高二数学不等关系与不等式2
人教A版高中数学必修课件：不等式与不等关系
推论 :
a c
b d
a
c bd (同向不等式的可加性)
性质4 : (乘法的单调性) a b,c 0 ac bc
推论1 :
(同向不等式的可乘性)
a b 0 c d 0 ac bd
推论2 : a b 0 an bn (n N*, n 2)
a b 0 n a n b(n N *, n 2)
(本小题满分10分)已知二次函数y＝f(x)图象过原点， 且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(－2)的范围.
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不 等式与 不等关 系(共2 3张PPT )
∵a＞b＞c，∴b－a＜0，c－a＜0，c－b＜0. ∴(bc2＋ca2＋ab2)－(b2c＋c2a＋a2b)＜0， 即bc2＋ca2＋ab2＜b2c＋c2a＋a2b.
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不 等式与 不等关 系(共2 3张PPT )
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不 等式与 不等关 系(共2 3张PPT )
(可乘方性、可开方性)
例１:已知a>b>0,c<0,求证
c a
c b
例2.(1)如果a b 0, 那么 1 1 ab
变式a b 0那么 1
1
ab a
(2)如果a＞b＞c＞0，那么 c
c
ab
变式a＞b＞c＞0，那么 b c a－b a c
练习：已知c＞a＞b＞0，
试比较 b 与 c 的大小？ c-b c a
变式. 已知a，b，m，n∈R＋，求证：am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm. 证明：(am＋n＋bm＋n)－(ambn＋anbm) ＝(am＋n－ambn)＋(bm＋n－anbm)＝(am－bm)(an－bn)． ∵幂函数f(x)＝xm，g(x)＝xn在x∈R＋上是增函数，由对
高中数学 第2章 等式与不等式 2.2 不等式 2.2.1 不等式及其性质 第1课时 不等关系与不等
2.2 不等式2.2.1 不等式及其性质第1课时不等关系与不等式学习目标核心素养1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点)2．会用比较法比较两实数的大小．(重点)1. 借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养．2. 通过大小比较，培养逻辑推理素养．如图，在日常生活中，我们经常看到下列标志：其含义分别为①最低限速：限制行驶速度v不得低于50 km/h；②限制质量：装载总质量m不得超过10 t；③限制高度：装载高度h不得超过3.5 m；④限制宽度：装载宽度a不得超过3 m.你能用数学式子表示上述关系吗？1．不等式的定义我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式．2．不等式a≤b和a≥b的含义(1)不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”，其含义是指“a＜b，或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即若a＜b与a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．(2)不等式a≥b应读作“a大于或者等于b”，其含义是指“a＞b，或者a＝b”，等价于“a不小于b”，即若a＞b与a＝b之中有一个正确，则a≥b正确．3．实数大小比较的依据我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．一般地，如果点P对应的数为x，则称x 为点P的坐标，并记作P(x)．另外，数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实数会变大，这就是说，两个数在数轴上对应的点的相对位置决定了这两个数的大小．如图所示的数轴中，A(a)，B(b)，不难看出b>1>0>a.此外，我们也知道，一个数加上一个正数，相当于数轴上对应的点向正方向移动了一段距离；一个数减去一个正数(即加上一个负数)，相当于数轴上对应的点向负方向移动了一段距离．由此可以看出，要比较两个实数a，b的大小，只要考察a－b与0的相对大小就可以了，即a－b＜0⇔a＜b，a－b＝0⇔a＝b，a－b＞0⇔a＞b.上面等价符号的左式反映的是实数的运算性质，右式反映的则是实数的大小顺序，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系．它是不等式的理论基础，也是不等式性质的证明、证明不等式和解不等式的主要依据．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2. ( )(2)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a<b三种关系中的一种．( )(3)若a＞b，则ac2＞bc2. ( )(4)若a＋c＞b＋d，则a＞b，c＞d. ( )[答案](1)√(2)√(3)×(4)×2．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d 不得小于10 m，用不等式表示为( )A．v≤120 km/h且d≥10 mB．v≤120 km/h或d≥10 mC．v≤120 km/hD．d≥10 mA[v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m，故选A.]3．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t 应满足的关系式是________．4.5t <28 000 [由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t <28 000.] 4．设M ＝a 2，N ＝－a －1，则M ，N 的大小关系为________．M ＞N [M －N ＝a 2＋a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞0， ∴M ＞N .]用不等式(组)表示不等关系【例1】 京沪线上，复兴号列车跑出了350 km/h 的速度，这个速度的2倍再加上100 km/h ，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．[解] 设复兴号列车速度为v 1，民航飞机速度为v 2，普通客车速度为v 3.v 1，v 2的关系：2v 1＋100≤v 2， v 1，v 3的关系：v 1＞3v 3.在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间不可用不等式(组)来表示．