根与系数关系教案
九年级根与系数的关系教案
九年级根与系数的关系教案一、教学目标1. 理解根与系数的关系，能够运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系，能够运用根与系数的关系解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决数学问题的能力。
二、教学重点1. 根与系数的关系2. 运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况三、教学难点1. 根与系数的关系的运用2. 运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况四、教学方法采用问题驱动法，引导学生通过观察、思考、归纳总结的方式来发现根与系数的关系，并通过实例讲解，让学生在实际问题中运用根与系数的关系解决问题。
五、教学过程1. 导入：通过复习一元二次方程的定义和根的判别式，引导学生思考根与系数之间的关系。
2. 讲解：讲解根与系数的关系，引导学生通过观察、思考、归纳总结的方式来发现根与系数的关系。
3. 实例讲解：通过实例讲解，让学生在实际问题中运用根与系数的关系解决问题。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学内容，并能够灵活运用。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
6. 作业布置：布置作业，让学生进一步巩固所学内容。
六、教学反思本节课结束后，教师应引导学生进行教学反思，回顾和总结所学内容，包括：1. 学生对根与系数的关系的理解程度。
2. 学生在实际问题中运用根与系数的关系的情况。
3. 学生对根的判别式的掌握情况。
七、课后作业1. 请用今天所学的知识，判断下列方程的根的情况：1x^2 + 2x + 1 = 02x^2 4x + 3 = 02. 请用今天所学的知识，解决下列实际问题：一个长方形的面积为24平方厘米，长比宽大3，求长方形的长和宽。
八、课程拓展1. 研究其他二次方程的性质，如二次方程的图像、顶点坐标等。
2. 探索其他数学知识与实际问题相结合的应用，如几何、三角函数等。
九、评价与反馈教师应根据学生的课堂表现、作业完成情况和课后拓展情况进行评价，并及时给予反馈，以促进学生的学习进步。
根与系数的关系教案
1、设21x x 和是方程03422
=-+x x ，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值： （1）2
22
1x x + （2） x 12
+ x 1x 2+2 x 1 （3）
2
11
1x x + （4）221)(x x - （5）x 1x 22
＋12
x 1 （6） x 51·x 22+x 21·x 52
2、已知方程x 2+mx+12=0的两实根是x 1和x 2，方程x 2－mx+n=0的两实根是x 1+7和x 2+7， 求m 和n 的值。
3、已知关于x 的二次方程x 2－2(a －2)x+a 2－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a 的值。
4、已知关于x 的方程05)2(22
2
=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比两个根的积大16，求m 的值。
5、已知：关于的方程x 2
﹣kx ﹣2=0．
（1）求证：无论k 为何值时，方程有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两根为x 1，x 2，若2（x 1+x 2）＞x 1x 2，求k 的取值范围．
6、已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2=0的两个实数根，使得（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80成立，求其实数a 的可能值．。
根与系数的关系教案
根与系数的关系教案一、教学目标1.了解一元二次方程的根的概念和求解方法；2.掌握一元二次方程根与系数之间的关系；3.能够通过一元二次方程的根和系数互相推导。
二、教学重点1.一元二次方程的根的概念和求解方法；2.一元二次方程根与系数之间的关系。
三、教学难点1.一元二次方程根与系数之间的关系的理解和应用。
四、教学内容1. 一元二次方程的根的概念和求解方法一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0，其中a,b,c是已知数，x是未知数。
方程的解即为方程的根，一元二次方程的根有两个，分别为x1和x2。
求解一元二次方程的根的方法有两种：配方法和公式法。
配方法配方法是指通过变形将一元二次方程转化为(mx+n)2=p的形式，然后求解出mx+n的值，最后求出x的值。
具体步骤如下：1.将一元二次方程ax2+bx+c=0移项，得到ax2+bx=−c；2.将ax2+bx用a的平方根来配方，即(√ax+2√a )2=b24a−c；3.化简得到(√ax+2√a )2=b2−4ac4a；4.开方得到√ax+2√a =±√b2−4ac4a；5.移项得到√ax=2√a ±√b2−4ac4a；6.化简得到x=−b±√b2−4ac2a。
公式法公式法是指通过求解一元二次方程的根公式来求解方程的根。
一元二次方程的根公式为：x=−b±√b2−4ac2a其中，a,b,c分别为一元二次方程ax2+bx+c=0的系数。
2. 一元二次方程根与系数之间的关系一元二次方程的根与系数之间有以下关系：1.一元二次方程的两个根之和等于−ba ，即x1+x2=−ba；2.一元二次方程的两个根之积等于ca ，即x1x2=ca。
五、教学方法本课程采用讲授、演示和练习相结合的教学方法。
