2013年广西创新杯数学竞赛高一决赛试题
2013年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
=
±
1 2
8.
247 256
.
ab
=
1 4
5
9
18 247
P
=
1−
29
=
. 256
9.
{an}
a1 = 2, an = 2(n + an−1), n = 2, 3, . . .
a1 = 2, a2 = 2(2 + 2) = 8 n 3
an − 2an−1 = 2n, an−1 − 2an−2 = 2(n − 1).
3 6
AB
=
√
3 6
,
P
M
=
√ MH2
+
PH2
=
√
1 12
+2
=
53 6
√ r = 2/6
r
OK
MH 1
√
=
2−r
PO
=∼ ∠KP O =
PM
=, 5
5.
[0, π)
sin 12x = x
4.
x>1
| sin 12x| 1 < x
[0, 1] 3π < 12 < 4π
sin 12x
3/2
2
4
√
6.
f (x)
盘的所有不同可能铺法的数目是 Tn ．下面的图是 n 3 时的两种不同的铺法：
a）求 T10 ；并且 b）求 T2013 的个位数．
2013
0
8
(B )
1. 3 4.
3c4 c = 3, 4 √
2. i = −1
34
c c2 > 43 − 33 > 22,
2016年广西“创新杯”高一决赛试题答案及评分标准
2016 年广西“新杯”数学高一决卷考：2016 年 10 月 23 日(星期日) 8:30--11:00答案及分准一、（每小 6 分，共 36 分, 将答案的序号填写在第二答区相号后面的括号内）1、函数F ( X ) = X +3 + X −2 + X −1 ， F ( X)的最小是（）.A. 5B. 4C. 3D. 2解析： A.由的几何意知当 X =1F ( X)取到最小.故 A （敦元老供）2、方程X2 − 2X− 2 = 0 的一个小根X，下面X的估正确的是().1 1A．−2<X1< −1 B．−1 < X1 < 0 C．0 < X1 < 1 D．1 < X1 < 2解析: B.提示：直接求根并估；或者 F ( X)= X2 − 2 X− 2 ，并判断各区端点的函数符号. （命供）3、化( X + B)(X + C) + ( X + C)( X + A) + ( X + A)( X + B) 得( ) ．(A−B)(A−C) (B−C)(B−A) (C−A)(C−B)A.0B. 1C.2D. 3解析: B.所式子 F ( X)，有 F (−A)= F (−B)= F (−C)=1，而A,B,C互不相等，于是方程 F ( X)−1=0有三个不等根.但F(X)是关于X的二次多式，所以F ( X)−1≡0，即F(X)≡1．或常化也可得．（唐光明老供）4、如，AB⊙O的直径，E、F AB 的三等分点，M、N上两点，且AB ∠MEB= ∠ NFB = 60,EM+FN= 33 ，直径 AB 的（）.A．6 B. 2 11 C. 11 D. 8解析： A.⊙O 半径 R . 延 ME 交⊙O 于点 N ′ ， 由 的 称性，1 AB = 1 R . 作 MN ′ = 33 . 易知点 OEF 的中点，所以 OE =6 3OH ⊥ ME 于 H ， OH = OE SIN 60 = 3 R ，由 R 2 = ( 3R ) 2 + ( 33 )2 ， 6 6 2解得 R = 3，所以 AB=6.（命 供 ）5、如果一个正整数可以表示 两个 奇数的立方差， 称 个正整数 “和数”. 如：2 = 13 − ( −1) 3 , 26 = 33 −13, 2 和26 均 “和 数”.那么，不超2016 的正整数中，“和 数”共有（ ）个.A ．8B ．9C ．10D ．11解析: C.K3K3K KK 2KK K2(2 + 1)− (2 − 1)= [ (2 + 1) − (2− 1)] (2+ 1) + (2 + 1)(2 − 1) + (2−1)= 2(12 K 2+1) （其中K 非 整数），由 2(12 K 2+ 1) ≤ 2016 得，K ≤ 9 .∴K = 0,1, 2, ,8, 9 ，共有 10 个.（ 英明老 供 ）6、 足 1 + 1 =1 的正整数解( X , Y ) 的 数 （ ）．x y 2016A ．98B ．115C ．142D ．165 解析： D.由 条 件 得( x − 2016)( y − 2016) = 2016 2= 2103472， 而 2103 472有(10 + 1)(4 + 1)(2 + 1) = 165 个正因子， 于每个正因子D ，由 X − 2016 = D 可以得到一个 X 的 ，而当 X 确定后， Y 的 也随之确定，故共有 165 解.（命 供 ）二、填空 （每小 9 分，共 54 分， 将答案填写在第二 答 区填空 相号后面的横 上）7、方程 X 2+ (M − 2)X − (M + 3) = 0 的两根的平方之和最小 ， 数m 的 ______.答案：1.解析：易知方程有两个不等 根. 利用 达定理和配方法，知 m=1 ，两根之平方和最小 9.（唐光明老 供 ）8、 于函数 Y = X ，Y 的取 范 是______.2 +1X答案：( −∞, 1 ] .4解析：函数式可化得：YX 2− X + Y = 0 . 