2020年辽宁省实验中学高考数学内测模考试卷(文科)(5月份) (解析版)
2020年高考数学内测模考试卷（文科）（5月份）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A ＝{x |x 2≤4，x ∈R}，B ＝{x |√x ≤4，x ∈Z}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，2） B ．[0，2]C ．{0，1，2}D ．{0，2}2．复数z =2+4i1+i（i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ） A ．（3，1） B ．（﹣1，3） C ．（3，﹣1） D ．（2，4）3．已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z ＝x +2y 的最小值是（ ）A ．﹣8B ．﹣6C ．﹣3D ．34．设平面向量a →=(2，1)，b →=(0，−2)，则与a →+2b →垂直的向量可以是（ ）A ．（4，﹣6）B ．（4，6）C ．（3，﹣2）D ．（3，2）5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＝12，a 2＝5，则a 5＝（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．36．已知A 是△ABC 的内角，则“sin A =√32”是“tan A =√3”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件．7．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，m ∥α，n ⊥β，则下列正确的是（ ） A ．若α∥β，则m ⊥n B ．若α∥β，则m ∥βC ．若α⊥β，则n ∥αD ．若α⊥β，则m ⊥n8．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ） 注：90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事产品岗位的90后人数超过总人数的5%D ．互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80前人数多9．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ）在[0，+∞）内单调递减，则（ ） A ．f （﹣log 23）＜f （log 32）＜f （0） B ．f （log 32）＜f （0）＜f （﹣log 23） C ．f （0）＜f （log 32）＜f （﹣log 23） D ．f （log 32）＜f （﹣log 23）＜f （0）10．圆x 2+y 2+4x ﹣12y +1＝0关于直线ax ﹣by +6＝0（a ＞0，b ＞0）对称，则2a+6b 的最小值是（ ） A ．2√3B ．323C ．203D ．16311．已知函数f （x ）=√3sin ωx +cos ωx （ω＞0）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，把函数f （x ）的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g （x ）的图象，则下列关于函数g （x ）的命题中正确的是（ ） A ．g （x ）在[π4，π2]上是增函数B ．g （x ）的图象关于直线x =−π4对称C ．函数g （x ）是奇函数D ．当x ∈[π6，23π]时，函数g （x ）的值域是[﹣2，1]12．已知函数f(x)={x 3−2x ，x ≤0−lnx ，x ＞0，若函数g （x ）＝f （x ）﹣x ﹣a 有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0，2）B ．[0，1）C ．（﹣∞，2]D ．（﹣∞，1]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．甲、乙两支足球队进行一场比赛，A ，B ，C 三位球迷赛前在一起聊天．A 说：“甲队一定获胜．”B 说：“甲队不可能输．”C 说：“乙队一定获胜．”比赛结束后，发现三人中只有一人的判断是正确的，则比赛的结果不可能是 ．（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个） 14．函数y =lnxx 的图象在x ＝1处的切线方程是 ． 15．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若点F到直线AB 距离为5√1414b ，则该椭圆的离心率为 ．16．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，tanA =cosA+cosCsinA+sinC，则角A 的取值范围是 ． 三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，∠BAD ＝60°，△PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 是菱形，点M 为PC 的中点． （1）求证：PA ∥平面MDB ； （2）求三棱锥A ﹣BDM 的体积．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240）[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图： （1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝120，a2﹣a1，a4﹣a2，a1+a2成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{1S n}的前n项和，求满足T n＞1522的最小的n值．20．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为1 2，右焦点到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的方程；（2）过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，则△F1AB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx−ax−bx（a，b∈R）．（1）当b＝0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数g（x）=f(x)x在x=√e（e为自然对数的底）时取得极值，且函数g（x）在（0，e）上有两个零点，求实数b的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多答，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡，上把所选题目对应题号的方框涂黑.22．在直角坐标系xOy中，已知点M（1，√32），C1的参数方程为{x=12+ty=√3t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为3ρ=2+cos2θ．（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设曲线C1与曲线C2相交于A，B两点，求1|MA|+1|MB|的值．23．设f（x）＝|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f(x)≥|a+1|−|2a−1||a|，对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A ＝{x |x 2≤4，x ∈R}，B ＝{x |√x ≤4，x ∈Z}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，2）B ．[0，2]C ．{0，1，2}D ．{0，2}【分析】求出A 与B 中不等式的解集确定出A 与B ，找出A 与B 的交集即可． 解：由A 中不等式解得：﹣2≤x ≤2，即A ＝[﹣2，2]，由B 中不等式解得：0≤x ≤16，x ∈Z ，即B ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}， 则A ∩B ＝{0，1，2}， 故选：C ．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．复数z =2+4i1+i（i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ） A ．（3，1） B ．（﹣1，3） C ．（3，﹣1） D ．（2，4）【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 解：z =(2+4i)(1−i)(1+i)(1−i)=3+i ， ∴复数z 所对应点的坐标是（3，1）． 故选：A ．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z ＝x +2y 的最小值是（ ）A ．﹣8B ．﹣6C ．﹣3D ．3【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z ＝x +2y 得y =−12x +12z ，利用数形结合即可的得到结论．解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示， 易求得A （1，1），B （﹣2，﹣2），C （﹣5，1）， z ＝x +2y ，则y =−12x +12z ，当直线y=−12x+12z过点B（﹣2，﹣2）时z取到最小值，所以z＝x+2y的最小值是﹣2+2×（﹣2）＝﹣6，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．4．设平面向量a→=(2，1)，b→=(0，−2)，则与a→+2b→垂直的向量可以是（）A．（4，﹣6）B．（4，6）C．（3，﹣2）D．（3，2）【分析】根据向量a→，b→的坐标可求出a→+2b→的坐标，然后让a→+2b→与每个选项的向量进行数量积坐标运算，看哪一个为0，为0的便与a→+2b→垂直．解：a→+2b→=(2，1)+2(0，−2)=(2，−3)；（4，﹣6）•（2，﹣3）＝8+18≠0，（4，6）•（2，﹣3）＝8﹣18≠0，（3，﹣2）•（2，﹣3）＝6+6≠0，（3，2）•（2，﹣3）＝6﹣6＝0；∴(3，2)⊥(a→+2b→)．故选：D．【点评】考查向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，向量垂直的充要条件．5．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＝12，a2＝5，则a5＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【分析】利用等差数列的求和公式及其性质即可得出．解：∵S6＝12，a2＝5，∴12=6(5+a5)2，解得a5═﹣1．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知A是△ABC的内角，则“sin A=√32”是“tan A=√3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：在三角形中，若sin A=√32，则A=π3或2π3，若tan A=√3，则A=π3，则“sin A=√32”是“tan A=√3”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数值的计算是解决本题的关键．7．已知两条直线m，n，两个平面α，β，m∥α，n⊥β，则下列正确的是（）A．若α∥β，则m⊥n B．若α∥β，则m∥βC．若α⊥β，则n∥αD．若α⊥β，则m⊥n【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、以及平面与平面的位置关系，判断命题的真假性即可．解：对于A，由α∥β，n⊥β，所以n⊥α；又m∥α，所以n⊥m，A正确；对于B，由m∥α，且α∥β，得出m∥β，或m⊂β，所以B错误；对于C，由n⊥β，且α⊥β时，得出n∥α或n⊂α，所以C错误；对于D，m∥α，α⊥β时，m可能与β平行，也可能相交，也可能在β内；α⊥β，且n⊥β，则n∥α或n⊂α，所以m⊥n不一定成立，D错误．故选：A．【点评】本题主要考查了空间中的直线与平面位置关系的判定问题，熟练掌握相应的定理和性质定理是解题的关键．8．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事产品岗位的90后人数超过总人数的5%D．互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80前人数多【分析】本题可根据两个图形的数据进行观察，比较，以及计算得出结果．解：由题意，可知：对于A：很明显从饼状图中可发现互联网行业从业人员中90后占56%，占一半以上；对于B：互联网行业中从事技术岗位的90后人数占总人数的0.56×0.396＝0.22176＞0.2，则包括80后、80前更大于总人数的20%；对于C：产品岗位90后人数占总人数的0.56×0.065＝0.0364＜0.05；对于D：从事运营岗位的90后人数占总人数的0.56×0.17＝0.0952＞0.03．故选：C．【点评】本题主要考查对统计图的观察分析能力，以及依据统计图中数据进行计算．本题属基础题．9．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）内单调递减，则（）A．f（﹣log23）＜f（log32）＜f（0）B．f（log32）＜f（0）＜f（﹣log23）C．f（0）＜f（log32）＜f（﹣log23）D．f（log32）＜f（﹣log23）＜f（0）【分析】由已知结合奇函数的对称性可知，f （x ）在（﹣∞，0）内单调递减，即f （x ）在R 上单调递减，从而可比较大小．解：∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ）在[0，+∞）内单调递减，∴根据奇函数的对称性可知，f （x ）在（﹣∞，0）内单调递减，即f （x ）在R 上单调递减，∵﹣log 23＜0＜log 32，∴f （﹣log 23）＞f （0）＞f （log 32）， 故选：B ．【点评】本题主要考查了奇函数对称区间上单调性一致的性质及利用单调性比较函数值的大小，属于基础试题．10．圆x 2+y 2+4x ﹣12y +1＝0关于直线ax ﹣by +6＝0（a ＞0，b ＞0）对称，则2a+6b 的最小值是（ ） A ．2√3B ．323C ．203D ．163【分析】由已知求得圆心坐标，代入直线方程，可得a 3+b =1，再由基本不等式求最值．解：由圆x 2+y 2+4x ﹣12y +1＝0，得圆心坐标为（﹣2，6）， 又圆x 2+y 2+4x ﹣12y +1＝0关于直线ax ﹣by +6＝0对称， ∴﹣2a ﹣6b ＝﹣6，即a +3b ＝3，得a3+b =1，又a ＞0，b ＞0，∴2a+6b=（2a+6b）（a3+b ）=203+2b a+2a b≥203+2√2b a⋅2a b=323．当且仅当a ＝b 时上式等号成立． ∴2a+6b 的最小值是323．故选：B ．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题． 11．已知函数f （x ）=√3sin ωx +cos ωx （ω＞0）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，把函数f （x ）的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g （x ）的图象，则下列关于函数g （x ）的命题中正确的是（ ） A ．g （x ）在[π4，π2]上是增函数B ．g （x ）的图象关于直线x =−π4对称C ．函数g （x ）是奇函数D ．当x ∈[π6，23π]时，函数g （x ）的值域是[﹣2，1]【分析】由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到ω，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g （x ）的解析式，画出其图象，则答案可求．解：∵f （x ）=√3sin ωx +cos ωx =2(√32sinωx +12cosωx)=2sin(ωx +π6)，由题意知T 2=π2，则T ＝π，∴ω=2πT=2ππ=2， ∴f(x)=2sin(2x +π6)，把函数f （x ）的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得g （x ）＝f （x +π6）＝2sin[2(x +π6)+π6]=2sin(2x +π2)=2cos2x ． 其图象如图：由图可知，函数在[π4，π2]上是减函数，A 错误；其图象的对称中心为（−π4，0），B 错误； 函数为偶函数，C 错误； 2cos(2×π6)=1，2cos(2×2π3)=−1， ∴当x ∈[π6，23π]时，函数g （x ）的值域是[﹣2，1]，D 正确． 故选：D ．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，正确画出图象对解决问题起到事半功倍的作用，是中档题．12．已知函数f(x)={x3−2x，x≤0−lnx，x＞0，若函数g（x）＝f（x）﹣x﹣a有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．[0，2）B．[0，1）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，1]【分析】由g（x）＝f（x）﹣x﹣a＝0得a＝f（x）﹣x，设h（x）＝f（x）﹣x，求函数的h（x）的导数，研究函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．