运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-整数规划(圣才出品)
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-运输问题(圣才出品)
计算所有非基变量的检验数，如表 4-18 所示：
表 4-18
由 24 = 0 可得 c24 =17 ，所以当 c24 变为 17 时，此问题有无穷多最优调运方案。以 (A2, B4 ) 为调入格，作一闭回路，取不同的调入量对其进行调整可得到其它两个最优调运方
如表 4-5 所示：
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表 4-5
第一步：用伏格尔法求得初始可行解如表 4-6 所示： 表 4-6
第二步：用位势法进行最优解的检验。在对应于表 4-6 的数字格处填入单位运价，并增
加一行一列，在行中填入 vj ，在列中填入 ui 。令 u1 = 0 ，按照 ui + vj = cij （ i,j B ）求出所 有的 ui 和 vj ，并依据 ij = cij − (ui + vj ) （ i,j N ）计算所有空格处的检验数，计算结果如表 4-7 所示：
表 4-2 中，有 10 个基格，而理论上只应有 m+n-l=9 个，所以表 4-2 给出的调运方案 不能作为表上作业法的初始解。
4.2 判断下列说法是否正确。 （1）在运输问题中，只要任意给出一组含（m+n+1）个非零的{xij}，且满足
，就可以作为一个初始基可行解； （2）表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法； （3）如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数 k，最优 调运方案将不发生变化； （4）运输问题单位运价表的全部元素乘上一个常数 k（k>0），最优调运方案将不发生
如表 4-8 所示： 表 4-8
第一步：用伏格尔法求得初始可行解如表 4-9 所示： 表 4-9
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运筹学：整数规划习题与答案
一、单选题1、下列说法正确的是（）。
A.分枝定界法在处理整数规划问题时，借用线性规划单纯形法的基本思想，在求相应的线性模型解的同时，逐步加入对各变量的整数要求限制，从而把原整数规划问题通过分枝迭代求出最优解B.用割平面法求解整数规划问题，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解C.用分枝定界法求解一个极大化的整数规划时，当得到多于一个可行解时，通常可任取其中一个作为下界，再进行比较剪枝D.整数规划问题最优值优于其相应的线性规划问题的最优值正确答案：A2、整数规划的最优解中，决策变量满足（）。
A.决策变量不是整数B.没有要求C.决策变量至少有一个是整数D.决策变量必须都是整数正确答案：D3、下列（）可以求解指派问题。
A.梯度法B.牛顿法C.单纯形法D.匈牙利法4、整数规划中，通过增加线性约束条件将原规划可行域进行切割，切割后的可行域的整数解正好是原规划的最优解的方法是（）。
A.隐枚举法B.0-1规划法C.分支定界法D.割平面法正确答案：D5、标准指派问题（m人，m件事）的规划模型中，有（）个决策变量。
A.都不对B. m*mC. mD.2m正确答案：B二、判断题1、匈牙利法可以直接求解极大化的指派问题。
（）正确答案：×2、整数规划的可行解集合是离散型集合。
（）正确答案：√3、用分支定界法求一个极大化的整数规划时，任何一个可行解的目标函数值是该问题的目标函数值的下界。
（）4、用分支定界法求一个极大化的整数规划时，当得到多于一个可行解时，通常可以任取一个作为下界值，在进行比较和剪枝。
（）正确答案：×5、用割平面求纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量都取整数。
（）正确答案：√。
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-网络计划(圣才出品)
第11章网络计划11.1 已知下列资料(表11-1)。
表11-1要求：（1）绘制网络图；（2）用图上计算法计算各项时间参数(除外)；（3）确定关键路线。
解：（1）由题意绘制网络图如图11-1所示。
（2）事项最早时间见图11-1中“□”中的数字，事项最迟时间见图11-1中“△”中的数字。
图11-1（3）总时差为零的工序为关键工序，所以关键路线为①→③→④→⑤→⑥→⑦→⑩→⑪，对应的工序为。