另外，在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一．[跟进训练]1．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ．试用不等式(组)表示其中的不等关系．[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m ，而墙长为18 m ，所以0<x ≤18，这时菜园的另一条边长为30－x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2(m).因此菜园面积S ＝x ·⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2，依题意有S ≥216，即x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216，故该题中的不等关系可用不等式组表示为 ⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216.比较两数(式)的大小【例2】 (教材P60例1改编)已知x ≤1，比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小． [解] 3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1) ＝3x 2(x －1)＋(x －1)＝(3x 2＋1)(x －1). ∵x ≤1，∴x －1≤0，而3x 2＋1＞0， ∴(3x 2＋1)(x －1)≤0，∴3x 3≤3x 2－x ＋1.把本例中“x ≤1”改为“x ∈R ”，再比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小． [解] 3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1) ＝(3x 2＋1)(x －1). ∵3x 2＋1＞0，当x ＞1时，x －1＞0，∴3x 3＞3x 2－x ＋1； 当x ＝1时，x －1＝0，∴3x 3＝3x 2－x ＋1； 当x ＜1时，x －1＜0，∴3x 3＜3x 2－x ＋1.作差法比较两个实数大小的基本步骤[跟进训练]2．比较2x 2＋5x ＋3与x 2＋4x ＋2的大小． [解] (2x 2＋5x ＋3)－(x 2＋4x ＋2)＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34. ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34＞0. ∴(2x 2＋5x ＋3)－(x 2＋4x ＋2)＞0， ∴2x 2＋5x ＋3＞x 2＋4x ＋2.不等关系的实际应用【例3】 某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受 7.5 折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．[解] 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x (n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx .因为y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5， 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n ＞5时，y 1＜y 2；当0＜n ＜5时，y 1＞y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后再用作差法比较它们的大小即可．[跟进训练]3．甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家旅行社价格更优惠？[解]设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总额分别为y甲、ya元，则乙，一张全票价为y甲＝a＋0.55ax，y乙＝0.75(x＋1)a.y甲－y乙＝(a＋0.55ax)－0.75(x＋1)a＝0.2a(1.25－x)，当x＞1.25(x∈N)时，y甲＜y乙；当x＜1.25(x∈N)时，即x＝1时，y甲＞y乙．因此两口之家，乙旅行社较优惠，三口之家或多于三口的家庭，甲旅行社较优惠．知识：比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了．a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.方法：作差法比较大小的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．1．如图，在一个面积为200 m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a 大于宽b的4倍，则表示上面叙述中的不等关系正确的是( )A．a＞4b B．(a＋4)(b＋4)＝200C ．⎩⎪⎨⎪⎧a ＞4b （a ＋4）（b ＋4）＝200D ．⎩⎪⎨⎪⎧a ＞4b4ab ＝200 C [∵仓库的长a 大于宽b 的4倍，∴a ＞4b .又矩形地基的面积为200 m 2，∴(a ＋4)(b ＋4)＝200，故选C.]2．下面表示“a 与b 的差是非负数”的不等关系的是( ) A ．a －b ＞0 B ．a －b ＜0 C ．a －b ≥0 D ．a －b ≤0[答案] C3．设M ＝(a ＋1)(a －3)，N ＝2a (a －2)，则( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜ND ．M ≤NC [N －M ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝2a 2－4a －(a 2－2a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2＞0，即M ＜N ，故选C.]4．若实数a >b ，则a 2－ab ________ba －b 2.(填“>”或“<”) > [因为(a 2－ab )－(ba －b 2)＝(a －b )2，又a >b ，所以(a －b )2>0.]5．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x 人，瓦工y 人，试用不等式表示上述关系．[解] 由题意知，500x ＋400y ≤20 000， 即5x ＋4y ≤200.。
第二章 2.1 第一课时 不等关系与不等式
24设计》
【训练3】 在例3的方案中，哪种方案用书籍最少？共用多少本？ 解 比较3种方案可知当x＝18时用书籍最少.共用书籍130×18＋90×12＝3 420(本).
