立体角计算公式
多维空间的立体角
多维空间的立体角立体角的概念在几何学、电动力学、光学、天文学等领域应用十分广泛。
本文从二维空间的平面角开始对n 维空间的立体角进行探讨。
1. 平面角我们先来分析平面角的单位元，如图所示，单位元dφ可以表示为：dφ=CD ̂r其中，CD̂的长度近似为CD ̂，设C →D 的任意曲线微元（即为直线微元）为dl ，dl 与半径r 的夹角为θ，则：CD̂=dl ∙sin θ 对上述微元进行积分，则从A 到B 的曲线对应的角为：φ=∫dlrBAsin θ 设dl 的法线方向的单位向量为e 0，设e 0与r 的夹角为ψ则：ψ=π2−θφ=∫dl r B A cos ψ=∫e 0dl ∙rr B A2. 立体角对于三维空间的立体角，通常将某一曲面投影至球面，计算其与半径平方的商的曲面积分。
设曲面的面积微元为dS（其大小代表曲面大小，方向为外法线方向）；设r为观测点指向面积微元的向量，则dS在以r为半径的球上的投影面积为：dS⊥=dS∙r r立体角微元dΩ为：dΩ=dS∙r r3曲面对空间的立体角为：Ω=∫dS∙r r3S不难得到，全空间的立体角Ω=4π下面再给出几个特殊空间图形所张的立体角计算公式及值：顶角为2θ的圆锥：Ω=2π(1−cosθ)半球：2π球面三角形：A+B+C−π四面体：对于任意四面体OABC，设α=∠BOC，β=∠AOC，γ=∠AOB，θ=12(α+β+γ)，则：tan Ω4=√tanθ2tanθ−α2tanθ−β2tanθ−γ2正方体的一个顶角的立体角为π2，正四面体的一个顶角为arctan 10√223（或者arccos 2327）3. n 维空间的立体角设n 维立体角Ω的顶点位于n 维球的球心，设n 维球的表面积为S ，半径为R ，则：Ω(n )=S(n)R n−1则问题的关键在于求出n 维球体的表面积： 由Gauss 公式：∫∇∙r dV V=∮r ∙dS ðV由于r 代表n 维球径向矢量，设：r =x 1i 1+x 2i 2+x 3i 3+⋯+x n i n则：∇∙r =nr ∙dS =x 12+x 22+⋯x n2R=R故：nV (n )=RS(n) S (n )=nRV(n) 通过换元易得：V (n )=R n β(n)其中，β(n)为单位球体的体积：β(n )=∫dx 1dx 2⋯dx n V n 0V n 0:x 12+x 22+⋯+x n 2≤1β(n )=∫dx n 1−1∫dx 1dx 2⋯dx n−1V n−1V n−1: x 12+x 22+⋯+x n−12≤1−x n 2故：V n−1=βn−1∙(1−x n 2)n−12βn =βn−1∫(1−x 2)n−12dx1−1=2βn−1∫(1−x 2)n−12dx 1换元，令x =cos tβn =2βn−1∫sin n t dt π2=√πβn−1Γ(n +12)Γ(n 2+1)由于β1=2，可得：βn =πn2Γ(n 2+1)最终可得：V (n )=R nπn 2Γ(n2+1) S (n )=nR n−1πn 2Γ(n2+1) Ω(n )=n nπn 2Γ(n2+1)列表如下：图像如下：附源代码：n=1:10;V=n.*pi.^(n/2)./gamma(1+n/2); plot(n,V,'black+');xlabel('n')ylabel('\Omega(n)')title('空间维数与立体角')。
立体角计算公式
立体角计算公式立体角，又称夹角、内角、拱角，是指在立体空间内三条曲线汇合成的一种特殊的角，它体现了空间几何学的概念。
它的计算通常使用三角函数和立体几何的相关参数。
立体角的计算都是围绕着一个拱角内三个平面之间的夹角来完成的。
基本计算公式二维平面立体角的计算公式如下：夹角=sin-1[(b x c)/(|b||c|)]其中，b和c是向量，|b|和|c|分别是b和c的模长，x表示叉乘。
三维平面立体角的计算公式如下：夹角=cos-1[(a x b)c/(|a||b||c|)]其中，a、b和c是向量，|a|、|b|和|c|分别是a、b和c的模长，x和表示叉乘和点乘。
立体几何计算公式立体几何的计算公式可以用来表示立体角的特性，以此来计算夹角的大小。
1.体积公式：V＝abc其中，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，V表示立体角的体积。
