2020年辽宁省实验中学高考数学内测模考试卷(文科)(5月份) (解析版)

2020年高考数学内测模考试卷（文科）（5月份）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A ＝{x |x 2≤4，x ∈R}，B ＝{x |√x ≤4，x ∈Z}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，2） B ．[0，2]C ．{0，1，2}D ．{0，2}2．复数z =2+4i1+i（i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ） A ．（3，1） B ．（﹣1，3） C ．（3，﹣1） D ．（2，4）3．已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z ＝x +2y 的最小值是（ ）A ．﹣8B ．﹣6C ．﹣3D ．34．设平面向量a →=(2，1)，b →=(0，−2)，则与a →+2b →垂直的向量可以是（ ）A ．（4，﹣6）B ．（4，6）C ．（3，﹣2）D ．（3，2）5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＝12，a 2＝5，则a 5＝（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．36．已知A 是△ABC 的内角，则“sin A =√32”是“tan A =√3”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件．7．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，m ∥α，n ⊥β，则下列正确的是（ ） A ．若α∥β，则m ⊥n B ．若α∥β，则m ∥βC ．若α⊥β，则n ∥αD ．若α⊥β，则m ⊥n8．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ） 注：90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事产品岗位的90后人数超过总人数的5%D ．互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80前人数多9．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ）在[0，+∞）内单调递减，则（ ） A ．f （﹣log 23）＜f （log 32）＜f （0） B ．f （log 32）＜f （0）＜f （﹣log 23） C ．f （0）＜f （log 32）＜f （﹣log 23） D ．f （log 32）＜f （﹣log 23）＜f （0）10．圆x 2+y 2+4x ﹣12y +1＝0关于直线ax ﹣by +6＝0（a ＞0，b ＞0）对称，则2a+6b 的最小值是（ ） A ．2√3B ．323C ．203D ．16311．已知函数f （x ）=√3sin ωx +cos ωx （ω＞0）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，把函数f （x ）的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g （x ）的图象，则下列关于函数g （x ）的命题中正确的是（ ） A ．g （x ）在[π4，π2]上是增函数B ．g （x ）的图象关于直线x =−π4对称C ．函数g （x ）是奇函数D ．当x ∈[π6，23π]时，函数g （x ）的值域是[﹣2，1]12．已知函数f(x)={x 3−2x ，x ≤0−lnx ，x ＞0，若函数g （x ）＝f （x ）﹣x ﹣a 有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0，2）B ．[0，1）C ．（﹣∞，2]D ．（﹣∞，1]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．甲、乙两支足球队进行一场比赛，A ，B ，C 三位球迷赛前在一起聊天．A 说：“甲队一定获胜．”B 说：“甲队不可能输．”C 说：“乙队一定获胜．”比赛结束后，发现三人中只有一人的判断是正确的，则比赛的结果不可能是 ．（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个） 14．函数y =lnxx 的图象在x ＝1处的切线方程是 ． 15．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若点F到直线AB 距离为5√1414b ，则该椭圆的离心率为 ．16．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，tanA =cosA+cosCsinA+sinC，则角A 的取值范围是 ． 三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，∠BAD ＝60°，△PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 是菱形，点M 为PC 的中点． （1）求证：PA ∥平面MDB ； （2）求三棱锥A ﹣BDM 的体积．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240）[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图： （1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝120，a2﹣a1，a4﹣a2，a1+a2成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{1S n}的前n项和，求满足T n＞1522的最小的n值．