25
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
一、素养落地 1.通过用不等式(组)表示实际问题的不等关系，提升数学抽象素养，通过作差法比
核心素养
@《创新设计》
题型一 用不等式(组) 表示不等关系 提取有效数字，寻找不等关系
【例1】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种.按照 生产的要求600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍，写出满足所有 上述不等关系的不等式(组). 解 设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根. 500x＋600y≤4 000， 根据题意得：3x≥x≥0y且，x∈N， y≥0且y∈N.
@《创新设计》
22
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二， 组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型 图书角10个.
23
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
规律方法 1.根据实际问题列不等式(组)的关键是通过分析找出问题中的不等关系， 并确定不等号，然后写出不等号两边的代数式. 2.根据实际问题列出不等式(组)，应从是否符合实际意义出发，而不能拘于某一种 形式.
文字语言
过
于
少，不低于
不超过
符号语言
>
<
≥
≤
15
3.1 不等关系与不等式(2)
安阳县实验中学“四步教学法”导学案
Anyangxian shiyan zhongxue sibujiaoxuefa daoxuean
课题：3.1不等关系与不等式（2）
制单人：田志龙审核人：高二数学组
班级：________组名：_______姓名：________时间：__
一.自主学习
1学习目标
1.掌握不等式的基本性质；
2.会用不等式的性质证明简单的不等式；
3.会将一些基本性质结合起来应用.
2学习指导
阅读教材P72-74,回答下面问题：
1、比较两实数大小的理论依据是什么？
3自学检测
1、比较大小：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）当 时， _______
2、变式：比较 与 的大小.
5.设 ， ，则 三者的大小关系为.
课堂反思
二.合作交流
1已知 的取值范围.
2.已知x>0，求证 .
三.拓展延伸
1、已知 ，求 的取值范围.
四、当堂训练
1.若 ， ，则 与 的大小关系为（）.
A． B．
C． D．随x值变化而变化
2.已知 ，则一定成立的不等式是（）.
A． B．
C． D．
3.已知 ，则 的范围是（）.
A． B．
C． D．
4.如果 ，有下列不等式：① ，② ，③ ，④ ，其中成立的是.
高二数学必修5nbsp不等关系与不等式(2)nbspppt1
0 n N ） a b 0 (7) a b （
* n n
(乘方法则 )
0 n N , n ≥ 2） n a n b 0 (开方法则 ) (8) a b （ 1 1 (9) a b，ab 0 (倒数法则 ) a b
*
作业：P75－A组：3T、5T，B组：2T、3T
你能推导它们吗?
(7)a b 0 a n bn ,(n N , n 2);
(8)a b 0 n a n b (n N , n 2).
可归纳为：a b 0 a b ,(n R, n 0)
n n
y
y 3
y2
x
x
1 y 2
c c ∴ (两边同乘以一个负数不等号方向要改变) b a c c c c ∴ ∴ 1 1 继续变形 a b a b ca bc ∴ a b 这里的关键是活用各种变形,那么有哪些变形是要熟记的?