2.表面积公式：S＝ab+bc+ca其中，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，S表示立体角的表面积。
3.距离公式：D＝√(a+b+c)其中，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，D表示立体角的距离。
4.角平分公式：α/β/γ＝a/b/c其中，α、β和γ是各角的大小，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长。
5.体积中垂线公式：V＝abc sin其中，V表示立体角的体积，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，α表示立体角的内角大小。
立体角的应用立体角计算公式广泛应用于几何学、机械工程、电子学等领域，它可以用来计算空间坐标系的定位，构建复杂的几何体，也可用来测量空间距离、角度、体积等。
比如，在机械结构设计中，立体角的计算公式可以用来计算连接的螺栓的角度、位置和大小，为准备安装和维护机械设备提供依据。
在电子工程中，立体角的计算公式也可以用来计算电子元件之间的位置、距离和角度，这些参数对正确构建电子系统非常重要。
总结立体角是一种有三条曲线汇合而成的特殊角，它体现了空间几何学的概念。
光强中什么是立体角及它的计算公式
摘要：本文应用数学工具，推导出灯具在两个相互垂直方向上的发光角同立体角之间的关系。 关键词：立体角，发光角。 0 引言 光强度是照明工程中的一个重要术语，其定义是“光源在给定方向的单位立体角中发射的光通量”， 一般以 I 表示。若在某微小立体角 dΩ内的光通量为 dΦ（ψ，θ），则该方向上的光强为： I（ψ，θ）=dΦ（ψ，θ）/dΩ。 式中，dΩ的单位为 sr（球面度），光强的单位为 cd（坎德拉，烛光）。 1 cd=1 lm/sr。 但关于立体角的计算方法，照明教材及各类文献中却没有述及。这给从事照明工程的专业技术人员 带来很大的困惑。
1
∂x ∂y
1− x2 − y2
（3） （4） （5）
代入（1）式得：
∫∫ A=
dxdy
D 1− x2 − y2
(6)
利用极坐标，得：
rdrdθ
∫∫ A=
D 1− r2
(7)
易知，积分区域在 xy 平面上的投影是由两条椭圆曲线围成，方程分别为：
x 2 +y2=1
(8)
sin 2 α
x2 + y2 =1
参考文献 ⑴周太明等，电气照明设计，复旦大学出版社，2001，11 ⑵同济大学数学教研室，高等数学，高等教育出版社，1998，12 ⑶陈大华等译，光源与照明（第四版），复旦大学出版社，2000，1
注：本文发表于《中国照明学会（2005）学术年会论文集》，2005.9·上海
150° 0.506 1.011 1.515 2.016 2.514 3.008 3.492 3.964 4.411 4.811
165° 0.519 1.038 1.557 2.075 2.592 3.108 3.621 4.130 4.632 5.115 5.544
立体几何三角函数计算公式
立体几何三角函数计算公式在立体几何中，三角函数是非常重要的工具，它们可以帮助我们计算各种三维空间中的角度、距离和其他属性。
本文将介绍一些常见的立体几何三角函数计算公式，并讨论它们的应用。
1. 余弦定理。
在立体几何中，余弦定理是一个非常有用的公式，它可以帮助我们计算三角形的边长。
余弦定理的公式如下：c^2 = a^2 + b^2 2ab cos(C)。
其中，a、b、c 分别表示三角形的三条边，C 表示夹在边 a 和 b 之间的角度。
利用余弦定理，我们可以计算出任意三角形的边长，从而更好地理解三维空间中的形状和结构。
2. 正弦定理。
正弦定理是另一个常见的三角函数计算公式，它可以帮助我们计算三角形的边长和角度。
正弦定理的公式如下：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)。
其中，a、b、c 分别表示三角形的三条边，A、B、C 分别表示对应的角度。
利用正弦定理，我们可以计算出任意三角形的边长和角度，从而更好地理解三维空间中的形状和结构。
3. 三角函数的性质。
除了上述的定理之外，三角函数还有一些重要的性质，这些性质在立体几何的计算中也非常有用。
