2019年西工大附中数学第一次适应性训练

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陕西省西安市西北工业大学附属中学2019届第一次适应性训练理科数学试题(含精品解析)

显然2、4是函数的零点，所以排除B、C；当时，根据指数函数与幂函数图象的变换趋势知，故选A4.执行如图所示的程序框图，则输出的（）A. 17B. 33C. 65D. 129【答案】C【解析】执行程序框图得：;，结束循环输出.故选C.5.已知动点满足：，则的最小值为（）A. B. C. －1 D. －2【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的性质，由可得，即，从而作出不等式组表示的平面区域，设，进一步得到，从而根据平面区域求以为圆心的圆的半径的最小值即得到的最小值.【详解】根据指数函数的性质，由可得，即，动点满足：，该不等式组表示的平面区域如图：设，，表示以为圆心的圆的半径，由图形可以看出，当圆与直线相切时半径最小，则，，解得，即的最小值为.故选：D.【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．(3)本题错误率较高．出错原因是，很多学生无从入手，缺乏数形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题.6.已知等差数列的前项和为，，，则取最大值时的为A. 4B. 5C. 6D. 4或5【答案】B【解析】由为等差数列，所以，即，由，所以，令，即，所以取最大值时的为，故选B．7.已知O是内部一点，，且，则的面积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得点为三角形的重心，故得的面积为面积的．再根据得到，故可得的面积，进而得到所求．【详解】∵，∴，∴点为三角形的重心，∴的面积为面积的．∵，，∴，∴的面积为，∴的面积为．故选A．【点睛】解答本题的关键是根据条件得到点为三角形的重心，进而得到的面积比，然后根据三角形的面积公式求解，体现了向量具有“数”和“形”两方面的性质．8.设，是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若，且的最小内角为，则C的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的定义求出，，，然后利用最小内角为结合余弦定理，求出双曲线的离心率．【详解】解：因为、是双曲线的两个焦点，是双曲线上一点，且满足，不妨设是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知所以，，，,,为△最小边,△的最小内角，根据余弦定理，，即，，所以．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．属于基础题.9.在正四棱锥中，，直线PA与平面ABCD所成角为，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：连接AC，BD交于点O，连接OE，OP；因为E为PC中点，所以OE∥PA，所以∠OEB即为异面直线PA与BE所成的角．因为四棱锥P-ABCD为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，所以AO为PA在面ABCD内的射影，所以∠PAO即为PA与面ABCD所成的角，即∠PAO=60°，因为PA=2，所以OA=OB=1，OE=1．所以在直角三角形EOB中∠OEB=45°，即面直线PA与BE所成的角为45°．故选：C．考点：异面直线及其所成的角．10.设的内角，，所对边的长分别为，，，若，且，则的值为（）A. B. C. 2 D. 4【答案】C【解析】试题分析：在中，由，利用正弦定理得，所以，得，由余弦定理得，又成等比数列，所以，所以，所以，故选C．考点：正弦定理与余弦定理的应用．11.已知四面体ABCD的三组对棱的长分别相等，依次为3，4，x，则x的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出图形，设，，四面体可以由和在同一平面的△沿着为轴旋转构成，利用数形结合能求出的取值范围．【详解】解：如图所示，第一排三个图讨论最短；第二排三个图讨论最长，设，，四面体可以由和在同一平面的△沿着为轴旋转构成，第一排，三个图讨论最短：当向趋近时，逐渐减少，，可以构成的四面体；当时构成的四面体，不满足题意；所以满足题意的四面体第三对棱长大于，第二排，三个图讨论最长：当向趋近时，逐渐增大，，可以构成的四面体；当时构成的四面体，不满足题意；所以满足题意的四面体第三对棱长小于；综上，，．故选：B．【点睛】本题考查了四面体中边长的取值范围问题，也考查了推理论证能力，属于难题．12.已知函数，若关于x的方程有四个不同的根，则实数t的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，求导分析函数递增递减特性，可得m图象和其极值点，然后根据图象特点和方程有四个不同的根，确定取值范围，即得解．【详解】解：设，,,当时，,m递增；当时，，m递减；在时，,m取得极大值.当时，，m递减.可得m图象如图，由图知：当a>时，直线y=a与m图象有一个交点；当时，直线y=a与m图象有三个交点.故关于的二次方程有两根，，且，，方满足题意.设，则：，解得：，故选：B．【点睛】本题考查了导数的应用及复合方程解的个数，通常采用数形结合的思想方法．属于中档题.二、填空题（本大题共4小题）13.若的二项展开式中的的系数为，则__________．【答案】1【解析】，所以9-3r=6, r=1,=9,,t填1.14.已知，，且在区间上有最小值，无最大值，则______．【答案】【解析】试题分析：由题意是函数的最小值点，所以，即，又，所以，所以．考点：三角函数的周期，对称性．【名师点睛】函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的对称性：利用y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx ＋φ＝kπ(k∈Z)，求得x，利用y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)得其对称轴．15.如图，点B的坐标为，函数，若在矩形OABC内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于______．【答案】【解析】【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用测度比是面积比求解．【详解】解：由已知得矩形的面积为，阴影部分的面积为，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于．故答案为：．【点睛】本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的运用，关键是求出阴影部分的面积，属于基础题．16.已知函数，，若，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】设得到，的关系，利用消元法转化为关于的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．【详解】设，则．令，则，∴在上单调递增，且，∴当时，单调递减；当时，单调递增．∴．故的最小值为．故答案为.【点睛】本题主要考查导数的应用，利用消元法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．三、解答题（本大题共7小题）17.已知在等比数列中，．1求的通项公式；2若，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设等比数列的公比设为，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到所求通项公式；（2）求得，运用错位相减法，结合等比数列的求和公式，可得所求和．【详解】解：(1)等比数列的公比设为q，，可得，，即有，，可得；(2)，数列的前n项和，，两式相减可得，化简可得．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.2017年3月智能共享单车项目正式登陆某市，两种车型“小绿车”、“小黄车”采用分时段计费的方式，“小绿车”每30分钟收费元不足30分钟的部分按30分钟计算；“小黄车”每30分钟收费1元不足30分钟的部分按30分钟计算有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行各租一车一次设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为，，，三人租车时间都不会超过60分钟甲、乙均租用“小绿车”，丙租用“小黄车”．求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；2设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望．【答案】(1);(2)见解析.【解析】【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式，分两种情况计算概率即可；（2）根据相互独立事件的概率公式求出各种情况下的概率，得出分布列，利用公式求解数学期望．【详解】（I）由题意得，甲乙丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为．记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件A．则，答：甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为，（Ⅱ）ξ可能取值有2，2.5，3，3.5，4，∴；；；，．甲、乙、丙三人所付的租车费用之和ξ的分布列为：∴．【点睛】本题主要考查了相互对立事件的概率的计算，以及离散型随机变量的分布列、数学期望的求解，其中正确理解题意，利用相互独立事件的概率计算公式求解相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.19.如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，平面ABCD，，．证明：平面平面PAC；2若，求二面角的大小．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）证明，，推出平面，则平面平面；（2）由平面，得，，又，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，由已知向量等式求得的坐标，再分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角求得二面角的大小．【详解】证明：平面ABCD，平面ABCD，．直角梯形ABCD中，由，，，得，则，即，又，平面PAC．又平面PBC，平面平面PAC；解：由平面ABCD，得，，又，分别以AD，AB，AP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则0，，0，，1，，2，，设b，，由，得b，，则，，设平面QAC的一个法向量为，由，取，则；平面PAC的一个法向量．，即．二面角的大小为．【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，属于中档题．20.已知椭圆的离心率为，它的一个顶点A与抛物线的焦点重合．1求椭圆C的方程；2是否存在直线l，使得直线l与椭圆C交于M，N两点，且椭圆C的右焦点F恰为的垂心三条高所在直线的交点？若存在，求出直线l的方程：若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）因为椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，所以，又因为离心率为，可求出，的值，得到椭圆方程．（2）先假设存在直线与椭圆交于、两点，且椭圆的右焦点恰为的垂心．设出，坐标，由（1）中所求椭圆方程，可得，点坐标，利用若为的垂心，则，就可得到含，，，的等式，再设方程为，代入椭圆方程，由已知条件能求出结果．【详解】解：1椭圆的离心率为，它的一个顶点A与抛物线的焦点重合．抛物线的焦点坐标为，由已知得，再由，解得，椭圆方程为．2设，，，，，是垂心，设MN的方程为，代入椭圆方程后整理得：，将代入椭圆方程后整理得：，，是垂心，，，，，整理得：，，或舍存在直线l，其方程为使题设成立．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，以及存在性问题的解法，考查椭圆、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．21.已知函数，曲线在点处的切线方程为．求a，b的值；2若当时，关于x的不等式恒成立，求k的取值范围．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）求得的导数，可得切线的斜率，由已知切线的方程可得切点，由，的方程，可得，的值；（2）由题意可得恒成立，即有对恒成立，求导并根据函数单调性情况进行分类讨论，最终获得k取值范围.【详解】解：函数，导数为，曲线在点处的切线方程为，可得，，则，即有，；2当时，关于x的不等式恒成立，可得恒成立，即有对恒成立，可设，导数为，设，，，当时，，在递增，可得，则在递增，，与题设矛盾；当，，可得，当时，，在时，，递减，可得，则在递减，可得恒成立；当时，，在上递增，在递减，且，所以在上，故在上递增，，与题设矛盾．综上可得，k的范围是【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和构造函数法，考查运算能力，属于难题．22.在直角坐标系xOy中，直线l：为参数，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．1写出曲线C的直角坐标方程；2已知点，直线l与曲线C相交于点M、N，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）；（2）将直线的参数方程化为标准形式：（为参数），代入曲线的方程得，则23.已知，其中．1当时，求不等式的解集；2若不等式的解集为，求a的值．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）代入不等式后化为为|x-1|≥|2x+1|，两边平方去绝对值，化为一元二次不等式解；（2）去绝对值解不等式，与已知解集相等，可得解．【详解】解：1当时，不等式可化为：，两边平方化简得：，解得，所以不等式的解集为2因为不等式，可化为，即，或，【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属于中档题．。

