对三个常用坐标系单位矢量的认识
对三个常用坐标系单位矢量的认识

学习报告一——对三个常用坐标系单位矢量的认识作者:英才实验学院09级四班 甘骏 2900104007AbstractThis article is supposed to give a antinomy to show how diffrerent the three coordinate systems are.And it will tell the reason.At last there is another antinomy. 【关键字】 悖论直角,圆柱,球坐标系 【引言】例题:将位于球坐标系下的P 点(1,30°,90°)处的矢量A=e θ,先在直角坐标系下表示出其表达式,然后再将所得到的表达式,重新表达成球坐标系下表出。
解:A=e θ= e x cos θcos Ф+e y cos θsin Ф+e z (-sin Ф) =e x ·0+e y ·√32+e z(-12)=√32e y -12e z ⑴重新表示成球坐标公式有: A =√32e y -12ez =√32(e r sin θsin Ф+e θ+e y cos θsin Ф+e Фcos Ф)-12(e r cos θ-e θsin θ)=√32(e r 12+e θ+e y √32+e Ф0)-12(e r √32-e θ12) = e θ⑵将⑴式结果表示在直角坐标系中,会出现一个怪异的结果: A= e θ=e r这显然是一个悖论,但是又是合理的。
本文将对此进行分析。
【正文】在⑴式推导过程中,运用了向量的运算。
由于向量的可平移特性,在进行运算过程中,实际上对向量A 进行了平移变换,将其起点平移到了坐标原点,而不是之前的P 点。
所以最终得到的结果是e r 。
从得到这个悖论的推导过程,可看出直角坐标系和球坐标系的特点及联系,直角坐标系:直角坐标系是生产生活中应用最广泛的坐标系,因为在直角坐标系下,得到的数学表达式最直观,最符合人类的经验认识。
球坐标系和直角坐标系单位矢量

球坐标系和直角坐标系单位矢量在数学和物理学中,坐标系是用来描述空间中点的位置的一种方式。
球坐标系和直角坐标系是最常用的两种坐标系之一。
本文将介绍球坐标系和直角坐标系的概念,并讨论它们之间的转换关系和单位矢量。
球坐标系球坐标系是一种基于球面坐标来表示点的位置的坐标系。
它由三个坐标参数组成:径向距离(r)、极角(θ)和方位角(φ)。
径向距离是点到原点的距离,极角是点到正 z 轴的夹角,方位角是点在 xy 平面上的投影和 x 轴之间的夹角。
在球坐标系中,单位矢量可以用三个基矢量表示:径向单位矢量($\\hat{r}$)、极角单位矢量($\\hat{\\theta}$)和方位角单位矢量($\\hat{\\phi}$)。
单位矢量的方向是指向相应坐标轴正方向的。
直角坐标系直角坐标系(也称为笛卡尔坐标系)是一种基于直角平面坐标来表示点的位置的坐标系。
它由三个坐标参数组成:x 轴上的坐标(x)、y 轴上的坐标(y)和 z 轴上的坐标(z)。
直角坐标系是最常用和直观的坐标系,我们常使用 x、y 和 z 坐标来描述点的位置。
在直角坐标系中,单位矢量可以用三个基矢量表示:x 轴上的单位矢量($\\hat{i}$)、y 轴上的单位矢量($\\hat{j}$)和 z 轴上的单位矢量($\\hat{k}$)。
单位矢量的方向是指向相应坐标轴正方向的。
坐标系之间的转换关系球坐标系和直角坐标系是可以相互转换的。
下面是球坐标系和直角坐标系之间的转换关系公式:$x = r \\cdot sin(θ) \\cdot cos(φ)$$y = r \\cdot sin(θ) \\cdot sin(φ)$$z = r \\cdot cos(θ)$$r = \\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$θ = arcc os(\\frac{z}{r})$$φ = arctan(\\frac{y}{x})$这些公式将球坐标系中的点的位置转换为直角坐标系中的点的位置,或者将直角坐标系中的点的位置转换为球坐标系中的点的位置。