1.讲授：通过讲解一元二次方程的根的概念、求解方法和根与系数之间的关系，让学生掌握相关知识点；2.演示：通过实际例子演示一元二次方程的求解过程，让学生更好地理解和掌握求解方法；3.练习：通过练习题让学生巩固所学知识，提高解题能力。
《一元二次方程根与系数的关系》教案
《一元二次方程根与系数的关系》教案教学目标:1、发现、了解一元二次方程的根与系数的关系,培养学生善于独立思考、合作交流的学习习惯。
2、探索、运用一元二次方程的根与系数关系，由一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数，提升学生的合作意识和团队精神。
3、在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值,并从中体会整体代换的数学思想，促进学生数学思维的养成。
教学重点：一元二次方程的根与系数的关系及简单应用。
教学难点：一元二次方程的根与系数的关系的推导。
数学思考与问题解决：通过创设一定的问题情境，注重由学生自己发现、探索，让学生参与“韦达定理”的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。
一、自学互研 探索发现(每小题10分，共30分)(自主完成，组长检查）【师生活动】：教师引导，巡视,随时发现问题、了解学生导学案完成情况并点拨；评价、鼓励、调动学生参与的主动性和积极性。
学生独立完成导学案,观察、对比、发现问题，逐步由易到难,探索出一元二次方程的根与系数的关系;小组长检查小组成员完成情况;分小组汇报自学成果。
【设计意图】：本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的发现过程，即感性认识过程。
通过几个具体的方程，经过观察、比较、分析、归纳，感性地得出一元二次方程的根与系数的关系的一般规律。
培养学生发现问题、探求规律的学习习惯和注重自主加合作的学习方式。
【学案内容】:1、方程:X 2+3X –4=0（1)二次项系数是_____ ,一次项系数是______，常数项是______.（2）解得方程的根X 1=______ ，X 2=______ .(3）则X 1+X 2=_______， 方程中（）二次项系数一次项系数=- (4） X 1·X 2=_______， 方程中 （）二次项系数常数项=2、方程3 X 2+X-2=0（1)二次项系数是_____，一次项系数是______ ，常数项是______。
《根与系数的关系》教案
《根与系数的关系》教案一、教学目标1. 让学生理解并掌握一元二次方程的根与系数之间的关系。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对一元二次方程根的判别式的认识和运用。
二、教学内容1. 知识背景：回顾一元二次方程的定义、根的判别式、根与系数的关系。
2. 教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。
3. 教学难点：理解和运用根与系数的关系解决实际问题。
三、教学过程1. 导入新课：通过复习一元二次方程的定义和根的判别式，引导学生思考根与系数之间的关系。
2. 讲解新课：讲解一元二次方程的根与系数之间的关系，结合实例进行解释。
3. 练习巩固：让学生通过练习题目，加深对根与系数关系的理解和运用。
4. 拓展应用：引导学生运用根与系数的关系解决实际问题。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究根与系数的关系。
2. 运用实例讲解，让学生直观理解根与系数的关系。
3. 设计练习题目，巩固所学知识，提高解题能力。
4. 鼓励学生相互讨论，培养合作学习能力。
五、教学评价1. 课堂问答：检查学生对根与系数关系的理解和掌握程度。
2. 练习题目：评估学生运用根与系数关系解决实际问题的能力。
3. 课后作业：布置相关题目，巩固所学知识，提高学生自主学习能力。
六、教学资源1. 教学课件：制作包含根与系数关系图表、实例及练习题目的课件。
2. 练习题库：准备一系列具有代表性的练习题目，涵盖不同难度的题目。
3. 教学视频：搜集与根与系数关系相关的教学视频，作为辅助教学资源。
4. 实际问题案例：收集一些实际问题，用于引导学生运用根与系数关系解决实际问题。
七、教学环境1. 教室布局：教室座位排列以方便学生互动、讨论为原则。
2. 教学设备：准备投影仪、计算机、音响等教学设备，确保教学课件和视频的正常播放。
3. 网络环境：确保教室具备稳定的网络环境，便于查找相关教学资源。
八、教学拓展1. 开展小组活动：组织学生分组讨论，探讨根与系数关系在实际问题中的应用。
根与系数关系教案
根与系数关系教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解一元二次方程的根与系数之间的关系；（2）学会运用根与系数的关系解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过探究一元二次方程的根与系数的关系，培养学生的观察、分析、归纳能力；（2）运用根与系数的关系解决实际问题，提高学生的解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和自信心；（2）培养学生勇于探究、合作学习的良好品质。
二、教学内容1. 教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。
2. 教学难点：运用根与系数的关系解决实际问题。
三、教学过程1. 导入新课：（1）复习一元二次方程的定义及解法；（2）引导学生思考：一元二次方程的根与系数之间有什么关系？2. 探究活动：（1）让学生分组探讨，总结出一元二次方程的根与系数之间的关系；（2）教师引导学生归纳总结，得出结论。
3. 知识应用：（1）让学生运用根与系数的关系解决实际问题；（2）教师引导学生总结解题方法，巩固知识。