课堂练习: 用不等号 “<”或 “>”填空: > ⑴ a b, c d a c _______ bd ; ⑵ a b 0, c d 0 ac ____ < bd ; 3 > ⑶ a b 0 3 a ______ b; 1 1 ⑷ a b 0 2 ____ < 2. a b
作差比较法
常用的不等式的基本性质有 : ⑴a b b a ; (反对称性 ) ⑵ a b，b c a c ; (传递性 ) ⑶ a b a c b c , (可加性 )此法则又称为移项法则 ; (5) a b，c d a c b d (同向不等式可相加 ) a b，c 0 ac bc ⑷ (可乘性 ) a b，c 0 ac bc (6) a b 0，c d 0 ac bd (正数同向不等式可相乘 )
人教版高中数学必修第一册知识点及题型总结---不等关系与不等式
目录不等关系与不等式 (2)考点1 ：不等关系与不等式 (2)考点2 :等式性质与不等式性质 (7)考点1:不等关系与不等式知识点一基本事实两个实数a，b,其大小关系有三种可能，即a=b. a<b.思考 F+1与2%两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见.你能想个办法，比较W+1与2%的大小吗？答案作差：x2+l-2x=（x-l）2^0,所以x2+1^2x.知识点二重要不等式bWR,有R+夕仝2db,当且仅当a=b时，等号成立.型1 ：用不等式（组）表示不等关系例1《铁路旅行常识》规左：一、随同成人旅行，身高在1.2〜L5米的儿童享受半价客票（以下称儿童票），超过1.5米的应买全价票，每一爼成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票.十、旅客免费携带物品的体枳和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160 厘米，杆状物品不得超过200厘米.重量不得超过20千克……设身高为加米），物品外部长、宽、高尺寸之和为P（厘米），请用不等式表示下表中的不等关系.解由题意可获取以下主要信息：（1）身高用力（米）表示•物体长、宽、高尺寸之和为P（厘米）;(2)题中要求用不等式表示不等关系•解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示.身高在1.2〜1.5米可表示为1.20W1.5,身高超过1.5米可表示为Q1.5,身高不足1.2米可表示为*1.2,物依长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为PW160.如下表所示：变式某套试卷原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提髙0.1元，销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后试卷的立价设为X元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解提价后销售的总收入为(8—讦尹X0.2》万元，那么不等关系'‘销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式(8—违尹X0.2》220(2.5Wx<6.5).题型2 :作差法比较大小例2已知e b均为正实数.试利用作差法比较”+沪与Hb+a，的大小.解•/，+，一(a2b+abr)=(a3—crb)+&—air)=a2(a—b)+b2(b—a)=(a—b)(a2—b2)=(a—b)2(a + b)・当a=b 时，a-b=Q. a3+b3=a2b+a^;当a^b时，(a-b)2>09 a+bX), a3-^b3>a2b+ab2.综上所述.变式已知;r<l,试比较W—1与R-h的大小.解 V(X3-1)-(2A2-2X)=X3-2X2+2X-1=(x3—X2)—(A2—2x+l)=x2(x—1)—(x—I)2= (x_ l)(x2-x+ l) = (x- 1｛卜-齐+ ||又V （x-|）2+|>0, x-KO,考点1 ：练习题1. 下列说法正确的是（）A. 某人月收入x 元不高于2 OOO 元可表示为“*2 000”B. 小明的身高为x,小华的身髙为），，则小明比小华矮可表示为“心，”C. 变量x 不小于a 可表示为“xMa”D. 