空间直角坐标系三个单位矢量叉乘

标题:空间直角坐标系三个单位矢量叉乘一、概述空间直角坐标系是描述空间中点的一种坐标系,三维空间中的向量可以使用坐标系中的单位矢量进行表示。
在空间直角坐标系中,单位矢量的叉乘运算具有重要的几何和物理意义。
本文将介绍空间直角坐标系中三个单位矢量叉乘的相关知识,包括定义、性质和应用。
二、概念和定义1.单位矢量在空间直角坐标系中,三个相互垂直的单位向量分别记为i、j、k,它们在$x$、$y$、$z$轴上的投影分别为$(1, 0, 0)$、$(0, 1, 0)$和$(0, 0, 1)$。
单位矢量具有长度为1的特性。
2.叉乘给定空间直角坐标系中的两个向量$\boldsymbol{A}=(A_x, A_y,A_z)$和$\boldsymbol{B}=(B_x, B_y, B_z)$,它们的叉乘$\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}$定义为向量:$$\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} = (A_yB_z - A_zB_y)i - (A_xB_z - A_zB_x)j + (A_xB_y - A_yB_x)k$$3.三个单位矢量的叉乘在空间直角坐标系中,三个单位矢量的叉乘具有如下性质:- $i \times j=k$- $j \times k=i$- $k \times i=j$- $j \times i=-k$- $k \times j=-i$- $i \times k=-j$三、性质和应用1.右手定则利用右手定则可以确定单位矢量的叉乘方向。
将右手的四指从第一个单位向量转至第二个单位向量,拇指的方向即为叉乘的方向。
2.几何意义单位矢量的叉乘具有重要的几何意义。
$\boldsymbol{A} \times\boldsymbol{B}$的模长等于由$\boldsymbol{A}$和$\boldsymbol{B}$所张成的平行四边形面积,方向垂直于平行四边形所在的平面。
三个常用坐标系的认识及矢量旋度表达式的证明

三个常用坐标系的认识及矢量旋度表达式的证明【摘要】本文通过分析一个悖论的产生原因,叙述了在学习中对三个常用坐标系的单位矢量的一点认识;然后由旋度的定义出发,给出了一种不同于教材的矢量旋度表达式推演方法证明。
【关键词】坐标系 单位矢量 悖论 旋度表达式一、对三个常用坐标系的认识题目:将位于球坐标下的P 点(1,30,90)︒︒处的矢量A e θ=u r u r,先在直角坐标系下表示出其表达式,然后再将所得到的表达式重新表达成球坐标系下表出。
则将得到如下悖论:r A e e θ==u r u r u r请在分析产生此悖论原因的基础上,撰写一篇关于对三个常用坐标系单位坐标矢量认识的学习报告,并另外设计一个类似的悖论。
1、悖论r A e e θ==u r u r u r的产生:A u r 在直角坐标系下的表达式为:101222x y z A e e e =+-u r u r u r u r g g g g所以A u r 为点11(0,)22P -处的矢量。
然后再将A u r 在球坐标下表出1r ===1arccos(/arccos()1202z θ==-=︒ arctan(/)90y x φ==︒所以,此时的A u r是点2(1,120,90)P ︒︒处的矢量此时,r A e e θ==u r u r u r ,即在2P 点处e θu r 与r e u r 大小相等,方向相同。