当 Y = 0 ，X = 0 ；当 Y ≠ 0 ，由 ≥ 0得： = 1 − 4 Y ≥ 0, ∴ Y ≤1. 合两种情形，可知 y 的取 范 是( −∞,1 ] . 4 4（李燕娥老 供 ）9、1的整数部分 A ，小数部分 B ， A 2 + (1 +) AB= ________.73 - 7答案：10.解析：由 1 = 3 + 7 > 2 ， 3 + 7 - 3 < 0 ，得 A = 2, B = 3 + 7 - 2 =7 -1 . 2 3 - 7 22 2 所以A 2+ (1 + )AB = 10（ 英明老 供 ）710、函数 f ( x ) = x 2− 2 x − 3 + x 2+ x − 6 的最小 _______.答案： 6 .X 2 − 2 X − 3 ≥ 0 X ≤ − 1 或 X ≥ 3，即 X ≤ −3 或 X ≥ 3 .解析：由X 2 + X − 6 ≥ 0 ，知X ≤ − 3 或 X ≥ 2∴f ( x) 的定 域 ( −∞ ，− 3] ∪ [ 3，+ ∞) .∵Y 1 = X 2 − 2 X − 3 和 Y 2 = X 2+ X − 6 在(−∞ ，− 3] 上都是减函数，在[3，+ ∞) 上都是增函数.∴ f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 + x 2+ x − 6 在(−∞ ，− 3] 上是减函数，在[3，+ ∞) 上是增函数.∴f ( x) 的最小 是 f ( −3) 与 F (3) 中 小者.∵ F ( − 3) = 2 3 ， F (3) = 6 ， ∴f ( x) 的最小 是 6 .（命 供 ）11、如 ，E 是 1 的正方形 ABCD 的 角 BD 上一点，且 BE=BC ，P CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点 Q ，PR ⊥BE 于点 R ，PQ+PR 的 _________.答案：2.2解析： 接 BP ， C作 CM ⊥BD ，∴S BCE = S BPE + S BPC ，即 1 BE •CM= 1 BC •PQ+ 1 BE •PR. 2 2 2又∵BC=BE ，∴ 1 BE •CM= 1BE(PQ+PR)，∴CM=PQ+PR.2 2∵BE=BC=1 且正方形 角 BD= 2 BC= 2 ，又 BC=CD ，CM ⊥BD ，∴M BD 中点.又△BDC 直角三角形，∴CM= 1 BD=2，即 PQ+PR是2．（命 供 ）22212、 正整数N ， f ( n) 数3N 2+ N +1 的十 制表示的数 之和（如，N = 10 ，由3N 2+ N + 1 = 311，得 F (10) = 3 + 1 + 1 = 5 ）， f ( n) 的最小． 答案：3 .解析：（1）易知，3N 2+ N +1 大于 3 的奇数，故， F ( N ) ≠ 1 .（2）若 f ( n) = 2 ， 3N 2+ N +1 只能是首位和末位 1，其余数 0 的数，即 3N 2+ N +1 = 10 k +1（其中K 正整数）.由 3N 2+ N + 1 = 11 无正整数解，知K 是大于 1 的整数.由 3N 2 + N +1 = 10 k +1知，3N 2+ N = 10k ，n (3n + 1) = 2 k ×5k .由于N 与3N +1互 ，3N + 1 > N 。
2017年广西高一数学竞赛“创新杯”决赛试卷(含参考答案)
2017年广西高一“创新杯”决赛试卷参考答案一、选择题（每小题6分，共36分）1．如果1=++cc bb aa ，则abcabc 的值为 ( _★_ )A.1-B. 1C. 1±D. 与c b a ,,的值有关【答案】A解：c c b b a a ，，的取值是1或－1,因为1=++c c b b a a ，所以c c b b a a ，，中有2个1，1个－1.c b a ,,中有两正一负，所以0<abc ，.1-=abcabc2．已知非零实数a b 、满足:2210a ab b a b ++-+=+，则a b +的值等于 ( _★_ )A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】B解：由题设得22211102a b a b ⎡⎤++++-=⎣⎦（）（）（），则0a b =+，10a =+，10b -=，故0a b =+．3．方程 3)2(22=-+x x x 的所有实数根之和为 ( ★ ) A ．1 B.3 C.5 D .7 【答案】C 解：方程22()32x x x +=-化为2222(2)3(2)x x x x -+=-。
即3251060x x x -+-=，2(1)(46)0x x x --+=。
解得1x =。
经检验1x =是原方程的根。
∴ 原方程所有实数根之和为5。