西安市西北工业大学附属中学2022-2023学年高三上学期第一次适应性训练数学(文)试题(解析版)

2023届陕西省西安市西北工业大学附属中学高三上学期第一次适应性训练数学（文）试题一、单选题 1．在复平面内，复数()+2iR ia a ∈对应的点位于第四象限，则实数a 的取值范围为（）A ．()0,∞+B ．(),0∞-C ．()2,∞+D ．(),2∞-【答案】A【分析】根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．【详解】()()()+2i i +2i ==2i i i i a a a --⨯-，又复数()+2iR ia a ∈在复平面内所对应的点(2,)a -位于第四象限， ∴0a -<，即0a >. 故选：A2．已知()1,0,0xy A x y x y ⎧⎫=⎧=⎨⎨⎬>>⎩⎩⎭，(){},2B x y x y =+≥，则“P A ∈”是“P B ∈”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】在同一坐标系中作出集合A 和集合B 表示的区域，再根据充分条件、必要条件即可得到结果.【详解】集合A 表示函数1y x=在第一象限的图象，集合A 和集合B 表示的区域如图所示：由图可知，集合A 和集合B 的真子集，所以“P A ∈”是“P B ∈”的充分不必要条件. 故选：A.3．已知在ABC 中，=2,=1,AB AC D 为BC 的中点，则AD BC ⋅=（） A ．1- B ．32-C ．2-D ．3-【答案】B【分析】将,AD BC 转化为,AB AC 的线性运算，再由数量积的运算律求解【详解】由题意得1()2AD AB AC =+，BC AB AC =-+，则2213()22AD BC AC AB ⋅=-=-，故选：B4．已知角α的终边经过点()1,3P ，则sin cos sin cos αααα+=-（）A ．43B ．53C ．2D ．83【答案】C【分析】根据角α的终边经过点()1,3P ，求得tan 3α=，根据同角的三角函数关系化简sin cos sin cos αααα+-，代入求值，可得答案.【详解】由角α的终边经过点()1,3P ，则tan 3α=，故sin cos tan 1312sin cos tan 131αααααα+++===---，故选:C. 5．函数2sin 21x y x =+在[],ππ-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据函数为偶函数及3()04f π<，再结合排除法，即可得答案. 【详解】∵函数2sin 21x y x =+，定义域为R∴()22sin 2sin 2()()11xxf x f x x x --===+-+， ∴()f x 是偶函数，故排除AC ；又2233sin 2sin342()04331144f πππππ⨯==<⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除B. 故选：D. 6．已知ln2ln3ln5=,=,=235a b c ，则（） A ．c b a >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．a b c >>【答案】B【分析】构造函数ln ()xf x x=，由导数判断单调性后比较大小，【详解】设ln ()x f x x=，则21ln ()xf x x -'=，当e x >时，()0f x '<，故()f x 在(e,)+∞上单调递减，而ln 2ln 424a ==，故b a c >>，故选：B7．已知两个圆锥侧面展开图均为半圆，侧面积分别记为12,S S ，且122S S =，对应圆锥外接球体积分别为12,V V ，则12V V =（）A ．8 B．C．D ．2【答案】C【分析】利用圆锥的体积公式及侧面积公式，及圆锥的外接球半径求法，即可得解. 【详解】设两个圆锥的母线长分别为12,l l ，高分别为12,h h ，底面圆的半径分别为12,r r ，对应圆锥的外接球半径分别为12,R R ，由题可得1111=2=2l r l r ππ⇒，1h =，同理得：222l r =，2h =由11111222222===22S rl r r S r l r r ππ⋅ππ⋅，得21222r r = 又222=+()R r h R -，化简得222h r Rh +=，2222111112222222+2=+2h r R h r h r R r h ∴331113322243==43R V R V R R π∴π故选：C8．已知下表所示的数据的回归直线为ˆˆˆy bx a =+，则ˆb =（）．参考公式：在线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．参考数据：51686i i i x y ==∑，5180i i y ==∑．A ．3.15B ．4.15C ．2.25D ．1.25【答案】A【分析】先求得x y 、的值，再去求()521i i x x =-∑和()()51i i i x x y y =--∑，代入公式即可求得ˆb. 【详解】1(357911)75x =++++=，511180=1655i i y y ===⨯∑()()()()()522222137579711740ii x x =-=-+-+-+-=∑，而()()55115686780126i i i i i i x x y y x y xy ==--=-=-⨯=∑∑，故126ˆ 3.1540b==，故选：A ．9．直线()y kx k R =∈与椭圆22162x y +=相交于A ，B 两点，若将x 轴下方半平面沿着x 轴翻折，使之与上半平面成直二面角，则AB 的取值范围是（）A ．B ．⎡⎣C ．(2,D ．(]2,6【答案】C【分析】判断直线与椭圆的交点的位置,然后求解|AB |的取值范围即可．【详解】由22162x y +=可知，椭圆的短轴长2b =2a =又直线()y kx k R =∈与椭圆22162x y +=相交于A ，B 两点，所以||AB 的最大值为将x 轴下方半平面沿着x 轴翻折，使之与上半平面成直二面角，此时||AB 的最大值仍然是长轴长2，由于A ,B 不能在短轴端点处，所以2AB <≤ 故选：C10．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若=6,=2,=3b ac B π，则ABC 的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用余弦定理得到2c ，然后根据面积公式21=sin =sin 2ABCS ac B c B 求出结果即可．【详解】由余弦定理有222=+2cos b a c ac B -，=6b ，=2a c ，=3B π，22236=(2)+4cos3c c c π∴-，2=12c ∴，21=sin =sin 2ABCSac B c B ∴ 故选：B ．11．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（）A ．1B ．12C D【答案】C【分析】设出()00,M x y ，P 点坐标，根据2PM MF =及抛物线方程，得到2003123y x +=，从而表达出直线OM 的斜率，利用基本不等式求出最大值.【详解】因为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()00,M x y ，显然当00y <时，0OM k <，当00y >时，0OM k >，则要想求解直线OM 的斜率的最大值，此时00y >，设(),P m n ，因为2PM MF =，所以2PM MF =，即()00001,2,2x m y n x y ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，解得：00313m x n y =-⎧⎨=⎩，由于22n m =，所以()2009231y x =-，即2003123y x +=，由于00y >，则0020000131312323OM y y k x y y y ===≤=++003123y y =，即0y =时，等号成立，故直线OM. 故选：C12．已知实数()(),0lg ,0x e x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的方程()()20f x f x t ++=有三个不同的实数，则t 的取值范围为（） A ．(],2-∞- B ．[)1,+∞ C ．[]2,1-D ．(][),21,-∞-+∞【答案】A【分析】作出()f x 图象，令()f x m =，数形结合，可得1m <时()f x m =有1个根，m 1≥时()f x m =有2个根，将所求转化为20m m t ++=，结合题意，可得两根的范围，解不等式，即可得答案.【详解】作出()f x 图象，如图所示，令()f x m =，当1m <时，()y f x =与y m =图象有1个交点，即()f x m =有1个根，当m 1≥时，()y f x =与y m =图象有2个交点，即()f x m =有2个根，则关于x 的方程()()20f x f x t ++=转化为20m m t ++=，由题意得2140t ∆=->，解得14t <，方程20m m t ++=的两根为12m m ==因为关于x 的方程()()20f x f x t ++=有三个不同的实数，则11<≥，解得2t ≤-，满足题意.故选：A二、填空题13．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当10x -<<时，()3xf x =，则()3l og 2f =______．【答案】12--0.5【分析】根据奇函数的定义，结合指对数的运算法则，即可得答案. 【详解】因为3log 2(0,1)∈，所以3log 2(1,0)-∈-由()f x 为奇函数得：()()31log 233311log 2log 2log 322f f f ⎛⎫=--=-=-=- ⎪⎝⎭．故答案为：12-14．已知实数,x y 满足不等式组+1,24,x y x y ≥-≤⎧⎨⎩则2x y +的最小值为__________.【答案】0【分析】首先画图，在图像中作出不等式组的取值范围，再将2x y +的最小值问题转化为斜率为12-的方程在取值范围中最小截距问题即可计算得出答案.【详解】如图建立不等式组的直角坐标系，其中阴影部分为不等式组取值范围，交点为(2,1)C -令=+2z x y ，得1=+22zy x -，其中2z 为方程截距因此求2x y +的最小值，即是求方程1=+22zy x -的最小截距，由+=12=4x y x y -⎧⎨⎩，得=2=1x y -⎧⎨⎩ 由图可知当方程过点C(2,-1)时，1=+22zy x -截距取最小值，此时=2+2?(1)=0z - 故答案为:015．已知直线l 过点(),0(>0)A a a ，且斜率为1，若圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为__________.【分析】由于圆上恰有3个点到l 的距离为1，则圆心到直线的距离等于半径减去1，列方程即可求解．【详解】由于直线l 过点(,0)A a 且斜率为1，则直线:0l x y a --=，圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，∴圆心到直线的距离等于半径减去1，∴圆心(0,0)到直线:0l x y a --=21=-，解得a =因为0a >16．已知DE 是边长为6的正三角形ABC 的一条中位线，将ADE △沿直线DE 翻折至1A DE △，则当三棱锥1A CED -的体积最大时，四棱锥1A BCDE -外接球O 的表面积为__________. 【答案】39π【分析】由题意确定当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，三棱锥1A CED -的体积最大，作出图形，依次确定1A DE 的外接圆的圆心1O ，四边形BCDE 的外接圆的圆心2O ，再确定四棱锥1A BCDE -的外接球的球心O ，求解外接球的半径，即可求出外接球的表面积. 【详解】由题意知，当面1A DE ⊥面BCDE 时，三棱锥1A CED -的体积最大，如图所示，取DE 的中点G ，连接1AG ，则1AD E 的外接圆的圆心1O 位于1AG 且靠近点G 的三等分点处，设BC 的中点为2O ，连接2O E ，2O D ，则2222====3O B O C O D O E ，所以2O 为四边形BCDE 的外接圆的圆心，过1O 作面1A DE 的垂线，过2O 作面BCDE 的垂线，则两垂线的交点即为四棱锥1A BCDE -的外接球的球心O ，连接2O G ，则四边形12OO G O为矩形，21=OO O G 连接OE ，在Rt 2OO E中222222239=++3=4OE OO O E所以四棱锥1A BCDE -外接球O 的表面积为24π=39πR ；故答案为：39π三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，313S =，121n n a S +=+. (1)证明：数列{}n a 是等比数列； (2)若11n n b +=，求数列{}1n n b b +的前n 项和n T .【答案】(1)证明见解析 (2)4(1)nn +【分析】（1）121n n a S +=+中令1n =和2n =结合3123S a a a =++求得12,a a ，然后121n n a S +=+中利用1n n n S S a --=得数列{}n a 的递推关系得数列为等比数列；（2）由（1）求得n a 再得出n b ，利用裂项相消法求得和n T ．【详解】(1)因为313S =，所以12313a a a ++=，因为121n n a S +=+，所以3221a S =+，2121a S =+，即()12321a a a ++=，2121a a -=，解得11a =，23a =，当2n ≥时，121n n a S -=+，与121n n a S +=+联立，得12n n n a a a +=-，所以13n na a +=. 又因为213a a =，所以{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列. (2)由（1）得13-=n n a，所以1132n nb n ==，1122n b n +=+，所以111114(1)41n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以111111142231n T n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪+⎝⎭4(1)n n +.18．