解：由g（x）＝f（x）﹣x﹣a有3个零点得g（x）＝f（x）﹣x﹣a＝0，即a＝f（x）﹣x有3个根，设h（x）＝f（x）﹣x，当x≤0时，h（x）＝f（x）﹣x＝x3﹣3x，此时h′（x）＝3x2﹣3＝3（x2﹣1），由h′（x）＞0得x＞1（舍）或x＜﹣1，此时为增函数，由h′（x）＜0得﹣1＜x＜1，∵x≤0，∴﹣1＜x＜0，此时为减函数，即当x＝﹣1时，函数取得极大值为h（﹣1）＝﹣1+3＝2，当x＞0时，h（x）＝f（x）﹣x＝﹣lnx﹣x为减函数，作出函数h（x）的图象如图：要使a＝h（x）有三个不同的根，则a满足0≤a＜2，即实数a的取值范围是[0，2），故选：A．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题，求出函数的导数，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．甲、乙两支足球队进行一场比赛，A，B，C三位球迷赛前在一起聊天．A说：“甲队一定获胜．”B说：“甲队不可能输．”C说：“乙队一定获胜．”比赛结束后，发现三人中只有一人的判断是正确的，则比赛的结果不可能是 甲胜 ．（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个）【分析】根据条件分析可得若甲胜，则A ，B 都正确，不合题意；若乙胜，则C 正确，AB 错误，合题意；若甲乙平局，则B 正确，AC 错误，也合题意， 解：根据三人的说法可知：A ：甲胜；B ：甲胜或甲乙平局；C ：乙胜， 若甲胜，则A ，B 都正确，不合题意； 若乙胜，则C 正确，AB 错误，合题意； 若甲乙平局，则B 正确，AC 错误，也合题意， 故比赛结果可能是乙胜或甲乙平局， 故答案为：甲胜．【点评】本题考查学生的合情推理能力，属于基础题． 14．函数y =lnxx的图象在x ＝1处的切线方程是 x ﹣y ﹣1＝0 ． 【分析】求得函数y 的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程． 解：函数y =lnxx 的导数为y ′=1−lnx 2， 可得图象在x ＝1处的切线斜率为k ＝1，切点为（1，0），则图象在x ＝1处的切线方程为y ＝x ﹣1， 即x ﹣y ﹣1＝0． 故答案为：x ﹣y ﹣1＝0．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题． 15．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若点F到直线AB 距离为5√1414b ，则该椭圆的离心率为23．【分析】求出左焦点坐标，AB 的方程，利用点到直线的距离公式求解即可． 解：椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F （﹣c ，0），右顶点为A ，上顶点为B ，直线AB 的方程为：xa+y b =1，即：bx +ay ﹣ab ＝0点F 到直线AB 距离为5√1414b ，可得：√a 2+b 2=5√1414b ，可得14（a +c ）2＝25a 2+25b 2＝50a 2﹣25c 2．可得：39e 2+28e ﹣36＝0，e ∈（0，1），解得e =23，e =−1813（舍去）， 故答案为：23．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查． 16．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，tanA =cosA+cosCsinA+sinC，则角A 的取值范围是 (π6，π4) ． 【分析】先利用商数关系tanA =sinAcosA代替原等式中的tan A ，然后利用二倍角公式和余弦的两角和公式进行化简，可得2A ＝B ，因为A +B +C ＝π，所以C ＝π﹣3A ，由于△ABC 为锐角三角形，所以A 、B 、C 均为锐角，据此可以解出角A 的范围． 解：∵tanA =cosA+cosC sinA+sinC =sinAcosA，∴cos 2A +cos A cos C ＝sin 2A +sin A sin C ， ∴cos 2A ﹣sin 2A ＝﹣（cos A cos C ﹣sin A sin C ），即cos2A ＝﹣cos （A +C ）＝cos B ， ∴在锐角△ABC 中，2A ＝B ∈(0，π2)，∴A ∈(0，π4)， 又A +B +C ＝π，∴3A +C ＝π，即C ＝π﹣3A ， ∵C ∈(0，π2)，∴π﹣3A ∈(0，π2)，∴A ∈(π6，π3)， 综上所述，角A 的取值范围是(π6，π4)． 故答案为：(π6，π4)．【点评】本题考查三角恒等变换的综合应用，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，∠BAD ＝60°，△PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 是菱形，点M 为PC 的中点． （1）求证：PA ∥平面MDB ； （2）求三棱锥A ﹣BDM 的体积．【分析】（1）连结AC，交BD于O，连结OM，推导出OM∥PA，由此能证明PA∥平面MDB．（2）三棱锥A﹣BDM的体积V A﹣BDM＝V M﹣ABD，由此能求出结果．解：（1）证明：连结AC，交BD于O，连结OM，∵底面ABCD是菱形，∴O是AC中点，∵点M为PC的中点．∴OM∥PA，∵OM⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，∴PA∥平面MDB．（2）解：取AD中点N，连结PN，∵四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，△PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，点M为PC的中点，∴PN⊥平面ABCD，PN=√4−1=√3，M到平面ABD的距离d=PN2=√32，S△ABD=12×2×2×sin60°=√3，∴三棱锥A﹣BDM的体积为：V A﹣BDM＝V M﹣ABD=13×S△ABD×d=13×√3×√32=12．【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240）[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图：（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20＝1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）＝0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20＝1，解方程可得x＝0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是220+2402=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20＝0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）＝0.5可得a＝224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100＝25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100＝15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100＝10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100＝5，∴抽取比例为1125+15+10+5=1 5，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×15=5户【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝120，a2﹣a1，a4﹣a2，a1+a2成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{1S n}的前n项和，求满足T n＞1522的最小的n值．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由已知列式求得首项与公差，则等差数列的通项公式可求；（2）求出等差数列的前n项和，再由裂项相消法求T n，求解不等式得答案．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由题意，{10a1+10×92d=1204d2=d(2a1+d)，解得：a1＝3，d＝2．∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；（2）由（1）得，S n=3n+n(n−1)×22=n(n+2)，则1S n =1n(n+2)=12(1n−1n+2)，∴T n=12(1−13+12−14+13−15+⋯+1n−1−1n+1+1n−1n+2) =12(32−1n+1−1n+2)．由T n＞1522，得3n2﹣35n﹣60＞0，解得：n＜35−√19456（舍）或n＞35+√19456．∵n∈一、选择题*，∴n的最小值为14．【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n项和，考查等比数列的性质，训练了利用裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．20．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为1 2，右焦点到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的方程；（2）过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，则△F1AB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用椭圆的简单性质，结合离心率求解椭圆方程即可．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l 的方程为x ＝my +1，通过直线与椭圆方程联立，几何韦达定理，弦长公式求解三角形的面积．然后求解直线方程． 解：（1）设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)因为e =ca =12，a ﹣c ＝1 所以a ＝2，c ＝1，即椭圆C ：x 24+y 23=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），不妨设 y 1＞0，y 2＜0由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x ＝my +1，由{x =my +1x 24+y 23=1得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0，则y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， ∴S△F 1AB=12|F 1F 2|(y 1−y 2)=12√m 2+13m 2+4， 令√m 2+1=t ，可知t ≥1则m 2＝t 2﹣1， ∴S △F 1AB =12t 3t 2+1+123t+1t 令f(t)=3t +1t，则f′(t)=3−1t 2， 当t ≥1时，f '（t ）＞0，即f （t ）在区间[1，+∞）上单调递增， ∴f （t ）≥f （1）＝4，∴S △F 1AB ≤3，即当t ＝1，m ＝0时，△F 1AB 的面积取得最大值3， 此时直线l 的方程为x ＝1．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力． 21．已知函数f （x ）=lnx−ax−bx （a ，b ∈R ）． （1）当b ＝0时，讨论函数f （x ）的单调性； （2）若函数g （x ）=f(x)x在x =√e （e 为自然对数的底）时取得极值，且函数g （x ）在（0，e ）上有两个零点，求实数b 的取值范围． 【分析】（1）b ＝0时，f （x ）=lnx−ax ，x ∈（0，+∞）．f ′（x ）=1−(lnx−a)x 2=−[lnx−(a+1)]x 2，即可得出单调性． （2）g （x ）=f(x)x =lnx−a x 2−b ，x ∈（0，+∞）．g ′（x ）=x−2x(lnx−a)x 4=1−2lnx+2ax 3．根据函数g（x）在x=√e（e为自然对数的底）时取得极值，可得g′(√e)=0，解得a＝0．g（x）=lnx2−b，再利用导数已经其单调性极值及其函数零点存在大量即可得出．解：（1）b＝0时，f（x）=lnx−ax，x∈（0，+∞）．f′（x）=1−(lnx−a)x2=−[lnx−(a+1)]x2，可得函数f（x）在（0，e a+1）上单调递增，在（e a+1，+∞）上单调递减．（2）g（x）=f(x)x=lnx−ax2−b，x∈（0，+∞）．g′（x）=x−2x(lnx−a)x4=1−2lnx+2ax3．∵函数g（x）在x=√e（e为自然对数的底）时取得极值，∴g′(√e)=1−1+2a(√e)3=0，解得a＝0．∴g（x）=lnx2−b，g′（x）=−2(lnx−12)x3．可得x=√e（e为自然对数的底）时取得极大值，∵函数g（x）在（0，e）上有两个零点，∴g（√e）=12e−b＞0，g（e）=1e2−b＜0，解得1e2＜b＜12e．∴实数b的取值范围是(1e2，12e)．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、函数零点存在定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多答，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡，上把所选题目对应题号的方框涂黑.22．在直角坐标系xOy中，已知点M（1，√32），C1的参数方程为{x=12+ty=√3t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为3ρ=2+cos2θ．（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设曲线C1与曲线C2相交于A，B两点，求1|MA|+1|MB|的值．【分析】（1）由代入消元法，消去t可得C1的普通方程；由x＝ρcosθ，x2+y2＝ρ2，代入计算可得C 2的直角坐标方程；（2）判断M 在C 2上，设出曲线C 1的参数的标准方程，代入曲线C 2的直角坐标方程，再由韦达定理和参数的几何意义，计算可得所求值．解：（1）由C 1的参数方程{x =12+t y =√3t （t 为参数），消去参数t ，可得y =√3x −√32，由曲线C 2的极坐标方程3ρ2=2+cos 2θ，得2ρ2+ρ2cos 2θ＝3，由x ＝ρcos θ，x 2+y 2＝ρ2，所以C 2的直角坐方程为3x 2+2y 2＝3，即x 2+2y 23=1．（2）因为M(1，√32)在曲线C 1上，故可设曲线C 1的参数方程为{x =1+12ty =√32+√32t （t 为参数）， 代入3x 2+2y 2＝3，化简可得3t 2+8t +2＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则△＝64﹣4×3×2＞0， 且t 1+t 2=−83，t 1t 2=23，所以1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1+t 2||t 1||t 2|=4．【点评】本题考查参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程的运用，注意参数的几何意义，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 23．设f （x ）＝|x ﹣1|+|x +1|． （1）求f （x ）≤x +2的解集； （2）若不等式f(x)≥|a+1|−|2a−1||a|，对任意实数a ≠0恒成立，求实数x 的取值范围． 【分析】（1）通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式组，解出即可； （2）求出||a+1|−|2a−1||a||的最小值，问题转化为|x ﹣1|+|x +1|≥3，解出即可． 解：（1）由f （x ）≤x +2有 {x +2≥0x ≤−11−x −x −1≤x +2或{x +2≥0−1＜x ＜11−x +x +1≤x +2或{x +2≥0x ≥1x −1+x +1≤x +2⋯ 解得0≤x ≤2，∴所求解集为[0，2]…（2）||a+1|−|2a−1||a||=||1+1a|−|2−1a||≤|1+1a+2−1a|=3⋯当且仅当(1+1a)(2−1a)≤0时取等号，由不等式f(x)≥|a+1|−|2a−1||a|对任意实数a≠0恒成立，可得|x﹣1|+|x+1|≥3，解得x≤−32或x≥32⋯【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
2020届辽宁省实验中学高三下学期第五次模拟考试数学(文)试题(解析版)