20．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为1 2，右焦点到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的方程；（2）过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，则△F1AB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx−ax−bx（a，b∈R）．（1）当b＝0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数g（x）=f(x)x在x=√e（e为自然对数的底）时取得极值，且函数g（x）在（0，e）上有两个零点，求实数b的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多答，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡，上把所选题目对应题号的方框涂黑.22．在直角坐标系xOy中，已知点M（1，√32），C1的参数方程为{x=12+ty=√3t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为3ρ=2+cos2θ．（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设曲线C1与曲线C2相交于A，B两点，求1|MA|+1|MB|的值．23．设f（x）＝|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f(x)≥|a+1|−|2a−1||a|，对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A ＝{x |x 2≤4，x ∈R}，B ＝{x |√x ≤4，x ∈Z}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，2）B ．[0，2]C ．{0，1，2}D ．{0，2}【分析】求出A 与B 中不等式的解集确定出A 与B ，找出A 与B 的交集即可． 解：由A 中不等式解得：﹣2≤x ≤2，即A ＝[﹣2，2]，由B 中不等式解得：0≤x ≤16，x ∈Z ，即B ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}， 则A ∩B ＝{0，1，2}， 故选：C ．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．复数z =2+4i1+i（i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ） A ．（3，1） B ．（﹣1，3） C ．（3，﹣1） D ．（2，4）【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 解：z =(2+4i)(1−i)(1+i)(1−i)=3+i ， ∴复数z 所对应点的坐标是（3，1）． 故选：A ．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z ＝x +2y 的最小值是（ ）A ．﹣8B ．﹣6C ．﹣3D ．3【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z ＝x +2y 得y =−12x +12z ，利用数形结合即可的得到结论．解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示， 易求得A （1，1），B （﹣2，﹣2），C （﹣5，1）， z ＝x +2y ，则y =−12x +12z ，当直线y=−12x+12z过点B（﹣2，﹣2）时z取到最小值，所以z＝x+2y的最小值是﹣2+2×（﹣2）＝﹣6，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．4．设平面向量a→=(2，1)，b→=(0，−2)，则与a→+2b→垂直的向量可以是（）A．（4，﹣6）B．（4，6）C．（3，﹣2）D．（3，2）【分析】根据向量a→，b→的坐标可求出a→+2b→的坐标，然后让a→+2b→与每个选项的向量进行数量积坐标运算，看哪一个为0，为0的便与a→+2b→垂直．解：a→+2b→=(2，1)+2(0，−2)=(2，−3)；（4，﹣6）•（2，﹣3）＝8+18≠0，（4，6）•（2，﹣3）＝8﹣18≠0，（3，﹣2）•（2，﹣3）＝6+6≠0，（3，2）•（2，﹣3）＝6﹣6＝0；∴(3，2)⊥(a→+2b→)．故选：D．【点评】考查向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，向量垂直的充要条件．5．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＝12，a2＝5，则a5＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【分析】利用等差数列的求和公式及其性质即可得出．解：∵S6＝12，a2＝5，∴12=6(5+a5)2，解得a5═﹣1．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知A是△ABC的内角，则“sin A=√32”是“tan A=√3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：在三角形中，若sin A=√32，则A=π3或2π3，若tan A=√3，则A=π3，则“sin A=√32”是“tan A=√3”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数值的计算是解决本题的关键．