产生悖论的原因:将在球坐标系中的最初的矢量A e θ=u r u r经过球坐标表出变换为直角坐标表出,再变换为球坐标表出这一变换过程之后,P 点在球坐标系下的位置已经改变,由此产生了r e e θ=u r u r ;但是,2P 点处的e θu r 已经不等于P 点处的e θu r ,因为它们的方向不相同。
2、对三个常用坐标系下单位矢量的认识2.1、直角坐标系下的单位矢量 在直角坐标系中,三个单位坐标矢量在确定了直角坐标系的前提下是常矢量,,,x y z e e e u r u r u r不随坐标内的点的变换而变化。
柱坐标三个单位矢量

柱坐标三个单位矢量柱坐标系是一种常见的坐标系,用于描述三维空间中的点位置。
在柱坐标系中,与直角坐标系不同的是,位置由径向距离、方位角和高度来描述。
在柱坐标系中,我们可以定义三个重要的单位矢量,这些单位矢量在描述空间中的点和矢量方向时起着重要作用。
径向单位矢量径向单位矢量是柱坐标系中的一个重要概念。
径向单位矢量指向从原点指向给定点的方向。
在柱坐标系中,径向单位矢量通常用字母$\\mathbf{e}_r$表示。
在柱坐标系中,径向单位矢量的方向始终与从原点到给定点的方向一致,其大小为1。
径向单位矢量的表达式为:$$ \\mathbf{e}_r = \\cos(\\phi) \\cos(\\theta) \\mathbf{i} + \\cos(\\phi)\\sin(\\theta) \\mathbf{j} + \\sin(\\phi) \\mathbf{k} $$其中$\\mathbf{i}$、$\\mathbf{j}$、$\\mathbf{k}$分别是直角坐标系中与x、y、z轴对应的单位矢量。
$\\theta$为方位角,$\\phi$为高度。
方位角单位矢量方位角单位矢量定义了在柱坐标系中指向从原点到给定点的方向的矢量。
在柱坐标系中,方位角单位矢量通常用字母$\\mathbf{e}_\\theta$表示。
方位角单位矢量的方向垂直于径向单位矢量所在的平面,其大小为1。
方位角单位矢量的表达式为:$$ \\mathbf{e}_\\theta = -\\sin(\\phi) \\sin(\\theta) \\mathbf{i} +\\sin(\\phi) \\cos(\\theta) \\mathbf{j} $$高度单位矢量高度单位矢量是指沿着z轴方向的单位矢量。
在柱坐标系中,高度单位矢量通常用字母$\\mathbf{e}_z$表示。
高度单位矢量始终沿着正z轴方向,其大小为1。
高度单位矢量的表达式为:$$ \\mathbf{e}_z = \\cos(\\phi) \\mathbf{i} + \\sin(\\phi) \\mathbf{j} $$小结柱坐标系中的三个单位矢量分别是径向单位矢量$\\mathbf{e}_r$、方位角单位矢量$\\mathbf{e}_\\theta$和高度单位矢量$\\mathbf{e}_z$。
圆柱坐标系三个矢量

圆柱坐标系三个矢量在数学和物理学中,圆柱坐标系是一种笛卡尔坐标系的扩展,它使用了径向矢量、极角和高度。
在圆柱坐标系中,我们可以用三个矢量来描述一个点的位置。
这三个矢量分别是径向矢量、极角矢量和高度矢量。
1. 径向矢量径向矢量(或称径向单位矢量)是从原点指向点P的矢量,记为a。
它的方向是圆柱面上从原点指向点P的直线方向,与圆柱面垂直。
径向矢量的大小为该直线的长度,即点P到原点的距离。
在圆柱坐标系中,点P的径向矢量可以表示为:a = ar u r其中,ar表示径向矢量的大小,u r表示径向单位矢量。
2. 极角矢量极角矢量(或称极角单位矢量)是一个沿着圆柱面的切线方向的矢量,记为b。
它的方向垂直于径向矢量,并沿着圆柱面上的圆周方向。
极角矢量的大小为1,因为它是一个单位矢量。
在圆柱坐标系中,点P的极角矢量可以表示为:b = uθ其中,uθ表示极角单位矢量。
