称对；称中心，
又 以-叫y代做y方双程曲不线变的，中故心图像。关于 轴对x 称；。
以-x代x且以-y代y方程不变，故图像关于 原点对称
第5页，共69页。
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1(a,0)、A2 (a,0)
P( 1,－3 ) 且离心率为 的2双曲线标准方程.
y2 x2 1 88
第34页，共69页。
学习小结:
渐近线方程为 y b x 的双曲线的方程可写 a
成
x2 a2
y2 b2
y b x a
第26页，共69页。
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知识回顾
• 2.双曲线的定义、标准方程是什么？
• 定义：我们把平面内与两个定点F1、F2的距
离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的
点的轨迹叫做双曲线.
y
y
M
M
F2
x
O
F1 O F2 x
F1
x2 y2 1 a2 b2
(a 0，b 0,c2 a2b2)
y2 x2 a2 b2 1
归纳探究
• 1.范围
• 由图像可以看出，
•
x≤-a或x≥a
• 由方程可以看出，
A1
x2 a2
1
y2 b2
1, 得x2
a2
x a或x a
双曲线位于两直线x=±a的外侧
• 2.对称性
y
B2
A2
o a
x
B1
由图像可以看出，双曲线关于x轴、y轴和原点都是 对称的.
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心.双
先定型，再定量
课堂小结:
通过本节课的学习,你有哪些收获?
y b x a
y
ybx a
(1)由双曲线的图象得其几何性质;
(2)求双曲线标准方程应先定型, A1 再 定量.
B2
b a
A2
o
x
B1
双曲线的几何性质
知识回顾
• 1.椭圆的几何性质有哪些？我们是如何探讨 的？
•方程 请同学们完成下ax22 表 by：22 1(a b 0)
性
y
图象
o
x
质
范围
-a≤x≤a,-b≤y≤b
顶点坐标
(-a,0), (a,0), (0,-b), (0,b)
对称性 离心率
x轴、y轴、原点对称 0<e<1
43
焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程。
请问你解:你能若:实由虚写写双半题轴出出曲轴意长一所线长可: 的个有:得方以以程y y为2ax4=b2223y322x3为3x1渐呢为近? 渐线a2b近的线双43的曲线方程.
双曲焦线点方坐程标吗: ? ( 7,0),2( 7,0) (0, 7), (0, 7)
曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
演示
归纳探究
• 3.顶点
• （1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的 顶点
• A1（-a，0）A2（a，0）
• （2）如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它 的长为2a,a叫做实半轴长。
A1
• 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫 做双曲线的虚半轴长
y
B2
顶点坐标: x2 离心率: 4
渐近线方程:
(e-2y,20c)， (2(,70)
3a 2
y 3x
(0, 3), (0,
e0) c 21 a3 y 3x
3)
2
2
例2.已知双曲线的中心在原点,焦点
在y轴上,焦距为16,离心率为
4 3
,
求双曲线的方程.
问:若将题目中“焦点在y轴上” 改为“焦点在坐标轴上”呢?
1(a
0,b 0)的几何性质
y
（1）范围: y a, y a, x R
（2）对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
a
（3）顶点: (0,-a)、(0,a)
（4）渐近线: y a x
b
（5）离心率: e c a
ybx a
-b o b x -a
例1 :求双曲线 x2 y2 1的实轴长、虚轴长、
A2
o a
x
B1
探究
归纳探究
A1
y
B2
A2
o a
x
B1
互动探究
y
B2
探究
A1
A2
oa x
B1
归纳探究
y
B2
A1
A2
o a
x
e反映了双曲线开口大小
e越大 ↔双曲线开口越大
e越小↔ 双曲线开口
e
1
b a
2
双曲线 y2 a2
x2 b2