2020届辽宁省实验中学高三下学期学期第下学期五次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合6{|1}2A x Z x =∈≥+，11{|4}42xB x ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，则A B =（ ） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{1,0,1,2}- C ．{2,1,0,1,2}--D ．{0,1,2}【答案】B【解析】求出集合,A B ，即求A B .【详解】x Z ∈且612x ≥+，026,24,x x x ∴<+≤∴-<≤∴的取值为1,0,1,2,3,4-， {}1,0,1,2,3,4A ∴=-.由11442x⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，可得22111222x-⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，22x ∴-≤≤，{}22B x x ∴=-≤≤.{}1,0,1,2A B ∴=-.故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2．若复数289123...910z i i i i =+++++（i 是虚数单位），则在复平面内，z 的共轭复数z 对应的点在第（ ）象限. A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】D【解析】根据虚数单位i 的性质，求出z 的值，进而求出z ，即可求出结论. 【详解】289123...910z i i i i =+++++12345678910i i i i i =+--++--++ 56i =+,56,z i z ∴=-对应点在第四象限.故选：D. 【点睛】本题考查虚数单位指数幂运算、共轭复数及其几何意义，属于基础题. 3．已知a 为正数，则“1a >”是“21log 0a a a-+> ”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要【答案】C【解析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】1a >时，210,log 0a a a ->>，∴21log 0a a a-+>，是充分的； 21log 0a a a-+>时，首先有0a >， 又1a =时，21log 0a a a -+=，01a <<时，210,log 0a a a -<<，∴21log 0a a a-+<， ∴21log 0a a a-+>时，一定有1a >，也是必要的， ∴应是充要条件． 故选：C ． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题基础．4．数学家莱布尼茨()16461716-（发明了对现代计算机系统有着重要意义的二进制，不过他认为在此之前，中国的《易经》中已经提到了有关二进制的初步思想.在二进制中，只需用到两个数字0和1就可以表示所有的自然数，例如二进制中的数11，转化为十进制的数为3，记作()()210113=，则二进制中的()2101111111111共位转化为十进制的数为（ ） A ．1023 B ．1024C ．2047D ．2048【答案】A【解析】利用二进制数和十进制数之间的转换关系可求得结果. 【详解】由二进制数和十进制数之间的转换关系可得()101292101211111111112222102312-=++++==-共位.故选：A. 【点睛】本题考查进位制的相互转化，考查计算能力，属于基础题.5．已知实数,x y 满足220330240x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≤⎩，则3z x y =-的最大值为（ ）A ．7-B ．6-C ．1D ．6【答案】B【解析】作出约束条件的可行域，根据目标函数表示的几何意义即可求解. 【详解】画出约束条件的可行域，如图（阴影部分）所示：由220240x y x y +-≥⎧⎨-+≤⎩得()0,2A ，图可知向上平移直线30x y -=，到点A 的位置时，z 取得最大值，此时0326z =-⨯=-， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了线性规划问题，考查的核心素养是直观想象，属于基础题6．用随机试验的方式估算圆周率，可以向图中的正方形中随机撒100粒沙粒，统计得到正方形内切圆中有81粒沙粒，则可据此试验结果估算圆周率约为（ ）A ．2.03B ．3.05C ．3.14D ．3.24【答案】D【解析】根据几何概型公式，圆内沙粒与正方形内沙粒个数比即为圆面积与正方形面积比，即可求得结果. 【详解】设圆的半径为r ，则圆的面积21S r π=，正方形面积222(2)4S r r ==根据几何概型公式可得2122814100S r S r π==，所以81 3.2425π==. 故选：D 【点睛】本题考查与面积有关的几何概型，熟记概率公式即可，属基础题.7．如图所示是某多面体的三视图，左上为主视图，右上为左视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为1，则该多面体的体积为（ ）A ．23B ．12C ．13D ．16【答案】A【解析】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥A BCD -，利用三棱锥的体积的求法可得选项. 【详解】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥A BCD -，∴11121223323A DBC DBCV S AB -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 故选：A ． 【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查三角形面积的计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题.8．如图的框图中，若输入1516x =，则输出的i 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】根据程序框图逐步计算即可. 【详解】 输入1516x =,0i =,进入循环体： 15721168x =⨯-=,011i =+=,0x =判定为否； 732184x =⨯-=,112i =+=,0x =判定为否；312142x =⨯-=,213i =+=,0x =判定为否；12102x =⨯-=,314i =+=,0x =判定为是；输出4i =. 故选：B 【点睛】本题主要考查了根据程序框图的输入结果计算输出结果问题,属于基础题. 9．已知实数,x y 满足221x xy y -+=，则x y +的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】原式可化为：22()1313()2x y x y xy ++=+≤+，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==时成立．所以选B.10．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||2πϕ≤）的图象与y 轴交于点，在y 轴右边到y 轴最近的最高坐标为,212π⎛⎫⎪⎝⎭，则不等式()1f x >的解集是（ ） A ．5,66k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈ B ．5,126k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈ C ．,64k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，k Z ∈D ．,124k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，k Z ∈ 【答案】D【解析】由题意得sin 2,122A A ππϕωϕ==⋅+=所以πsin ,223πϕϕϕω=<∴==因此12sin(2)1sin(2)332x x ππ+>⇒+> 5222,,636124k x k k k x k k πππππππππ⇒+<+<+∈⇒-+<<+∈Z Z ，选D.点睛：已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.11．己知函数()()*2,1x nf x x n n N x x -=≠∈++的最小值为n a ，最大值为n b ，若n n n c a b =，则数列{}n c 是（ ）A ．公差不为零的等差数列B ．公比不为1的等比数列C ．常数列D ．以上都不对【答案】C【解析】先根据判别式法求出()f x 的取值范围,进而求得n a 和n b 的关系,再展开算出n c 分析即可. 【详解】 解：设21x n y x x -=++，则()()2100yx y x y n y +-++=≠，该方程必有解，故()()2140y y y n ∆=--+≥，化简整理得()232410y n y ++-≤，所以根据题意得n a ，与n b 是方程()232410y n y ++-=的两根，所以13n n n c a b ==-.故选：C. 【点睛】本题主要考查判别式法求分式函数范围的问题,再根据二次函数的韦达定理进行求解分析即可.12．已知函数()4224xxxx f x k k --=+⋅+⋅+，若对于任意的1x 、2x 、[]31,1x ∈-，以()1f x 、()2f x 、()3f x 为长度的线段都可以围成三角形，则k 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭C ．1,6⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】C【解析】设5222,2x x t -⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，可得()22f x t kt =+-，设()22h t t kt =+-，由()0h t >对任意的52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求得1k >-，进而可求得函数()y h t =在区间52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域，由题意可得出关于k 的不等式，由此可解得实数k 的取值范围. 【详解】 令12222xxx xt -=+=+，[]1,1x ∈-，则1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令12,22xm ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，由双勾函数的单调性可知，函数()1g m m m =+在区间1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间(]1,2上单调递增，所以，当1,22m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()152,2g m m m ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2222442xx x x t --=+=++，则2442x x t -+=-，()22f x t kt ∴=+-，构造函数()22h t t kt =+-，其中52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由()220h t t kt =+->，可得2k t t>-， 由于函数2y t t =-在区间52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则max 1y =-，可得1k >-.二次函数()22h t t kt =+-的对称轴为直线122k t =-<， 则函数()22h t t kt =+-在区间52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()522h h t h ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即()5172224k h t k +≤≤+. 由于以()1f x 、()2f x 、()3f x 为长度的线段都可以围成三角形， 所以，()51722224k k +>+，解得16k >.因此，实数k 的取值范围是1,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了参数取值范围的求解，以及构成三角形的条件和利用函数单调性求函数值域，属于难题.二、填空题13．已知向量()1,1a =-，向量()0,1b =，则2a b -=______.【解析】根据模长的坐标运算求解即可.【详解】()()()21,10,21,3a b -=--=-==【点睛】本题主要考查了向量模长的坐标运算,属于基础题.14．若圆:C 22()()2x a y b -+-=与两条直线y x =和y x =-都有公共点，则22a b +的范围是______. 【答案】[0,4]【解析】根据条件求得圆心C 到两直线的距离11d d =≤=≤得关于,a b 的不等式，作出可行域，再结合22a b +的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，圆:C 22()()2x a y b -+-=的圆心坐标(,)C a b ，半径r =因为圆C 与两直线y x =和y x =-都有公共点，可得圆心C 到两直线的距离11d d =≤=≤，即2222a b a b -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，作出不等式组所表示的可行域，如图所示，又由22a b +的几何意义可知表示点(,)a b 到原点的距离的平方， 所以22a b +的最大值为224=，最小值为0， 即22a b +的取值范围是[0,4]. 故答案为：[0,4].【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用，以及简单的线性规划的应用，其中解答中根据直线与圆的位置关系求得关于,a b 的不等式组，作出不等式组表示的可行域，结合几何意义求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15．已知球的直径4DC =，A ，B 是该球面上的两点，6ADC BDC π∠=∠=，则三棱锥A BCD -的体积最大值是______. 【答案】2【解析】由题意画出图形，可知要使A BCD V - 的体积最大，则面ADC ⊥面BDC ，求出A 到平面BCD 的距离，则三棱锥A-BCD 的体积最大值可求． 【详解】因为球的直径4DC =，且6ADC BDC π∠=∠=，所以2AC BC ==，3AD BD ==13A BCD BCD V S h -∆=⨯⨯（其中h 为点A 到底面BCD 的距离），故当h 最大时，A BCD V -的体积最大，即当面ADC ⊥面BDC 时，h 最大且满足4223h =⨯，即3h =112233232A BCD V -=⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查球内接多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题． 16．已知抛物线C ：2y x =上有一动点P ，则动点P 到点(1,0),(1,0)A B -两定点距离之差的取值范围为______. 【答案】[0,2) 【解析】当点P 在原点时，距离之差为0，当点P 不在原点时，,,P A B 三点构成三角形，根据三角形的任意两边之差小于第三边，得出答案. 【详解】当点P 在原点时，PA PB =，则点P 到点(1,0),(1,0)A B -两定点距离之差为0 当点P 不在原点时，,,P A B 三点构成三角形，则2PA PB AB -<=，或2PB PA AB -<=则动点P 到点(1,0),(1,0)A B -两定点距离之差的取值范围为[0,2)故答案为：[0,2) 【点睛】本题主要考查了求抛物线上一点到定点的距离的范围，属于中档题.三、解答题17．如图所示，圆锥的侧面积是底面积的2倍，线段AB 为圆锥底面O 的直径，在底面内以线段AO 为直径作M ，点P 为M 上异于点,A O 的动点.（1）证明：平面SAP ⊥平面SOP ；（2）已知OS =S APO -的体积最大时，求点B 到平面SAP 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）7. 【解析】（1）推导出SO AP ⊥，PO AP ⊥，从而AP ⊥平面SOP ，由此能证明平面SAP ⊥平面SOP ．（2）设圆锥的母线长为l ，底面半径r ，可证当AOP 面积最大时三棱锥S APO -的体积最大，此时MP OA ⊥，作OH SP ⊥于点H ，根据等面积法求出OH ，可得OH ⊥平面SAP ，则OH 即为点O 到平面SAP 的距离，从而计算可得； 【详解】（1）证明：∵SO 垂直于圆锥的底面，AP ⊂圆锥的底面 ∴SO AP ⊥，又∵AO 为M 的直径，∴PO AP ⊥，因为SO PO O ⋂=，SO ⊂面SOP ，PO ⊂面SOP ， ∴AP ⊥平面SOP ， 因为AP ⊂面SAP ， ∴平面SAP ⊥平面SOP .（2）设圆锥的母线长为l ，底面半径r ，∴圆锥的侧面积为122S rl rl ππ==侧，底面积为2S r π=底，∴依题意22r rl ππ=，∴2l r =.∴AB AS BS ==，∴ABS 为正三角形，∴cot 601,22r OS l r =︒===.在三棱锥S APO -中，∵OS =∴AOP 面积最大时三棱锥S APO -的体积最大，此时MP OA ⊥，∴2AP OP ==.作OH SP ⊥于点H ，∴7OH ==∵平面SAP ⊥平面SOP ，SP 为交线，OH SP ⊥，∴OH ⊥平面SAP ，∴OH 即为点O 到平面SAP 的距离，又∵点O 为AB 中点，∴点B 到平面SAP 的距离为27OH =.【点睛】本题考查面面垂直的证明，点面距的计算，属于中档题；18．已知ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且(2)tan tan a b B b C -= （1）求角C ；（2）若cos cos 2a B b A +=，求2+a b 的最大值. 【答案】（1）3C π=；（2421. 【解析】（1）根据正弦定理，将已知等式边化为角，并化切为弦，结合两角和正弦公式，求出cos C ，即可得出结论；（2）由已知等式和正弦定理，求出c 边，根据（1）的结论和正弦定理，将2+a b 化为角A 的正弦型函数，结合A 角范围，即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得sin sin (2sin sin )sin cos cos B CA B B B C-=， 0,sin 0B B π<<∴>，∴(2sin sin )cos sin cos A B C C B -=，∴2sin cos sin cos sin cos sin()sin A C B C C B B C A =+=+=，0,sin 0A A π<<∴>∴1cos ,20C C π=<<，∴3C π=；（2）设ABC 的外接圆半径为R ，∵cos cos 2a B b A +=，∴2(sin cos sin cos )2sin()2sin 2R A B B A R A B R C c +=⋅+=⋅==，22sin 2sin (sin 2sin())sin sin 33c c a b AB A AC C π∴+=+=+- (sin 3cos sin )(2sin 3cos )33A A A A A =++=+ 421sin()A ϕ=+，其中3sin ,cos 77ϕϕ==， 220,33A A ππϕϕϕ<<∴<+<+， 当2A πϕ+=，即21cos sin 7A ϕ==时， 2+a b 取最大值为4213. 