2017届陕西省西工大附中高三第八次适应性训练理科数学试题及答案 精品

2017年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第八次适应性训练高三数学（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若0a b >>，则下列不等式中成立的是（A ）11a b> （B ）||||a b < （C ）11a b a >- （D ）11a b b >+ 2.已知平面向量(1,2),(2,)a b m =-=，且//a b ，则32a b +=（A ）(7,2) （B ）(7,14)- （C ）(7,4)- （D ）(7,8)- 3.在等差数列{}n a 中，12543=++a a a ，那么=+++721a a a （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）354.下列四个命题中，正确命题的个数是( )个① 若平面//α平面β，直线//m 平面α，则//m β； ② 若平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，则//αβ；③ 平面α⊥平面β，且l αβ= ，点A α∈，A l ∉，若直线AB l ⊥，则AB β⊥；④ 直线m n 、为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，若m n ⊥，则αβ⊥.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）35.函数sin ()x y e x ππ=-≤≤的大致图象为（A ） （B ） （C ）（D ）6.已知函数()sin()cos()(0,||)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且满足()()f x f x -=，则（A ）)(x f 在)2,0(π上单调递减 （B ）)(x f 在)43,4(ππ上单调递减（C ）)(x f 在)2,0(π上单调递增 （D ）)(x f 在)43,4(ππ上单调递增7.若一元二次不等式220()ax x b a b ++>>的解集为1{}x x a≠-，则22a b a b+-的最小值是 （A）（B（C ）2 （D ）18. 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为xyπ- π o xyπ-π o（A（B（C）12 （D）129.二项式3(ax (0a >)的展开式的第二项的系数为，则22ax dx -⎰的值为(A)3 (B) 73(C)3或73(D)3或103-10．已知)(x f 是R 上的偶函数，若将)(x f 的图象向右平移一个单位，则得到一个奇函数的图像，若(),12-=f 则(1)(2)(3)...(2014)f f f f ++++=（A ）0 (B)1 （C ）－1 ( D)－1004.5第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．11. 抛物线x ＝－2y 2的准线方程是 .12. 已知,x y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则2z x y =+的最大值为13.若2sin ,0,(2)log (),0.x x f x x x ≥⎧+=⎨-<⎩，则21(2)(14)4f f π+⋅-＝ ．14.在三棱锥BCD A -中，底面BCD 为边长为2的正三角形，顶点A 在底面BCD 上的射影为BCD ∆的中心， 若E 为BC 的中点，且直线AE 与底面BCD 所成角的正切值为BCD A -外接球的表面积为__________．15. 选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）A ．（选修4—5 不等式选讲） 若对于任意实数x 不等式|2|4x x m +-> 恒成立，则实数m 的取值范围是： ； B ．(选修4—1 几何证明选讲）如图，已知Rt ABC ∆的两条直角边AC ，BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为直径作圆与斜边AB 交于点D ，则BD 的长为 ； C ．（选修4—4坐标系与参数方程）已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的参数方程为{cos sin x y θθ==（θ为参数），直线l 的极坐标方程为cos()63πρθ-=．点P 在曲线C 上，则点P 到直线l 的距离的最小值为 ．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分）设函数22()cos()2cos ,32x f x x x R π=++∈. （Ⅰ）求()f x 的值域；（Ⅱ ）记ABC ∆的内角C B A 、、的对边长分别为a b c 、、，若()1f B =，1,b c ==a 的值.17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*21()n n S a n N =-∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；AABCDP EF（Ⅱ）设131,log n n n b c a ==，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面 ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F．（Ⅰ）求证：PA //平面EDB ； （Ⅱ）求二面角B DE F --的正弦值．19．（本小题满分12分）一个袋中装有8个大小质地相同的球，其中4个红球、4个白球，现从中任意取出四个球，设X 为取得红球的个数． （Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若摸出4个都是红球记5分，摸出3个红球记4分，否则记2分．求得分的期望．20．（本小题满分13分）已知椭圆222:1x C y a +=经过点(1P ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及其离心率；（Ⅱ）过椭圆右焦点F 的直线（不经过点P ）与椭圆交于A B 、两点，当APB ∠的平分线为PF 时，求直线AB 的斜率k ．21．（本小题满分14分）已知函数()2ln pf x px x x=--． （Ⅰ）若2p =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围； （Ⅲ）设函数2()e g x x=，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得00()()f xg x >成立，求实数p 的取值范围．2017年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第八次适应性训练高三数学（理科）参考答案一．选择题: CBCBD AADAC二．填空题: 11.81=x 12.3 13.-；14. π6；15.A.2m > B.165C. 5 三．解答题 16解：（Ⅰ）22()cos cossin sin cos 133f x x x x ππ=-++1cos cos 12x x x =-++1cos 1cos()123x x x π=+=++ 因为x R ∈，所以1cos()13x π-≤+≤，0()2f x ∴≤≤所以()f x 的值域为[0,2]． ………6分（Ⅱ）由()1f B =得：cos()113B π++=，即cos()03B π+=．