11.2 已知下列资料，如表11-2所示。
rH B G A F K→→→→→要求：（1）绘制网络图；（2）计算各项时间参数；（3）确定关键路线。
表11-2解：（1）由题意绘制网络图如图11-2所示。
（2）事项最早时间见图11-2“□”中的数字，事项最迟时间见图11-2中“△”中的数字。
图11-2（3）总时差为零的工序为关键工序，所以关键路线为，如图11-2所示。
11.3 已知下列资料，如表11-3所示：表11-3求出这项工程的最低成本日程。
解：由表11-3中的已知条件和数据，绘制如图11-3所示的网络图。
图11-3各事项的最早时间为：各事项最迟时间为：()()()()()()(){} 6max44,6,33,6,55,6E E E ET T T T T T T=+++{}max84,45,11012=+++=()()()()(){}{} 7max22,7,66,7max86,12315 E E ET T T T T=++=++=将各事项的最早时间与最迟时间分别记入该事项右下角的“□”和“△”内，如图11-4所示。
图11-4总时差为零的工序为关键工序，从图11-4可以看出关键路线为又已知工程项目每天的间接费用为500元，按图11-4及表11-3中的已知资料，若按图11-4安排，易知工程总工期为l5天，工程的直接费用(各工序直接费用之和)为（20+30+15+5+18+40+10+15）×100=15300元 工程间接费用15×500=7500元 工程总费用为15300+7500=22800元如果要缩短工期，应该首先缩短关键线路上赶一天进度所需费用最小的工序的作业时间。
《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(对策论基础)
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（2）2× 或 ×2 对策的图解法
注意：该方法用在赢得矩阵为 2× 或 ×2 阶的对策上特别方便，也可用在 3× 或
×3 对策上。但对 和 均大于 3 的矩阵对策就丌适用了。
设缩减后的赢得矩阵为二阶无鞍点对策问题，局中人Ⅰ的混合策略为
的最优纯策略。 定理 1 矩阵对策 使得对一切
在纯策略意义下有解的充分必要条件是：存在纯局势
，均有
。
定义 2 设
为一个定义在
及
上的实值函数，如果存在
，使得对一切
和
，有
，则称
为
函数 的一个鞍点。 矩阵对策解的性质：
性质 1 无差别性。即若 性质 2 可交换性。即若
也是解。 定义 3 设有矩阵对策
记
是对策 G 的两个解，则
定理 11 设矩阵对策
的值为 ，则
6．矩阵对策的解法 （1）2×2 对策的公式法 所谓 2×2 对策是指局中人Ⅰ的赢得矩阵为 2×2 阶的，即
如果 A 有鞍点，则很快可求出各局中人的最优纯策略；如果 A 没有鞍点，为求最优混 合策略可求下列等式组：
上面等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）一定有严格非负解
和
，其中
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是对策 G 的两个解，则
和
，其中
，
，
则 和 分别称为局中人Ⅰ和Ⅱ的混的混合策略（或策略）；对
，称
为一个混合局势（或局
势），局中人Ⅰ的赢得函数记成
这样得到的一个新的对策记成
，称 为对策 G 的混合扩充。
定义 4 设
是矩阵对策
的混合扩充，如果
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运筹学教材习题答案详解
出售单位产品A、B、C的利润分别为3、7、2元，每单位产品C的销毁费为1元．预测表明，产品C最多只能售出13个单位．试建立总利润最大的生产计划数学模型．
【解】设x1,x2分别为产品A、B的产量，x3为副产品C的销售量,x4为副产品C的销毁量，有x3+x4=2x2,Z为总利润，则数学模型为
公司目前和预计今后三年可用于三个项目的投资金额是：现有2500万，一年后2000万，两年后2000万，三年后1500万．当年没有用完的资金可以转入下一年继续使用．
IV公司管理层希望设计一个组合投资方案，在每个项目中投资多少百分比，使其投资获得的净现值最大．
表1－24
年份
10％项目所需资金（万元）
项目1
(2)
【解】最优解X＝（3/4，7/2）；最优值Z=－45/4
(3)
【解】最优解X＝（4，1）；最优值Z=－10
(4)
【解】最优解X＝（3/2，1/4）；最优值Z=7/4
(5) 【解】最优解X＝（3，0）；最优值Z=3
(6)
【解】无界解。
(7)
【解】无可行解。
(8)