4．如图，四边形ABHK 是边长为6的正方形，点C 、D 在边AB 上，且AC =DB =1，点P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形AMNP 和正方形BRQP ，E 、F 分别为MN 、QR 的中点，连接EF ，设EF 的中点为G ，则当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长为 ( _★_ ) A.1 B. 2 C. 3 D. 6【答案】B解：设KH 中点为S ，连接PE 、ES 、SF 、PF 、PS ，可证明四边形PESF 为平行四边形，∴G 为PS 的中点,即在点P 运动过程中，G 始终为PS 的中点，所以G 的运行轨迹为△CSD 的中位线,∵CD =AB －AC －BD =6－1－1=4，∴点G 移动的路径长为421⨯=2.5．已知,,x y z 为三个非负实数，且满足325231x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩，设37s x y z =+-，则s 的最大值是 ( _★_ ) A ．57-B. 75-C. 111D. 111- 【答案】D 解：由方程组解出73711x z y z=-⎧⎨=-⎩，由,x y 非负实数，可解得37711z ≤≤，∵373(73)711732s x y z z z z z =+-=-+--=-，取711z =代入即可求得，111max -=s6．()f x 是定义在R 上的函数，若0)1(=f ，且对任意x R ∈，满足)()2(x f x f -+≤2，)()6(x f x f -+≥6，则=)2017(f ( _★_ )A. 2015B. 2016C. 2017D. 2018 【答案】B解：∵ 对任意x R ∈，满足)()2(x f x f -+≤2，∴[][][](6)()(6)(4)(4)(2)(2)()6f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+-+++-+++-≤,又)()6(x f x f -+≥6因此，(6)()6f x f x +-=，(6)()6f x f x +=+. ∴ (6)()6f x k f x k +=+，*k N ∈.∴ .20163366)1()33661()2017(=⨯+=⨯+=f f f二、填空题（每小题9分，共54分）7．已知实数x ，y 满足x 2+3x +y －4=0，则x +y 的最大值为 ． 【答案】5解：由x 2+3x +y －4=0得y =－x 2－3x +4，把y 代入x +y 得：x +y =x －x 2－3x +4=－x 2－2x +4=－（x +1）2+5≤5，∴x +y 的最大值为5．8．设a =，且ab = 1，则a 2 + b 2的值为 ．【答案】98解：因25a ===+，及ab = 1知,625)23(23232-=-=+-=b ，故a 2 + b 2 = (a + b )2– 2ab = 100 – 2 = 98．9．若f ex dx cx bx ax x +++++=+23455)12(,则e d c b a +-+-的值是 ．【答案】2解：f ex dx cx bx ax x +++++=+23455)12( ,当x =0时，1=f ，当1-=x 时，1-=+-+-+-f e d c b a ，2-=-+-+-e d c b a2=+-+∴e d c b a -.10．如图所示，BC 是半圆⊙O 的直径，EF ⊥BC 于点F ，5BFFC=． 已知AB = 8，AE = 2．则AD 的长为 ．【答案】231+ 解：联结BE ．由BC 为直径知∠BEC = 90°．故BE == 又由Rt △BFE ∽Rt △EFC ，知225BE BF EF BE BF EC EC EF FC EC FC==⇒==⇒=由割线定理得()AE AE EC AD AB +===11．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l ：34+=kx y 与x轴、y 轴分别交于A 、B ，∠OAB =30°，点P 在x 轴上，⊙P 与l 相切，当P 在线段OA 上运动时，使得⊙P 成为整圆的点P 个数是 ．【答案】6解：∵直线l ：y =kx +与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，∴B （0，4），∴OB =在Rt △AOB 中，∠OAB =30°，∴OA OB =×4=12，∵⊙P 与l 相切，设切点为M ，连接PM ，则PM ⊥AB ，∴PM =12P A ，设P （x ，0），∴P A =12﹣x ，∴⊙P 的半径PM =12PA =6－12x ，∵x 为整数，PM 为整数，∴x 可以取0，2，4，6，8，10，6个数，∴使得⊙P 成为整圆的点P 个数是6．12．黑板上写有1001,,31,21,1⋅⋅⋅共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数b a ,，然后删去b a ,，并在黑板上写上数ab b a ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是 ． 【答案】100解：1)1)(1(-++=++b a ab b a ，∵计算结果与顺序无关，∴顺次计算得：21)121)(11(=-++，31)131)(12(=-++，41)141)(13(=-++，…… 1001)11001)(199(=-++.13．