3. 高度矢量高度矢量(或称高度单位矢量)是一个沿着z轴正方向的单位矢量,记为c。
它与平面z=0垂直,并指向z轴正方向。
在圆柱坐标系中,点P的高度矢量可以表示为:c = u z其中,u z表示高度单位矢量。
圆柱坐标系下的位置矢量根据上述三个矢量,我们可以将圆柱坐标系下的点P的位置矢量表示为:r = ar u r + ϕuθ + z u z其中,ar是径向矢量的大小,ϕ是极角,z是高度,u r、uθ和u z分别是径向单位矢量、极角单位矢量和高度单位矢量。
示例假设点P的径向矢量的大小为3,极角为π/4,高度为2。
那么点P的位置矢量为:r = 3u r + (π/4)uθ + 2u z这就是点P在圆柱坐标系下的位置矢量。
总结圆柱坐标系是一种常用的坐标系,用于描述三维空间中的点。
在圆柱坐标系中,我们可以用三个矢量来描述一个点的位置,分别是径向矢量、极角矢量和高度矢量。
径向矢量从原点指向点P,极角矢量与径向矢量垂直且沿着圆周方向,高度矢量沿着z轴方向。
通过这三个矢量的组合,我们可以得到点P在圆柱坐标系下的位置矢量。
柱坐标系三个单位矢量的方向

柱坐标系三个单位矢量的方向
在柱坐标系中,三个单位矢量的方向对于描述空间中的向量运动起着至关重要的作用。
柱坐标系是一种常用的三维坐标系,它由一个径向量、一个方位角和一个高度角(或称高度)组成。
这三个单位矢量(通常表示为r、θ和z)每个都有自己的独特方向,它们一起构成了空间中的三个基本方向。
径向单位矢量r的方向
径向单位矢量r指向从原点到点P的方向,这个方向是指从原点出发指向某一点的方向。
在柱坐标系中,单位矢量r的方向取决于坐标轴之间的夹角,通常与径向相同,从原点沿着径向指向点P。
r的方向在数学上可以描述为从原点向东北的某一角度。
方位角单位矢量θ的方向
方位角单位矢量θ指示了从X轴正方向旋转到点P所在的平面的方向。
在柱坐标系中,单位矢量θ通常沿着一定角度从r向z旋转而得到。
θ的方向可以用逆时针旋转的方式描述,从r轴指向θ轴的方向。
高度单位矢量z的方向
高度单位矢量z表示在柱坐标系中的z轴方向,即指向柱坐标系的垂直方向。
在三维空间中,z轴通常被称为高度轴,沿着这个轴方向可以得到z坐标的值。
z 的方向始终是垂直于r和θ的方向,构成了柱坐标系的竖直方向。
三个单位矢量的方向在柱坐标系中相互垂直,共同构成了一个完整的坐标系。
它们在描述空间中向量的方向和位置时起着至关重要的作用。
通过理解和熟练运用柱坐标系中单位矢量的方向,我们能更准确地描述和分析三维空间中的运动和物体位置,为物理、工程等领域的问题提供更强大的工具和方法。
1.2 三种常用坐标系中的矢量场

y y = y0(平面) 平面)
x = x0 (平面) 平面)
直角坐标系
r = e x x + e y y + ez z
dr = exdx + eydy + ezdz
dS x = ex dl y dlz = ex dydz
dz
z
dS z = ez dxdy
dS y = e y dxdz
dx
dS y = ey dlx dlz = ey dxdz
球坐标系与直角坐标系间坐标分量变换关系
Ax sinθ cosϕ cosθ cosϕ −sinϕ Ar Ay = sinθ sinϕ cosθ sinϕ cosϕ A θ A cosθ −sinθ 0 A z ϕ
体积元
dV = ρ dρ dφ dz
3 柱坐标系中的线元、 柱坐标系中的线元、面元和体积元
柱坐标系与直角坐标系的变换关系: 柱坐标系与直角坐标系的变换关系:
x = ρ cosφ y = ρ sinφ z = z
ρ = x + y y φ = arctan x z = z
4
柱坐标系下的矢量运算: 柱坐标系下的矢量运算:
A = Aρ eρ + A eϕ + Az ez ϕ
B = Bρ eρ + B eϕ + Bz ez ϕ