【解】最优解X＝（2，4）；最优值Z=13
3
2
-0.125
0
0
0
R. H. S.
Ratio
3/4
C(j)-Z(j)
0
0
-0.375
-0.875
11.25
对应的顶点：
基可行解
可行域的顶点
X(1)=（0，0，2，12）、
X(2)=（0，2，0，6，）、
X(3)=（ 、
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-动态规划的基本方法(圣才出品)
（1） A → B2 →C1 → D1 → E ；（2） A → B3 →C1 → D1 → E ； （3） A → B3 →C2 → D2 → E 。
8.3 计算从 A 到 B、C 和 D 的最短路线。已知各段路线的长度如图 8-2 所示。
图 8-2
解：设阶段变量 k = 1, 2,3, 4 ,依次表示 4 个阶段选择路线的过程；状态变量 sk 表示第 k 阶段初所处的位置；决策变量 xk 表示第 k 阶段初可能选择的路线；最优值函数 fk (sk ) 表示 从起点 A 到第 k 阶段状态 sk 的最短距离，则有
xn =sn
n
xn
，或 fn+1(sn+1) = 0
n
（2）设状态变量为 sk = ai xi (k = 1, 2, n) ，状态转移方程为 sk+1 = sk − ak xk ，最 i=k
n
优值函数 fk (sk ) 表示在 sk 状态下从第 k 阶段到第 n 阶段使 z = ci xi2 最小的值，则动态规 i=k
划的基本方程为：
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fk (sk )
=
min
0xk sk ak
{ck
xk2
+
f k +1 (sk
− ak xk )}
fn+1(sn − anxn ) = 0(k = n, n −1, 2,1)
8.5 用递推方法求解下列问题。
=
max {2
0x3 10
x32
+
f2 (s2 )} =
max {2
0x3 10
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-线性规划与单纯形法(圣才出品)
= =
8 −3
x1, x2, x3, x4 0
解：在第二个约束条件两边同时乘以-1，得到该线性规划问题的系数矩阵
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A
=
(
P1,
P2
,
P3
,
P4
)
=
2 −1
3 2
−1 −6
−4
7
①因为 P1 、 P2 线性无关，故有
令非基变量
x2
=
x3
=
0 ，解得
x1
=
34 , 5
x4
=
7 5
，故有基可行解
X
(3)
=
34 5
, 0, 0,
7 5
T
，
z3
=
117 5
。
④因为 P2 、 P3 线性无关，故有
32xx22
− −
x3 = 8 − 2x1 6x3 = 3+ x1
+ −
4x4 7x4
令非基变量
x1
=
x4
= 0，解得
x2
最优解或称为无界解。
（4） max z = x1 + x2 s.t. 3x1x1−−x2x20−3
x1, x2 0
解：如图 l-4 所示，该问题的可行域为空集，因此该线性规划无可行解。
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1.2 将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。
取得最小值，求解方程组
x1 x1
+ +
3x2
=
3
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max z=3x1 + 2x2
2x1 + 3x2 + x3 = 14
s.t.
2x1x,1x+2 ,xx23
+ x4 = 9 , x4 0
x1, x2为整数
先不考虑上述模型中的整数约束，利用单纯形法进行求解，如表 6-2 所示：
表 6-2
此时的最优解为 X * = (13 / 4,5 / 2, 0, 0)T ，最优目标值 Z* = 59 / 4 。 对该最优解进行凑整，当凑整为 X (1) = (3, 2, 0, 0)T 时，为可行解，z＝13；当凑整为 X (2) = (4,3, 0, 0)T ， X (3) = (4, 2, 0, 0)T ， X (4) = (3,3, 0, 0)T 时均为非可行解。
题：
B3： max z=3x1 + 2x2
2x1 + 3x2 14
s.t.
2 0
x1
+ x2 x1
3
9
0 x2 2
求得 B3 的最优解 x1 = 3, x2 = 2, z1 =13 z 。
B4： max z=3x1 + 2x2
2x1 + 3x2 14
于是得到 0 z* 44 / 3 ，再将 B1 分解成两个子问题：
B3： max z=3x1 + 2x2
2x1 + 3x2 14.5
s.t.