四、作业布置1. 请学生总结一元二次方程的根与系数之间的关系；2. 运用根与系数的关系解决实际问题。
五、教学反思1. 教师对本节课的教学效果进行自我评价；2. 学生对本节课的学习效果进行自我评价；3. 针对教学过程中的不足，提出改进措施。
六、教学评价1. 评价目标：（1）学生能理解并运用一元二次方程的根与系数关系；（2）学生能解决实际问题，展示数学应用能力；（3）学生能积极参与探究活动，表现合作学习能力。
2. 评价方法：（1）课堂提问，观察学生对概念的理解程度；（2）作业批改，检查学生运用知识解决问题的能力；（3）小组讨论，评估学生在探究活动中的表现。
七、教学拓展1. 课题研究：探究其他类型的方程（如二次三项式方程）的根与系数关系；2. 数学竞赛：组织学生参加有关一元二次方程的数学竞赛，提高解题技巧；3. 数学日记：鼓励学生记录在学习本节课过程中的心得体会，培养反思习惯。
九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计
1.通过引导学生在自主探究、合作交流的过程中发现一元二次方程的根与系数的关系，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
2.利用具体的实例，让学生在实际操作中掌握一元二次方程的根与系数的关系，提高学生的实际操作能力和应用能力。
3.通过对一元二次方程根与系数关系的探究，培养学生数形结合的思想，让学生学会从多角度分析问题，形成严密的逻辑思维。
5.拓展延伸，提高思维：
-通过拓展延伸性问题的设置，引导学生运用一元二次方程根与系数关系解决更复杂的问题，提高学生的思维能力和创新能力。
6.总结反馈，反思提升：
-在课堂结束前，引导学生总结所学内容，进行自我反馈，发现不足，及时改进。
-教师对课堂教学进行反思，了解学生的学习情况，调整教学策略，提高教学质量。
-根据实际问题，列出一元二次方程，并运用根与系数关系求解。
3.拓展题：
-探究一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的根与系数之间的关系，并给出证明。
-通过阅读教材或其他资料，了解一元二次方程根与系数关系在其他数学分支中的应用。
4.实践题：
-调查生活中的一元二次方程问题，例如：物品的定价与折扣、投资收益等，并运用所学知识解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：
-将学生分成若干小组，针对本节课所学的一元二次方程根与系数关系，讨论以下问题：
a.一元二次方程根与系数关系在实际问题中的应用；
b.如何运用根与系数关系解决具体问题；
c.根的判别式和韦达定理在解题过程中的作用。
2.教学方法：
-采用小组合作学习法，促进学生之间的交流与讨论。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
九年级根与系数的关系教案
九年级根与系数的关系教案一、教学目标1. 让学生理解根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数之间的联系。
2. 培养学生运用根与系数的关系解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的兴趣，培养学生的抽象思维能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：理解并掌握根与系数的关系，能够运用根与系数的关系解决实际问题。
2. 教学难点：根与系数的关系在实际问题中的应用。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过探索、发现、总结根与系数的关系。
2. 运用案例分析法，让学生通过实际问题理解并掌握根与系数的关系。
3. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解根与系数的关系。
四、教学准备1. 教师准备相关案例和问题，以便在教学中引导学生进行探索和分析。
2. 准备多媒体教学设备，以便进行数形结合的教学。
五、教学过程1. 导入新课：通过一个实际问题，引导学生思考根与系数的关系。
2. 探索与发现：让学生通过分组讨论、探索，发现根与系数之间的关系。
3. 总结与讲解：引导学生总结根与系数的关系，并进行讲解。
4. 案例分析：分析实际问题，运用根与系数的关系解决问题。
5. 练习与巩固：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
6. 总结反馈：对学生的学习情况进行总结反馈，查漏补缺。
六、教学内容与要求1. 教学内容：了解一元二次方程的根与系数之间的关系，掌握根的判别式，理解根与系数在解方程中的应用。
2. 教学要求：学生能够运用根的判别式判断方程的根的情况，能够将实际问题转化为方程求解，并运用根与系数的关系进行分析。
七、教学步骤1. 回顾与导入：复习一元二次方程的基本概念，引入根与系数的关系。
2. 探索与发现：引导学生通过具体的一元二次方程，探究根与系数之间的关系。
3. 讲解与总结：讲解根的判别式，总结根与系数之间的关系，并进行例题解析。
4. 应用与拓展：提供几个实际问题，让学生运用根与系数的关系进行求解。
5. 巩固与练习：布置相关的练习题，让学生进行巩固练习。
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一元二次方程根与系数的关系教案
主备人：张培培 副备人：张培培
教学目标：
1、知识目标：巩固一元二次方程的解法、根的判别式等知识，掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用，会运用根与系的关系解决相关数学问题和实际问题。
