1.1.3.1学案设计 1.1.3 集合的基本运算(第一课时)

第一章集合与函数概念
1.1集合
1.1.3集合的基本运算(第一课时)
学习目标
①理解两个集合的并集与交集,掌握求两个简单集合的交集与并集的方法,感受集合作为一种语言,在表示数学内容时的简洁和准确,进一步提高类比的能力;
②通过观察和类比,借助Venn图理解集合的基本运算.体会直观图示对理解抽象概念的作用,培养数形结合的思想.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:实数有加法运算,两个实数可以相加,例如5+3=8.类比实数的加法运算,集合是否也可以“相加”呢?
问题2:请同学们考察下列各个集合,你能说出集合C与集合A,B之间的关系吗?
(1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6};
(2)A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},C={x|x是实数}.
二、自主探索,尝试解决
从以下几方面进行探究:
①通过问题2中集合A,B与集合C之间的关系,类比实数的加法运算,你发现了什么?
②用文字语言来叙述问题2中集合A,B与集合C之间的关系.
③用数学符号来叙述问题2中集合A,B与集合C之间的关系.
④用Venn图来叙述问题2中集合A,B与集合C之间的关系.
三、信息交流,揭示规律
根据同学们的探究讨论结果,得出以下结论:
1.集合的并集
(1)文字语言:
(2)数学符号:
(3)Venn图:
问题3:请同学们考察下面的问题,集合A,B与集合C之间有什么关系?
(1)A={2,4,6,8,10},B={3,5,8,12},C={8};
(2)A={等腰三角形},B={直角三角形},C={等腰直角三角形}.
2.集合的交集
问题4:类比集合的并集,请给出交集其他语言表达形式.
符号表示:
Venn图表示:
四、运用规律,解决问题
【例1】设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B,A∩B.
【例2】设A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求A∪B,A∩B.
【例3】设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R},若A∩B=B,求a的值.
五、变式演练,深化提高
1.A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x≥10},则A∩B,B∪C,A∩B∩C分别是什么?
2.设A={x|x=2n,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N},求A∩B,A∪B.
3.求满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B的个数.
4.设A={-4,2,a-1,a2},B={9,a-5,1-a},已知A∩B={9},求a.
5.已知集合A={x|-2≤x≤5},集合B={x|m+1≤x≤2m-1},且A∪B=A,试求实数m的取值范围.
六、反思小结,观点提炼
同学们互相交流一下本节课学习了哪些知识,涉及了哪些数学思想方法?
七、作业精选,巩固提高
1.阅读课本P8~11.
2.书面作业
必做题:课本P11习题1.1 A组第6,7,8题.
选做题:若关于x的方程3x2+px-7=0的解集为A,方程3x2-7x+q=0的解集为B,且A∩B={-},求A∪B.
参考答案
三、信息交流,揭示规律
1.集合的并集
(1)所有属于集合A或属于集合B的元素组成了集合C.
(2)C={x|x∈A,或x∈B}.
(3)
2.集合的交集
符号表示:A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
Venn图表示:
四、运用规律,解决问题
【例1】解:A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}.A∩B={4,5,6,8}∩{3,5,7,8}={5,8}.
点评:本题主要考查集合的并集和交集.用列举法表示的离散型元素的数的集合,运算时常利用Venn图或直接观察得到结果.本题易错解为A∪B={3,4,5,5,6,7,8,8}.其原因是忽视了集合元素的互异性.解决集合问题要遵守集合元素的三条性质.
【例2】解:将A={x|-1<x<2}及B={x|1<x<3}在数轴上表示出来.如图所示的阴影部分即为所求.
由图得A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|-1<x<3},
A∩B={x|-1<x<2}∩{x|1<x<3}={x|1<x<2}.
点评:本题主要考查集合的并集和交集.用描述法表示的连续型元素的数的集合,运算时常利用数轴来计算结果.
【例3】解:由题意得A={-4,0}.∵A∩B=B,∴B⊆A.∴B=⌀或B≠⌀.
当B=⌀时,即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0无实数解,
则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1.
当B≠⌀时,若集合B仅含有一个元素,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,
此时,B={x|x2=0}={0}⊆A,即a=-1符合题意.
若集合B含有两个元素,则这两个元素是-4,0,
即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的解是-4,0.
则有--
--
解得a=1,则a=1符合题意.
综上所得,a=1或a≤-1.
五、变式演练,深化提高
1.解:A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x≥10},在数轴上表示,如图所示,
所以A∩B={x|0<x<5},B∪C={x|x>0},A∩B∩C=⌀.
点评:本题主要考查集合的交集和并集.求集合的并集和交集时,①明确集合中的元素;②依据并集和交集的含义,借助直观图(数轴或Venn图)写出结果.
2.解:对任意m∈A,则有m=2n=2·2n-1,n∈N*,因n∈N*,故n-1∈N,有2n-1∈N,那么m∈B,即对任意m∈A有m∈B,所以A⊆B.
而10∈B但10∉A,即A⫋B,则有A∩B=A,A∪B=B.
3.解:满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B一定含有元素3,有{3},还可含1或2其中一个,有{1,3},{2,3};还可含1和2,即{1,2,3},那么共有4个满足条件的集合B.
4.解:因A∩B={9},则9∈A,a-1=9或a2=9,
a=10或a=±3,
当a=10时,a-5=5,1-a=-9;
当a=3时,a-1=2,不合题意.
当a=-3时,a-1=-4,不合题意.
故a=10,此时A={-4,2,9,100},B={9,5,-9},满足A∩B={9}.
5.分析:由A∪B=A得B⊆A,则有B=⌀或B≠⌀,因此对集合B进行分类讨论.
解:∵A∪B=A,∴B⊆A.
又∵A={x|-2≤x≤5}≠⌀,∴B=⌀或B≠⌀.
当B=⌀时,有m+1>2m-1,∴m<2.
当B≠⌀时,观察图:
由数轴可得
-
-
-
解得2≤m≤3.
综上所述,实数m的取值范围是m<2或2≤m≤3,即m≤3.
点评:本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想,以及集合间关系的应用.已知两个集合的运算结果,求集合中参数的取值范围时、由集合的运算结果确定它们的关系,通过深刻理解集合表示法的转换,把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题,这称为数学的化归思想,是数学中的常用方法.要学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题.。