加减: 加减:A± B = eρ ( A ± Bρ ) + eϕ ( A ± B ) + ez ( A ± Bz ) z ρ ϕ ϕ 标积: 标积:A⋅ B = ( A eρ + A eϕ + A ez ) ⋅ (Bρ eρ + B eϕ + Bz ez ) ρ ϕ ϕ z
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学习报告一
——对三个常用坐标系单位矢量的认识
作者:英才实验学院09级四班 甘骏 2900104007
Abstract
This article is supposed to give a antinomy to show how diffrerent the three coordinate systems are.And it will tell the reason.At last there is another antinomy. 【关键字】 悖论
直角,圆柱,球坐标系 【引言】
例题:将位于球坐标系下的P 点(1,30°,90°)处的矢量A=e θ,先在直
角坐标系下表示出其表达式,然后再将所得到的表达式,重新表达成球坐标系下表出。
解:A=e θ= e x cos θcos Ф+e y cos θsin Ф+e z (-sin Ф) =e x ·0+e y ·√3
2+e z(-1
2)
=√3
2e y -1
2e z ⑴
重新表示成球坐标公式有: A =
√32e y -12
e
z =√32(e r sin θsin Ф+e θ+e y cos θsin Ф+e Фcos Ф)-12
(e r cos θ-e θsin θ)
=√32(e r 12+e θ+e y √32+e Ф0)-12(e r √32-e θ1
2) = e θ
⑵
将⑴式结果表示在直角坐标系中,会出现一个怪异的结果: A= e θ=e r
这显然是一个悖论,但是又是合理的。
本文将对此进行分析。
【正文】
在⑴式推导过程中,运用了向量的运算。
由于向量的可平移特性,在进行运算过程中,实际上对向量A 进行了平移变换,将其起点平移到了坐标原点,而不是之前的P 点。
所以最终得到的结果是e r 。
从得到这个悖论的推导过程,可看出直角坐标系和球坐标系的特点及联系,
直角坐标系:
直角坐标系是生产生活中应用最广泛的坐标系,因为在直角坐标系下,得到的数学表达式最直观,最符合人类的经验认识。
但是真正的科学研究及实际工程中,可建立的标准直角坐标系是非常少的。
即直角坐标系可作为人们最方便理解认识某一问题的工具,而不是好的解决问题的工具。
柱坐标系与球坐标系:
这两类坐标系是在科学工程中常用到的。
因为它们更接近于工程模型,可以简化计算表达式。
与直角坐标系的联系是都是有3个两两垂直的向量作为基,构成向量空间。
但是这两类坐标系不直观。
因为用eФ和eθ表示的向量随着取点不同,方向和大小在不断改变。
deθr=rdeθ+eθdr和deФr=rdeФ+eФdr
可知,这两个基向量实际上由两个表达式确定,在应用过程中可能因已知条件不足产生同一个向量不同表达的悖论。
将引言中的向量A 用柱坐标系表示,可得:
A=e θ= e r cos θ+e Ф0+e z (-sin Ф)
=√3
2e r -1
2e z ⑶ 比较⑶和⑴可得到e r =e y 。
由于e z =e z .三个基本向量两两垂直。
可确定第三个向量相等或者反向。
则直角坐标系与柱坐标系等价。
这显然是一个悖论。
实际上,此结论只在Ф=90°时成立。
随着Ф不断变化,柱坐标中的基向量
e r 和 e Ф的方向不断变化,不像直角坐标系固定,即e r =e y 不恒成立。
【参考资料】
《工科数学分析基础》 马知恩 王锦森主编 高等教育出版社 《电磁场与电磁波》 谢处方 饶克谨编 高等教育出版社。