行程问题(一)
第二十五讲-行程问题一
难题点拨 2：
相遇问题
甲、乙两列火车同时从两个城市相对开 出，甲车每小时行48千米，乙车比甲车每小 时快12千米。两车开出后13小时在一个车站 相遇。这两个城市相距多少千米？
想一想，做一做
1、甲、乙两列火车从两地同时相向开出，以过18 小时在某个火车站相遇，已知甲车每小时行50千 米，乙车每小时比甲车少行8千米。两地相距多少 千米？
想一想，做一做
3、小玲每分钟行100米，小平每分钟行80米，两 人同时同地背向行了5分钟后，小玲调转方向去追 赶小平。问：小玲追上小平一共行了多少米？
难题点拨 5：
运动场的跑道长400米，甲、乙两名 运动员从起跑线同时出发，甲每分钟跑 390米，乙每分钟跑310米。求多少分钟 后甲超过乙一周？
想一想，做一做
想一想，做一做
2、一辆汽车从甲地到乙地，经每小时30千 米的速度行了2小时后，距离乙地还有120 千米。甲、乙两地相距多少千米？
想一想，做一做
3、一列火车从甲地开住乙地，开始3小时行 了210千米。照这样的速度，再行2小时可到 达乙地。甲、乙两地相距多少千米？
想一想，做一做
4、一辆汽车从甲城到乙城用了6小时，从乙 城到丙城用了2小时,已知甲城与乙城之间的 路程是240千米。求从甲城经乙城到丙城的 路程是多少千米？
想一想，做一做
1、A、B两地相距16千米，甲、乙两人同时由两地 动身，同向而行，甲每小时行4千米，乙每小时行 12千米。出发后多少小时，乙可以追上甲？
想一想，做一做
2、方老师和王老师去总校开会。方老师出发2小 时后，王老师骑自行车赶去。方老师每小时行4千 米，王老师每小时行12 千米 。几小时后王老师可 以追上方老师？
3、育才小学的操场一周长200米，甲、乙两人同时 从一点出发同向跑步，甲每分钟跑300米，经过4分 钟甲第一次超过了乙一周，乙每分钟跑多少米？
行程问题(一)
行程问题（一）这一讲在相遇问题和追及问题的基础上学习一些综合性的问题。
【例1】 甲、乙两辆汽车同时从A 、B 两地相向开出。
甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。
两车在离中点32千米处相遇。
求A 、B 两地间的距离是多少？分析 这题要求路程，题中已知两车速度，但缺少两车相遇所用时间，可先求出甲车比乙车多行多少千米，用多少时间。
解 如图（1）相遇时甲车比乙车多行64232=⨯（千米）（2）甲车比乙车多行64千米要8485664=-÷）（（小时） （3）A 、B 两地间的距离是83284856=⨯+）（（千米） 答：A 、B 两地相距832千米。
说明 1. 不能错误地认为甲车只比乙车多行32千米。
应当是甲多行32千米的2倍。
2. 这里两车相遇的时间即用多少时间甲车才能比乙车多行64千米。
【例2】 甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲、乙两人从A 地。
丙一人从B 地同时相向出发，丙遇到乙后2分钟又遇到甲，A 、B 两地相距多少米？分析 在已知速度的情况下，要求A 、B 两地间距离必须求出丙和乙相遇所用的时间。
丙遇到乙后2分钟又遇到甲。
丙、甲这两分钟合行的路程，实际上就是乙与丙相遇时，乙比甲多行的路程。
而乙比甲多行这段路所用的时间就是乙与丙相遇所用的时间。
解 设乙、丙在D 相遇，甲、丙在C 相遇（如图）（1）甲、丙2分钟合行路程CD24027050=⨯+）（（米） （2）乙比甲多行CD 所需时间245060240=-÷）（(分钟） （3）A 、B 两地的距离为3120247060=⨯+）（（米） 答：A 、B 两地相距3120米。
说明 本题与例1有类似的地方，请加以比较。
【例3】 一列慢车在上午9点钟以每小时40千米的速度由甲城开往乙城。
另有一列32千米 A 甲车 乙车 B 中点 C D甲、丙2分钟 合行的路程A BC D 甲 乙， 丙快车在上午9点30分以每小时56千米的速度也由甲城开往乙城。
小学奥数 行程问题1
行程问题（1）例1：客车和货车同时从A 、B 两地相对开出。
客车每小时行驶50千米，货车的 速度是客车的80%，相遇后客车继续行3.2小时到达B 地。
A 、B 两地相距 多少千米？思考：如果把“相遇后客车继续行3.2小时到达B 地”改为“相遇后货车继续行3.2小时到达A 地”，该怎样解答？例2：客车和货车同时从A 、B 两地相对开出，客车每小时行60千米， 货车每小时行全程的101，当货车行到全程的2413时，客车已行了全程的85。
A 、B 两地间的路程是多少千米？练习：客车和货车同时从上海、北京两地相对开出。
客车每小时行100千米，货车每小时行全程的151，相遇时客车所行路程是货车的45，上海和北京两地 相距多少千米？例3：甲乙两人分别从A 、B 两地同时相向出发，相遇后，甲继续向B 地走，乙 马上返回往B 地走，甲从A 到B 地，比乙返回B 地迟到0.5小时。