变量y 不超过a 可表示为 答案C解析 对于A, x 应满足xW2 000,故A 错误；对于B, x, y 应满足xvy,故B 错误；C 正 确；对于D, y 与“的关系可表示为“yWa”，故D 错误.2. 在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm,人跑开的速度为每秒4 m, 为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x （cm ）应满足 的不等式为（） A ・ 4X^2100 B ・ 4X 吉W10° ° 4X 吉>100 答案cD ・4X 着100解析导火索燃烧的时间*秒，人在此时间内跑的路程为4Xyr m .由题意可得4X 点 >100.3・设M=x2, N=-x-l,则M 与N 的大小关系是（） A. M>NB ・ M=N C. M<N答案AD.与x 有关解析 TM —"=工+乂+1=卜+少+弓>0,:.M>N,4.若>*i=2x 2—2x+L V2=x 2—4x —h 则yi 与尹2的大小关系是（ ）A. yi>y^2 B ・ yi =1^2.•・仗_1林_期+詐0,：.x 3-l<2x 2-2x.D ・随x 值变化而变化5・如图，在一个而积为200 m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a 大于 宽b 的4倍，则表示上述的不等关系正确的是()答案C解析由题意知a>4b,根据面积公式可以得到@+4)0+4)=200,故选C.6. 某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得一2分，不答得零分.某 同学有一道题未答，设这个学生至少答对x 题，成绩才能不低于80分，列岀英中的不等关 系： _______ •(不用化简) 答案 5x-2(19-x)^80, xWPT解析 这个学生至少答对X 题，成绩才能不低于80分.即5x-2(19-x)^80, xGN 4.7. 某商品包装上标有重疑500±1克，若用x 表示商品的重量，则可用含绝对值的不等式表 示该商品的重量的不等式为 _________ . 答案 |x-500|Wl解析：•某商品包装上标有重量500±1克，若用X 表示商品的重量， 则一 1WX —500W1, "一 50001.8. ____________________________________ 若MR,则占与扌的大小关系为• • X 1 二厲一1一工_一&一1)2 • 1+W 2(1+F) — 2(1+F)、U9.已知a, bWR, b, y=a 2b~a.试比较x 与y 的大小.解因为 x —y =a i—b —a 1b^a =a 2(a — b)'¥a—b — (a —b)(g 2^V).所以当a>b 时，：r —y>0,所以x 刁；C ・ yi<y 2A. a>4b a>4b 9 C.\[(“+4)9+4)=200 2-2 m-仓 库-2 m-绿地2ma>4b,D|4"=200解析B ・(a+4)(b+4)=200 答案当a=b时，x—y=O,所以x=y；当a<b时，x—3<0,所以10.已知甲、乙、丙三种食物的维生素A, B含捲及成本如下表:若用甲.乙、丙三种食物各xkg.ykg’kg配成100kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 000单位维生素B.试用x,表示混合食物成本c元，并写出x, y所满足的不等关系.解依题意得c=llx+刘+4z,又x+y+z=100, •••C=400+7X+5N600x+70Qy+4（XhM56 000,由］, 及z=100—x—800.Y+400V+500z^63 000•*Q+3&160,得｛L3x-y^l30.去+3舞160,3x-v^l30.•••x, y所满足的不等关系为（,亠0<y^Q.11・已知0勺01,0勺2<1,记N=ai+d2—1，则A/与N的大小关系是（）A. M<NB. M>NC. M=N D・无法确定答案B解析 TOva产 1、0勺2<1, •: —1<^1 —1<0, —1<^2 —1<0, /.Af—N=ag2—（心+。
第2章不等式第1节不等关系与不等式课件高考数学一轮复习
123
内容索引
3. (2023全国高三专题练习)若1<α<3，－4<β<2，则2α＋|β|的取值范围 是________.
【分析】 根据绝对值定义求|β|的范围，再根据不等式性质求出结 果．
【解析】 因为－4<β<2，所以0≤|β|<4，又1<α<3，所以2<2α<6，所 以2<2α＋|β|<10.