其中，最重要的性质包括：三角函数的周期性，正弦函数和余弦函数的周期都是 2π，而正切函数的周期是π。
三角函数的奇偶性，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，而正切函数则是奇函数。
三角函数的单调性，在特定的定义域内，三角函数都有自己的单调性，这可以帮助我们更好地理解它们的变化规律。
利用这些性质，我们可以更好地理解和运用三角函数，从而更好地解决立体几何中的各种问题。
4. 三角函数的应用。
在立体几何中，三角函数有着广泛的应用。
例如，在计算三维空间中的角度和距离时，我们经常会用到正弦、余弦和正切函数。
另外，在计算三角形的面积和体积时，三角函数也可以发挥重要的作用。
此外，三角函数还可以帮助我们计算各种立体图形的表面积和体积，从而更好地理解它们的性质和结构。
总之，立体几何三角函数计算公式是非常重要的工具，它们可以帮助我们更好地理解和运用三维空间中的角度、距离和其他属性。
立体几何基本定理与公式
立体几何基本定理与公式
立体几何基本定理与公式包括以下几个方面：
1. 欧拉定理：对于任何一个凸多面体，其顶点数、边数和面数满足顶点数+面数=边数+2。
2. 平面角和定理：一个凸多面体的每个面的角和等于360度。
3. 球面面积公式：一个球面的面积等于4πr^2，其中r为球的
半径。
4. 球体体积公式：一个球体的体积等于(4/3)πr^3，其中r为球
的半径。
5. 正方体体积公式：一个正方体的体积等于边长的立方。
6. 矩形体积公式：一个矩形的体积等于长度乘以宽度乘以高度。
7. 棱柱体积公式：一个棱柱的体积等于底面积乘以高度。
8. 棱锥体积公式：一个棱锥的体积等于底面积乘以高度的一半。
9. 圆锥体积公式：一个圆锥的体积等于底面积乘以高度的三分之一。
10. 圆柱体积公式：一个圆柱的体积等于底面积乘以高度。
圆锥立体角公式
圆锥立体角公式
圆锥立体角是几何学中的一个重要概念，用来描述在圆锥顶点处的视觉范围。
通过圆锥立体角公式，我们可以计算出圆锥顶点处所能够看到的空间范围。
圆锥立体角公式是由圆锥的底面半径和顶点到底面的距离决定的。
根据该公式，圆锥立体角等于圆锥底面上任意一点与圆锥顶点连线的夹角的总和。
圆锥立体角公式可以用于解决许多实际问题。
例如，我们可以利用该公式计算出一个人站在山顶上所能够看到的全景范围。
我们可以通过测量山顶到地面的距离以及山顶周围的地形高度来计算出圆锥立体角，从而确定人站在山顶上所能够看到的地理景观。
另一个应用圆锥立体角公式的例子是在建筑设计中。
建筑师可以利用该公式来确定建筑物的设计高度，以确保建筑物内部的空间能够得到足够的自然光线。
通过计算建筑物顶部到地面的距离以及建筑物周围的环境光照强度，建筑师可以确定建筑物的顶部应该有多高，以保证室内空间能够获得适当的光线。
除了上述例子，圆锥立体角公式还有许多其他应用。
例如在天文学中，我们可以使用该公式来计算天体的亮度或辐射范围。
在计算机图形学中，圆锥立体角公式被用来计算三维模型的投影范围。
圆锥立体角公式是一个非常有用的工具，可以帮助我们解决许多与
视觉范围和空间感知有关的问题。
通过了解和运用该公式，我们可以更好地理解和利用几何学在各个领域中的应用。
希望通过本文的介绍，读者对圆锥立体角公式有更深入的了解，并能够将其运用到实际问题中。
数学立体几何八大定理
数学立体几何八大定理
1. 柿子定理：一个作为平面多边形底面的凸多面体的侧面积等
于这个凸多面体表面积的一半加上这个多面体面数目乘以它的底面积。
2. 欧拉定理：一个简单凸多面体的面数、顶点数和边数满足公式：面
数+顶点数=边数+2。
3. 狄利克雷定理：如果一个立体角的每个边界面都可以划分成互不相
交有限个平凡的平面角，则这个立体角为平凡的。
一个立体角被称为
平凡的，当且仅当它可以被划分成三角形。
4. 菲赫斯定理：一个多面体的每条棱所在的平面相交于一点（称为多
面体的菲赫斯点）。
5. 球冠切割定理：一个球的表面可以被三个平面分割成球冠。
6. 萨公定理：任何一个超过120度的立体角可以被切割成平凡的立体角。
7. 凸多面体的交角定理：凸多面体中任意两个面交角的余角的总和等
于360度。
8. 柯西・切比雪夫定理：如果两个凸多面体的交集不为空，则它们的
交界面至少有一点。
立体角计算公式1
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立体角计算公式