【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理解三角形，条件等式中边角混合关系利用正弦定理统一成角的关系是解题的关键，属于中档题.19．疫情期间，为支持学校隔离用餐的安排，保证同学们的用餐安全，食堂为同学们提供了送餐盒到班级用餐的服务.运营一段时间后，食堂为了调研同学们对送餐服务的满意程度，从高三年级500名同学中抽取了20名同学代表对送餐服务进行打分，满分100分，同学们打分的分布直方图如下：（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）从成绩在[)50,70的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[)60,70中的概率； （3）若打分超过60分可视为对送餐服务满意，用样本的统计结果估计总体，请估计全年级有多少同学对送餐服务满意. 【答案】（1）0.005；（2）310；（3）450. 【解析】（1）利用频率分布直方图中所有长方形的面积和为1，求出a 的值；（2）先求出[)50,60和[)60,70的人数，然后利用列举法求出所有的可能情况，再利用古典概率公式可得答案；（3）由于样本20人中有18人打分成绩超过60分，所以全年级500人中，约有950045010⨯=人对送餐服务满意. 【详解】（1）∵2236720a a a a a a ++++=，∴20101a ⨯=，∴0.005a =.（2）成绩在[)50,60的人数=20.00510202⨯⨯⨯=人，成绩在[)60,70中的学生人数=30.00510203⨯⨯⨯=人，用a ，b 表示成绩在[)50,60的2名学生，用c ，d ，e 表示成绩在[)60,70的3名学生，从5人中任取2人，具体是ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de.共有10种情形.符合条件的有3种（cd ，ce ，de ）， ∴概率310p =. （3）样本20人中有18人打分成绩超过60分，即有910的学生对送餐服务满意.用样本的统计结果估计总体，则全年级500人中，约有950045010⨯=人对送餐服务满意. 【点睛】此题考查频率分布直方图，古典概型的概率，用样本估计总体的情况等知识，属于基础题.20．在平面直角坐标系xOy 中抛物线C 的方程为22y px =，点(2,)Q q 在抛物线C 上，且Q 到抛物线的准线的距离为3.（1）求抛物线C 的方程，并给出其焦点F 的坐标；（2）过定点N 且不经过点F 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，直线AF 与抛物线C 交于点S ，直线BF 与抛物线C 交于点T .请问直线ST 的斜率是否为定值？若是，求此定值；若不是，请证明你的结论.【答案】（1）24y x =， (1,0)F ；（2）是，【解析】（1）利用抛物线的定义即可求解.（2）设直线l 的方程为(x m y =，将直线与抛物线联立可得240y my -+=，利用韦达定理可得12124,y y m y y +==，设223434(,),(,)44y y S y T y ，由直线AS 过点(1,0)F ，可设方程为1x ny =+，与抛物线联立，利用韦达定理可得314y y =-，从而求出S 的坐标为21144(,)y y -，点T 的坐标为22244(,)y y -，利用两点求斜率即可求解. 【详解】（1）∵点(2,)Q q 到抛物线的准线的距离为3，∴准线方程为1x =-，∴抛物线C 的方程为24y x =，其焦点坐标为(1,0)F . （2）依题意直线l 不与坐标轴垂直，故可取其方程为(x m y =-， 代入24y x =可得240y my -+=，其判别式为2160m ∆=->，∴m >或0m <，取1122(,),(,)A x y B x y 为l 与C的交点，∴12124,y y m y y +==，∵,S T 都在曲线C 上，∴可设其坐标为223434(,),(,)44y y S y T y .∵直线AS 过点(1,0)F ， ∴可设其方程为1x ny =+， 代入24y x =得2440y ny --=， ∴134y y =-，∴314y y =-， ∴点S 的坐标为21144(,)y y -，同理点T 的坐标为22244(,)y y -， ∴直线ST的斜率12121212222112221244()()444y y y y y y y y k y y y y m y y ----===-=-=-+-定值. 【点睛】本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系中的定值问题，考查了考生的运算求解能力，属于难题.21．已知函数()()ln 1f x x k x =++， （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若对于任意的0x >，不等式()()877xf x k x e -+≥-，恒成立，求k 的范围.【答案】（1）答案见解析；（2）(,7]-∞. 【解析】（1）先求导得()11x kf x x ++'=+，再分0k ≥和k 0<讨论即可；（2）将不等式转化为0x ∀>，()()ln 1710xk x x x e+--+-≥⎡⎤⎣⎦恒成立，再令函数()()()ln 171x g x k x x x e =+--+-⎡⎤⎣⎦，求导得()()()()21171(),711x x k g x k e u x u x e x x ⎛⎫'=---='=- ⎪+⎝⎭+，()()()00,00,07g g u k ='='=-.此时先讨论7k >时不合题意，再讨论0k ≤和07k <≤时，得0x ∀>，()(0)70u x u k '>'=-≥，()g x '在(0,)+∞单调递增，再得()g x 在(0,)+∞单调递增，最后得0x ∀>，()(0)0g x g >=，即证明.【详解】解：（1）∵()()1111x k kf x x x ---'=+=++，定义域为()1,+-∞ 若0k ≥，则1()01x kf x x ++'=>+对1x ∀>-成立，∴()f x 在区间()1,+-∞单调递增；若k 0<，则()f x 在区间()1,1k ---单调递减， 在区间()1,+k --∞单调递增.（2）原命题可化为0x ∀>，()()ln 1710xk x x x e +--+-≥⎡⎤⎣⎦恒成立.取()()()ln 171xg x k x x x e=+--+-⎡⎤⎣⎦，∴()()()()21171(),711x xk g x k e u x u x e x x ⎛⎫'=---='=- ⎪+⎝⎭+，∴()()()00,00,07g g u k ='='=-.若7k >，即()070g k '=-<，∴存在1>0x 使得1(0,)x x ∀∈，()0u x '<，所以()g x '在1(0,)x 单调递减， 又∵(0)0g '=，所以1(0,),()0x x g x ∀∈'<，∴()g x 在1(0,)x 单调递减， 又∵(0)0g =，∴1(0,),()0x x g x ∀∈<，不合题意，∴7k ≤ 若0k ≤，则2()70(1)xku x e x '=->+对0x ∀>成立，若07k <≤，可知2()7(1)xku x e x '=-+在(0,)+∞单调递增，∴0x ∀>，()(0)70u x u k '>'=-≥.∴7k ≤时，0x ∀>，()0u x '>，∴()g x '在(0,)+∞单调递增， ∴0x ∀>，()(0)0g x g '>'=，∴()g x 在(0,)+∞单调递增， ∴0x ∀>，()(0)0g x g >=. 综上，k 的范围为(,7]-∞. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，考查分析与解决问题的能力，是较难题.22．已知曲线C 的极坐标方程为2sin ρθθ=+，直线1l ：()6πθρ=∈R ，直线2l ：()3πθρ=∈R ．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求直线1l ，2l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程；（2）已知直线1l 与曲线C 交于O ，A 两点，直线2l 与曲线C 交于O ，B 两点，求AOB 的面积．【答案】（1）直线1l 的直角坐标方程为3y x =，2l 的直角坐标方程为y =，曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）；（2）【解析】（1）根据直线1l ，2l 的极坐标方程可知直线1l ，2l 过极点，可得直线1l ，2l 的直角坐标方程.先把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再化为参数方程； （2）将直线1l ，2l 的极坐标方程分别与曲线C 的极坐标方程联立，由极径的几何意义求出,OA OB ，再根据三角形的面积公式即可求值. 【详解】（1）依题意，直线1l的直角坐标方程为3y x =，2l的直角坐标方程为y =，由2sin ρθθ=+，得2cos 2sin ρθρθ=+，222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，2220x y y ∴+--=，即(()2214x y -+-=，所以曲线C的参数方程为2cos 12sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）.（2）由62sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，得2sin 466OA ππ=+=，由32sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，得2sin 33OB ππ=+=又6AOB π∠=所以AOB的面积11sin 4226S OA OB AOB π=∠=⨯⨯= 【点睛】本题考查极坐标方程、直角坐标方程和参数方程，考查学生的转化能力和运算能力，属于中档题.23．设函数()|21|f x x =-．（1）设()(1)5f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数），求证：1118a b c a b c ---⋅⋅≥． 【答案】（1）55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析 【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集，（2）先根据等量关系化M b c a c a ba b c+++=⋅，再根据基本不等式证不等式.试题解析：（1）()()15f x f x ++<即21215x x -++<当12x <-时，不等式化为12215x x ---<，∴5142x -<<-； 当1122x -≤≤时，不等式化为12215x x -++<，不等式恒成立；当12x >时，不等式化为21215x x -++<，∴1524x <<.综上，集合55{|}44A x x =-<<.（2）由（1）知1m =，则1a b c ++=.则1a b c a a -+=≥，同理11,b c b b c c --≥≥，则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=，即8M ≥.。
2020年辽宁省高考数学(文科)模拟试卷(5)
?? C．关于点（ ，0）对称
4
?? D．关于点（ ， 0）对称
3
→
→
→→
5．（ 5 分）若向量 ??= （ 2，﹣ 1）， ??= （﹣ 1， 1），则 ????= （ ）
A ．﹣ 3
B ．﹣ 1
C． 2
D．3
??2 ??2
6．（5 分）已知点 （ 1，2）在双曲线 ??2 - ??2 = 1 的渐近线上， 则该双曲线的离心率为 （
的体积为
．
15．（ 5 分）从 2 名男生和 1 名女生中任选 2 名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男
一女的概率为
．
16．（5 分）已知函数 f（ x）＝ 2x﹣ 1﹣ lnx ，对定义域内任意 x 都有 f（ x）≥ kx﹣ 2，则实数 k
的取值范围是
．
三．解答题（共 5 小题，满分 60 分，每小题 12 分）
17．（ 12 分）如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧面 BB1C1C 是菱形，其对角线的交点为 O，
且 AB＝ AC1= √6， AB⊥ B1C．
第 2页（共 16页）
（ 1）求证： AO⊥平面 BB1C1C； （ 2）设∠ B1BC＝ 60°，若直线 A1B1 与平面 BB1C1C 所成的角为 45°，求二面角 A1﹣ B1C1 ﹣ B 的正弦值．
）
3 A．
2
B ．√5
√5 C．
2
??2 ??2 【解答】 解：点（ 1， 2）在双曲线 ??2 - ??2 = 1 的渐近线上，
√6 D．
2
?? 可得 = 2，所以
a2＝ 4b2＝ 4c2﹣ 4a2，4c2＝ 5a2，所以双曲线的离心率为：
2020年辽宁省高考文科科数学仿真模拟试题一(附答案)
2020年辽宁省高考文科数学仿真模拟试题一（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，2}，则M ∪N ＝( )A ．{－1，0，1，2}B ．{－1，0，1}C ．{－1，0，2}D ．{0，1} 2．“sin A ＝12”是“A ＝30°”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A.y=lnxB.21y x =+ C.y=sinx D.y=cosx 4．已知命题p ：∀x>2，x 3－8>0，那么¬p 是( ) A ．∀x≤2，x 3－8≤0 B ．∃x>2，x 3－8≤0 C ．∀x>2，x 3－8≤0 D ．∃x≤2，x 3－8≤05. 若函数22,0()(),0x x f x g x x -⎧-<=⎨>⎩为奇函数，则f （g （2））＝（ ）A. ﹣2B. ﹣1C. 0D. 26. 从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（ ） A.23B.12C.25D.137. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 3+B. 3+C. 2D. 2+8. 已知直线2y kx =-与抛物线24x y =相切，则双曲线2221x k y -=的离心率等于( )A.2B.29. 已知球O 与棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的各面都相切，则平面1ACB 截球O 所得的截面圆与球心O 所构成的圆锥的体积为 （ ）B.18C.27D. 5410. 已知函数()sin cos f x x x ωω=-（0ω>），若()3y f x π=+的图象与()6y f x π=-的图象重合，记ω的最小值为0ω，函数0()cos()3g x x πω=-的单调递增区间为 （ ）A. 2[,]63k k ππππ++（k Z ∈）B. 27[,]36k k ππππ+++（k Z ∈） C. [,]12232k k ππππ++（k Z ∈） D. 7[,]32122k k ππππ++（k Z ∈） 11. 若x ，y 满足约束条件220330240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，目标函数z ax y =+仅在点（2，0）处取得最小值，则实数a 的取值范围是 （ ） A. 1(2,)2-B. 1100,32（-，）（）C. 1(0,)2D. 11(,)32-12. 若函数212[]22(xf x a x e ax ax a R =---+∈（）（）（））在1,12（）上有极大值，则a 的取值范围为 （ ）A. )eB.)C. (2,eD. (),e +∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年三省三校(辽宁实验、东北师大附中、哈师大附中)一模考试文科数学试卷(含答案解析)
在 1, x0 内，关于 x 的方程 f (x) ln x e=g(x) a 有一个实数解 1.
又 x (x0, ) 时， F (x) 0 ， F (x) 单调递增，
且 F (a) ea ln a a 2 a e ea a 2 1 ，令 k(x) ex x2 1(x 1) ，
∵ PG ⊥平面 ABCD ， PG 平面 PBG ∴平面 PBG ⊥平面 ABCD ∵平面 PBG 平面 ABCD BG
在平面 ABCD 内，过 D 作 DK ⊥ BG ，交 BG 延长线于 K ，
则 DK ⊥平面 PBG
∴ DK 的长就是点 D 到平面 PBG 的距离
…………………4 分
2a PF1 PF2 2 2.
解得 a 2, c 1, b 1 ，所以椭圆 E 的标准方程为 x2 y2 1. 2
…………............4 分
（Ⅱ）由已知，可设直线 l 方程为 x ty 1， A(x1, y1), B(x2, y2 ).
x ty 1
联立
x
2
y2
3
得 (t2 1) y2 2ty 2 0,
解:（Ⅰ）（方法一）：由已知 VP BCG
1 3
SBCG
PG
1 1 BG GC PG 32
8 3
∴ PG 4
…………………2 分
∵ PG ⊥平面 ABCD ， BG 平面 ABCD ，∴ PG BG
∴ SPBG
1 2
BG PG
1 2
24
4
∵ AG 1 GD 3
∴ SBDG
3 4
SBCG
32 4
3 2
设点 D 到平面 PBG 的距离为 h ,
∵VDPBG VPBDG
辽宁省实验中学2020届高三5月内测模考文科数学试题
最大值及直线 l 的方程；若不存在，请说明理由．
21.已知函数 f (x) ln x a bx(a,b R) . x
（1）当 b 0 时，讨论函数 f (x) 的单调性；
面 ABCD 是菱形，点 M 为 PC 的中点.
（1）求证：PA∥平面 MDB； （2）求三棱锥 A﹣BDM 的体积.