某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2021年11月11日的网购金额，所得数据如下表：已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3：2. (1)试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图（如图）； (2)估计网购金额的中位数；(3)在一次网购中，嘉嘉和琪琪随机从“微信，支付宝，银行卡”三种支付方式中任选种方式进行支付，求两人恰好选择同一种支付方式的概率.【答案】(1)80x =，50y =，0.4p =，0.25q =，频率分布直方图答案见解析 (2)2.75千元 (3)13【分析】（1）由频率直方图建立方程组，求解即可；（2）由频率直方图求得中位数；（3）运用列举法和古典概率公式可求得答案.【详解】(1)解：根据题意有16241614200,16243,16142x y x y +++++=⎧⎪++⎨=⎪++⎩，解得8050x y =⎧⎨=⎩，所以0.4,0.25p q ==，补全频率分布直方图如图所示.(2)解：由（1）可知，网购金额不高于3千元的频率为0.080.120.40.6++=，所以网购金额的中位数在(2,3]内，故网购金额的中位数约为0.13 2.750.4-=千元. (3)解：设“微信，支付宝，银行卡”三种支付方式分别为,,A B C ，则两人从中任选一种支付方式共有9种等可能的结果，即,,,,,,,,AA AB AC BB BA BC CA CB CC ，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为3193=. 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为菱形，E 为棱PD 的中点，O 为边AB 的中点.(1)求证：AE ∥平面POC ；(2)若侧面PAB ⊥底面ABCD ，且π==,=2=43A B C P A B A B P A ∠∠，求点D 到平面POC 的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取线段PC 的中点F ，连接,OF EF ，利用中位线和菱形的对角线性质可得四边形AOFE 为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得答案；（2）在平面PAB 内过点P 作PH AB ⊥，易知OC AB ⊥，且PH ⊥平面ABCD ，设点D 到平面POC 的距离为d ，利用=D POC P COD V V --计算可得答案.【详解】(1)取线段PC 的中点F ，连接,OF EF ，在PCD △中，,E F 分别为,PD PC 的中点.EF CD ∴∥，且1=2EF CD ，又底面ABCD 是菱形，且O 为AB 的中点，AO CD ∴∥，且1=,2AO CD EF AO ∴∥，且=EF AO ，∴四边形AOFE 为平行四边形，OF AE ∴∥，又OF ⊂平面,POD AE ⊄平面POC ，AE ∴∥平面POC ；(2)在平面PAB 内过点P 作PH AB ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，易知OC AB ⊥，且PH ⊥平面ABCD ，所以点P 到平面ABCD 的距离为PH 设点D 到平面POC 的距离为d ，又=23,=3POCCODSS，由=D POC P COD V V --得11=33POCCODSd SPH ⋅⋅，解得d故点D 到平面POC 的距离为20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴为双曲线22184x y -=的实轴，且椭圆C 过点()2,1P .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设点,A B 是椭圆C 上异于点P 的两个不同的点，直线PA 与PB 的斜率均存在，分别记为12,k k ，若1212k k =-，试问直线AB 是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.【答案】(1)22+=182x y(2)过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意可得28a =，22411a b+=，求出2b ，从而可得椭圆方程，（2）分直线AB 的斜率存在和不存在两种情况讨论，设出直线AB 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，求出直线PA 与PB 的斜率，再由1212k k =-列方程可得参数的关系，代入直线方程可求出直线恒过的定点.【详解】(1)因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴为双曲线22184x y -=的实轴，所以28a =，因为椭圆C 过点()2,1P ，所以22411a b +=，24118b+=，得22b =，所以椭圆方程为22+=182x y ，(2)①当直线AB 的斜率存在时，设其方程为1122,(,),(,)y kx t A x y B x y =+，由22=++4=8y kx t x y ⎧⎨⎩，得222(41)8480k x ktx t +++-=， 222222644(41)(48)820k t k t k t ∆=-+-=-+>，所以12221228+=4+148=4+1kt x x k t x x k --⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，所以121222()241ty y k x x t k +=++=+， 22221212121228()()()41t k y y kx t kx t k x x kt x x t k -=++=+++=+，因为1212k k =-，所以12121212121211()11222()42y y y y y y x x x x x x ---++⋅==----++，所以1212121222()22()4y y y y x x x x -++=-++-，所以2222222824882222441414141t k t t kt k k k k ---⋅-⋅+=-+⋅-++++，所以222222164824816164t k t k t kt k --++=-+---，化简得22438210k t kt t ++--=，即(21)(231)0k t k t +-++=，所以12t k =-或123kt +=-，当12t k =-时，直线AB 的方程为12(2)1y kx k k x =+-=-+，则直线过定点(2,1)（舍去），当123k t +=-时，直线AB 的方程为1221333k y kx k x +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以直线过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，②当直线AB 的斜率不存在时，设直线为=x m （2m ≠），由22=+4=8x m x y ⎧⎨⎩，得22218m y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以y =所以21222111241(2)442m k k m m m ⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭===---+，解得=2m （舍去），或23m =，所以直线也过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上，直线AB 恒过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.21．已知函数()()cos 0,f x ax x x a R π=+≤≤∈. (1)当12a =时，求()f x 的单调区间； (2)若函数()f x 恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为M ，m ，求证：322M m -≥. 【答案】(1)单调递增区间为(0,)6π、5(,)6ππ，递减区间为5(,)66ππ；(2)证明过程见解析.【分析】（1）利用函数的导数性质进行求解即可；（2）根据极值的定义，结合导数的性质进行证明即可. 【详解】(1)当12a =时，()()'11cos sin 22f x x x f x x =+⇒=-，当(0,)6x π∈时，()()'0,f x f x >单调递增，当5(,)66x ππ∈时，()()'0,f x f x <单调递减，当5(,)6x ππ∈时，()()'0,f x f x >单调递增，所以函数的单调递增区间为(0,)6π、5(,)6ππ，递减区间为5(,)66ππ；(2)()()'cos sin f x ax x f x a x =+⇒=-，因为函数()f x 恰有两个极值点，所以方程()'sin 0f x a x =-=有两个不相等的实根，设为12,x x 且12x x <，因为函数sin y x =当0x π≤≤时图象关于直线2x π=对称，所以12x x π+=，即12sin sin x x a ==，因为0x π≤≤，所以(0,1)a ∈，当1(0,)x x ∈时，()()'0,f x f x >单调递增，当12(,)x x x ∈时，()()'0,f x f x <单调递减，当2(,)x x π∈时，()()'0,f x f x >单调递增，所以12,x x 分别是函数的极大值点和极小值点，即111()cos M f x ax x ==+，222()cos m f x ax x ==+，于是有112222(cos )(cos )M m ax x ax x -=+-+，因为12x x π+=，所以21x x π=-，所以11233cos M m ax x a π-=+-，而1sin x a =，所以111123sin 3cos sin M m x x x x π-=+-设11111()23sin 3cos sin h x M m x x x x π=-=+-，102x π<<，'11()(3)cos h x x x π=-，当103x π<<时，'11()0,()h x h x <单调递减，当132x ππ<<时，'11()0,()h x h x >单调递增，所以当13x π=时，函数有最小值，即1min 3()()32h x h π==，因此有13()2h x ≥，即322M m -≥. 【点睛】关键点睛：根据极值的定义，构造新函数，利用导数研究新函数的单调性是解题的关键.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为=cos =sin x y αα⎧⎨⎩，（α为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点M 的极坐标为4,2π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 的倾斜角为3π，直线l 过点M . (1)试写出直线l 的极坐标方程，并求曲线C 上的点到直线l 距离的最大值；(2)把曲线C 上点的横坐标扩大到原来的3倍，纵坐标扩大到原来的2倍，得到曲线1C ，若过点()1,0E 作与直线l 平行的直线l '，交曲线1C 于,A B 两点，试求EA EB ⋅的值.【答案】cos sin +4=0θ-ρθ，3 (2)12831【分析】（1）根据=cos =sin x y ρθρθ⎧⎨⎩写出点M 的极坐标，从而求出直线l 的方程，再化为极坐标方程，根据平方关系将曲线C 的参数方程化为普通方程，再求出圆心到直线的距离，从而求出曲线C 上的点到直线l 距离的最大值；（2）首先得到直线l '的参数方程与曲线1C 的参数方程，再将曲线1C 化为直角坐标方程，将直线的参数方程代入曲线1C 的直角坐标方程，根据直线的参数方程参数的几何意义计算可得.【详解】(1)解：因为点M 的极坐标为4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以=cos =4cos =02=sin =4sin =42x y πρθπρθ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，即M 点的直角坐标为()0,4，所以()4tan03y x π-=⋅-，40y -+=，由=c o s =s i n x y ρθρθ⎧⎨⎩，所以直线lcos sin 40θρθ-+=，曲线C 的参数方程为=cos =sin x y αα⎧⎨⎩，可知曲线C 的方程为221x y +=，圆心()0,0到直线的距离2d ==，所以曲线C 到直线的距离的最大值为213+=；(2)解：直线l 的倾斜角为3π，所以直线l '的参数方程为1=1+2x t y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数），又曲线1=3cos :=2sin x C y αα⎧⎨⎩，所以曲线1C 的普通方程为22194x y+=，联立可得23143204t t +-=， 1212831t t ∴=-，故12831EA EB ⋅=. 23．已知a ，b ，c 都为正实数，且3a b c ++=.证明：（1（2）111111833327a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（12()6927a b c ≤+++=，再由3a b c ++=，即可证明（2）将111111333a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭通分得333b c a c a b a b c +++⋅⋅，利用基本不等式得到333b c a c a b a b c +++⋅⋅127≥111111833327a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立.【详解】证明：（1）2()23a b c =++++()()()()23212121212121a b c a b b c c a ≤+++++++++++++++ ()6927a b c ≤+++=当且仅当1a b c ===时，等号成立.≤（2）111111111333333333a b c a b c a b c a b c ab c ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=--- ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭333b c a c a b a b c +++=⋅⋅182727≥=，当且仅当1a b c ===时，等号成立.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用和不等式的证明方法，考查学生转化能力，属于中档题.。