初醒悟
摘要：本文应用数学工具，推导出灯具在两个相互垂直方向上的发光角同立体角之间的关系。
关键词：立体角，发光角。
0引言
光强度是照明工程中的一个重要术语，其定义是“光源在给定方向的单位立体角中发射的光通量”，一般以I表示。
若在某微小立体角dΩ内的光通量为dΦ（ψ，θ），则该方向上的光强为：
I（ψ，θ）=dΦ（ψ，θ）/dΩ。
式中，dΩ的单位为sr（球面度），光强的单位为cd（坎德拉，烛光）。
1 cd=1 lm/sr。
但关于立体角的计算方法，照明教材及各类文献中却没有述及。
这给从事照明工程的专业技术人员带来很大的困惑。
1立体角的定义
将弧度表示平面角度大小的定义（弧
长除以半径）推广到三维空间中，定义“立体
角”为：球面面积与半径平方的比值。
即：Ω
A
=
2
r
图1平面角（单位：弧度rad）图2立体角（单位：球面度sr）2立体角的计算
设灯具在两个相互垂直方向上的发光角为2α和2β，求其所对应的立体角的大小。
设0<2α<π，0<2β<π
不失一般性，设球体半径为单位长度1，坐标原点在球心，坐标轴方
向如图。
根据定义，只须求出两角所夹球面的面积，即是立体角的大小。
由于对称性，只需求出第一卦限内的面积再乘以4即可。
图3 计算示意图
曲面面积计算公式为： A=
⎰⎰
∂∂+∂∂+D
y
z x z 2
2)()(
1dxdy （1） 上半球球面方程为：
Z=2
21y x -- （2）
由 x z ∂∂=221y
x x --- （3）
221y
x y y z ---=
∂∂ （4） 得 222211)()(
1y
x y z x z --=∂∂+∂∂+ （5）
代入（1）式得： A=
⎰⎰
--D
y
x dxdy 2
2
1 (6)
利用极坐标，得： A=
⎰⎰
-D
r
rdrd 2
1θ (7)
易知，积分区域在xy 平面上的投影是由两条椭圆曲线围成，方程分别为：
α
2
2
sin x +y 2=1 (8) x 2
+β
2
2sin y =1 (9) 交点坐标（
βαβα22sin sin 1cos sin -,
βαα
β22sin sin 1cos sin -)
φ1=arctg α
β
tg tg (10)
φ2=arctg
β
α
tg tg (11) 将x=rcos Φ，y=rsin Φ带入（8）、（9）式，得极坐标表示的边界方程为： α
22
2sin cos sin 11Φ
+
Φ=
r (12)
β
22
2sin sin cos 12Φ+
Φ=
r (13)
图4 xy 面投影
根据对称性，有：
A=4(A1+A2) (14) A1=⎰
⎰-ΦΦ1
02
1
1r r rdr d A2=
⎰
⎰
Φ-Φ2
2
2
1r r
rdr
d
于是， A1=
10
1
2
1(r r d ⎰
Φ--Φ
=
⎰
ΦΦ+
Φ-
-1
222
sin cos sin 111(α
）d Φ
=Φ1-⎰
ΦΦ+Φ-1
2
22
2cos sin sin sin 1αα
d Φ =Φ1-
⎰
ΦΦ
+Φ-Φ
Φ1
2
2
2
sin sin sin 1cos cos ααd
设t=sin Φ，则cos Φd Φ=dt A1=Φ1-⎰
Φ-1
sin 0
2
2
cos 1cos t dt αα
=Φ1-
⎰
Φ-1
sin 0
2
2cos /1t
dt
α =Φ1-arcsin(cos α·t)
1sin 0
Φ
=Φ1-arcsin(cos αsin Φ1) (15)
同理，
A2=Φ2-arcsin(cos βsin Φ2) (16)
带入（14）式,得出最终结果：
A=4(arctg
αβtg tg -arcsin(cos αsin(arctg αβ
tg tg )) +arctg βαtg tg -arcsin(cos βsin(arctg β
α
tg tg ))) (17)
特别地，当α=β时，Φ1=Φ2=π/4， A1=A2=π/4-arcsin(cos α/2)
3数值结果
参考文献
⑴周太明等，电气照明设计，复旦大学出版社，2001，11
⑵同济大学数学教研室，高等数学，高等教育出版社，1998，12
⑶陈大华等译，光源与照明（第四版），复旦大学出版社，2000，1注：本文发表于《中国照明学会（2005）学术年会论文集》，2005.9·上海。