18.某城市100 户居民的月平均用电量（单位：度），以160,180 ，180, 200 ，200, 220 ，220, 240 ， 240, 260 ，260, 280 ，280,300分组的频率分布直方图如图．
的结果不可能是______.（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个）
14.函数 y ln x 的图像在 x 1 处的切线方程是_______． x
15.已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左焦点为 F
，右顶点为
A ，上顶点为 B
.若点 F
到直线
AB
的距离为
5 14 b ，则该椭圆的离心率为__________． 14
）
A. 3,1
B. 1,3
C. 3, 1
D. 2, 4
y 1
3.已知
x，y
满足约束条件
x
y
4
0
，则
z
x
2
y
的最小值是（
）
x y 0
A. 8
B. 6
C. 3
D. 3
4.设平面向量
a
2,1
,
b
0,
2
，则与
a+2b
垂直的向量可以是（
）
A. 4, 6
B. 4,6
2020年辽宁省高考文科科数学仿真模拟试题(附答案)
2020年辽宁省高考文科数学仿真模拟试题（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{|07}U x N x =∈<<，{2,5}A =，{}1,3,5B =，则()U A B =ð（ ）A. {5}B. {}1,5C. {2,5}D. {}1,32. 已知复数z 满足()11z i +=-+，则复数z 的共轭复数为（ ）A. 1i -+B. 1i --C. 1i +D. 1i -3. 已知ABC ∆中，(2,8)AB =，(3,4)AC =-，若BM MC =，则AM 的坐标为 （ ） A. 1(,6)2-B. 5(,2)2C. (1,12)-D. (5,4)4. 在某次数学测验后，将参加考试的500名学生的数学成绩制成频率分布直方图（如图），则在该次测验中成绩不低于100分的学生数是（ ）A. 210B. 205C. 200D. 1955. 执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）A. 2B. 4C. 5D. 6 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 10B. 12C.D. 207．已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且f(x+3)=f(x-1).若当]0,2[-∈x 时,13)(+=-xx f ,f(2019)= （ ） A ．6B ．4C ．2D ．18．函数y ＝||xxa x (a>1)的图象的大致形状是 （ ）9. 为得到函数cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）A. 向左平移512π个长度单位 B. 向右平移6π个长度单位 C. 向左平移6π个长度单位 D. 向右平移512π个长度单位10.设函数()()()ln f x x x ax a R =-∈在区间()0,2上有两个极值点，则a 的取值范围是（ ）A. 1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B. ln 210,4+⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ln 211,42+⎛⎫⎪⎝⎭ 11．设O 在△ABC 的内部，且有OA ＋2OB ＋3OC ＝0，则△ABC 的面积和△AOC 的面积之比为( )A ．3B ．53C ．2D ．32121x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===（ ）A ．()0,12B ．()0,16C ．()9,21D ．()15,25二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
辽宁省实验中学2020届高三5月内测模考数学(文)试题含解析
对C，函数为偶函数,故C错误；
对D, , ， 当 , 时，函数 的值域是 ， ，故 正确．
故选:D．
【点睛】本题考查命题的真假判断与应用,考查三角函数的图象和性质，正确画出图象对解决问题起到事半功倍的作用，是中档题．
12。已知函数 ，若函数 有3个零点，则实数 的取值范围是（ )
【点睛】本道题考查了数形结合思想和函数与函数交点个数问题，难度中等．
二、填空题（共4小题,每小题5分,满分20分）
13.甲、乙两支足球队进行一场比赛, 三位球迷赛前在一起聊天. 说：“甲队一定获胜。” 说：“甲队不可能输。” 说：“乙队一定获胜.”比赛结束后,发现三人中只有一人的判断是正确的,则比赛的结果不可能是______.(填“甲胜"“乙胜”“平局"中的一个）
故选：B
【点睛】本题考查圆的几何性质，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.
11.已知函数 的图象与 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，把函数 的图象沿 轴向左平移 个单位,得到函数 的图象。关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A。 在 上是增函数 B. 其图象关于直线 对称
C。 函数 是奇函数 D. 当 时,函数 的值域是
∵底面ABCD是菱形，∴O是AC中点,
∵点M为PC的中点.∴OM∥PA，
∵ 平面BDM, 平面BDM，
∴PA∥平面MDB.
（2）取AD中点N,连结PN，
∵四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，
△PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，点M为PC的中点，
∴PN⊥平面ABCD，PN ，
8.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）
2020年辽宁省实验中学高考数学内测模考试卷(文科)(5月份) (含答案解析)
2020年辽宁省实验中学高考数学内测模考试卷(文科)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 集合A ={0,1，2，3，4}，B ={x|(x +2)(x −1)≤0}，则A ∩B =( )A. {0,1，2，3，4}B. {0,1，2，3}C. {0,1，2}D. {0,1}2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足：(1+i )z =1−i ，则z 在复平面内对应点的坐标为( )A. (0,1)B. (0,−1)C. (1,0)D. (−1,0)3. 若变量x,y 满足约束条件{2x −y ⩾0y ⩾x y ⩾−x +2，则z =2x +y 的最小值为( )A. 0B. 3C. 52D. 83 4. 已知平面向量a ⃗ =(1,−2)，b ⃗ =(4,m)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则向量5a ⃗ −3b ⃗ =( )A. (−7,−16)B. (−7,−34)C. (−7,−4)D. (−7,14)5. S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3+a 11=12，则S 13=( )A. 60B. 78C. 156D. 不确定6. 在△ABC 中，内角A 和B 所对的边分别为a 和b ，则a >b 是sinA >sinB 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知直线m ，l ，平面α，β，且m ⊥α，l ⊂β，给出下列命题：①若α//β，则m ⊥l ；②若α⊥β，则m//l ；③若m ⊥l ，则α⊥β；④若m//l ，则α⊥β．其中正确的命题是( )A. ①④B. ③④C. ①②D. ②③8. 调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图，从事该行业岗位分布条形图，如图所示．给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上；②该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%；③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生，其中正确个数为A. 0个B. 1C. 2D. 3个9. 已知定义在R 上的奇函数f(x)，在[0,+∞)上单调递减，且f(2−a)+f(1−a)<0，则实数a的取值范围是( )A. (32,2]B. (32,+∞)C. [1,32)D. (−∞,32) 10. 若直线ax −2by −2ab =0(a >0,b >0)平分圆(x −2)2+(y +1)2=2的周长，则a +2b 的最小值为( )A. 1B. 3+2√2C. 4√2D. 5 11. 给出下列命题：①曲线y =sin (2x +2π3)的一个对称中心是(π6,0)；②若α，β是第一象限角，且α>β则sin α>sin β；③函数y =sin (2x 3+π2)是偶函数；④函数y =sin (x +π6)的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到函数y =sin (2x +π3)的图象．其中正确命题的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个12. 已知函数f(x)={e x , x <04x 3−6x 2+1, x ⩾0则函数g(x)=2[f(x)]2−5f(x)+2的零点个数为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某运动队对A ，B ，C ，D 四位运动员进行选拔，只选一人参加比赛，在选拔结果公布前，甲、乙、丙、丁四位教练对这四位运动员预测如下：甲说：“是C 或D 参加比赛”；乙说：“是B 参加比赛”；丙说：“是A ，D 都未参加比赛”：丁说：“是C 参加比赛”.若这四位教练中只有两位说的话是对的，则获得参赛的运动员是________．14.(1)曲线y=−5e x+3在点(0,−2)处的切线方程为________．(2)已知函数f(x)=xln x，若直线ι过点(0,−1)，并且与曲线y=f(x)相切，则直线ι的方程为________．15.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2，上顶点为A，离心率为12，点P为第一象限内椭圆上的一点，若SΔPF1A :SΔPF1F2=2:1，则直线PF1的斜率为________．16.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(sinA−sinC)(a+c)b=sinA−sinB，则角C=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．(1)求证：B1C//平面A1BD；(2)若∠A1AB=∠ACB=60°，AB=BB1，AC=2，BC=1，求三棱锥C1−ABD的体积．18.节能减排以来，兰州市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,2602)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)估计用电量落在[220,300)中的概率是多少？19.等差数列{a n}中，a 1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b 1=1，公比为q(q≠1)，且a 1+a 2=12−q，S 2=b 2·q．(Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项公式；}的前n项和T n．(Ⅱ)求数列{1S n20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x24+y23=1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P在x轴上方)．(1)若QF=2FP，求直线l的方程；(2)设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1=λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=x−1x−alnx(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥1时，f(x)≥0，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=2+√3cosθ(θ为参数)，以坐标原点O为y=√3sinθ极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P(ρ,θ)(ρ>0,0≤θ≤2π)是曲线C在极坐标中的任意一点．.(Ⅰ)证明：4cosθ=ρ+1ρ(Ⅱ)求θ的取值范围．23.已知函数f(x)=|x−a|+|x−5|．(1)若不等式f(x)≥3恒成立，求a的取值范围；(2)当a=2时，求不等式f(x)≥x2−8x+15的解集．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：由B中不等式解得：−2≤x≤1，即B=[−2,1]，∵A={0,1，2，3，4}，∴A∩B={0,1}，故选：D．求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：本题主要考查复数的四则运算以及几何意义的应用，属于基础题．利用复数的乘法运算求出z，得到z对应的点即可．解：由z(1+i)=1−i得z=1−i1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−i则复数z在复平面内对应的点为(0,−1)故选B．3.答案：D解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结果．解：作出不等式组对应的平面区域如图：联立{y =−x +2y =2x ⇒{x =23y =43 故C 点的坐标为(23,43)，由z =2x +y ，得y =−2x +z ，平移直线y =−2x +z ，由图象可知当直线y =−2x +z 经过点C(23,43)时，z 取得最小值83．故选D ． 4.答案：A解析：解：∵a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =4−2m =0，解得m =2，∴5a ⃗ −3b ⃗ =(5,−10)−(12,6)=(−7,−16)．故选A ．利用向量垂直与数量积的关系即可得出．熟练掌握向量垂直与数量积的关系是解题的关键．5.答案：B解析：解：由等差数列{a n }的性质可得：a 3+a 11=12=a 1+a 13，则S 13=13(a 1+a 13)2=13×122=78．故选：B ．利用等差数列{a n}的性质可得：a3+a11=12=a1+a13，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式的性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：C解析：解：在三角形中，若a>b，由正弦定理asinA =bsinB，得sinA>sinB．若sinA>sinB，则正弦定理asinA =bsinB，得a>b，所以，a>b是sinA>sinB的充要条件．故选：C．在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，是解决本题的关键．．7.答案：A解析：解：对于①，m⊥α，若α//β，则m⊥β，又l⊂β，则m⊥l，故①正确；对于②，m⊥α，若α⊥β，则m//β或m⊂β，又l⊂β，则m//l或m与l相交或m与l异面，故②错误；对于③，m⊥α，l⊂β，若m⊥l，则α//β或α与β相交，故③错误；对于④，m⊥α，若m//l，则l⊥α，又l⊂β，则α⊥β，故④正确．∴正确的命题是①④．故选：A．利用空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系逐一核对四个命题得答案．本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中的线面关系，是基础题．8.答案：C解析：本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，是基础题．利用该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图的性质直接求解．解：在①中，由该行业从业者学历分布饼状图得到：该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上，故①正确；在②中，由从事该行业岗位分布条形图得到：该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%，故②正确；在③中，由该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，无法得到该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生．故③错误．故选C．9.答案：D解析：根据函数是奇函数，且在[0,+∞)单调递减，得到函数在R上单调递减，利用函数的单调性解不等式即可得到结论．本题重点考查函数的奇偶性、单调性，考查解抽象不等式，解题的关键是利用函数的性质化抽象不等式为具体不等式．解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0,+∞)单调递减，∴函数在R上单调递减，若f(2−a)+f(1−a)<0，则f(2−a)<f(a−1)，∴2−a>a−1，解得a<32．