西工大附中高2019届第一次摸拟考试数学试题(理科)

西工大附中高2019届第一次摸拟考试数学试题(理科)第I 卷选择题(共50 分)大题共10小题，每小题5分，共50分)1. 若复数-—却(a R , i 为虚数单位位)是纯虚数，则实数 a 的值为1 +2iA . -6B . -2C . 4D . 62. 从原点O 向圆x 2 y 2 -12y 27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为A .二B . 2 二C . 4 二D . 6 二x-^0,3.已知点P (x , y )在不等式组 y-1^0,表示的平面区域上运动，x 2y -2 _0A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°7. 在等差数列玄中，已知印-a 4 -比-盹• ai 5 =2,那么氐的值为 A . -30 B . 15 C . -60 D . -158. 设：•、1为两个不同的平面，I 、m 为两条不同的直线，且丨二圧，m 1 , 有如下的两个命题：①若二// ：,则I // m ；②若I 丄m ,则二丄-.那么A .①是真命题，②是假命题B .①是假命题，②是真命题C .①②都是真命题D .①②都是假命题则z = x -y 的取值范围是A . [-2，- 1]B . [- 1, 2]C . [-2, 1]D . [1，2]2 24 .双曲线.丄二1(mn = 0)的离心率为2,m nmn 的值为有一个焦点与抛物线y 2 = 4x 的焦点重合，则 A . 83 5.某校共有学生2000名，各年级男、 B . C . 163 女生1 名,D .空 16 人数如表所示.已知在全校学生中随机抽取抽到二年级女生的概率是0.19 .现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为A. 24 B . 18 C . 166 .已知向量 a =(1,2),b =(-2,-4),| c|」5,若(a b) D . 12 5 •c= —,则a 与c 的夹角为29 .已知函数f (x)在R上满足f(1 x) =2f(1-x) - x2 3x 1 ,则曲线y = f(x)在点（1,f （1））处的切线方程是A. x -y -2=0 B . x -y =OC. 3x y_2=0 D . 3x_y_2=010.已知一个几何体的三视图如所示，则该几何体的体积为A. 6 B . 5.5 C . 5 D . 4.5第口卷非选择题（共100 分）、填空题：本大题共7小题，考生作答 5小题，每小题5分，满分25 分. ）必做题（11〜14题）12. 阅读程序框图，若输入m = 4 , n = 6 ,贝U 输出a , i13. 函数 f (x^sin(；；)(-^：：x ：：0)若I ef (1) - f (a) =2,则 a 的值为：14. 求定积分的值:11.在 2 3 315的展开式中，任意取出两项都是自然数的概率为: 开始▼输入m, nF --------------a = m^ ii 十 L ----- 1 ---- J(x-0)i =1 整除否乙是输出a, i）选做题（15〜17题，考生只能从中选做一题） cx=2C 。