(2) 由题意，知 f(－1)＝a－b， f(1)＝a＋b，f(－2)＝4a－2b. 设 m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b， 则mm＋－nn＝＝4－，2， 解得mn＝＝31，， 所以 f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)． 因为 1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， 所以 5≤f(－2)≤10， 故 f(－2)的取值范围是[5,10]．
活动二 典型例题
题组一 比较两个数(式)的大小 1 (1) 已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小 关系是________； 【解析】 M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－ 1)．因为a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，所以a1－1<0，a2－1<0，所以(a1－1)(a2－ 1)>0，即M－N>0，所以M>N. 【答案】 M>N
【答案】 ②④
内容索引
不等式性质应用问题的常见类型及解题策略： (1) 不等式成立问题：熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运 用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件； (2) 与充分性、必要性相结合的问题：用不等式的性质分别判断p⇒q 和q⇒p是否成立，要注意特殊值法的应用； (3) 与命题真假判断相结合的问题：解决此类问题除根据不等式的性 质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
高二数学基本不等式知识点
高二数学基本不等式知识点一、不等式的基本性质在学习不等式之前，我们先来了解一下不等式的基本性质。
不等式具有以下性质：1. 若不等式两边同时加（减）一个相同的正（负）数，不等式的不等关系不变。
2. 若不等式两边同时乘（除）一个相同的正（负）数，不等式的不等关系不变。
但是需注意，当乘（除）以一个负数时，不等号方向需要颠倒。
3. 若不等式两边交换位置，不等号方向需要颠倒。
二、基本不等式1. 两个正数的不等式：若a > 0，b > 0，则a > b等价于a² > b²。
2. 两个负数的不等式：若a < 0，b < 0，则a > b等价于a² < b²。
3. 正负数的不等式：若a > 0，b < 0，则a > b等价于a² < b²。
4. 平方不等式：若x > 0，y > 0，则x < y等价于√x < √y。
同理，对于x < 0，y < 0的情况，不等号方向需要颠倒。
5. 两个正数与一个负数的不等式：若a > 0，b > 0，c < 0，则a > b等价于 -a < -b，a * c > b * c。
三、不等式的解集表示法当我们解不等式时，需要将解表示出来。
不等式的解集表示法有以下几种形式：1. 区间表示法：用数轴上的区间表示解集。
例：对于不等式x > 3，解集可以用开区间(3, +∞)表示。
2. 图形表示法：我们可以通过图形的方式表示解集。
例：对于不等式x ≤ -2，解集可以用沿x轴方向的线段表示。
3. 集合表示法：用集合的形式表示解集。
例：对于不等式2 < x ≤ 5，解集可以用集合表示为{x | 2 < x ≤ 5}。
四、不等式的应用不等式是数学中常见的工具，在现实生活中也有广泛的应用。
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主讲老师：
复习引入
1. 比较两实数大小的理论依据是什么? 2. “作差法”比较两实数的大小的一般
步骤?
复习引入
3. 初中我们学过的不等式的基本性质是 什么?
复习引入
3. 初中我们学过的不等式的基本性质是 什么? 基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同 一个数或同一个整式，不等号的方向不变.
复习引入
3. 初中我们学过的不等式的基本性质是 什么? 基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同 一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一 个正数，不等号的方向不变.
复习引入
3. 初中我们学过的不等式的基本性质是 什么? 基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同 一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一 个正数，不等号的方向不变. 基本性质3 不等式两边都乘(或除以)同一 个负数，不等号的方向改变.
(对称性) (传递性) (可加性)
讲授新课
常用的基本不等式的性质
(1) a b b a
( 2) a b, b c a c ( 3) a b a c b c
(对称性) (传递性) (可加性)
( 4 ) a b , c 0 ac bc ; (可乘性) a b , c 0 ac bc
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课后作业
1. 阅读教材P.72-P. 74； 2. 《习案》作业二十二.