7．已知两条直线m，n，两个平面α，β，m∥α，n⊥β，则下列正确的是（）A．若α∥β，则m⊥n B．若α∥β，则m∥βC．若α⊥β，则n∥αD．若α⊥β，则m⊥n【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、以及平面与平面的位置关系，判断命题的真假性即可．解：对于A，由α∥β，n⊥β，所以n⊥α；又m∥α，所以n⊥m，A正确；对于B，由m∥α，且α∥β，得出m∥β，或m⊂β，所以B错误；对于C，由n⊥β，且α⊥β时，得出n∥α或n⊂α，所以C错误；对于D，m∥α，α⊥β时，m可能与β平行，也可能相交，也可能在β内；α⊥β，且n⊥β，则n∥α或n⊂α，所以m⊥n不一定成立，D错误．故选：A．【点评】本题主要考查了空间中的直线与平面位置关系的判定问题，熟练掌握相应的定理和性质定理是解题的关键．8．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事产品岗位的90后人数超过总人数的5%D．互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80前人数多【分析】本题可根据两个图形的数据进行观察，比较，以及计算得出结果．解：由题意，可知：对于A：很明显从饼状图中可发现互联网行业从业人员中90后占56%，占一半以上；对于B：互联网行业中从事技术岗位的90后人数占总人数的0.56×0.396＝0.22176＞0.2，则包括80后、80前更大于总人数的20%；对于C：产品岗位90后人数占总人数的0.56×0.065＝0.0364＜0.05；对于D：从事运营岗位的90后人数占总人数的0.56×0.17＝0.0952＞0.03．故选：C．【点评】本题主要考查对统计图的观察分析能力，以及依据统计图中数据进行计算．本题属基础题．9．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）内单调递减，则（）A．f（﹣log23）＜f（log32）＜f（0）B．f（log32）＜f（0）＜f（﹣log23）C．f（0）＜f（log32）＜f（﹣log23）D．f（log32）＜f（﹣log23）＜f（0）【分析】由已知结合奇函数的对称性可知，f （x ）在（﹣∞，0）内单调递减，即f （x ）在R 上单调递减，从而可比较大小．解：∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ）在[0，+∞）内单调递减，∴根据奇函数的对称性可知，f （x ）在（﹣∞，0）内单调递减，即f （x ）在R 上单调递减，∵﹣log 23＜0＜log 32，∴f （﹣log 23）＞f （0）＞f （log 32）， 故选：B ．【点评】本题主要考查了奇函数对称区间上单调性一致的性质及利用单调性比较函数值的大小，属于基础试题．10．圆x 2+y 2+4x ﹣12y +1＝0关于直线ax ﹣by +6＝0（a ＞0，b ＞0）对称，则2a+6b 的最小值是（ ） A ．2√3B ．323C ．203D ．163【分析】由已知求得圆心坐标，代入直线方程，可得a 3+b =1，再由基本不等式求最值．解：由圆x 2+y 2+4x ﹣12y +1＝0，得圆心坐标为（﹣2，6）， 又圆x 2+y 2+4x ﹣12y +1＝0关于直线ax ﹣by +6＝0对称， ∴﹣2a ﹣6b ＝﹣6，即a +3b ＝3，得a3+b =1，又a ＞0，b ＞0，∴2a+6b=（2a+6b）（a3+b ）=203+2b a+2a b≥203+2√2b a⋅2a b=323．当且仅当a ＝b 时上式等号成立． ∴2a+6b 的最小值是323．故选：B ．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题． 11．已知函数f （x ）=√3sin ωx +cos ωx （ω＞0）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，把函数f （x ）的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g （x ）的图象，则下列关于函数g （x ）的命题中正确的是（ ） A ．g （x ）在[π4，π2]上是增函数B ．g （x ）的图象关于直线x =−π4对称C ．函数g （x ）是奇函数D ．当x ∈[π6，23π]时，函数g （x ）的值域是[﹣2，1]【分析】由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到ω，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g （x ）的解析式，画出其图象，则答案可求．解：∵f （x ）=√3sin ωx +cos ωx =2(√32sinωx +12cosωx)=2sin(ωx +π6)，由题意知T 2=π2，则T ＝π，∴ω=2πT=2ππ=2， ∴f(x)=2sin(2x +π6)，把函数f （x ）的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得g （x ）＝f （x +π6）＝2sin[2(x +π6)+π6]=2sin(2x +π2)=2cos2x ． 其图象如图：由图可知，函数在[π4，π2]上是减函数，A 错误；其图象的对称中心为（−π4，0），B 错误； 函数为偶函数，C 错误； 2cos(2×π6)=1，2cos(2×2π3)=−1， ∴当x ∈[π6，23π]时，函数g （x ）的值域是[﹣2，1]，D 正确． 故选：D ．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，正确画出图象对解决问题起到事半功倍的作用，是中档题．12．已知函数f(x)={x3−2x，x≤0−lnx，x＞0，若函数g（x）＝f（x）﹣x﹣a有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．