小升初必备 2019年陕西省西安市西工大附中小升初数学模拟试卷(含答案)

2019年陕西省西安市西工大附中小升初数学模拟试卷（含答案）一、选择题（共5小题，每小题2分，共10分）1．（2分）甲、乙两数，如果甲数的小数点向左移动两位就比乙少，则原来甲数是乙数的（）A．15倍B．25倍C．40倍D．50倍2．（2分）一个圆锥的底面半径与高的比是1：4，它与同底同高的一个圆柱体的体积之比是（）A．1：4B．3：4C．1：3D．1：83．（2分）两个公交车站之间另有6个站，则这8个站中有（）种不同的乘车路线．A．15B．21C．28D．564．（2分）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，m的值是（）A．86B．52C．38D．745．（2分）小明用一张梯形纸做折纸游戏．先上下对折，使两底重合，可得图1，并测出未重叠部分的两个三角形面积和是20平方厘米．然后再将图1中两个小三角形部分向内翻折，得到图2．经测算，图2的面积相当于图1的．这张梯形纸的面积是（）平方厘米．A．50B．60C．100D．120二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）6．（3分）一次考试，参加的学生中有得优，得良，得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满50人，那么得差的学生有人．7．（3分）有含盐率为15%的盐水30千克，根据需要，要使盐水的含盐率变为25%，那么，我们可以加盐千克．8．（3分）一个长方体木块，从上部截去高5厘米的长方体，剩下的部分是正方体，表面积减少了120平方厘米．那么，原来长方体的体积是立方厘米．9．（3分）口袋中只有5个红球，任意摸1个，要使摸出的红球的可能性是，还要往口袋中放个其他颜色的球．10．（3分）在图中，大圆直径是10厘米，阴影部分的周长是厘米．三、计算题(共1小题，每小题15分，共15分)11．（15分）计算．190+[12﹣0.38×（16.4+8.6）]8.3×2.5+31.7×2.51.25×96（120+23）×5+182÷13．四、解答题（共7小题，共60分）12．（8分）有两个边长是2厘米的正方形，其中一个正方形的一个顶点在另一个的中心上，那么两个正方形不重叠部分的面积之和是多少平方厘米？13．（8分）甲、乙、丙三人共得优胜奖金620元，乙所得奖金是甲的，乙、丙二人所得奖金的比是，问三人各得奖金多少元？14．（8分）甲乙两校同时栽同样多的树．乙校栽了后，甲校还剩下54棵没有栽；当乙校又完成剩下的时，甲校剩下的棵数占本校要栽的总数的，照这样计算，两校都完成任务时，一共栽树多少棵？15．（8分）下面是某班一次数学考试成绩．95 68 96 100 93 95 100 74 88 98 87 99 90 86 78 94 89100 88 94 57 78 74 96 82 89 94 96 84 89 96 81 98 92．（1）根据上面的记录的分数填写下表．分数10099～9089～8079～7069～6060以下人数（2）这次考试的优秀率是．（90分以上为优秀）（3）从以上数据和统计表（图）中，你了解到哪些信息？请试着写两条．．（4）根据表中数据，制成折线统计图．16．（8分）两辆汽车同时同地出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带30桶汽油，图中不能用别的油，每桶油可使一辆车前进60公里，每车都必须返回出发点，但是可以不同时返回，每车相互可借用对方的油，为了使其中一辆车尽可能地远离出发点，另一辆车应当在离出发点多少公里的地方返回？离出发点最远的那辆车一共行驶了多少公里？17．（10分）小黄家要给一间屋子铺上地砖，有以下两种设计方案．方案一：用边长2分米的正方形的方砖，每块需要6元；方案二：用边长3分米的正方形的方砖，每块需要11元；（1）小黄家选择第一方案用了90块砖，这个房间的面积是多少？（2）如果选用第二种方案，这间屋子至少需要多少块地砖？（3）哪种装修方案花费比较便宜？18．（10分）如图所示，AB＝12厘米，ED＝DA＝6厘米，小虫P从A出发，沿着长方形的边依次向B，C，D以每秒1厘米的速度移动．（1）小虫P从A点出发几秒后，三角形APE是等腰直角三角形？（2）当小虫P到达C时，另一只小虫Q以每秒2厘米的速度从A点出发，沿AB向B点移动，①小虫Q从A点出发几秒后，四边形AQPE是梯形？②当∠QPD＝45度时，四边形AQPE的面积是多少平方厘米？2019年陕西省西安市西工大附中小升初数学模拟试卷（七）参考答案一、选择题（共5小题，每小题2分，共10分）1．C；2．C；3．D；4．A；5．C；二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）6．1；7．4；8．396；9．55；10．62.8；三、计算题(共1小题，每小题15分，共15分)11．；四、解答题（共7小题，共60分）12．；13．；14．；15．53%；成绩较好；优秀率较高；及格率高；16．；17．；18．；。

西工大附中高三上学期第一次适应性训练数学(理)试题

【解析】陕西省西工大附中2014届高三上学期第一次适应性训练数学（理）试题第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.()31+3i=（）A ．8-B ．8C ．8i -D ．8i2.若向量a ，b 满足||1a =，||2b =，且()a a b ⊥+，则a 与b 的夹角为（） A ．2π B ．23π C ．34π D ．56π3.522x x ⎫⎪⎭-的展开式中常数项是（） A ．5 B ．5- C ．10 D ．10-【答案】D 【解析】试题分析：常数项为：()()4112252125210C x x x x ⨯-=⨯⨯-=-.考点：二项式定理4.把函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数x y e =的反函数图像重合，则f (x )=（）A. ln 1x -B. ln 1x +C. ln(1)x -D. ln(1)x +5.已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( ) A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】B 【解析】试题分析：设点P 在平面ABC 内的投影是点O ，连接PA ，OA ，OAP ∠即是所求，如图：底面积为13333sin 602︒=，所以三棱柱的高是93334=3PO =，点O 是ABC 的中心，分ABC 的高为2:1，所以23sin 6013AO ︒=⨯⨯=，则tan 3PO OAP AO ∠==，故3πOAP ∠=. 考点：1.三棱柱的体积；2.直线与平面所成的角6.已知抛物线x y 82=的焦点与双曲线1222x y a-=的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（） A ．255 B ．41515C ．233D ．37.在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（）A ．36个B ．24个C ．18个D ．6个8.已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若13a =-，510S S =，则当n S 取到最小值时n 的值为（）A ．5B ．7C ．8D ．7或89.定义运算a b ⊗为执行如图所示的程序框图输出的s 值，则552cos2tan 34ππ⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．4B ．3C ．2D ．―110.下图是两组各7名同学体重（单位：kg ）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（）（注：标准差222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为12,,,n x x x 的平均数）A ．12x x >，12s s >B ．12x x >，12s s <C ．12x x <，12s s <D ．12x x <，12s s > 【答案】C 【解析】试题分析：153565758617072617x ++++++==，254565860617273627x ++++++==，()()()()()()()2222222115361566157615861616170617261 6.727s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-≈⎣⎦，()()()()()()()2222222215462566258626062616272627362 6.997s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-≈⎣⎦所以12x x <，12s s <.考点：1.茎叶图；2.平均数与标准差第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.若209Tx dx =⎰，则常数T 的值为 .12.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（n≥3）从左向右的第3个数为．考点：等差数列的前n 项和13.在△ABC 中，3BC =，2AC =，π3A =，则B = .14.若直线l ：1y kx =+被圆C ：22x y 2x 30+--=截得的弦最短，则k= .15.选做题（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分） A （极坐标系与参数方程）极坐标系下曲线θρsin 4=表示圆，则点)6,4(πA 到圆心的距离为 . 【答案】23 【解析】试题分析：点A 对应的直角坐标为：4cos236x π==，4sin26y π==，所以点()23,2A .因为θρsin 4=，所以24sin ρρθ=，即224x y y +=，圆的标准方程为：()2224x y +-=，圆心()0,2，点到圆心的距离为：()()222302223-+-=.考点：极坐标与参数方程B （几何证明选讲）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2PA =．AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1PB =，则圆O 的半径R = ．【答案】3 【解析】试题分析：如图所示，有切割线定理可知，2PA PB PC =⋅，即()2222122R =⨯+，解得3R =.考点：切割线定理C （不等式选讲）若关于x 的不等式1|1||2|a x x +-->存在实数解，则实数a 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题共12分）已知在等比数列}{n a 中，11=a ，且2a 是1a 和13-a 的等差中项．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列}{n b 满足)(12*N n a n b n n ∈+-=，求}{n b 的前n 项和n S ．17.（本小题12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,. （Ⅰ）叙述并证明正弦定理；（Ⅱ）设2a c b +=，3A C π-=，求sin B 的值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) 39sin 8B =. 【解析】试题分析：(Ⅰ)正弦定理：sin sin sin a b cA B C==，利用三角形的外接圆证明正弦定理. 设ABC ∆的外接圆的半径为R ，连接BO 并延长交圆O 于点C '，则C C '∠=∠，直径所对的圆周角90BAC ︒'∠=，在直则C C '∠=∠，90BAC ︒'∠=，在ABC '中，sin BC C AB ''=，即2sin R C c =，则有2sin c R C =，同理可得2sin b R B =，2sin a R A =，所以2sin sin sin a b cR A B C ===. (Ⅱ)∵2a c b +=，由正弦定理得，sin sin 2sin A C B +=，2sin cos 2sin 22A C A CB +-⇔=，2sin cos 2sin 226B B ππ⎛⎫⇔-= ⎪⎝⎭，34sin cos 222B B B⇔=，cos 02B ≠，解得3sin 2B =，213cos 1sin 224B B =-= ∴31339sin 2sin cos 222448B B B ===. 考点：1.正弦定理；2.解三角形；3.同角三角函数间的关系；4.和差化积公式；5.二倍角公式18.（本小题12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.（I ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（II ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望.(Ⅱ)X 的所有可能的取值为：0,1,2,3，2214(0)55125P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭， 2123212428(1)55555125P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯=⎪⎝⎭， 212233132457(2)555555125P X C C ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，33436(3)555125P X ==⨯⨯=.∴X 的分布列为：∴428573601232125125125125EX=⨯+⨯+⨯+⨯=.考点：1.相互独立事件的概率；2.离散型随机变量的及其应用；3.古典概型；4.分布列和期望19.（本题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB//DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上任一点．（Ⅰ）求证：无论E点取在何处恒有BC DE⊥；（Ⅱ）设SE EB=λ，当平面EDC⊥平面SBC时，求λ的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下求二面角A DE C--的大小．【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)2λ=；(Ⅲ)120︒.【解析】∵1AB AD ==，∴1BF DF ==，又∵2CD =，∴12BF CD =， ∴BC BD ⊥，又SD ABCD ⊥底面，∴SD BC ⊥，∵BD SD D =，∴BC SBD ⊥平面，∵DE SBD ⊂平面，∴BC DE ⊥.(Ⅱ)分别以DA ，DC ，DS 所在直线为x 轴，y 轴，z 建立空间直角坐标系，如图：20.（满分13分）已知椭圆C的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线245y x=的焦点重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知经过定点M（2,0）且斜率不为0的直线l交椭圆C于A、B两点，试问在x轴上是否另存在一个定点P使得PM始终平分APB∠？若存在求出P点坐标；若不存在请说明理由．【答案】(Ⅰ)22194x y+=；(Ⅱ)9,02⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】21.（本小题满分14分）已知函数()ln f x x =，21()22g x ax x =-．（Ⅰ）若曲线()()y f x g x =-在1x =与12x =处的切线相互平行，求a 的值及切线斜率；（Ⅱ）若函数()()y f x g x =-在区间1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，求a 的取值范围；（Ⅲ）设函数()f x 的图像C 1与函数()g x 的图像C 2交于P 、Q 两点，过线段PQ 的中点作x轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ，证明：C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不可能平行．则1()2h x ax x'=-+， ∵在1x =与12x =处的切线相互平行， ∴1(1)()2h h ''=，即342a a -+=-+，解得2a =-， (1)5k h '==.。