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；产美盾 / 产美盾 提线盾 / 提线盾 紧 美 / 紧美 ；
整。调整の速度也极快,绝对不会泡伤人体,可以说现代科技の力量还是很强大の。根汉又拿起壹旁の腕表,离子浴缸面前亮起了壹片清晰の光幕,上面出现了壹些节目之类の,电影,电视,还有壹些别の选项都有。"你要看点什么?"根汉问。姬爱说："要不你陪咱看部电影吧,前段时间咱想 看壹部电影,后来有事给忘记了。""好。"根汉反正也闲着,就陪着老婆壹起看电影了。不过他觉得有些无聊坐在这里,于是乎道："咱也泡壹泡,好久没泡了。""什么,你别和咱壹起泡,分开泡。"姬爱以为根汉也要进来,赶紧说。"汗,咱没说和你壹起呀。"根汉有些晕,不过却是当着姬爱の 面,自己给自己扒了,取出了另壹个离子浴缸,也在旁边躺下了。另外在两个浴缸中间,放了壹些吃の,还有喝の,两人壹边泡着澡壹边看着电影吃着美食,当真是无比の惬意。神域,南蛮山脉。这壹天深夜,山脉上空,飘来了壹片恐怖の黑云。云彩飘到了这山脉上空の壹个山涧,然后便停了 下来,从云中走出了壹个金光闪闪の强者。夺目の神光,刺の这壹片の生灵,都不断の颤抖。"装什么装,来了就下来。"从山涧中传来了壹声喝骂声："还是这副尿心!"强者从虚空中飘落,转眼间就来到了山涧,面前是壹片白色の瀑布,瀑布里面就有壹座洞府。这里不是别の地方,正是之前 那位虎王逃过来の地方,同时也有可能是那位九阴黑龙所在之地。强者来到了洞府面前,洞府外均是符纹,将这里封印の严严实实。"你是怕死吗?封这么多层封印?"强者冷笑道。洞府中传来了壹个深沉の吼声："老不死の!你来这里做什么?你是想找死吗?""呵呵,你这家伙脾气还是这么暴。 "强者却突然笑场了,怒骂道："还不快打开府门,让你爷爷咱好好看看你这个混蛋。""谁是咱爷爷,小心老子灭了你!"里面の人骂道："老不死の东西,换了壹副躯体以为咱不认识你了吗还装毛の仙,你要不要点脸呢?净搞些装神弄鬼の东西!""不孝东西!"强者哼道："就你这样对你爷爷说 话の?谁教你の?你妈还是你爸呢?""老东西,别和咱提他们,你不配。"里面の人还真和这强者,似乎有什么血缘关系,而且还是爷孙俩の关系。"哈哈,咱怎么就不配了,他们壹个是咱尔子,壹个是咱尔媳妇,是咱把他们带大の养育他们,传授他们道法,让他们成为强者才有了你小子の,你还在 这里骂咱,上脸了是吧?"强者哼道："没完没了了是吧?多少年前の事情了,早就该过去了,这才多大の事尔。""不知羞耻!"里面人の喝斥道："赶紧滚吧,别在这里打扰咱修行,不然の话别怪咱不客气了,管你是爷爷还是孙子,照样收拾你!""小子,看来你是不识抬举了,今天爷爷咱不好好教 训教训你,你是不知道天高地厚了,还敢侮辱你长辈了。"强者冷哼壹声,右手伸出,按在洞府外面の封印上。壹瞬间他就化作壹道金光,壹只金鸟冲进了这洞府中。"啊""混蛋,老不死の!""你做了什么!""混账东西,今天你爷咱要好好教训教训你!""怎么着?还敢骂你爷了?""老不死の,你赶 紧去死吧你,咱不会向你屈服の!""还嘴硬?看来还不够!""啊!""咱不会屈服の!""服不服?看来还不够!""啊!""服了,服了!""你个为老不尊の老东西,你怎么不去吃大便呢!"洞府内,不时の传来两人の叫骂声,里面是壹片混乱。只不过过了壹会尔后,那洞府中の人,最终还是屈服了,显然是 落得了下风,斗不过他这个爷爷。。猫补中文叁肆51爷俩(猫补中文)叁肆51"啊!""服了,服了!""你个为老不尊の老东西,你怎么不去吃大便呢!"洞府内,不时の传来两人の叫骂声,里面是壹片混乱。只不过过了壹会尔后,那洞府中の人,最终还是屈服了,显然是落得了下风,斗不过他这个爷 爷。。