已知甲的速度是乙的43，甲从A 地到B 地共用了多少小时？练习：1、一辆汽车把货物从甲地运往乙地往返只用了5小时，去时所用的时间是回来的121倍，去时每小时比回来时慢17千米。
汽车往、返共行了多少千米？2、甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发相向而行，匀速前进。
如果每人按一定 的速度前进，则4小时相遇；如果每人都比原计划每小时少走1千米，则5 小时相遇。
求A 、B 两地的路程。
能力检测：1、甲、乙两车同时从A 地开往B 地，当甲车行至A 、B 两地中点时，乙车行了A 、B 两地路程的53；当甲车到达B 地时，乙车已超过B 地24千米。
求A 、B 两 地的路程。
ACB 2、客车和货车从A 地驶向B 地，货车比客车提前32小时出发，结果同时到达B 地，已知两地相距240千米，客、货两车的速度比是5∶4，客车每小时行多 少千米？3、甲、乙两人同时骑自行车从东、西两镇相向而行，甲和乙的速度比是3：4。
已知甲行了全程的31，离相遇点还有20千米，相遇时甲比乙少行多少千米？4、摩托车和小汽车同时从A 地出发，沿长方形的路两边行驶，结果在B 点相遇。
行程问题(一)相遇问题
行程问题（一）（相遇问题）例1：甲乙两辆列车同时从两地相对开出。
快车每小时行60千米，乙车每小时行55千米。
相遇时，甲车比乙车多行45千米，求两地相距多少千米？快慢两车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行80千米，慢车每小时行45千米，相遇时快车比慢车多行70千米。
求甲乙两地之间的路程。
例2:甲乙两队学生从相距18千米的两地同时出发，相向而行，一个同学骑自行车以每小时14千米的速度，在两队之间不停的往返联络，甲队每小时行5千米，乙队每小时行4千米。
两队相遇时，骑自行车的同学共行多少千米？两队同学同时从相距30千米的甲乙两地相向出发，一只鸽子以每小时二20千米的速度在两队之间不断往返送信，如果鸽子从同学们出发到相遇共飞行了30千米。
而甲队同学比乙队同学每小时多走0.4千米。
求两队同学的行走速度。
例3:甲乙两辆汽车从相距600千米的两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米，甲车先开出2小时后，乙车才开出，问乙车行几小时后与甲车相遇？相遇时两车各行多少千米？甲乙两地相距1050千米，一辆快车以每小时150千米的速度从甲地开出，3小时后一辆慢车每小时90千米的速度从乙地开出，问慢车几小时后与快车相遇？相遇吋两车各行多少千米？例4：甲乙两车同时从ab两地相向出发，3小时后两车还相距120千米。
又行3小时两车又相距120千米，问ab两地相距多少千米？快慢车早上6时同时从甲乙两地相向开出。
中午12时两车相距50千米，继续行驶到14时，两车又相距170天。
甲乙两地相距多少千米？例5:甲乙两辆汽车从东西两地相向而行，甲车每小时行48千米，乙车每小时行42千米。
两车离中点21千米处相遇，求东西两地相距多少千米？甲乙两辆汽车同时从东西两城市相向而行，甲车每小时行60千米，乙车每小时行56千米。
两车在距中点16千米处相遇，求东西两城市相距多少千米？例6:甲乙两列火车同时从ab两站相向开出，在离a站60千米的地方相遇后，两车仍以原速继续前进，各车分别到达对方出发点后立即返回。
小学奥数之 行程问题1
行程专题（一）一、时间相同速度比等于路程比【例1】甲、乙二人分别从A、B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达 B 地和乙到达A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点30千米，则A、B 两地相距多少千米？【解析】两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为4 : 3．第一次相遇时甲走了全程的4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了3个全程，三个全程中甲走了453177⨯=个全程，与第一次相遇地点的距离为542(1)777--=个全程．所以A、B两地相距2301057÷=(千米)．【例2】B地在A，C两地之间．甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间。