2019陕西省西工大附中初三数学摸拟试题

西工大附中适应性训练数学第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1.2-的绝对值是（）A.2B.2-.C.12. D.12- 2. 在下列正方体的表面展开图中，剪掉1个正方形（阴影部分），剩余5个正方形组成中心对称图形的是( )A B CA ． B. C. D.3．下列运算正确的是（）A.235x x x +=B.23522x x x ⋅= C.()743x x = D.4)2(22-=-x x4. 如图所示，一个60o角的三角形纸片，剪去这个600角后，得到一个四边形，则么21∠+∠的度数为（）A. 120OB. 180O .C. 240OD. 30005．某小区20户家庭的日用电量(单位：千瓦时)统计如下：日用电量(单位：千瓦时)4 5 6 7 8 10 户数136541这20户家庭日用电量的众数、中位数分别是（）A ．6，6.5B ．6，7C ．6，7.5D ．7，7.5 6. 不等式组⎩⎨⎧>+≤122x x 的最小整数解为（）A. 1-B. 0C. 1D. 27.如果三角形的两条边分别为4和6，那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是下列数据中的（）A ．6 B.8 C ．10 D.128.如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上．下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y 和x ，则y 与x 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．9．如图，四边形OABC 是菱形，点B ﹑C 在以点O 为圆心的弧EF 上，且∠1=∠2，若扇形OEF 的面积为3π，则菱形OABC 的边长为（）A.23 B.2 C.3 D.410．如图，把抛物线y=21x 2平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点 A （-6，0）和原点O （0，0），它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线 y=21x 2交于点Q ，则图中阴影部分的面积为( )． A. 9 B.227 C.325 D. 221第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11．计算：()102+276si 2+61n 0---= .12. 如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为 .13. 分解因式34xy x y -= .14．请从以下两个小题中任选一个．．．．作答，若多选，则按所选的第一题计分。

精品解析：【百强校】陕西省西安市西北工业大学附属中学2019届第一次适应性训练理科数学试题(解析版)