[0，2）B．[0，1）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，1]【分析】由g（x）＝f（x）﹣x﹣a＝0得a＝f（x）﹣x，设h（x）＝f（x）﹣x，求函数的h（x）的导数，研究函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．解：由g（x）＝f（x）﹣x﹣a有3个零点得g（x）＝f（x）﹣x﹣a＝0，即a＝f（x）﹣x有3个根，设h（x）＝f（x）﹣x，当x≤0时，h（x）＝f（x）﹣x＝x3﹣3x，此时h′（x）＝3x2﹣3＝3（x2﹣1），由h′（x）＞0得x＞1（舍）或x＜﹣1，此时为增函数，由h′（x）＜0得﹣1＜x＜1，∵x≤0，∴﹣1＜x＜0，此时为减函数，即当x＝﹣1时，函数取得极大值为h（﹣1）＝﹣1+3＝2，当x＞0时，h（x）＝f（x）﹣x＝﹣lnx﹣x为减函数，作出函数h（x）的图象如图：要使a＝h（x）有三个不同的根，则a满足0≤a＜2，即实数a的取值范围是[0，2），故选：A．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题，求出函数的导数，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．甲、乙两支足球队进行一场比赛，A，B，C三位球迷赛前在一起聊天．A说：“甲队一定获胜．”B说：“甲队不可能输．”C说：“乙队一定获胜．”比赛结束后，发现三人中只有一人的判断是正确的，则比赛的结果不可能是 甲胜 ．（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个）【分析】根据条件分析可得若甲胜，则A ，B 都正确，不合题意；若乙胜，则C 正确，AB 错误，合题意；若甲乙平局，则B 正确，AC 错误，也合题意， 解：根据三人的说法可知：A ：甲胜；B ：甲胜或甲乙平局；C ：乙胜， 若甲胜，则A ，B 都正确，不合题意； 若乙胜，则C 正确，AB 错误，合题意； 若甲乙平局，则B 正确，AC 错误，也合题意， 故比赛结果可能是乙胜或甲乙平局， 故答案为：甲胜．【点评】本题考查学生的合情推理能力，属于基础题． 14．函数y =lnxx的图象在x ＝1处的切线方程是 x ﹣y ﹣1＝0 ． 【分析】求得函数y 的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程． 解：函数y =lnxx 的导数为y ′=1−lnx 2， 可得图象在x ＝1处的切线斜率为k ＝1，切点为（1，0），则图象在x ＝1处的切线方程为y ＝x ﹣1， 即x ﹣y ﹣1＝0． 故答案为：x ﹣y ﹣1＝0．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题． 15．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若点F到直线AB 距离为5√1414b ，则该椭圆的离心率为23．【分析】求出左焦点坐标，AB 的方程，利用点到直线的距离公式求解即可． 解：椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F （﹣c ，0），右顶点为A ，上顶点为B ，直线AB 的方程为：xa+y b =1，即：bx +ay ﹣ab ＝0点F 到直线AB 距离为5√1414b ，可得：√a 2+b 2=5√1414b ，可得14（a +c ）2＝25a 2+25b 2＝50a 2﹣25c 2．可得：39e 2+28e ﹣36＝0，e ∈（0，1），解得e =23，e =−1813（舍去）， 故答案为：23．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查． 16．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，tanA =cosA+cosCsinA+sinC，则角A 的取值范围是 (π6，π4) ． 【分析】先利用商数关系tanA =sinAcosA代替原等式中的tan A ，然后利用二倍角公式和余弦的两角和公式进行化简，可得2A ＝B ，因为A +B +C ＝π，所以C ＝π﹣3A ，由于△ABC 为锐角三角形，所以A 、B 、C 均为锐角，据此可以解出角A 的范围． 解：∵tanA =cosA+cosC sinA+sinC =sinAcosA，∴cos 2A +cos A cos C ＝sin 2A +sin A sin C ， ∴cos 2A ﹣sin 2A ＝﹣（cos A cos C ﹣sin A sin C ），即cos2A ＝﹣cos （A +C ）＝cos B ， ∴在锐角△ABC 中，2A ＝B ∈(0，π2)，∴A ∈(0，π4)， 又A +B +C ＝π，∴3A +C ＝π，即C ＝π﹣3A ， ∵C ∈(0，π2)，∴π﹣3A ∈(0，π2)，∴A ∈(π6，π3)， 综上所述，角A 的取值范围是(π6，π4)． 故答案为：(π6，π4)．【点评】本题考查三角恒等变换的综合应用，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，∠BAD ＝60°，△PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 是菱形，点M 为PC 的中点． （1）求证：PA ∥平面MDB ； （2）求三棱锥A ﹣BDM 的体积．【分析】（1）连结AC，交BD于O，连结OM，推导出OM∥PA，由此能证明PA∥平面MDB．（2）三棱锥A﹣BDM的体积V A﹣BDM＝V M﹣ABD，由此能求出结果．解：（1）证明：连结AC，交BD于O，连结OM，∵底面ABCD是菱形，∴O是AC中点，∵点M为PC的中点．