【解析】根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：10分钟因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如下：（1）若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走两倍乙走需要10分钟，所以丙用时间为：10÷（3－1）=5（分钟）此时拿上乙拿错的信5分钟5分钟当丙再回到B点用5分钟，此时甲已经距B地有10＋10＋5＋5＝30（分钟），同理丙追及时间为30÷（3－1）=15（分钟），此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信在给乙送信，此时乙已经距B地：10＋5＋5＋15＋15=50（分钟），此时追及乙需要：50÷（3－1）=25（分钟），返回B地需要25分钟所以共需要时间为5＋5＋15＋15＋25＋25=90（分钟）（2）同理先追及甲需要时间为120分钟【例3】 (“圆明杯”数学邀请赛) 甲、乙两人同时从A、B两点出发，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，出发一段时间后，两人在距中点的C处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了7分钟，两人将在距中点的D处相遇，且中点距C、D距离相等，问A、B两点相距多少米？【分析】甲、乙两人速度比为80:604:3=，相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走了全程的47，乙走了全程的37．第二次甲停留，乙没有停留，且前后两次相遇地点距离中点相等，所以第二次乙行了全程的47，甲行了全程的37．由于甲、乙速度比为4:3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以甲行走期间乙走了3374⨯，所以甲停留期间乙行了43317744-⨯=，所以A、B两点的距离为1607=16804⨯÷(米)．【例4】甲、乙两车分别从A、B 两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是 5 : 4，相遇后甲的速度减少20%，乙的速度增加20%．这样当甲到达B 地时，乙离A地还有10 千米．那么A、B 两地相距多少千米？【解析】两车相遇时甲走了全程的59，乙走了全程的49，之后甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，此时甲、乙的速度比为5(120%):4(120%)5:6⨯-⨯+=，所以甲到达B 地时，乙又走了4689515⨯=，距离A地58191545-=，所以A、B 两地的距离为11045045÷=(千米)．【例5】早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午 1 点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午 2 点时两人之间的距离是15 千米．下午 3 点时，两人之间的距离还是l5 千米．下午 4 点时小王到达乙地，晚上7 点小张到达乙地．小张是早晨几点出发？【解析】从题中可以看出小王的速度比小张块．下午 2 点时两人之间的距离是l5 千米．下午 3 点时，两人之间的距离还是l5 千米，所以下午2 点时小王距小张15 千米，下午 3 点时小王超过小张15千米，可知两人的速度差是每小时30 千米．由下午 3 点开始计算，小王再有 1 小时就可走完全程，在这 1 小时当中，小王比小张多走30 千米，那小张3 小时走了15 30 45=+千米，故小张的速度是45 ÷3=15千米/时，小王的速度是15 ＋30 =45千米/时．全程是45 ×3 =135千米，小张走完全程用了135 ＋15= 9小时，所以他是上午10 点出发的。
六年级奥数第20讲：行程问题(一)
行程问题（一）行程问题是根据速度、时间、路之间的关系，研究物体相向、相背和同向运动的问题。
按其类型可分为简单行程问题，相向、相背行程问题和追及问题。
常用方法：（1）分解。
将综合性的题先分成若干个基本题，再按其所属类型，直接利用基本数量关系解题。
（2）图示。
把题中复杂的情节通过线段图清楚地表示出来，帮助分析思考。
（3）简化。
对于一些复杂的问题，解答时可以先退一步，考虑最基本的情况使复杂的问题简单化，从而找到解题途径。
（4）找规律。
有些行程问题，物体运动具有一定的规律，解题时，如果能先找出运动规律，问题就能顺利获解。
（5）沟通。
将行程问题和分数问题相互沟通，在两类知道间建立联系，灵活、巧妙地设单位“1”，使难题变易。
例1、客车从甲地，货车从乙地同时相对开出5小时后，客车距乙地还有全程的61，货车距甲地还有142千米。
已知客车每小时比货车多行12千米，问：甲、乙两地相距多少千米？做一做：两列火车同时从两个城市相对开出，6.5小时后相遇。
相遇时甲车比乙车多行52千米，乙车的速度是甲车的87。