故选D．10.答案：B解析：解：因为直线ax−2by−2ab=0(a>0,b>0)平分圆(x−2)2+(y+1)2=2的周长，所以圆心(2,−1)在直线ax−2by−2ab=0上，所以2a+2b=2ab，即1a +1b=1，∴a+2b=(a+2b)(1a +1b)=1+2+(2ba+ab)≥3+2√2ba⋅ab=3+2√2，(当且仅当a=√2+1，b=1+√22).故选：B．根据题意得圆心在直线上得1a +1b=1，∴a+2b=(a+2b)(1a+1b)=1+2+(2ba+ab)再用基本不等式可得．本题考查了直线与圆的位置关系，基本不等式，属中档题．解析：本题考查正弦余弦函数的性质及函数图象变换，同时考查诱导公式，逐一判断求解即可，属于中档题．解：对于①，因为x=π6时，2x+2π3=π，而(π,0)为正弦函数的对称中心，所以①正确;对于②，取α=390°，β=60°都是第一象限角，且α>β，但sinα<sinβ，所以②错误；对于③，函数y=sin(2x3+π2)=cos2x3是偶函数，所以③正确；对于④，由函数图象变换知，函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到函数的图象，所以④错误．故选B．12.答案：C解析：本题考查复合函数的零点问题，属于中档题．利用导数研究f(x)的单调性，画出函数图像，最后结合二次函数知识判断零点个数．解：依题意，当x≥0时，f′(x)=12x2−12x=12x(x−1)，所以当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，且f(1)=−1，作出函数f(x)的大致图象，如下图：由g(x)=2[f(x)]2−5f(x)+2得f(x)=2，或f(x)=12，由图可知，g(x)共有四个零点．故选C．解析：本题考查了合情推理的问题，注意“这四位教练中只有两位说的话是对”的之一条件．根据题意，依次假设参赛的运动员为A、B、C、D，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．解：根据题意，A，B，C，D四位运动员进行选拔，只选一人参加比赛，假设参赛的运动员为A，则甲、乙、丙、丁的说法都错误，不符合题意；假设参赛的运动员为B，则甲、丁的说法都错误，乙、丙的说法正确，符合题意；假设参赛的运动员为C，则乙的说法都错误，甲、丙、丁的说法正确，不符合题意；假设参赛的运动员为D，则乙、丙、丁的说法都错误，甲的说法正确，不符合题意；故获得参赛的运动员是B；故选B．14.答案：(1)5x+y+2=0(2)x−y−1=0解析：(1)本题考查由导数求函数在某点处的切线方程．先求导数，得切线斜率，再由点斜式求切线方程．解：∵y=−5e x+3，∴y′=−5e x，∴在点(0,−2)处的切线的斜率为k=y′|x=0=−5，∴在点(0,−2)处的切线方程为y+2=−5x，即5x+y+2=0．故答案为5x+y+2=0．(2)本题考查导数得几何意义．设切点为(x0,x0lnx0)，由到导数求出切线的斜率，由点斜式得切线方程，再由过点(0,−1)得x0的值，从而得切线方程．解：∵函数f(x)=xln x，∴f′(x)=1+lnx，设切点为(x0,x0lnx0)，∴函数在点(x 0,x 0lnx 0)处的切线方程为y −x 0lnx 0=(1+lnx 0)(x −x 0)， ∵切线ι过点(0,−1)，∴−1−x 0lnx 0=(1+lnx 0)(−x 0)， 解得x 0=1，∴切线方程为x −y −1=0． 故答案为x −y −1=0．15.答案：√35解析：本题考查椭圆的几何性质，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 设出直线方程，利用S △PF 1A ：S △PF 1F 2=2：1，可得A 到直线PF 1的距离是F 2到直线PF 1的2倍，利用椭圆的离心率，即可求得直线PF 1的斜率．解：设直线PF 1的斜率为k ，则直线PF 1的直线方程为y =k(x +c)，即kx −y +kc =0， ∵S △PF 1A ：S △PF 1F 2=2：1，∴A 到直线PF 1的距离是F 2到直线PF 1的2倍， ∴√k 2+1=2×√k 2+1，∴|−b +kc|=4|kc|， ∵离心率为12， ∴c 2a 2=14， ∴b =√3c ， ∴|k −√3|=4|k|， ∴k =−√33或k =√35， ∵点P 为第一象限内椭圆上的一点， ∴k =√35， 故答案为√35．16.答案：π3解析：解：△ABC中，∵(sinA−sinC)(a+c)b =sinA−sinB，∴(a−c)(a+c)b=a−b，∴a2+b2−c2=ab，∴cosC=a2+b2−c22ab =12，∴C=π3，故答案为：π3．由条件利用正弦定理和余弦定理求得cosC=12，可得角C的值．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．17.答案：证明：(1)连结AB1，交A1B于点O，连结OD，由题知O为AB1中点，又D为AC中点，∴B1C//OD，又OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，∴B1C//平面A1BD．解：(2)∵∠A1AB=∠ACB=60°，AB=BB1，AC=2，BC=1，∴AB=√AC2+BC2−2×AC×BC×cos60°=√3，∴AC2=AB2+BC2，∴BC⊥AB，∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC=AB，∴BC⊥平面AA1B1B，∵∠A1AB=60°，AB=BB1=AA1，∴AA1=√3，∴S△A1AB =12×AB×AA1×sin∠A1AB=3√34，∴三棱锥C1−ABD的体积：V C1−ABD =V A1−ABD=V D−A1AB=12V C−A1AB=12×13×S△A1AB×BC=√38．解析：(1)连结AB1，交A1B于点O，连结OD，推导出B1C//OD，由此能证明B1C//平面A1BD．(2)三棱锥C1−ABD的体积V C1−ABD =V A1−ABD=V D−A1AB=12V C−A1AB，由此能求出三棱锥C1−ABD的体积．本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：(1)依题意，20×(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)=1，解得x=0.0075．(2)由图可知，最高矩形的数据组为[220,240)，∴众数为220+2402=230．∵[160,220)的频率之和为(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45，∴依题意，设中位数为y，∴0.45+(y−220)×0.0125=0.5.解得y=224，∴中位数为224．(3)由频率分布直方图可知，月平均用电量在[220,330)中的概率是p=1−(0.002+0.0095+0.011)×20=0.55．解析：本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数，考查学生的计算能力，属基础题．(1)由直方图的性质可得20×(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)=1，解方程可得；(2)由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220,240)内，设中位数为a，解方程0.45+(y−220)×0.0125=0.5可得；(3)月平均用电量在[220,330)中的概率是p=1−(0.002+0.0095+0.011)×20，计算即可．19.答案：解：(1)等差数列{a n}的公差为d，a1+a2=12−q，S2=b2⋅q，∴d=6−q，∴12−q=b1⋅q2．整理得：q2+q−12=0，解得：q=3或q=−4(舍去)，∴d=3，a n=3+3(n−1)=3n，∴b n=3n−1(2)数列{a n}前n项和为S n，S n=(3+3n)n2=3n(n+1)2，1S n=23×1n(n+1)=23(1n−1n+1)，数列{1Sn }的前n项和T n，T n=23[(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1n+1)]=23(1−1n+1)=2n3(n+1)，数列{1S n}的前n 项和T n =2n3(n+1)．解析：本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力．(1)等差数列{a n }的公差为d ，a 1+a 2=12−q ，S 2=b 2⋅q ，求出公比和公差，然后求解通项公式． (2)求出数列{a n }前n 项和为S n ，化简通项公式，利用裂项相消法求和即可．20.答案：解：(1)因为a 2=4，b 2=3，所以c =√a 2−b 2=1，所以F 的坐标为(1,0)，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，y 1>0,y 2<0， 直线l 的方程为x =my +1， 代入椭圆方程x 24+y 23=1，得(4+3m 2)y 2+6my −9=0，则y 1+y 2=−6m3m 2+4,y 1y 2=−93m 2+4， 若QF =2FP ，即y 2=−2y 1，代入上式，有 −y 1=−6m3m 2+4,−2y 12=−93m 2+4， 即−2·(6m3m 2+4)2=−93m 2+4，解得m 2=45， 又y 1=6m 3m 2+4>0，可得m >0， 则m =2√55， 故直线l 的方程为√5x −2y −√5=0． (2)根据题意，显然k 1，k 2均不为0．由(1)知，y 1+y 2=−6m 4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2， 所以my 1y 2=−9m 4+3m 2=32(y 1+y 2)，由A(−2,0)，B(2,0)，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，x 1=my 1+1，x 2=my 2+1，所以k 1k 2=y12+x 1⋅x 2−2y 2=y 1(my 2−1)y 2(my 1+3)=32(y 1+y 2)−y 132(y 1+y 2)+3y 2=13，故存在常数λ=13，使得k 1=13k 2．解析：本题考查直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题． (1)由椭圆方程求出a ，b ，c ，可得F 的坐标.设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，直线l 的方程为x =my +1，代入椭圆方程，结合韦达定理以及P ，Q 的纵坐标关系，可得m 的方程，解方程可得m ，进而得到直线l 的方程；(2)运用韦达定理可得my 1y 2=32(y 1+y 2).由A(−2,0)，B(2,0)，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，x 1=my 1+1，x 2=my 2+1，运用直线的斜率公式，化简整理计算可得常数λ的值，即可判断存在．21.答案：解：(1)f ′(x)=1+1x 2−ax =x 2−ax+1x(x >0)，若a ≤0，f ′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增； 若a >0，令g(x)=x 2−ax +1，当△=a 2−4≤0时，即0<a ≤2时，g(x)>0，即f(x)在(0,+∞)上单调递增． 当△=a 2−4>0时，即a >2时，g(x)=x 2−ax +1=0的两根为a±√a2−42，且两根均为正，计算可得x ∈(0,a−√a2−42)，f ′(x)>0，即f(x)在(0,a−√a2−42)上单调递增．x ∈(a−√a 2−42,a+√a 2−42)，f ′(x)<0，即f(x)在(a−√a2−42,a+√a 2−42)上单调递减，x ∈(a+√a 2−42,+∞)，f ′(x)>0，即f(x)在(a+√a 2−42,+∞)上单调递增．综上所述，当a ≤2时，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)， 当a >2时，f(x)的单调递增区间为(0,a−√a2−42)，(a+√a 2−42,+∞)，单调递减区间是(a−√a2−42,a+√a 2−42)．(2)由上述可知当a ≤2，f(x)在[1,+∞)单调递增， 所以当x ≥1时，f(x)≥f(1)=0符合题意； 当a >2时，因为g(1)=2−a <0，则a−√a2−42<1<a+√a 2−42，易知当1<x <a+√a2−42时，f ′(x)<0，即f(x)单调递减，所以f(x)<f(1)=0不符合题意． 综上所述，a 的取值范围是(−∞,2]．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．(1)f′(x)=1+1x 2−ax=x 2−ax+1x (x >0)，对a 分类讨论，即可得出单调性．(2)由上述可知当a ≤2，f(x)在[1,+∞)单调递增，因此当{1<x <22−x +2x −2>2时，f(x)≥f(1)=0符合题意； 当a >2时，因为g(1)=2−a <0，可得a−√a2−42<1<a+√a 2−42，进而判断出是否符合题意．22.答案：(Ⅰ)证明：曲线C 的参数方程为{x =2+√3cosθy =√3sinθ(θ为参数)，消去参数得到x 2+y 2−4x +1=0，根据ρ2=x 2+y 2，x =ρcosθ得到C 的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ+1=0， 所以4cosθ=ρ+1ρ；(Ⅱ)由(Ⅰ)得4cosθ=ρ+1ρ≥2，当且仅当ρ=1时等号成立，所以cosθ≥12，又θ∈[0,2π]， 所以θ∈[0,π3]∪[5π3,2π)．解析：本题考查曲线的参数方程以及极坐标方程和普通方程的互化；(Ⅰ)将曲线C 的参数方程为{x =2+√3cosθy =√3sinθ(θ为参数)，化为普通方程，然后根据ρ2=x 2+y 2，x =ρcosθ得到C 的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ+1=0，解出4cosθ=ρ+1ρ；(Ⅱ)由(Ⅰ)得4cosθ=ρ+1ρ利用基本不等式得到cosθ≥12，结合θ∈[0,2π]，得到θ∈[0,π3]∪[5π3,2π)．23.答案：解：(1)由于f(x)=|x −a|+|x −5|≥|a −5|，所以f(x)≥3⇔|a −5|≥3， 解得a ≤2或a ≥8．(2)f(x)=|x −2|+|x −5|={7−2x,x <23,2≤x ≤52x −7,x >5，原不等式等价于{x <27−2x ≥x 2−8x +15，或{2≤x ≤53≥x 2−8x +15， 或{x >52x −7≥x 2−8x +15 解得2≤x ≤5+√3，原不等式解集为{x|2≤x≤5+√3}．解析：(1)问题转化为|a−5|≥3，解出即可；(2)将a=2的值代入，问题转化为关于关于x的不等式组，解出即可．本题考查了绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想，是一道中档题．。
辽宁省2020届高三高考文科数学模拟试卷(五) Wrod版含答案
数学试卷(文科)考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A=，B=，则A B=A.[1，2]B.[1，2)C.(1，2]D.(1，2)2.已知复数z满足z(1+i)=2i，则复数z的虚部是A.1B.一1C.iD.i3.已知向量a=(4，一3) ，b=(一1，2) ，a，b的夹角为θ，则sin θ=A. B. C. D.4.若各项均为正数的等比数列满足a3=3a12a2，则公比q=A.1B.2C.3D.45.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支(单位：万元)如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为A.6.25%B.7.5%C.10.25%D.31.25%6.已知a=，b=，c=则A.a b cB.c b aC.b c aD.c a b7.若x，y满足约束条件则z=4x十y的最大值为A. 5B. 1C.5D.68.已知函数f(x) =—asin3x十a十b(a0，x R) 的值域为[一5，3] ，函数g(x) =b cos ax，则g(x)的图象的对称中心为A. B.9.过双曲线C：=1(a0，b0)的右焦点F作双曲线C的一条弦AB，且=0，若以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，则双曲线C的离心率为A. B. C.2 D.10.在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，AB=2，AC=3，BAC=120°，D为线段BC上的动点。
若PC与底面ABC所成角为30°，则PD与底面ABC所成角的正切值的最大值为A. B. C. D.11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(一x)，且在[0，十)上是增函数，不等式f(ax+2)f(一1)对于x[1，2]恒成立，则a的取值范围是A.[，]B. [，]C. [，0]D. [0，1]12.已知函数f(x)=恰有一个极值点为1，则实数t的取值范围是A.(]B. (]C. (]D. (]第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年辽宁省部分重点中学协作体高考(文科)数学(5月份)模拟试卷 (解析版)