∴OM∥PA，∵OM⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，∴PA∥平面MDB．（2）解：取AD中点N，连结PN，∵四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，△PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，点M为PC的中点，∴PN⊥平面ABCD，PN=√4−1=√3，M到平面ABD的距离d=PN2=√32，S△ABD=12×2×2×sin60°=√3，∴三棱锥A﹣BDM的体积为：V A﹣BDM＝V M﹣ABD=13×S△ABD×d=13×√3×√32=12．【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240）[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图：（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20＝1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）＝0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20＝1，解方程可得x＝0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是220+2402=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20＝0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）＝0.5可得a＝224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100＝25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100＝15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100＝10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100＝5，∴抽取比例为1125+15+10+5=1 5，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×15=5户【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝120，a2﹣a1，a4﹣a2，a1+a2成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{1S n}的前n项和，求满足T n＞1522的最小的n值．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由已知列式求得首项与公差，则等差数列的通项公式可求；（2）求出等差数列的前n项和，再由裂项相消法求T n，求解不等式得答案．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由题意，{10a1+10×92d=1204d2=d(2a1+d)，解得：a1＝3，d＝2．∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；（2）由（1）得，S n=3n+n(n−1)×22=n(n+2)，则1S n =1n(n+2)=12(1n−1n+2)，∴T n=12(1−13+12−14+13−15+⋯+1n−1−1n+1+1n−1n+2) =12(32−1n+1−1n+2)．由T n＞1522，得3n2﹣35n﹣60＞0，解得：n＜35−√19456（舍）或n＞35+√19456．∵n∈一、选择题*，∴n的最小值为14．【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n项和，考查等比数列的性质，训练了利用裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．20．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为1 2，右焦点到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的方程；（2）过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，则△F1AB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用椭圆的简单性质，结合离心率求解椭圆方程即可．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l 的方程为x ＝my +1，通过直线与椭圆方程联立，几何韦达定理，弦长公式求解三角形的面积．然后求解直线方程． 解：（1）设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)因为e =ca =12，a ﹣c ＝1 所以a ＝2，c ＝1，即椭圆C ：x 24+y 23=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），不妨设 y 1＞0，y 2＜0由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x ＝my +1，由{x =my +1x 24+y 23=1得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0，则y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， ∴S△F 1AB=12|F 1F 2|(y 1−y 2)=12√m 2+13m 2+4， 令√m 2+1=t ，可知t ≥1则m 2＝t 2﹣1， ∴S △F 1AB =12t 3t 2+1+123t+1t 令f(t)=3t +1t，则f′(t)=3−1t 2， 当t ≥1时，f '（t ）＞0，即f （t ）在区间[1，+∞）上单调递增， ∴f （t ）≥f （1）＝4，∴S △F 1AB ≤3，即当t ＝1，m ＝0时，△F 1AB 的面积取得最大值3， 此时直线l 的方程为x ＝1．