问：两地相距多少千米？例2、大货车和小轿车从同一地点出发，沿同一公路行驶，大货车先走2小时，小轿车出发后4小时追上大货车。
如果小轿车每小时多行8千米，那么出发后3小时就可以追上大货车。
问：大货车每小时行多少千米？做一做：大货车和小轿车从同一地点出发沿同一公路行驶，大货车先走3小时，小轿车出发后4小时追上大货车。
如小轿车每小时行6千米，则出发后5小时才能追上大货车。
问：大货车每小时行多少千米？例3、甲、乙两列火车的速度比是5：4。
乙车先出发，从B 站开往A 站，当行驶到离B 站72千米的地方时，甲车从A 站发车开往B 站，两列火车相遇的地方离A 、B 两站距离的比是3：4。
求A 、B 两站之间的距离。
做一做：甲段路是乙段路的65，两个旅游团分别在甲、乙段上行驶。
两个旅游团分别行驶了各段路的520千米时，甲段路剩下的是乙段路的1712。
行程问题(1)
行程问题（1）行程应用题是专门讲物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题。
行程问题按所行方向的不同可分为三种：（1）相遇问题；（2）相离问题；（3）追及问题。
行程问题的主要数量关系是：距离=速度×时间。
它大致分为以下三种情况：（1）相向而行：相遇距离=相遇时间×速度和（2）相背而行：相背距离=速度和×时间。
（3）同向而行：速度慢的在前，快的在后。
追及时间=追及距离×速度差 解决行程问题的主要方法：行程图；将复杂行程问题分解成我们熟悉的类型。
一、过中点相遇例1 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行11千米，两人在距中点4千米处相遇，求两地的距离。
练习：（1）甲乙两车分别从A 、B 两地同时出发相向而行，相遇点距中点320米，已知甲的速度是乙的速度的65，甲每分钟行800米。
求AB 的距离。
（2）快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出，乙车每小时行40千米，经过3小时，快车已驶过中点25千米，这时快车与慢车还相距7千米。
慢车每小时行多少千米？二、追及问题例2 甲乙两人同时从东村到西村，甲每分钟行120米，乙每分钟行100米，结果甲比乙早五分钟到达西村。
东村到西村的路程是多少米？练习：（1）甲乙两人上午甲乙两人上午8时同时从东村去西村，甲每小时比乙快6千米，中午12时甲到西村后立即返回东村，在距西村15千米处和乙相遇。
求东西两村相距多少千米？（2）汽车从甲地开往乙地，每小时行32千米。
4小时后，剩下的路比全程的一半少8千米，如果改用每小时56千米的速度行驶，再行几小时到达乙地？例3一辆汽车从甲地开往乙地，要行360千米。
开始按计划以每小时45千米的速度行驶，途中因汽车故障修车2小时。
因为要按时到达乙地，修好车后必须每小时多行30千米。
汽车是在离甲地多远处修车的？练习：（1）小王家离工厂3千米，他每天骑车以每分钟200米的速度上班，正好准时到工厂。
16.行程问题(1)
【例21】1997年小学数学奥林匹克决赛A卷第12题
从电车总站每隔一定时间开出一辆电车，甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分钟15秒遇上迎面开来的一辆电车，则，电车总站每隔多少分钟开出一辆电车。
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【例24】
小明家在颐和园。如果他骑车到RDF中，每隔3分钟能见到一辆332路公共汽车迎面开来；如果他步行到RDF中，每隔4分钟能见到一辆332路公共汽车迎面开来。已知任意两辆332路汽车的发车间隔都是一样的，并且小明骑车速度是小明步行速度的3倍。请问：如果小明坐332路汽车到RDF中，每隔多少分钟能见到一辆332路公共汽车迎面开来？
四、发车间隔
【例17】求平均速度
一辆车往返于A、B两地，来回的速度分别是v1，v2，求全程的平均速度。
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【例18】
甲乙两地各有一个车站，每隔相同的时间向对面发一次车。小明从甲地出发，每隔12分钟被车追上一次，每隔6分钟与车相遇一次。求发车间隔时间。
三、变速问题
【例15】
某人开车从甲地到乙地，行驶全程的72％后，因大雾降低了速度，结果4小时到达乙地。已知他第一小时比第三小时多行了30千米，第二小时比第四小时多行了40千米，那么甲乙两地相距多少千米？
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【例16】（2011年3月枫杨小升初测试题）AB两地相距8千米，小明骑自行车从A地去B地，开始以每分钟120米的速度行驶，后来改为每分钟160米的速度行驶，共用了1小时到达B地。小明是在离A地________米的地方改变速度的.