2、能力目标：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力。
3、情感目标：渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。
培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神和全面辩证地认识事物的能力。
教学重点：根与系数的关系的推导、运用。
教学难点：正确归纳、理解、运用根与系数的关系，培养学生探索和发现意识。
教学方法：发现法，引导法，讲练结合法。
教学过程：
一、问题情境，导入新课： 解下列方程，并填写表格：
观察上面的表格，你能得到什么结论？
（1）关于x 的方程220(40)x px q p q q ++=-≥、为常数，p 的两根1x ，2x 与系数p ，q 之间有什么关系？
（2）关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根1x ，2x 与系数a ，b ，c 之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？
二、探究新知： 1、根与系数关系：
（1）关于x 的方程220(40)x px q p q q ++=-≥、为常数，p 的两根1x ，2x 与系数p ，q 的关系是：12x x p +=-， 12x x q =。
引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。
并思考：如果一元二次方程二次项的系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？
（2）形如20(0)ax bx c a ++=≠的方程，如果240b ac -≥，两根为1x ，2x ，引导学生利用上面的结论猜想1x ，2x 与各项系数a 、b 、c 之间有何关系。
然后教师归纳，可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：对于方程20(0)ax bx c a ++=≠ ∵0a ≠
∴20b c
x x a a
++=
∴12b x x a +=-，12c
x x a
=
对于这个结论我们又应该如何证明呢？引导学生利用求根公式给出证明。
证明：∵2
0(0)ax bx c a ++=≠，当2
40b ac -≥
时根为：x =
设1x =
，2x =，则
∴1222b b
x x a a
-+=+==-
22122
2(4)42244b b b b ac ac c
x x a a a a a -+----⋅=⋅=== 学生思考、归纳并回答下列问题：
（1）你认为什么是根与系数的关系？根与系数的关系有什么作用？ （2）运用根与系数的关系要注意些什么？ 三、应用举例
例1、不解方程，口答下列方程的两根和与两根积：
（1）2310x x --= （2）22350x x +-= （3）21
203
x x -=
（4
）2= （5）220x -= （6）2210x x ++= 例2、已知方程2290x kx +-=的一个根是－3，求另一根及k 的值。
先让学生求解，再让学生代表介绍解法。
教师展示： 从上面的两种解法中引导学生谈谈有什么启示？ 2
22122903
2(3)(3)903323903
32
332
x kx k k k x x x x k +-=-⨯-+⋅--===+-=-=解法一：∵方程的一个根为∴ ∴，把代入原方程得：
解之得：＝，＝
∴，方程的另一个根为
1111
,9332232x k x x x k -+---
解法二：
设方程的另一个根为由根与系数的关系可知：＝，（）＝∴＝，＝3
例3、已知2220050x x αβ+-=、是方程的两个实数根，求23ααβ++的值。
分析：因为αβ、是原方程的两个实数根，故都满足原方程，将α代入原方程可得
2222005022005αααα+-=+=，所以，而223(2)()ααβαααβ++=+++，利用根与系数
的关系可知2αβ+=-，从而可求23ααβ++的值。
四、巩固练习：
1、已知方程2290x kx --=的两根互为相反数，求k 的值。
2、已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，求m 的值。
3、备选题：关于x 的方程22(21)20x k x k +++-=两实数根的平方和等于11，求k 的值。
五、归纳小结：
1、这节课我们学习了什么知识？有何作用？
2、运用本节课所学知识解决问题时要注意些什么？
3、这节课我们学到了解决数学哪些方法？运用了哪些数学思想？ 六、课后作业：
1、若方程241x x -=的两个根为1x ，2x ，则1x ，2x 的值是 。
2、已知a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为 。
3、若方程2231
0x x --＝的两根为1x ，2x ，则12
11
x x +的值为 。
4、关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22
127x x +=，
求212()x x -的值。
板书设计：
一元二次方程根与系数的关系
1、对于20(0)ax bx c a ++=≠的方程，若240b ac -≥，两根为1x ，2x 。
那么12b x x a +=-
，12c
x x a
⋅= 2、根与系数关系使用的前提是：（1）是一元二次方程，即0a ≠。
（2）方程为一般形式。
即形如：20ax bx c ++=。
（3）判别式大于等于零，即240b ac -≥。
222222200502220050220053(2)()x x αβαβααααααβαααβ+-==-+-=+=++=+++解：∵ 、是方程的两根。
由根与系数的关系可知： +，∴ ∴ =2005+(-2) =2003。