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力． 21．已知函数f （x ）=lnx−ax−bx （a ，b ∈R ）． （1）当b ＝0时，讨论函数f （x ）的单调性； （2）若函数g （x ）=f(x)x在x =√e （e 为自然对数的底）时取得极值，且函数g （x ）在（0，e ）上有两个零点，求实数b 的取值范围． 【分析】（1）b ＝0时，f （x ）=lnx−ax ，x ∈（0，+∞）．f ′（x ）=1−(lnx−a)x 2=−[lnx−(a+1)]x 2，即可得出单调性． （2）g （x ）=f(x)x =lnx−a x 2−b ，x ∈（0，+∞）．g ′（x ）=x−2x(lnx−a)x 4=1−2lnx+2ax 3．根据函数g（x）在x=√e（e为自然对数的底）时取得极值，可得g′(√e)=0，解得a＝0．g（x）=lnx2−b，再利用导数已经其单调性极值及其函数零点存在大量即可得出．解：（1）b＝0时，f（x）=lnx−ax，x∈（0，+∞）．f′（x）=1−(lnx−a)x2=−[lnx−(a+1)]x2，可得函数f（x）在（0，e a+1）上单调递增，在（e a+1，+∞）上单调递减．（2）g（x）=f(x)x=lnx−ax2−b，x∈（0，+∞）．g′（x）=x−2x(lnx−a)x4=1−2lnx+2ax3．∵函数g（x）在x=√e（e为自然对数的底）时取得极值，∴g′(√e)=1−1+2a(√e)3=0，解得a＝0．∴g（x）=lnx2−b，g′（x）=−2(lnx−12)x3．可得x=√e（e为自然对数的底）时取得极大值，∵函数g（x）在（0，e）上有两个零点，∴g（√e）=12e−b＞0，g（e）=1e2−b＜0，解得1e2＜b＜12e．∴实数b的取值范围是(1e2，12e)．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、函数零点存在定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多答，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡，上把所选题目对应题号的方框涂黑.22．在直角坐标系xOy中，已知点M（1，√32），C1的参数方程为{x=12+ty=√3t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为3ρ=2+cos2θ．（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设曲线C1与曲线C2相交于A，B两点，求1|MA|+1|MB|的值．【分析】（1）由代入消元法，消去t可得C1的普通方程；由x＝ρcosθ，x2+y2＝ρ2，代入计算可得C 2的直角坐标方程；（2）判断M 在C 2上，设出曲线C 1的参数的标准方程，代入曲线C 2的直角坐标方程，再由韦达定理和参数的几何意义，计算可得所求值．解：（1）由C 1的参数方程{x =12+t y =√3t （t 为参数），消去参数t ，可得y =√3x −√32，由曲线C 2的极坐标方程3ρ2=2+cos 2θ，得2ρ2+ρ2cos 2θ＝3，由x ＝ρcos θ，x 2+y 2＝ρ2，所以C 2的直角坐方程为3x 2+2y 2＝3，即x 2+2y 23=1．（2）因为M(1，√32)在曲线C 1上，故可设曲线C 1的参数方程为{x =1+12ty =√32+√32t （t 为参数）， 代入3x 2+2y 2＝3，化简可得3t 2+8t +2＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则△＝64﹣4×3×2＞0， 且t 1+t 2=−83，t 1t 2=23，所以1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1+t 2||t 1||t 2|=4．【点评】本题考查参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程的运用，注意参数的几何意义，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 23．设f （x ）＝|x ﹣1|+|x +1|． （1）求f （x ）≤x +2的解集； （2）若不等式f(x)≥|a+1|−|2a−1||a|，对任意实数a ≠0恒成立，求实数x 的取值范围． 【分析】（1）通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式组，解出即可； （2）求出||a+1|−|2a−1||a||的最小值，问题转化为|x ﹣1|+|x +1|≥3，解出即可． 解：（1）由f （x ）≤x +2有 {x +2≥0x ≤−11−x −x −1≤x +2或{x +2≥0−1＜x ＜11−x +x +1≤x +2或{x +2≥0x ≥1x −1+x +1≤x +2⋯ 解得0≤x ≤2，∴所求解集为[0，2]…（2）||a+1|−|2a−1||a||=||1+1a|−|2−1a||≤|1+1a+2−1a|=3⋯当且仅当(1+1a)(2−1a)≤0时取等号，由不等式f(x)≥|a+1|−|2a−1||a|对任意实数a≠0恒成立，可得|x﹣1|+|x+1|≥3，解得x≤−32或x≥32⋯【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。