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行程问题（一）
知识点睛
1、普通行程问题：路程=速度×时间
2、相遇或追及问题：路程和=速度和⨯时间，路程差=速度差⨯时间
3、解题步骤：①根据题意画图②找出数量关系③列式计算
例题精讲
【例1】甲、乙两车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。
两车在距中点32千米处相遇，东、西两地相距多少千米?
【例2】快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出，乙车每小时行40千米，经过3小时，快车已驶过中点25千米，这时快车与慢车还相距7千米。
慢车每小时行多少千米？
【例3】甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快6千米。
中午12时甲到西村后立即返回东村，在距西村15千米处遇到乙。
求东、西两村相距多少千米？
【例4】甲、乙两队学生从相遇18千米的两地出发,相向而行。
一个学生骑自行车以每小时14千米的速度在两队之间往返联络,骑自行车的学生与甲乙两队学生同时出发，甲队每小时走5千米,乙队每小时走4千米,两队相遇时骑自行车的学生共行多少千米？
【例5】甲、乙两车早上8时分别从A、B两地同时相向出发，到10时两车相距112.5千米。
两车继续行驶到下午1时，两车相距还是112.5千米。
A、B两地间的距离是多少千米？
即学即练
【练1】一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，汽车每小时行40千米，摩托车每小时行65千米，当摩托车行到两地中点处时，与汽车还相距75千米。
甲、乙两地相距多少千米？
【练2】兄弟二人同时从学校和家中出发，相向而行。
哥哥每分钟行120米，5分钟后哥哥已超过中点50米，这时兄弟二人还相距30米。
弟弟每分钟行多少米？
【练3】甲、乙二人同时从A地到B地，甲每分钟走250米，乙每分钟走90米。
甲到达B地后立即返回A 地，在离B地3.2千米处与乙相遇。
A、B两地间的距离是多少千米？
【练4】甲、乙两车同时从A、B两地相向出发，3小时后，两车还相距120千米；又行3小时，两车又相距120千米。
A、B两地相距多少千米？
【练5】甲、乙两车同时从A、B两地相向出发，3小时后，两车还相距120千米。
又行3小时，两车又相距120千米。
A、B两地相距多少千米？
课后作业
【作业1】甲、乙二人同时从东村到西村，甲每分钟行120米，乙每分钟行100米，结果甲比乙早5分钟到达西村。
东村到西村的路程是多少米？
【作业2】学校运来一批树苗，五（1）班的40个同学都去参加植树活动，如果每人植3棵，全班同学都能植这批树苗的一半还多20棵。
如果这批树苗全部给五（1）班的同学去植，平均每人植多少树？
【作业3】甲、乙二人上午7时同时从A地去B地，甲每小时比乙快8千米。
上午11时甲到达B地后立即返回，在距B地24千米处与乙相遇。
求A、B两地相距多少千米？
【作业4】两队同学同时从相距30千米的甲、乙两地相向出发，一只鸽子以每小时20千米的速度在两队同学之间不断往返送信。
如果鸽子从同学们出发到相遇共飞行了30千米，而甲队同学比乙队同学每小时多走0.4千米，求两队同学的行走速度。
【作业5】甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，匀速前进。
如果各人按原定速度前进，4小时相遇；如果两人各自比原计划少走1千米，则5小时相遇。
A、B两地相距多少千米？。