陕西省西安市西北工业大学附属中学2019届第一次适应性训练一理科数学一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设复数，则A. iB.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解．【详解】解：，．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．2.设，则“”是“”的A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先找出的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】解：，，，，推不出，是充分不必要条件，即“”是“”的充分不必要条件．故选：B．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．属于基础题.3.函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】A4.执行如图所示的程序框图，则输出的A. 17B. 33C. 65D. 129【答案】C5.已知实数x，y满足，则的最小值为A. B. C. D.【答案】D6.已知等差数列的前n项和为，，，则取最大值时的n为A. 4B. 5C. 6D. 4或5【答案】B7.已知O是内部一点，，且，则的面积为A. B. C. D.【答案】A8.设，是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若，且的最小内角为，则C的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的定义求出，，，然后利用最小内角为结合余弦定理，求出双曲线的离心率．【详解】解：因为、是双曲线的两个焦点，是双曲线上一点，且满足，不妨设是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知所以，，，,,为△最小边,△的最小内角，根据余弦定理，，即，，所以．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．属于基础题.9.在正四棱锥中，，直线PA与平面ABCD所成角为，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为A. B. C. D.【答案】C10.在中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，且，则的值为A. B. C. 2 D. 4【答案】C11.已知四面体ABCD的三组对棱的长分别相等，依次为3，4，x，则x的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出图形，设，，四面体可以由和在同一平面的△沿着为轴旋转构成，利用数形结合能求出的取值范围．【详解】解：如图所示，第一排三个图讨论最短；第二排三个图讨论最长，设，，四面体可以由和在同一平面的△沿着为轴旋转构成，第一排，三个图讨论最短：当向趋近时，逐渐减少，，可以构成的四面体；当时构成的四面体，不满足题意；所以满足题意的四面体第三对棱长大于，第二排，三个图讨论最长：当向趋近时，逐渐增大，，可以构成的四面体；当时构成的四面体，不满足题意；所以满足题意的四面体第三对棱长小于；综上，，．故选：B．【点睛】本题考查了四面体中边长的取值范围问题，也考查了推理论证能力，属于难题．12.已知函数，若关于x的方程有四个不同的根，则实数t的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，求导分析函数递增递减特性，可得m图象和其极值点，然后根据图象特点和方程有四个不同的根，确定取值范围，即得解．【详解】解：设，,,当时，,m递增；当时，，m递减；在时，,m取得极大值.当时，，m递减.可得m图象如图，由图知：当a>时，直线y=a与m图象有一个交点；当时，直线y=a与m图象有三个交点. 故关于的二次方程有两根，，且，，方满足题意.设，则：，解得：，故选：B．【点睛】本题考查了导数的应用及复合方程解的个数，通常采用数形结合的思想方法．属于中档题.二、填空题（本大题共4小题）13.若的二项展开式中的的系数为9，则______．【答案】114.已知，，且在区间上有最小值，无最大值，则______．【答案】15.如图，点B的坐标为，函数，若在矩形OABC内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于______．【答案】【解析】【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用测度比是面积比求解．【详解】解：由已知得矩形的面积为，阴影部分的面积为，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于．故答案为：．【点睛】本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的运用，关键是求出阴影部分的面积，属于基础题．16.已知函数，，若，则的最小值为______．【答案】三、解答题（本大题共7小题）17.已知在等比数列中，．1求的通项公式；2若，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设等比数列的公比设为，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到所求通项公式；（2）求得通项公式，运用错位相减法，结合等比数列的求和公式，可得所求和．【详解】解：(1)等比数列的公比设为q，，可得，，即有，，可得；(2)，数列的前n项和，，两式相减可得，化简可得．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.2017年3月智能共享单车项目正式登陆某市，两种车型“小绿车”、“小黄车”采用分时段计费的方式，“小绿车”每30分钟收费元不足30分钟的部分按30分钟计算；“小黄车”每30分钟收费1元不足30分钟的部分按30分钟计算有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行各租一车一次设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为，，，三人租车时间都不会超过60分钟甲、乙均租用“小绿车”，丙租用“小黄车”．求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；2设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）【解析】【详解】由题意得，甲乙丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为．记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件则，答：甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为，2可能取值有2，，3，，4，；；；，．甲、乙、丙三人所付的租车费用之和的分布列为：．19.如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，平面ABCD，，．证明：平面平面PAC；2若，求二面角的大小．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）证明，，推出平面，则平面平面；（2）由平面，得，，又，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，由已知向量等式求得的坐标，再分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角求得二面角的大小．【详解】证明：平面ABCD，平面ABCD，．直角梯形ABCD中，由，，，得，则，即，又，平面PAC．又平面PBC，平面平面PAC；解：由平面ABCD，得，，又，分别以AD，AB，AP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则0，，0，，1，，2，，设b，，由，得b，，则，，设平面QAC的一个法向量为，由，取，则；平面PAC的一个法向量．，即．二面角的大小为．【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，属于中档题．20.已知椭圆的离心率为，它的一个顶点A与抛物线的焦点重合．1求椭圆C的方程；2是否存在直线l，使得直线l与椭圆C交于M，N两点，且椭圆C的右焦点F恰为的垂心三条高所在直线的交点？若存在，求出直线l的方程：若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）因为椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，所以，又因为离心率为，可求出，，的值，得到椭圆方程．（2）先假设存在直线与椭圆交于、两点，且椭圆的右焦点恰为的垂心．设出，坐标，由（1）中所求椭圆方程，可得，点坐标，利用若为的垂心，则，就可得到含，，，的等式，再设方程为，代入椭圆方程，由已知条件能求出结果．【详解】解：1椭圆的离心率为，它的一个顶点A与抛物线的焦点重合．抛物线的焦点坐标为，由已知得，再由，解得，椭圆方程为．2设，，，，，是垂心，设MN的方程为，代入椭圆方程后整理得：，将代入椭圆方程后整理得：，，是垂心，，，，，整理得：，，或舍存在直线l，其方程为使题设成立．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，以及存在性问题的解法，考查椭圆、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．21.已知函数，曲线在点处的切线方程为．求a，b的值；2若当时，关于x的不等式恒成立，求k的取值范围．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）求得的导数，可得切线的斜率，由已知切线的方程可得切点，由，的方程，可得，的值；（2）由题意可得恒成立，即有对恒成立，求导并根据函数单调性情况进行分类讨论，最终获得k取值范围.【详解】解：函数，导数为，曲线在点处的切线方程为，可得，，则，即有，；2当时，关于x的不等式恒成立，可得恒成立，即有对恒成立，可设，导数为，设，，，当时，，在递增，可得，则在递增，，与题设矛盾；当，，可得，当时，，在时，，递减，可得，则在递减，可得恒成立；当时，，在上递增，在递减，且，所以在上，故在上递增，，与题设矛盾．综上可得，k的范围是【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和构造函数法，考查运算能力，属于难题．22.在直角坐标系xOy中，直线l：为参数，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．1写出曲线C的直角坐标方程；2已知点，直线l与曲线C相交于点M、N，求的值．【答案】（1）；（2）4【解析】【详解】1．，，；2将直线l的参数方程化为标准形式为：为参数，代入曲线C的方程得，，，则．23.已知，其中．1当时，求不等式的解集；2若不等式的解集为，求a的值．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）代入不等式后化为为|x-1|≥|2x+1|，两边平方去绝对值，化为一元二次不等式解；（2）去绝对值解不等式，与已知解集相等，可得解．【详解】解：1当时，不等式可化为：，两边平方化简得：，解得，所以不等式的解集为2因为不等式，可化为，即，或，或．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属于中档题．。

陕西省西安市西北工业大学附属中学2019届第一次适应性训练理科数学试题(解析版)

陕西省西安市西北工业大学附属中学2019届第一次适应性训练一理科数学一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设复数，则A. iB.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解．【详解】解：，．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．2.设，则“”是“”的A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先找出的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】解：，，，，推不出，是充分不必要条件，即“”是“”的充分不必要条件．故选：B．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．属于基础题.3.函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】A4.执行如图所示的程序框图，则输出的A. 17B. 33C. 65D. 129【答案】C5.已知实数x，y满足，则的最小值为A. B. C. D.【答案】D6.已知等差数列的前n项和为，，，则取最大值时的n为A. 4B. 5C. 6D. 4或5【答案】B7.已知O是内部一点，，且，则的面积为A. B. C. D.【答案】A8.设，是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若，且的最小内角为，则C的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的定义求出，，，然后利用最小内角为结合余弦定理，求出双曲线的离心率．【详解】解：因为、是双曲线的两个焦点，是双曲线上一点，且满足，不妨设是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知所以，，，,,为△最小边,△的最小内角，根据余弦定理，，即，，所以．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．属于基础题.9.在正四棱锥中，，直线PA与平面ABCD所成角为，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为A. B. C. D.【答案】C10.在中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，且，则的值为A. B. C. 2 D. 4【答案】C11.已知四面体ABCD的三组对棱的长分别相等，依次为3，4，x，则x的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出图形，设，，四面体可以由和在同一平面的△沿着为轴旋转构成，利用数形结合能求出的取值范围．【详解】解：如图所示，第一排三个图讨论最短；第二排三个图讨论最长，设，，四面体可以由和在同一平面的△沿着为轴旋转构成，第一排，三个图讨论最短：当向趋近时，逐渐减少，，可以构成的四面体；当时构成的四面体，不满足题意；所以满足题意的四面体第三对棱长大于，第二排，三个图讨论最长：当向趋近时，逐渐增大，，可以构成的四面体；当时构成的四面体，不满足题意；所以满足题意的四面体第三对棱长小于；综上，，．故选：B．【点睛】本题考查了四面体中边长的取值范围问题，也考查了推理论证能力，属于难题．12.已知函数，若关于x的方程有四个不同的根，则实数t的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，求导分析函数递增递减特性，可得m图象和其极值点，然后根据图象特点和方程有四个不同的根，确定取值范围，即得解．【详解】解：设，,,当时，,m递增；当时，，m递减；在时，,m取得极大值.当时，，m递减.可得m图象如图，由图知：当a>时，直线y=a与m图象有一个交点；当时，直线y=a与m图象有三个交点.故关于的二次方程有两根，，且，，方满足题意.设，则：，解得：，故选：B．【点睛】本题考查了导数的应用及复合方程解的个数，通常采用数形结合的思想方法．属于中档题.二、填空题（本大题共4小题）13.若的二项展开式中的的系数为9，则______．【答案】114.已知，，且在区间上有最小值，无最大值，则______．【答案】15.如图，点B的坐标为，函数，若在矩形OABC内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于______．【答案】【解析】【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用测度比是面积比求解．【详解】解：由已知得矩形的面积为，阴影部分的面积为，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于．故答案为：．【点睛】本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的运用，关键是求出阴影部分的面积，属于基础题．16.已知函数，，若，则的最小值为______．【答案】三、解答题（本大题共7小题）17.已知在等比数列中，．1求的通项公式；2若，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设等比数列的公比设为，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到所求通项公式；（2）求得，运用错位相减法，结合等比数列的求和公式，可得所求和．【详解】解：(1)等比数列的公比设为q，，可得，，即有，，可得；(2)，数列的前n项和，，两式相减可得，化简可得．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.2017年3月智能共享单车项目正式登陆某市，两种车型“小绿车”、“小黄车”采用分时段计费的方式，“小绿车”每30分钟收费元不足30分钟的部分按30分钟计算；“小黄车”每30分钟收费1元不足30分钟的部分按30分钟计算有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行各租一车一次设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为，，，三人租车时间都不会超过60分钟甲、乙均租用“小绿车”，丙租用“小黄车”．求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；2设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）【解析】【详解】由题意得，甲乙丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为．记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件则，答：甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为，2可能取值有2，，3，，4，；；；，．甲、乙、丙三人所付的租车费用之和的分布列为：．19.如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，平面ABCD，，．证明：平面平面PAC；2若，求二面角的大小．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）证明，，推出平面，则平面平面；（2）由平面，得，，又，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，由已知向量等式求得的坐标，再分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角求得二面角的大小．【详解】证明：平面ABCD，平面ABCD，．直角梯形ABCD中，由，，，得，则，即，又，平面PAC．又平面PBC，平面平面PAC；解：由平面ABCD，得，，又，分别以AD，AB，AP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则0，，0，，1，，2，，设b，，由，得b，，则，，设平面QAC的一个法向量为，由，取，则；平面PAC的一个法向量．，即．二面角的大小为．【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，属于中档题．20.已知椭圆的离心率为，它的一个顶点A与抛物线的焦点重合．1求椭圆C的方程；2是否存在直线l，使得直线l与椭圆C交于M，N两点，且椭圆C的右焦点F恰为的垂心三条高所在直线的交点？若存在，求出直线l的方程：若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）因为椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，所以，又因为离心率为，可求出，的值，得到椭圆方程．（2）先假设存在直线与椭圆交于、两点，且椭圆的右焦点恰为的垂心．设出，坐标，由（1）中所求椭圆方程，可得，点坐标，利用若为的垂心，则，就可得到含，，，的等式，再设方程为，代入椭圆方程，由已知条件能求出结果．【详解】解：1椭圆的离心率为，它的一个顶点A与抛物线的焦点重合．抛物线的焦点坐标为，由已知得，再由，解得，椭圆方程为．2设，，，，，是垂心，设MN的方程为，代入椭圆方程后整理得：，将代入椭圆方程后整理得：，，是垂心，，，，，整理得：，，或舍存在直线l，其方程为使题设成立．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，以及存在性问题的解法，考查椭圆、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．21.已知函数，曲线在点处的切线方程为．求a，b的值；2若当时，关于x的不等式恒成立，求k的取值范围．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）求得的导数，可得切线的斜率，由已知切线的方程可得切点，由，的方程，可得，的值；（2）由题意可得恒成立，即有对恒成立，求导并根据函数单调性情况进行分类讨论，最终获得k取值范围.【详解】解：函数，导数为，曲线在点处的切线方程为，可得，，则，即有，；2当时，关于x的不等式恒成立，可得恒成立，即有对恒成立，可设，导数为，设，，，当时，，在递增，可得，则在递增，，与题设矛盾；当，，可得，当时，，在时，，递减，可得，则在递减，可得恒成立；当时，，在上递增，在递减，且，所以在上，故在上递增，，与题设矛盾．综上可得，k的范围是【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和构造函数法，考查运算能力，属于难题．22.在直角坐标系xOy中，直线l：为参数，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．1写出曲线C的直角坐标方程；2已知点，直线l与曲线C相交于点M、N，求的值．【答案】（1）；（2）4【解析】【详解】1．，，；2将直线l的参数方程化为标准形式为：为参数，代入曲线C的方程得，，，则．23.已知，其中．1当时，求不等式的解集；2若不等式的解集为，求a的值．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）代入不等式后化为为|x-1|≥|2x+1|，两边平方去绝对值，化为一元二次不等式解；（2）去绝对值解不等式，与已知解集相等，可得解．【详解】解：1当时，不等式可化为：，两边平方化简得：，解得，所以不等式的解集为2因为不等式，可化为，即，或，或．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属于中档题．。