（本小题满分20分）已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝13，a 2＋b 2＋c 2＝77，abc ＝48，求cb a 111++的值． 解：因为a ＋b ＋c ＝13，所以(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝169． ……………… 5分 因为a 2＋b 2＋c 2＝77，所以ab ＋bc ＋ca ＝46． ……………… 10分 又因为abc ＝48，所以2423111=++=++abc ca bc ab c b a ． ……………… 20分14．（本小题满分20分）如图，⊙O 的直径AB =2，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于E ，交AM 于D ，交BN 于C ．设AD =x ，BC =y ． （1）求y 关于x 的关系式；（2）求四边形ABCD 的面积S ，并证明：S ≥2.解：（1）过点D 作BC DF ⊥于F ，则DF AB // ∵AB 是直径，AM 、BN 是切线∴AB BN AB AM ⊥⊥, ∴BN AM //∴四边形ABFD 为平行四边形又∵∠ABC =90°，∴四边形ABFD 为矩形.∴2==AB FD ，x AD BF ==∵DE 、DA ，CE 、CB 都是切线 ∴根据切线长定理，得x AD DE ==，y CB CE ==在DFC Rt ∆中，x y BF BC CF y x CE DE DC DF -=-=+=+==,,2∴222)(2)(x y y x -+=+化简，得)0(1>=x xy ……………………………… 10分 （2）)0(,1)(21>+=+=x xx BC AD AB S ABCD,即)0(,1>+=x xx S ……………………………… 15分 ∵2)1(21xx x x -=-+≥0当且仅当1=x 时，等号成立 ∴xx 1+≥2，即S ≥2.……………………………… 20分15．（本小题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.解：因,a b 为正整数，要使得22324M a ab b =---的值为正整数，则有2a ≥. 当2a =时，b 只能为1，此时 4.M =故M 能取到的最小正整数值不超过4. 当3a =时，b 只能为1或2.若1,18b M ==;若2b =，则7M =.当4a =时，b 只能为1或2或3.若1,38b M ==;若2,24b M ==;若3,b =则2M =.……… 10分(下面考虑：22324M a ab b =---的值能否为1？)（反证法）假设1M =，则223241a ab b ---=，即22325a ab b -=+，2(3)25a a b b -=+ ①因b 为正整数，故25b +为奇数，从而a 为奇数，b 为偶数， 不妨设21,2a m b n =+=，其中,m n 均为正整数，则22222(3)(21)3(21)(2)4(332)3a a b m m n m m mn n ⎡⎤-=++-=+--+⎣⎦即2(3)a a b -被4除所得余数为3，而252(2)141b n n +=+=+被4除所得余数为1， 故①式不可能成立，故1M ≠.因此，M 能取到的最小正整数值为2.……………… 20分。
广西高一数学创新杯竞赛初赛试题(含参考答案及评分标准)
2012年广西高一数学竞赛初赛试卷考试时间：2012年9月16日（星期日）8：30－10：30一、选择题（每小题6分，共36分）1．若c b a ,,为有理数，且0323=++c b a ，则=++c b a （ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2012 （D ）2015答：A 。
解析：由有理数与无理数的性质可知0===c b a 时等式成立。
故选A.2．已知⎩⎨⎧=++=--02022z y x z y x ，则分式222222z y x z y x ++--＝（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）2答：C 。
解析：已知,002022=⎩⎨⎧=++=--x z y x z y x 得，则分式1222222-=++--z y x z y x .故选C.3．下列四图，都是由全等正方形组成的图形，其中哪一个能围成正方体？答：（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 答：A 。
解析：只有A 是可以的。
故选A. 4．己知a 是正数，并且：等于则224,12aa a a +=-（ ） （A ）5 （B ）3 （C ）1 （D ）-3 答：A 。
解析：5424,12222=+-=+=-）（则由aa a a a a 。
故选A.5．化简22312523+++得（ ）（A ）1 （B ）22+ （C ）12+ （D ）122+答：D 。
解析：122)223(23)21(1252322312523+=++=+++=+++。
故选D.6．若函数c bx ax y ++=2，当1,0,2-=x 时，其函数值9,5,15-=y ，则函数y 的最大值为（ ） （A ）5 （B ）219（C ）13 （D ）14 答：B 。