2020年高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|x＞0}，则A∩B＝（）A．[﹣1，2]B．（1，2]C．（0，2]D．（2，+∞）2．已知复数z满足z（1+i）＝1﹣i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣i B．i C．1D．﹣13．已知a=log0.32，b=2−13，c=20.3，则a、b、c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润额依次统计如表：月份1112123广告投入（x万元）8.27.887.98.1利润（y万元）9289898793由此所得回归方程为y=12x+a，若2020年4月广告投入9万元，可估计所获利润约为（）A．100万元B．101 万元C．102万元D．103万元5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a6＝4+a4，则S9＝（）A．18B．24C．48D．366．人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，30～40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x的声音对应的等级为f（x）dB，则有f（x）＝10×lgx1×10−12，则90dB的声音与50dB的声音强度之比为（）A．10B．100C．1000D．10000 7．函数y＝tan2x图象的对称中心坐标为（）A．（2kπ，0），k∈Z B．（kπ，0），k∈ZC．(kπ2，0)，k∈Z D．(kπ4，0)，k∈Z8．中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“”处应填入（）A．a−221∈Z B．a−215∈Z C．a−27∈Z D．a−23∈Z9．已知函数f（x）={x2−2ax+8，x≤1x+4x+a，x＞1，若f（x）的最小值为f（1），则实数a的值不可能是（）A．1B．2C．3D．410．已知三棱锥A﹣BCD中，侧面ABC⊥底面BCD，△ABC是边长为3的正三角形，△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°，CD＝2，则此三棱锥外接球的体积等于（）A．4√3πB．32π3C．12πD．64π311．已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的延长线交抛物线的准线l于点C，若|BC|＝2，|FB|＝1，则|AB|＝（）A．3B．4C．6D．612．已知f（x）=e xx−2t(lnx+x+2x)恰有一个极值点为1，则t的取值范围是（）A．(−∞，14]∪{e6}B．(−∞，16]C．[0，14]∪{e6}D．(−∞，14]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x，y满足约束条件{x−y+1≥0x+y≤2y≥0，则2x﹣y的最小值是．14．已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，2S n＝a n+1+1，则S n＝．16．已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1、F2，点P是C1与C2的一个公共点，△PF1F2是一个以PF1为底的等腰三角形，|PF1|＝4，C1的离心率为37，则C2的离心率为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答，（一）必考题：共60分17．已知m→=（2cos x，sin x），n→=（cos x，2√3cos x），且f（x）=m→•n→．（1）求f（x）在[0，π2]上的值域；（2）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f(A2)=3，且a＝2，b+c＝4，求△ABC的面积．18．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）求三棱锥C1﹣A1AD的体积．19．环境问题是当今世界共同关注的问题，且多种多样，中国环境十大问题是指大气污染问题、水环境污染问题、垃圾处理问题、土地荒漠化和沙灾问题、水土流失问题、旱灾和水灾问题、生物多样性破坏问题、WTO与环境问题、三峡库区的环境问题、持久性有机物污染问题．其中大气环境面临的形势非常严峻，大气污染物排放总量居高不下，我国环保总局根据空气污染指数PM2.5浓度，制定了空气质量标准（前者是空气污染指数，后者是空气质量等级）：（1）（0，50]优；（2）（50，100]良；（3）（100，150]轻度污染；（4）（150，200]中度污染；（5）（200，300]重度污染；（6）（300，+∞）严重污染．辽宁省某市政府为了改善空气质量，节能减排，从2012年开始考察了连续六年12月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图（如图），经过分析研究，决定从2018年12月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆施行限号出行，请根据这段材料回答以下两个问题：（1）若按分层抽样的方法，从空气质量等级为优与良的天气中抽取5天，再从这5天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量是优的概率；（1）该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的12月份共60天的空气质量进行统计，其结果如表：空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数122811621根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写2×2列联表，并回答是否有95%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关．空气质量优、良空气质量污染总计限行前限行后总计参考数据：P（K2≥k）0.100.050.0250.0100.005k 2.706 3.841 5.024 6.6357.879参考公式K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． 20．已知椭圆C ：y 2a +x 2b =1（a ＞b ＞0）过点P(√22，1)，F 1（0，﹣1），F 2（0，1）是两个焦点．以椭圆C 的上顶点M 为圆心作半径为r （r ＞0）的圆， （1）求椭圆C 的方程；（2）存在过原点的直线l ，与圆M 分别交于A ，B 两点，与椭圆C 分别交于G ，H 两点（点H 在线段AB 上），使得AG →=BH →，求圆M 半径r 的取值范围． 21．已知函数f （x ）＝lnx ，g （x ）＝e x ．（1）若h （x ）＝af （x ）+12x 2−（a +1）x ，a ∈R ，求函数h （x ）的单调区间； （2）不等式m[g m (x)+1]≥2(x +1x)f(x)对于x ＞0恒成立，求实数m 的取值范围． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．已知平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为x 216+y 22=1，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos(θ+π6)=√3．若将曲线C 1上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标伸长到原来的√2倍，得曲线C 2． （1）写出直线l 和曲线C 2的直角坐标方程；（2）设点P （1，0），直线l 与曲线C 2的两个交点分别为A ，B ，求1|PA|+1|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝ln （|x ﹣1|﹣|x +2|﹣m ）． （1）当m ＝2时，求函数y ＝f （x ）的定义域；（2）已知函数f （x ）的定义域为R ，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|x＞0}，则A∩B＝（）A．[﹣1，2]B．（1，2]C．（0，2]D．（2，+∞）【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＞0}，∴A∩B＝（0，2]．故选：C．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．已知复数z满足z（1+i）＝1﹣i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣i B．i C．1D．﹣1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z（1+i）＝1﹣i，得z=1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i2=−i．∴z的虚部为﹣1．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．已知a=log0.32，b=2−13，c=20.3，则a、b、c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【分析】可以得出log0.32＜0，20.3＞2−13＞0，从而可得出a，b，c的大小关系．解：∵log0.32＜log0.31＝0，20.3＞2−13＞0，∴a＜b＜c．故选：A．【点评】本题考查了对数函数、指数函数的单调性，指数函数的值域，考查了计算能力，属于基础题．4．已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润额依次统计如表：月份1112123广告投入（x万元）8.27.887.98.1利润（y万元）9289898793由此所得回归方程为y=12x+a，若2020年4月广告投入9万元，可估计所获利润约为（）A．100万元B．101 万元C．102万元D．103万元【分析】先通过表格中的数据算出样本中心点(x，y)，再将其代入回归方程求出a的值，从而得到回归直线方程，然后把x＝9代入，求出y的值即可得解．解：由表格中的数据可知，x=8.2+7.8+8+7.9+8.15=8，y=92+89+89+87+935=90，∵（8，90）在回归方程上，∴90＝12×8+a，解得a＝﹣6，∴回归方程为y=12x−6，把x＝9代入回归方程得，y=12×9−6=102．故选：C．【点评】本题考查线性回归方程的性质，考查学生的运算能力，属于基础题．5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a6＝4+a4，则S9＝（）A．18B．24C．48D．36【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由a3+a6＝4+a4找出首项a1与公差d的关系式求出a5，再代入前n项和的关系式求出S9．解：设等差数列{a n}的公差为d，由a3+a6＝4+a4可得a1+2d+a1+5d＝4+a1+3d，整理得：a1+4d＝4＝a5，所以S9=9(a1+a9)2=9a5＝36．故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的性质及基本量的求法，属于基础题．6．人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，30～40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为f （x ）dB ，则有f （x ）＝10×lg x 1×10−12，则90dB 的声音与50dB的声音强度之比为（ ） A ．10B ．100C ．1000D ．10000【分析】本题根据题干中给出的表达式分别计算出90dB 的声音与50dB 的声音对应的声音强度，然后相比即可计算出结果，得到正确选项． 解：由题意，可知当声音强度的等级为90dB 时，有10×lg x 1×10=90，即lg x 1×10−12=9，则x 1×10−12=109，此时对应的强度x ＝109×10﹣12＝10﹣3，当声音强度的等级为50dB 时，有10×lg x 1×10−12=50，即lg x 1×10=5，则x 1×10=105，此时对应的强度x ＝105×10﹣12＝10﹣7， ∴90dB 的声音与50dB 的声音强度之比为10−310−7=10﹣3﹣（﹣7）＝104＝10000． 故选：D ．【点评】本题主要考查已知函数值求对应的x 的值，函数在实际生活的应用，以及指数、对数的运算，考查了转化思想，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题． 7．函数y ＝tan2x 图象的对称中心坐标为（ ） A ．（2k π，0），k ∈Z B ．（k π，0），k ∈ZC ．(kπ2，0)，k ∈ZD ．(kπ4，0)，k ∈Z 【分析】直接利用正切函数的图象和性质的应用求出结果． 解：由于函数y ＝tan X 的对称中心为（kπ2，0）（k ∈Z ），令2x =kπ2，解得x =kπ4，故函数y ＝tan2x 的对称中心为（kπ4，0）（k ∈Z ），故选：D ．【点评】本题考查的知识要点：正切函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“”处应填入（ ）A ．a−221∈Z B ．a−215∈Z C ．a−27∈Z D ．a−23∈Z【分析】由已知中的程序语句可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，根据输出的a 的条件可得答案．解：由题意，判断框内应该判断a 的值是否同时能被三除余二，被七除余二， 即判断a−221是否为整数．故选：A ．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9．已知函数f （x ）={x 2−2ax +8，x ≤1x +4x +a ，x ＞1，若f （x ）的最小值为f （1），则实数a 的值不可能是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据题意，直接将a ＝1代入，计算函数的最小值为f （2），不合题意，由此即可得出正确选项．解：当a ＝1时，f(x)={x 2−2x +8，x ≤1x +4x+1，x ＞1， 则当x ≤1时，f （x ）＝（x ﹣1）2+7≥7＝f （1）；当x ＞1时，f(x)=x +4x +1≥2√4+1=5，当x ＝2时取等号；综上，函数的最小值为f （2），不合题意； 结合单项选择的特征可知，实数a 的值不可能为1． 故选：A ．【点评】本题考查分段函数最值的求法，作为选择题，采用代值判断的方法能够快速解决问题，是考试中的一项有效方法，应合理运用，本题属于基础题．10．已知三棱锥A ﹣BCD 中，侧面ABC ⊥底面BCD ，△ABC 是边长为3的正三角形，△BCD 是直角三角形，且∠BCD ＝90°，CD ＝2，则此三棱锥外接球的体积等于（ ） A ．4√3πB ．32π3 C ．12π D ．64π3【分析】把三棱锥放入长方体中，根据长方体的结构特征求出三棱锥外接球的半径，再计算三棱锥外接球的体积．解：三棱锥A ﹣BCD 中，侧面ABC ⊥底面BCD ，把该三棱锥放入长方体中，如图所示；且AM =√32AB =3√32；设三棱锥外接球的球心为O ，则AG =23AM =23×3√32=√3，OG =12CD ＝1，所以三棱锥外接球的半径为R ＝OA =√OG 2+AG 2=√12+(√3)2=2， 所以三棱锥外接球的体积为V =4πR 33=4π⋅233=32π3．故选：B ．【点评】本题考查了三棱锥外接球的体积计算问题，也考查了数形结合与转化思想，是中档题．11．已知过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点C ，若|BC |＝2，|FB |＝1，则|AB |＝（ ） A ．3B ．4C ．6D ．6【分析】设A 、B 在准线上的射影分别为为M 、N ，通过三角形相似，求解AF ，即可求解．解：设A 、B 在准线上的射影分别为为M 、N ，过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点C ，若|BC |＝2，|FB |＝1，△BNC ∽△AMC ， 可得：BN BC=AM AM+FB+BC=12，可得AF ＝AM ＝3，∴AB ＝AF +FB ＝4， 故选：B ．【点评】本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，平面几何知识，转化化归的思想方法，属中档题． 12．已知f （x ）=e x x −2t(lnx +x +2x )恰有一个极值点为1，则t 的取值范围是（ ） A ．(−∞，14]∪{e6}B ．(−∞，16]C ．[0，14]∪{e6}D ．(−∞，14]【分析】先求导数，验证x ＝1是极值点，然后从导函数中分离出x ﹣1，再说明剩余的部分没有变号根即可． 解：由已知得f′(x)=e x (1x−1x 2)−2t(1x +1−2x 2)=x−1x 2[e x −2t(x +2)]．显然x ＝1是f ′（x ）的变号零点，即为原函数的极值点，所以只需e x ﹣2t （x +2）≥0在（0，+∞）上恒成立即可．即2t ≤e xx+2（x ＞0）恒成立．令g （x ）=e x x+2（x ＞0），∵g′(x)=e x (x+1)(x+2)2＞0， 故g （x ）是增函数，又因为当x →0时，e xx+2→12，所以g （x ）＞12，所以2t ≤12，即t ≤14即为所求．故选：D ．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，最值，以及解决不等式恒成立问题．同时考查学生利用函数思想、转化思想解决问题的能力，属于较难的中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +y ≤2y ≥0，则2x ﹣y 的最小值是 ﹣2 ．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z ＝2x ﹣y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最值即可．