4 0
x1
+ x2 x1
3
16.5
0 x2 2
求得 B3 的最优解为 (3, 2,5 / 2,5 / 2, 0, 0)T ，max z3 =13。
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求得 B1 的最优解 x1 = 4, x2 =1, z1 =14 。
B2： max z=3x1 + 2x2 2x1 + 3x2 14
s.t.2x1x1+3x2 9 x1, x2 0
求得 B2 的最优解 x1 = 3, x2 = 8 / 3, z2 = 43/ 3 。 B1 已求得整数解，则可取 z = z1 =14 ，故14 z* 43 / 3 ，继续将 B2 分解为两个子问
B3 已求得整数解，则可取为 z = z3 =13 ，故13 z* 57 / 4 ，对于 B2 而言，继续分解
已无意义，可舍去。继续将 B4 分解为两个子问题：
B5 无可行解，舍去。
B5： max z=3x1 + 2x2
2x1 + 3x2 14.5
s.t.
04
x1
+ x2 x1
3
16.5
表 6-1
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此时的最优解为 X * = (7 / 2,5 / 2, 0, 0)T ，最优目标值 Z* = 31/ 2 。 对该最优解进行凑整，当凑整为 X (1) = (3, 2, 0, 0)T 时，为可行解， z =13 ；当凑整为 X (2) = (4,3, 0, 0)T ， X (3) = (4, 2, 0, 0)T ， X (4) = (3,3, 0, 0)T 时均为非可行解。
B4： max z=3x1 + 2x2
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2x1 + 3x2 14.5
s.t.
4 0
x1
+ x2 x1
3
16.5
x2 3
求得 B4 的最优解为 (11/ 4,3,0,5 / 2,1/ 4,0,0)T ，max z4 = 57 / 4 。
求得 B1的最优解 (3,17 / 6,0,5 / 3,0)T ，max z1 = 44 / 3 。
B2： max z=3x1 + 2x2
s.t.
2 4
x1 x1
+ +
3x2 14.5 x2 16.5
x1 4, x2 0
求得 B2 的最优解为 B2 (4,1/ 2,5, 0, 0)T ，max z2 =13。
x2 3
x1 3
B6： max z=3x1 + 2x2
2x1 + 3x2 14.5
s.t.
4 0
x1
+ x2 x1
2
16.5
x2 3
求得 B6 的最优解 (2, 7 / 2, 0,5, 0,1/ 2, 0)T ， z6 =13。
所以，得到最优解 x1 = 3, x2 = 2，与用舍去法得到的最优解一致。所以，用先解相应的
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第 6 章 整数规划
6.1 对下列整数规划问题，问用先解相应的线性规划然后凑整的办法能否得到最优整
数解?
（1） max z=3x1 + 2x2
2x1 + 3x2 14.5
s.t.
4x1 + x1, x2
x2 0
16.5
用分支定界法进一步求解此整数规划。
记 z = 59 / 4 ，因为 X = (0, 0, 0, 0)T 为可行解，所以 0 z* 59 / 4 。将原问题分解为两
个子问题：
B1： max z=3x1 + 2x2 2x1 + 3x2 14
s.t.2x2x1+4x2 9 x1, x2 0
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x1, x2为整数
解：在该线性规划问题的约束条件中分别加入松弛变43; 2x2
2x1 + 3x2 + x3 = 14.5
s.t.
4x1x,1x+2 ,xx23
+ x4 = 16.5 , x4 0
x1, x2为整数
先不考虑上述模型中的整数约束，利用单纯形法进行求解，如表 6-1 所示：
用分支定界法进一步求解此整数规划。
记 z = 31/ 2 ，因为 X = (0, 0, 0, 0)T 为可行解，所以 0 z* 31/ 2 。将原问题分解为两
个子问题：
B1： max z=3x1 + 2x2
s.t.
42xx11
+ +
3x2 14.5 x2 16.5
0 x1 3, x2 0
线性规划然后凑整的办法能得到最优整数解。
（2） max z=3x1 + 2x2
2x1 + 3x2 14
s.t.
2x1x,1x+2
x2 0
9
x1, x2为整数
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解：在该线性规划问题的约束条件中分别加入松弛变量 x3, x4 ，并化为标准型