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第一次适应性训练
九年级数学试卷
（本试卷满分120分考试时间120分钟）
第一部分（选择题共30分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意）
1.
4−的绝对值是（）
A.4−
B.4
C.4±
D.14
−
2. 下列图形具有稳定性的是（）
3. 下列计算正确的是( )
A. 22(2)4a a −=−
B. 22423a a a +=
C. 22(2)4a a +=+
D.23()3a b ab a −÷=− 4. 五名同学的数学成绩分别为85,92,92,77,90.这组数据的众数和中位数分别是
( )
A.92,85
B.90,85
C.92,90
D.92,92
5. 若直线1l 经过(0,4), 2l 经过点(2,6),且1l 与2l 关于y 轴对称,则1l 与2l 的交点坐标是
( )
A.(3,2)
B.(2,3)
C.(0,4)
D.(4,0)
6. 若关于x 的方程22
(1)0x a x a +−+=的两根互为相反数,则a 的值为( )
A.1
B.1−
C.0
D. 1±
7. 如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cos A =3
5
,则cos ∠DBE 的值是（）
A.
12 B.4 C. 5 D. 3
8. 如图，已知O e 的半径为5，弦AB 、CD 所对的圆心角分别是∠AOB ，∠COD ，且
∠AOB 与∠COD 互补，弦CD =8，则弦AB 的长为（）
A.6
B.8
C.
D. 9. 将边长分别为2、3、5的三个正方形按如图方式排列，则图中阴影部分的面积为
（）
A.
135 B.49 C.38 D. 154
10. 根据表中的二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的对应值,(其中m <0<n )，
下列结论正确的( )
x ··· 0 1 2 4 ··· y
···
m
k
m
n
···
A.240b ac −＜
B.420a b c −+＜
C.20a b c
++＜
D. 0abc ＜
第二部分（非选择题共90分）
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11. 分解因式：22882x xy y −+= .
12. 如图,点A 在双曲线3y x =
上,点B 在双曲线k
y x
=上,AB x 轴,过点A 作AD x 轴于D . 连接OB 与AD 相交于点C ,若AC =2CD ,则k 的值为 .
13. 如图，将ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到A ′B ′C ′的位置，已知ABC 的面积为
18，阴影部分三角形的面积为8.若AA ′=1，则A ′D 等于 .
14. 如图,正方形ABCD 的边长为点E 为正方形外一个动点,AED =45°，P 为AB
中点，线段PE 的最大值是___ .
三、解答题（共11小题，计78分，解答题应写出过程）
15. （本题满分5分）
计算：201801(3)tan 602π−−−−°−
16. （本题满分5分）
先化简，再求值：2
1(1)11
x
x x −÷+− ，其中1x =
17. （本题满分5分）
如图，△ABC 是锐角三角形，尺规作图：作e A ，使它与BC 相切于点M .保留作图痕迹，不写作法，表明字母.
18. （本题满分5分）
如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上一点，且B =AEB .求证：AC =DE ．
19. （本题满分7分）
今年4月，国民体质监测中心等机构开展了青少年形体测评，专家组随机抽查了某市若干名初中学生坐姿、站姿、走姿的好坏情况．我们对专家的测评数据作了适当处理（如果一个学生有一种以上不良姿势，我们以他最突出的一种作记载），并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中所给信息解答下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）如果全市有10万名初中生，那么在全市初中生中，三姿良好的学生约有多少人？
B ，
100
155
一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y (件)与销售价x (元/件)之间的函数关系如图所示
(1) 求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
(2) 求每天的销售利润W (元)与销售价x (元/件)之间的函数关系式，并求出每件销售
价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
21. （本题满分7分）
小昕的口袋中有5把相似的钥匙，其中2把钥匙（记为12,A A ）能打开教室前门锁，而剩余的3把钥匙（记为123,,B B B ）不能打开教室前门锁.
（1）小昕从口袋中随便摸出一把钥匙就能打开教室前门锁的概率是；（2）请用树状图或列表等方法，求出小昕从口袋中第一次随机摸出的一把钥匙不能打开教室前门锁（摸出的钥匙不放回）.而第二次随机摸出的一把钥匙正好能打开教室前门锁的概率.
22. （本题满分7分）
如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC 的高度，他们在斜坡上D 处测得大树顶端B
的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A 处，在A 处测得大树顶端B 的仰角是45°，若坡角∠FAE =30°，求大树的高度.（结果保留根号）
如图，P 为O 直径AB 延长线上的一点，PC 切O 于点C ，过点B 作CP 的垂线B H 交O 于点D ，交CP 于点H ，连结AC ，CD .
(1)求证：∠PBH =2∠HDC . (2)若sin ∠P =3
4
，BH =3，求BD 的长.
24. （本题满分10分）
定义：我们把关于某一点成中心对称的两条抛物线叫“孪生抛物线”
已知抛物线L :24y x =−+与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于C 点.
（1）求L 关于坐标原点O （0,0）的“孪生抛物线”W .
（2）点N 为坐标平面内一点，且△BCN 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，在x 轴上是否存在一点M （m ,0）使抛物线L 关于点M 的“孪生抛物线”过点N ，如果存在，求出M 点的坐标；若不存在，说明理由.。