又因为在ABC ∆中，0B π<<，故6B π=．在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos 6b ac ac π=+-2320a a ∴-+=解得：1a =或2a =. ………12分17解：（Ⅰ）当1n =时，由1121S a =-得：311=a ． 当 2≥n 时，n n a S -=12 ① ；1112---=n n a S ② 上面两式相减，得：131-=n n a a ． 所以数列{}n a 是以首项为31，公比为31的等比数列． 得：*1()3n n a n N =∈．……6分（Ⅱ）nnna b )31(log 1log 13131==n1=． ()11111+-=+-+=n n n n n n c n ． ……10分121n n T c c c ⎛=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+ ⎝1=(12分)18解：如图建立空间直角坐标系，点D 为坐标原点，设1=DC . (1)分（Ⅰ）证明：连结,AC AC 交BD 于点G ，连结EG .依题意得)21,21,0(),1,0,0(),0,0,1(E P A .因为底面ABCD 是正方形，所以点G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为)0,21,21(，且)21,0,21(),1,0,1(-=-=. 所以2=,即EG PA //,而⊂EG 平面EDB ,且⊄PA 平面EDB , 因此PA //平面EDB ． ……5分 （Ⅱ）)1,1,1(),0,1,1(-=PB B ,又)21,21,0(=,故0=⋅DE PB ,所以DE PB ⊥.由已知PB EF ⊥，且E DE EF = ,所以⊥PB 平面EFD . ………7分所以平面EFD的一个法向量为)1,1,1(-=.)0,1,1(),21,21,0(==DB DE ,不妨设平面DEB 的法向量为),,(z y x =则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅00)(21y x z yy不妨取1=x 则1,1=-=z y ，即)1,1,1(-= …10分 设求二面角B DE F --的平面角为θ31cos -==θ 因为],0[πθ∈，所以322sin =θ． 二面角B DE F --的正弦值大小为322． ………12分 19.解：（Ⅰ）X 0=，1,2,3,4 其概率分布分别为：()7010484404==C C C P ，()70161483414==C C C P ，()70362482424==C C C P ， ()7016341434==C C C P ，()701444404==C C C P ．其分布列为（Ⅱ）()11636161554270707070702⎛⎫E ζ=⨯+⨯+++⨯= ⎪⎝⎭．……………………（12分）20.解：（Ⅰ）把点(1P 代入2221x y a +=，可得22a =．故椭圆的方程为2212x y +=1c ∴=，椭圆的离心率为e =． ……4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()10F ，．当APB ∠的平分线为PF 时，由(12P ，和()10F ，知：PF x ⊥轴． 记PA 、PB 的斜率分别为12k k 、．所以，PA 、PB 的斜率满足120k k +=……6分设直线AB 方程为()1y k x =-，代入椭圆方程2212x y +=并整理可得，2222(12)42(1)0k x k x k +-+-=．设()()1122A x y B x y ，，，，则()221212222141212k k x x x x k k -+==++， 又(12P ，，则111111(1)222111y k x k k x x x -==+---=，222222(1)222111y k x k kx x x -==+---=．……………………8分所以12k k +=12122211y y x x -+--=()12121212122111y y x x x x x x x x +-+---++()222242122221411212k k k k k k k k -+==--+++…………11分即20k =．2k ∴=． ……………13分 21.解.（Ⅰ）当2p =时，函数2()22ln f x x x x=--，(1)222ln10f =--=．222()2f x x x'=+-，曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线的斜率为(1)2222f '=+-=．从而曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为02(1)y x -=-，即22y x =-． (4)分 （Ⅱ）22222()p px x pf x p x x x-+'=+-=． 令2()2h x px x p =-+，要使()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数，只需()0h x ≥在(0,)+∞内恒成立．由题意0p >，2()2h x px x p =-+的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为1(0,)x p =∈+∞，∴min 1()h x p p =-， 只需10p p -≥，即1p ≥时，()0,()0h x f x '≥≥∴()f x 在(0,)+∞内为增函数，正实数p 的取值范围是[1,)+∞．……9分 （Ⅲ）∵2()e g x x=在[]1,e 上是减函数， ∴x e =时，min ()2g x =；1x =时，max ()2g x e =，即[]()2,2g x e ∈， ①当0p <时，2()2h x px x p =-+，其图象为开口向下的抛物线，对称轴1x p =在y 轴的左侧，且(0)0h <，所以()f x 在x ∈[]1,e 内是减函数． 当0p =时，()2h x x =-，因为x ∈[]1,e ，所以()0h x <，22()0x f x x '=-<， 此时，()f x 在x ∈[]1,e 内是减函数．故当0p ≤时，()f x 在[]1,e 上单调递减max ()(1)02f x f ⇒==<，不合题意；②当01p <<时，由[]11,0x e x x ∈⇒-≥，所以11()2ln 2ln f x p x x x x x x⎛⎫=---- ⎪⎝⎭≤． 又由(Ⅱ)知当1p =时，()f x 在[]1,e 上是增函数， ∴1112ln 2ln 22x x e e e x e e----=--<≤，不合题意； ③当1p ≥时，由(Ⅱ)知()f x 在[]1,e 上是增函数，(1)02f =<， 又()g x 在[]1,e 上是减函数，故只需max min ()()f x g x >，[]1,x e ∈， 而max 1()()2ln f x f e p e e e ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，min ()2g x =， 即12ln 2p e e e ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得241e p e >-， 所以实数p 的取值范围是24,1e e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭．……………14分。