解：画出约束条件的可行域如图：由{x −y +1=0y =0解得A （﹣1，0），约束区域的端点的坐标A （﹣1，0），z ＝2x ﹣y 经过可行域的A 时，截距最大，表达式的值最小，代入可知当x ＝﹣1，y ＝0时z 的最小值为﹣2． 故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．14．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： 若l⊥α，l ⊥m ，则m ∥α ．【分析】由l ，m 是平面α外的两条不同直线，利用线面平行的判定定理得若l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α．解：由l ，m 是平面α外的两条不同直线，知： 由线面平行的判定定理得： 若l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α．故答案为：若l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α．【点评】本题考查满足条件的真命题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，2S n ＝a n +1+1，则S n ＝12（3n ﹣1+1） ．【分析】通过数列的递推关系式，转化求解数列是等比数列，然后求解即可． 解：数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，2S n ＝a n +1+1，2S n ﹣1＝a n +1，（n ≥2） 所以2a n ＝a n +1﹣a n ，即3a n ＝a n +1，（n ≥2）所以数列{a n }是从第二项起，以1为首项，3为公比的等比数列．2S 1＝a 2+1，可得a 2＝1， n ≥2时：S n =1(1−3n−1)1−3+1=12（3n ﹣1+1）S n ={1，n =112(3n−1+1)，n ≥2，所以S n =12（3n ﹣1+1）． 故答案为：12（3n ﹣1+1）．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力，是中档题，易错题．16．已知椭圆C 1与双曲线C 2有相同的焦点F 1、F 2，点P 是C 1与C 2的一个公共点，△PF 1F 2是一个以PF 1为底的等腰三角形，|PF 1|＝4，C 1的离心率为37，则C 2的离心率为 3 ．【分析】利用离心率的定义，及C 1的离心率e 1=37，|PF 1|＝4，|F 1F 2|＝|PF 2|，可求得|PF 2|＝3，再利用双曲线的离心率e 2=|F 1F 2||PF 1|−|PF 2|，可得结论．解：由题意知C 1的离心率e 1=c 1a 1=2c12a 1=|F 1F 2||PF 1|+|PF2|=37， 又|PF 1|＝4，|F 1F 2|＝|PF 2|，∴|PF2|＝3∴双曲线的离心率e2=|F1F2||PF1|−|PF2|=3故答案为：3【点评】本题考查椭圆与双曲线的几何性质，解题的关键是正确运用离心率的定义，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答，（一）必考题：共60分17．已知m→=（2cos x，sin x），n→=（cos x，2√3cos x），且f（x）=m→•n→．（1）求f（x）在[0，π2]上的值域；（2）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f(A2)=3，且a＝2，b+c＝4，求△ABC的面积．【分析】（1）由平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可求函数解析式，根据正弦函数的单调性即可求解．（2）结合（1）可得f（A2）＝1+2sin（A+π6）＝3，进而可得A，由余弦定理可得bc＝4，代入三角形面积公式计算可得答案．解：（1）∵m→=（2cos x，sin x），n→=（cos x，2√3cos x），∴f（x）=m→•n→=2cos2x+2√3sin x cos x＝cos2x+√3sin2x+1＝2sin（2x+π6）+1，∵x∈[0，π2]，2x+π6∈[π6，7π6]，∴sin（2x+π6）∈[−12，1]，∴f（x）＝2sin（2x+π6）+1∈[0，3]．（2）由（1）可知f（x）＝1+2sin（2x+π6），故f（A2）＝1+2sin（A+π6）＝3，解得sin（A+π6）＝1，因为A∈（0，π），A+π6∈（π6，7π6），故可得A+π6=π2，解得A=π3，由余弦定理可得22＝b2+c2﹣2bc cos A，化简可得4＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝16﹣3bc，解得bc＝4，故△ABC的面积S=12bc sin A=12×4×√32=√3．【点评】本题考查三角函数的性质和余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，涉及平面向量数量积的运算，考查了函数思想和转化思想，属于基础题．18．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）求三棱锥C1﹣A1AD的体积．【分析】（1）连接A1C，设A1C∩AC1＝M，再连接DM，可得A1B∥DM，由直线与平面平行的判定可得A1B∥平面ADC1；（2）过点D作DH⊥AC，垂足为H，证明DH⊥平面ACC1A1，求出DH=√32．再由等体积法求三棱锥C1﹣A1AD的体积．【解答】（1）证明：连接A1C，设A1C∩AC1＝M，则M是A1C的中点，再连接DM，则DM是三角形A1BC的中位线，∴A1B∥DM，又∵A1B⊄平面ADC1，MD⊂平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1；（2）解：过点D作DH⊥AC，垂足为H，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥DH，又DH⊥AC，A1A∩AC＝A，∴DH⊥平面ACC1A1，且DH=√32．∴V C1−A1AD =V D−A1C1A=13S△A1C1A×DH=13×12×2×2×√32=√33．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．19．环境问题是当今世界共同关注的问题，且多种多样，中国环境十大问题是指大气污染问题、水环境污染问题、垃圾处理问题、土地荒漠化和沙灾问题、水土流失问题、旱灾和水灾问题、生物多样性破坏问题、WTO与环境问题、三峡库区的环境问题、持久性有机物污染问题．其中大气环境面临的形势非常严峻，大气污染物排放总量居高不下，我国环保总局根据空气污染指数PM2.5浓度，制定了空气质量标准（前者是空气污染指数，后者是空气质量等级）：（1）（0，50]优；（2）（50，100]良；（3）（100，150]轻度污染；（4）（150，200]中度污染；（5）（200，300]重度污染；（6）（300，+∞）严重污染．辽宁省某市政府为了改善空气质量，节能减排，从2012年开始考察了连续六年12月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图（如图），经过分析研究，决定从2018年12月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆施行限号出行，请根据这段材料回答以下两个问题：（1）若按分层抽样的方法，从空气质量等级为优与良的天气中抽取5天，再从这5天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量是优的概率；（1）该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的12月份共60天的空气质量进行统计，其结果如表：空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数122811621根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写2×2列联表，并回答是否有95%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关．空气质量优、良空气质量污染总计限行前限行后总计参考数据：P（K2≥k）0.100.050.0250.0100.005k 2.706 3.841 5.024 6.6357.879参考公式K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．【分析】（1）利用分层抽样空气质量优的天气被抽取2天，空气良的天气被抽取3天，分别标记，再利用古典概型的概率公式即可算出结果；（2）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．解：（1）因为空气质量优与良的天气的概率之比为：0.004：0.006＝2：3，按分层抽样从中抽取5天，则空气质量优的天气被抽取2天，记作：A1，A2，空气良的天气被抽取3天，记作：B1，B2，B3，从这5天中随机抽取2天，所包含的基本事件有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）共10个，记事件A为“至少有一天空气质量优”，则事件A所包含的基本事件有：：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3）共7个，故P（A）=710，即至少有一天空气质量优的概率为710；（2）列联表如下：空气质量优、良空气质量污染总计 限行前 90 90 180 限行后 40 20 60 总计130110240由表中数据可得：K 2=240×(90×20−40×90)2180×60×130×110≈5.035＞3.841，所以有95%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，以及古典概型的概率公式，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目． 20．已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b 2=1（a ＞b ＞0）过点P(√22，1)，F 1（0，﹣1），F 2（0，1）是两个焦点．以椭圆C 的上顶点M 为圆心作半径为r （r ＞0）的圆， （1）求椭圆C 的方程；（2）存在过原点的直线l ，与圆M 分别交于A ，B 两点，与椭圆C 分别交于G ，H 两点（点H 在线段AB 上），使得AG →=BH →，求圆M 半径r 的取值范围．【分析】（1）由椭圆过的点的坐标，及焦点坐标和a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）分直线l 的斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设直线l 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长|GH |，由勾股定理求出直线与圆M 的弦长|AB |，由AG →=BH →可得|AG |＝|BH |，即|AB |＝|GH |，可得r 的表达式，再由单调性可得r 的取值范围，当斜率不存在时，求出r 的值，综上所述可得r 的取值范围． 解：（1）由题意可得c ＝1且1a 2+12b 2=1，a 2＝b 2+c 2，解得：a 2＝2，b 2＝1， 所以椭圆的方程为：y 22+x 2＝1；（2）当直线斜率不存在时，圆M 过原点，符合题意，r =√2，当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线与椭圆的方程{y =kxy 22+x 2=1，整理可得（2+k 2）x 2﹣2＝0，x 1+x 2＝0，x 1x 2=−22+k 2，所以弦长|GH |=√1+k 2|x 1﹣x 2|=√1+k 2√−4x1x 2=√8(1+k 2)2+k2， 点M （0，√2）到直线l 的距离d =√2√1+k，所以|AB |＝2√r 2−21+k2，因为AG →=BH →，点H 在线段AB 上，所以点G 在线段AB 的延长线上，只需|AG |＝|BH |，即|AB |＝|GH |， 所以8(1+k 2)2+k 2=4（r 2−21+k2），所以r 2=2k 4+6k 2+6k 4+3k 2+2=2+2k 4+3k 2+2， 因为k 4+3k 2+2≥2，所以0＜2k 4+3k 2+2≤1，所以r 2∈（2，3]，即r ∈（2，√3]．综上所述：圆M 半径r 的取值范围∈[√2，√3]．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，考查向量线段转化为线段相等，属于中档题．21．已知函数f （x ）＝lnx ，g （x ）＝e x ．（1）若h （x ）＝af （x ）+12x 2−（a +1）x ，a ∈一、选择题，求函数h （x ）的单调区间；（2）不等式m[g m (x)+1]≥2(x +1x)f(x)对于x ＞0恒成立，求实数m 的取值范围． 【分析】（1）h （x ）＝af （x ）+12x 2−（a +1）x ＝alnx +12x 2−（a +1）x ，a ∈R ，x ∈（0，+∞）．h ′（x ）=ax +x ﹣（a +1）=(x−a)(x−1)x．对a 分类讨论即可得出单调性．（2）不等式m[g m (x)+1]≥2(x +1x )f(x)对于x ＞0恒成立，即m （e mx +1）≥2（x +1x ）lnx ，mx （e mx +1）≥（x 2+1）lnx 2，即（e mx +1）lne mx ≥（x 2+1）lnx 2．令F （x ）＝（x +1）lnx （x ＞0），研究其单调性进而可得结论．解：（1）h （x ）＝af （x ）+12x 2−（a +1）x ＝alnx +12x 2−（a +1）x ，a ∈R ，x ∈（0，+∞）．h ′（x ）=ax +x ﹣（a +1）=(x−a)(x−1)x．（i ）a ＞1时，可得函数f （x ）的增区间为（0，1），（a ，+∞），减区间为（1，a ）． （ii ）a ＝1时，可得函数f （x ）的增区间为（0，+∞）．（iii ）0＜a ＜1时，可得函数f （x ）的增区间为（0，a ），（1，+∞），减区间为（a ，1）．（iv ）a ≤0时，可得函数f （x ）的减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）． （2）不等式m[g m (x)+1]≥2(x +1x)f(x)对于x ＞0恒成立，即m （e mx +1）≥2（x +1x）lnx ，mx （e mx +1）≥（x 2+1）lnx 2，即（e mx +1）lne mx ≥（x 2+1）lnx 2． 令F （x ）＝（x +1）lnx （x ＞0），F ′（x ）＝1+lnx +1x． 令G （x ）＝1+lnx +1x，G ′（x ）=1x −1x 2=x−1x 2， 可得：x ＝1时，函数G （x ）取得极小值，G （1）＝2＞0． ∴F ′（x ）＞0，∴F （x ）在（0，+∞）上单调递增， ∴e mx ≥x 2．两边取对数可得：mx ≥lnx 2，即m 2≥lnx x．令H （x ）=lnxx．x ∈（0，+∞）． H ′（x ）=1−lnxx 2，可得x ＝e 时，函数H （x ）取得极大值即最大值． ∴H （x ）≤F （e ）=1e． ∴m 2≥1e．即m ≥2e ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x216+y22=1，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos(θ+π6)=√3．若将曲线C1上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标伸长到原来的√2倍，得曲线C2．（1）写出直线l和曲线C2的直角坐标方程；（2）设点P（1，0），直线l与曲线C2的两个交点分别为A，B，求1|PA|+1|PB|的值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）直线l的极坐标方程为2ρcos(θ+π6)=√3．整理得√32ρcosθ−12ρsinθ=√32，转换为直角坐标方程为√3x−y−√3=0．将曲线C1上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标伸长到原来的√2倍，即{x′=12xy′=√2y 代入曲线C1的方程为x216+y22=1，得到x2+y2＝4．（2）直线l经过点P（1，0）且直线的倾斜角为60°，则直线的参数方程为{x=1+12ty=√32t （t为参数），代入x2+y2＝4，整理得t2+t﹣3＝0，所以t1+t2=−1，．故：1|PA|+1|PB|=|t1−t2t1t2|=|√(t1+t2)2−4t1t2t1t2|=√133．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝ln（|x﹣1|﹣|x+2|﹣m）．（1）当m＝2时，求函数y＝f（x）的定义域；（2）已知函数f（x）的定义域为R，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据真数大于零，分类讨论去绝对值，解含绝对值的不等式即可；（2）函数f（x）的定义域为R，转化为m＜|x+2|﹣|x﹣1|在x∈（﹣∞，+∞）上恒成立；只要m＜[|x+2|﹣|x﹣1|]min即可．解：（1）当m＝2时，解|x﹣1|﹣|x+2|＞2，当x＜﹣2时，得1﹣x﹣（﹣x﹣2）＞2，即3＞2恒成立；∴x＜﹣2；当﹣2≤x＜1时，得1﹣x﹣（x+2）＞2，即x＜−32；∴﹣2≤x＜−32；当x≥1时，得x﹣1﹣（x+2）＞2，即﹣3＞2不成立；综上可得，x＜−3 2；∴定义域为{x|x＜−3 2}．（2）由已知|x﹣1|﹣|x+2|﹣m＞0，即m＜|x+2|﹣|x﹣1|在x∈（﹣∞，+∞）上恒成立；又因为|x+2|﹣|x﹣1|＝﹣（|x﹣1|﹣|x+2|）≥﹣|（x﹣1）﹣（x+2）|＝﹣3；∴m＜﹣3．【点评】本题考查了函数定义域求法和恒成立问题，以及解含绝对值的不等式，属于基础题．。