解析：由已知求得223192652()22y x x x =-++=--+。
故选B.二、填空题（每小题9分，共54分）1．方程：675691089++-++=++-++x x x x x x x x 的解为 . 答案：x=－7。
首届“创新杯”全国中学数学知识竞赛高一试题
首届“创新杯”全国中学数学知识竞赛高一年级试题考生注意：1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2.用钢笔或圆珠笔答在答题纸上。
一、选择题（每小题6分，共36分）1.足协向100名球迷调查对甲A转成中超以及减少参赛队伍的态度，其中75人赞成甲A转成中超，80人赞成减少参赛队伍，那么对于既赞成甲A转成中超，又赞成减少参赛队伍的统计中，下列说法正确的是【】.A.最多人数是55B.最少人数是55人C.最多人数是75D.最少人数是75人2.一个会议室的面积为am2，其窗子的面积为bm2，且a>b，如果把称为这个会议室的亮度，现在会议室和窗子同时增加cm2，则其亮度将【】.A增加 B.减少 C.不变 D.不确定3.高一年级举行排球赛，有可能夺冠的为A、B、C三个班，关于A、B、C到底谁是冠军，甲、乙、丙三同学进行了猜测，甲说：“一定是A班得冠”，乙说：“B班不可能得冠军”，丙说：“A班不可能得冠军”，结果出来后证实，甲、乙、丙三同学中有且仅有一个人判断是正确的，那么，谁是冠军呢？【】.A.A班B.B班C.C班D.不能确定4.神五飞天，举国欢庆，据科学有计算，运载神舟五号飞船的长征四号系列为箭，在点火后1分钟通过的路程为2千米，以后每分钟通过的路程增加2千米，在达到离地面240千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程，大概需要（）分钟【】.A.10B. 13C. 15D. 205.给定Rt△ABC，其中∠B=90°，若Rt△ABC所在平面有一点M，使△ABM和△BCM 都是直角三角形，则称M为“正角点”，这样的“正角点”有【】.A.1个B.2个C.3个D.无数多个6.函数f（x）=x2+bx+c（b，c为整数），集合S={f（k）|k∈Z}，对于某个m∈Z，如果存在m1，m2∈Z使得f（m1）·f（m2）=f（m），则称f（m）为集合S中的“希望数”，则集合S中的“希望数”的数目是【】.A.有限个，比1多B.无穷多个C.不存在D. 1二、填空题（每小题9分，共54）。
2013年全国高中数学联赛一试试卷(WORD)
2013年全国高中数学联合竞赛一试试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1．设集合{2,0,1,3}A =，集合2{|,2}B x x A x A =-? ．则集合B 中所有元素的和为____________．2．在平面直角坐标系xOy 中，点A B 、在抛物线24y x =上，满足4OA OB ?-，F 是抛物线的焦点. 则OFA OFBS S ∆∆?_____________.3．在ABC ∆中，已知sin 10sin sin ,cos 10cos cos A B C A B C ==，则tan A 的值为______. 4．已知正三棱锥P ABC -底面边长为1________. 5．设,a b 为实数，函数()f x ax b =+满足：对任意[0,1]x Î，有()1f x £. 则ab 的最大值为_____________.6．从1,2,,20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为__________.7．若实数,x y满足x -x 的取值范围是____________. 8．已知数列{}n a 共有9项，其中191a a ==，且对每个{1,2,,8}i Î，均有112,1,2i i a a +禳镲镲?睚镲镲铪，则这样的数列的个数为__________. 二、解答题：本大题共3小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9．（本题满分16分）给定正数{}n x 满足12,2,3,n n S S n -?，这里1n n S x x =++.证明：存在常数0C >，使得2,1,2,n n x C n 匙=.10．（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，12A A 、分别为椭圆的左、右顶点，12F F 、分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点. 若平面中两个点Q R 、满足11221122,,,QA PA QA PA RF PF RF PF ^^^^，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明.11．（本题满分20分）求所有的正实数对(,)a b ，使得函数2()f x ax b =+满足：对任意实数,x y ，有()()()()f xy f x y f x f y ++ .。
2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准