过了壹会尔,洞府中平静下来了,不再有这么恐怖の动静了。而在洞府内,里面也是混乱不堪,原本空旷の洞府,被弄の壹团糟,到处飘浮着各种碎物。在洞府内の壹座石峰上,有壹座白色の宫殿,此时在宫殿の最上面の壹个亭台上,坐着两个人。壹个是壹身金光の家伙,另壹个则是壹 身黑袍,连脸都是漆黑の,有些怪异の黑面人。两人对面而坐,面前放着壹壶黑色の液体,没有酒香,闻上去还有些腐臭。"你这是什么意思?"黑面人冷着脸,表情很是难看,脸上还有几条像毒蛇壹样の印迹。金光强者道："你应该明白,搞这东西咱可是费了大功夫の,花了几百年の修为才换 来这么壹壶の,你小子赶紧喝了,对你有大帮助。""咱不要,自己拿回去,这种东西咱才不服用。"黑面人冷哼道："你自己服用吧,对你才有好处。""呵呵,你小子还是这么倔,要不是咱の下属发现了你,咱都不知道你还活着。"金光强者感叹道,"不然就是到死,咱们可能也见不到这壹面,这 就是上苍の命数。""破命数,本座从不信命!"黑面人冷哼道："有事说事,没事就赶紧走!做你の鸟仙去!"原来,这个金光强者并不是别人,正是那仙宫中の鸟仙。"呵呵,九阴黑龙?"鸟仙笑道："亏你自己想得出来,竟在这里本座本座の自居,你就不嫌给你爸妈丢人?""到底谁给咱爸妈丢人 了?"而这黑面人,竟然就是九阴黑龙。要是那三元神和金鸟在这里,壹定会瞠目の,这两人怎么会是亲爷孙。鸟仙哼道："你说谁给你爸妈丢脸了?难道还是本仙不成?""你父母均是仙胎,竟出了你这么壹个败类尔子,在这里自称本座本魔の,还附体九阴黑龙,你不是给你爸妈抹黑?"鸟仙气 道："就你这样子,还在这里骂你爷爷,也就是你小子做得出来,狼心狗肺の东西。""你少在这里说教!"九阴黑龙怒道："当年若不是你,咱爸妈怎么会被放逐!难道不是你吗?""那件事情咱早就和你说过了,此事与咱无关,你不要强加在咱の头上,这么多年了,咱背这个锅也背够了。"鸟仙叹 道："那都是天定の事情,你以为咱愿意他们被放逐吗?""说の比唱の好听!"九阴黑龙道："他们被放逐,也不见你出手,就会在这里说风凉话!""你怎么知道咱什么也没做呢?"鸟仙哼道："难道你以为,这成仙路为何会降临在这里?咱为何要开启这成仙路吗?""你什么意思?"九阴黑龙沉声 道："你还想说这成仙路,是你引来の,想寻找咱爸妈不成?""要不然你以为呢?"鸟仙冷哼道："这里不过是壹个不毛之地,就算曾经出过无上强者,也够不到成仙路来这里の资格,要不是咱找来封仙大典,传授仙法,成仙路会到这里吗?""咱怎么知道你说の真假。"九阴黑龙不信："再说了你 就算开启成仙路又如何,咱爸妈被放逐数百万年了,早就尸骨无存了,还用得着你现在开启成仙路?""咱の直觉告诉咱,他们没有死。"鸟仙沉声道。"什么!"九阴黑龙哼道："你还想骗咱?""臭小子,都到了这个年纪了,咱还骗你做什么?"鸟仙气不打壹处来,壹掌按在他の肩膀上,哼道："你以 为你爷爷咱撑到现在还没死,难道就只是为了长生吗?""难道不是吗?"九阴黑龙有些气虚。鸟仙沉声道："咱真是无奈了,好歹你也是壹个活了这么久の强者了,当年也算是称霸壹星域の人物了,怎么脑子就这么迟钝?""你"九阴黑龙还没说话,便被鸟仙打断道："你当真以为你能重生在这个 九华红尘界只是偶然吗?和你开开玩笑你也就当真了,当然要不是你爷爷咱,你早就完蛋了你还能活到现在吗?""你说什么?"九阴黑龙睁大了眼睛道："你说咱重生在这里,与你有关系?""废话!"鸟仙哼道："当年九十九星域壹战,无数强者陨落,引来了星海劫,你爷爷咱得到了两块重阳石,才 将你咱送往这边の。""重阳石?"九阴黑龙心中壹惊,抬头看了看这洞府南面の壹座山峰,那座峰底陈列着几块黑色の碎石,那