2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1. 设集合{2,0,1,3}A ，集合2{|,2}B x x A x A ．则集合B 中所有元素的和为 ．答案 5−．解 易知{2,0,1,3}B ．当2,3x 时，222,7x ，有22x A ；而当0,1x 时，222,1x ，有22x A ．因此，根据B 的定义可知{2,3}B ． 所以，集合B 中所有元素的和为5−．2. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线24y x 上，满足4OA OB ，F 是抛物线的焦点. 则OFA OFB S S ．答案 2．解 点F 坐标为(1,0)．设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212,44y y x x ，故21212121214()16OA OB x x y y y y y y ，即2121(8)016y y ，故128y y ． 21212111()2224OFA OFB S S OF y OF y OF y y =（）． 3. 在ABC 中，已知sin 10sin sin ,A B C cos 10cos cos ,A B C 则tan A 的值为 ．答案 11．解 由于sin cos 10(sin sin cos cos )10cos()10cos A A B C B C B C A ，所以sin 11cos A A ，故tan 11A ．4. 已知正三棱锥P ABC 底面边长为1，高为，则其内切球半径为 ．答案解 如图，设球心O 在面ABC 与面ABP 内的射影分别为H 和K ，AB 中点为M ，内切球半径为r ，则P 、K 、M 共线，P 、O 、H 共线，2PHM PKO ，且,OH OK r PO PH OH r ，MH ABPM ， 于是有1sin5OK MH KPO POPM ，解得r． 5. 设,a b 为实数，函数()f x ax b 满足：对任意[0,1]x ，有()1f x . 则ab 的最大值为 ．答案14． 解 易知(1)(0),(0)a f f b f ，则2221111(0)((1)(0))(0)(1)(1)(1)2444ab f f f f f f f ． 当2(0)(1)1f f ，即12a b 时，14ab ．故ab 的最大值为14． 6. 从1,2,,20 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为 ．答案 232323．解 设12345a a a a a <<<<取自1,2，…，20，若12345,,,,a a a a a 互不相邻，则123451123416a a a a a ≤<−<−<−<−≤，由此知从1,2,,20 中取5个互不相邻的数的选法与从1,2,,16 中取5个不同的数的选法相同，即516C 种．所以，从1,2,,20 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为5552016165520202321323C C C C C −=−=． 7. 若实数,x y满足x ，则x 的取值范围是 ． 答案 {0}[4,20] ． 解,(,0)a b a b ，此时22()x y x y a b ，且条件中等式化为2242a b a b ，从而,a b 满足方程22(2)(1)5a b (,0)a b ．如图所示，在aOb 平面内，点(,)a b 的轨迹是以(1,2)为,0a b 的部分，即点O 与弧 ACB 的02, ，从而 2204,20x a b ． 8. 已知数列{}n a 共有9项，其中191a a ，且对每个{1,2,,8}i ，均有112,1,2i i a a，则这样的数列的个数为 ． 答案 491． 解 令1(18)i i ia b i a，则对每个符合条件的数列{}n a ，有 88191111i i i i ia ab a a，且12,1,(18)2i b i ． ① 反之，由符合条件①的8项数列{}n b 可唯一确定一个符合题设条件的9项数列{}n a ．记符合条件①的数列{}n b 的个数为N ．显然(18)i b i 中有偶数个12，即2k 个12；继而有2k 个2，84k 个1．当给定k 时，{}n b 的取法有22882C C k kk 种，易见k 的可能值只有0,1,2，所以224486841C C C C 12815701491N ．因此，根据对应原理，符合条件的数列{}n a 的个数为491．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足12,2,3,n n S S n −≥= ，这里1n n S x x =++ ．证明：存在常数0C >，使得2,1,2,n n x C n ≥⋅=． 解 当2n ≥时，12n n S S −≥等价于11n n x x x −≥++ ． ① …………………4分对常数114C x =，用数学归纳法证明： 2,1,2,n n x C n ≥⋅= ． ②……………………8分1n =时结论显然成立．又2212x x C ≥=⋅．对3n ≥，假设2,1,2,,1kk x C k n ≥⋅=− ，则由①式知()121n n x x x x −≥+++()21122n x C C −≥+⋅++⋅()223122222n n C C −=++++=⋅ ，所以，由数学归纳法知，②式成立．…………………16分10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为22221(0)x y a b a b ，1A 、2A 分别为椭圆的左、右顶点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点．若平面中两个点Q 、R 满足11QA PA ，22QA PA ，11RF PF ，22RF PF ，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明．解 令c ，则1212(,0),(,0),(,0),(,0)A a A a F c F c ．设001122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y ，其中22000221,0x y y a b．由1122,QA PA QA PA 可知111010()()0A Q A P x a x a y y，① 221010()()0A Q A P x a x a y y． ②…………………5分将①、②相减，得102()0a x x ，即10x x ，将其代入①，得220100x a y y ，故22010x a y y ，于是22000,x a Q x y ． …………………10分 根据1122,RF PF RF PF ，同理可得22000,x c R x y． …………………15分 因此2222200000x a x c b QR y y y ，由于0(0,]y b ，故QR b （其中等号成立的充分必要条件是0y b ，即点(0,)P b 为 ）． …………………20分 11. （本题满分20分）求所有的正实数对(,)a b ，使得函数2()f x ax b 满足：对任意实数,x y ，有()()()()f xy f x y f x f y ．解 已知条件可转化为：对任意实数,x y ，有22222()(())()()ax y b a x y b ax b ay b ． ①先寻找,a b 所满足的必要条件．在①式中令0y ，得22()()b ax b ax b b ，即对任意实数x ，有2(1)(2)0b ax b b ．由于0a ，故2ax 可取到任意大的正值，因此必有10b ，即01b ． …………………5分在①式中再令y x ，得422()()ax b b ax b ，即对任意实数x ，有2422()2(2)0a a x abx b b ． ②将②的左边记为()g x ．显然20a a （否则，由0a 可知1a ，此时22()2(2)g x bx b b ，其中0b ，故()g x 可取到负值，矛盾），于是 2222222()()()(2)ab ab g x a a x b b a a a a 222()(22)11b b a a x a b a a0 对一切实数x 成立，从而必有20a a ，即01a ． …………………10分进一步，考虑到此时01b a ，再根据(22)01b g a b a，可得22a b ．至此，求得,a b 满足的必要条件如下：01b ，01a ，22a b ． ③…………………15分下面证明，对满足③的任意实数对(,)a b 以及任意实数,x y ，总有①成立，即222222(,)()(1)()2(2)h x y a a x y a b x y axy b b对任意,x y 取非负值．事实上，在③成立时，有2(1)0,0a b a a ，(22)01ba b a，再结合222x y xy ，可得2222(,)()(1)(2)2(2)h x y a a x y a b xy axy b b2222()2(2)a a x y abxy b b22()(22)11b b a a xy a b a a0 ． 综上所述，所求的正实数对(,)a b 全体为{(,)|01,01,22}a b b a a b ． …………………20分。
2014年广西创新杯高一数学竞赛初赛试题参考答案及评分标准
2014年广西“创新杯”数学竞赛高一初赛试卷参考答案与评分标准考试时间：2014年10月12日（星期日）8:30—10:30一、选择题（每小题6分，共36分）1．方程224+=x x 的实数解为（ ）（A ）－1或2 （B ）1 （C ）2 （D ）2±答：D 。
解析：由已知得0)1)(2(,022224=+-=--x x x x 22=x 或12-=x (舍去)，故有2±=x 。
2．若实数满足y y x 44|1|2=+++，则y x +的值为（ ）（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2答：C 。
解析：由y y x 44|1|2=+++得0)2(|1|2=-++y x ，于是有02,01=-=+y x ，所以1=+y x 。
3．设梯形的中位线的长为l ，两对角线的长分别为y x ,，则（ ）（A ）2y x l +< （B ）2y x l += （C ）2y x l +> （D ）以上答案均有可能 答：A 。
解析：提示过梯形的一顶点作对角线的平行线。
4．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1025y x x y y x 的解为（ ）（A ）⎩⎨⎧==91y x （B ）⎩⎨⎧==82y x （C ）⎩⎨⎧==64y x （D ）⎩⎨⎧==82y x 或⎩⎨⎧==28y x 答：D 。
解析：原方程变形为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1025y x xy y x ，⎩⎨⎧=+=1016y x xy 解得⎩⎨⎧==82y x 或⎩⎨⎧==28y x . 5．方程0)7()1(82=-+--m x m x 恰有一个正根和一个负根，则m 的取值范围是（ ）（A ）7<m （B ）9≤m （C ）7>m （D ）25≥m答：A 。
解析：由已知得2(1)48(7)0m m ∆=--⨯->，即2342250m m -+> 得9m <或25m >，由08721<-=m x x ，得7<m ，故有7<m 为所求。
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2013年广西“创新杯”数学竞赛高一决赛试题
考试时间：2013年10月13日（星期日）8：30－10：30
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.设c b a ,,为实数，()()()()()()
.11,22+++=+++=bx cx ax x g c bx x a x x f 记集合
(){}(){}t s R x x g x T R x x f x S ，若.,0|,,0|∈==∈==分别为集合S,T 的元素个数，
则下列结论不可能的是（ ）.
A. 1=s 且0=t
B. 1=s 且1=t
C. 2=s 且3=t
D. 2=s 且2=t
2、已知两个不同的正整数之和为2 013.则其最小公倍数M 的最大值为（ ）.
(A)1 0062 (B)1 005×1 006 (C)1 006 (D)1 006×1 007 3.已知正整数n m 、可写成332210777×+×+×+a a a a 的形式，其中，)3,2,1,0(=i a i 为1至7的正整数，且)(0122n m n m >=+.则符合条件的数对）（n m ,有（ ）个. (A)606 (B)608 (C)610 (D)612
4.某汽车维修公司的维修点A,B,C,D 是环形分布图，公司在年初分配给A,B,C,D 四个维修点某种配件各50件，在使用前发现，需将A,B,C,D 四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动次数（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动次数为n）为（ ）.
A. 15
B.16
C. 17
D.18
5.四边形各顶点位于一个边长为1的正方形的各边上，若四边形的边长为
d c b a ,,,，则有（ ）.
（A）202222≤+++≤d c b a （B）422222≤+++≤d c b a （C）312222≤+++≤d c b a （D）632222≤+++≤d c b a
6.若关于y 的方程2||1|2|y m −−=恰有五个不同的实根，则m =（ ）. (A)0 (B)1 (C)2 (D)大于2
二、填空题（每小题6分，共36分）
1.已知集合{}1234,,,M a a a a =, {}2222
1234,,,N a a a a =，其中1234,,,a a a a 为正整数，
且1234a a a a <<<，{}13,M N a a =∩，415a a −=，则M N ∪中所有元素之和为 .
2.已知实数x ，y ，z 满足2x y +=，21z xy =−，则22223x y z ++=___________.
3.函数2()1f x mx x =−+的正实数根有且只有一个，则实数m 的取值范围是 . 4．设2
21
)(+=
x
x f ，则)6()4()2()1()3()5(f f f f f f +++−+−+−＝ . 5.若关于x 的方程222(3)30x m x m ++++=的两个实数根分别为12x x 、，则
2221)1()1(−+−x x 的最小值为 .
6.设n x 表示4n 的个位数字，则=+++201321x x x .
三、（20分）已知抛物线2x y =与直线)12()2(−−+=k x k y ，
（1）证明：无论k 取什么实数，该抛物线与直线恒有两个不同的交点； （2）设该抛物线与直线的两个不同交点分别为),(),,(2211y x B y x A ，若21,x x 均为
整数，求实数k 的值.
四.（20分）试求所有整数组()(),0132,>>y x y x 满足
,013
21111=++xy y x 且y x −最大.
五.（20分）设P是平行四边形ABCD内部的一点，且有∠PAB=∠PCB，求证：∠PBA=∠PDA。
A
B
C D
P。