数值分析ch4

Q y n + 1 = y n + h f( x n ,y n ) = y ( x n ) + h f( x n , y ( x n ) ) 由 y’(x) =f(x, y(x)) = y(x n )+ h y '(x n ) Taylor y '' (ξ ) 2 ' Q y(x n+1 )=y(x n +h) === y(x n )+hy (x n )+ h , ξ ∈ (x n , x n + 1 ) 2!
Ø f(x,y)在[a,b]上连续,且满足Lipschitz条件:
∃L,∀y1 ,y 2 , s.t. |f(x,y1 )-f(x,y 2 )| ≤ L|y1 -y 2 |
则初值问题Problem I有唯一解
Ø实际工程技术、生产、科研上会出现大量的微分方程问题
很难得到其解析解，有的甚至无法用解析表达式来表示， 因此只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。
y 2 = y 1 + h f ( x 1 , y 1 ) = 1 .1 + 0 .1 × (1 .1 −
y 3 = y 2 + hf ( x 2 , y 2 ) = 1.277438
……
2 × 0 .1 ) = 1 .1 9 1 8 1 8 1 .1
又其精确解为 y = 2 x + 1 整体误差 ek+1 = y( xk+1 ) − yk+1 ，下面对其加以分析
y(x0 )=y0 n=0,1,2, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ yn+1=yn+hf(xn ,yn )
几何意义
1. y(x)过点P0(x0,y0)且 在任意点(x,y)的切线 斜率为f(x,y), 2. y(x)在点P0(x0,y0)的 切线方程为： y=y0 +f(x 0 ,y0 )(x-x 0 ) 在切线上取点P1 (x1,y1)
从表中看出误差在逐步增加、积累 % 10 = y( x9 ) + hf ( x9 , y( x9 )) = 1.7330815 y %10 = 0.00103 而误差是 y( x10 ) − y10 = 0.05272 局部截断误差 y( x10 ) − y
数值积分法
y ' = f (x , y ) y (x 0 ) = y 0
欧拉法（续）
@用向后差商近似代替微商：
y'(xn+1 ) ≈ y[xn ,xn+1 ]= y(xn+1 )-y(xn ) h=xn+1 -xn h y(x n+ 1 )-y(x n ) ⇒ y(x ) ≈ y(x )+hf(x ,y(x )) n+1 n n+1 n+1 ∴ f(x n+ 1 , y(x n+ 1 ) ) ≈ h
欧拉法（续）
y ' = f (x, y ) y (x 0 ) = y 0
@用中心差商近似代替微商：
y(xn+1 )-y(xn-1 ) y'(xn ) ≈ y[xn-1 ,xn+1 ]= 2h y(xn+1 )-y(xn-1 ) ⇒ f(xn ,y(xn )) ≈ 2h
y(x0 )=y0 n=0,1,2, ⋅⋅⋅ yn+1=yn-1+2hf(xn ,yn )
—— 二步欧拉法
注：计算时，先用欧拉法求出y1 ，以后再用二步欧拉法计算。
欧拉法（续）
公式 y n+1=y n +hf(x n ,y n )
y n+1 =y n +hf(x n+1 ,y n+1 ) y n+1 =y n-1 +2hf(x n ,y n )
单步否 单步 单步 二步
显式否 显式 隐式 显式
y
y ' = f (x , y ) y (x 0 ) = y 0
p2 p3
y(x) p4
p1 p0
y1 =y0 +hf(x 0 ,y0 )
y1正是Euler 公式所求。
x0
x1
x2
x3
x4
x
3. 类似2，过P1以f (x1,y1)为斜率作直线，近似平行于y(x)在x1的 切线，在其上取点P2(x2,y2)，依此类推… 4.折线P0 P1 P2 …Pn…作为曲线y(x)的近似 ——欧拉折线法
y n+1=y n +hf(x n ,y n ) y n+1 =y n +hf(x n+1 ,y n+1 )
f ( x ,y ) d x ⇒ y ( x n + 1 ) − y ( x n ) =
n+1
∴
∫
x n+1 xn
y ( x)dx =
'
∫
x n+1 xn∫ Nhomakorabeax n+1 xn
f (x, y( x) ) dx
4.1 欧拉公式
@思想:用向前差商近似代替微商.
y ' = f (x, y ) y (x 0 ) = y 0
y(x n+1 )-y(x n ) y'(x n ) ≈ h
h=x n+1 -x n
y(x n+1 )-y(x n ) ∴ f(x n ,y(x n )) ≈ . h ∴ y(x n+1 ) ≈ y(x n )+hf(x n ,y(x n )) ∴ y n+1=y n +hf(x n ,y n ) ——欧拉公式（Euler Schema）
y ' = f (x, y ) y (x 0 ) = y 0
?
∴ y n+1=y n +hf(x n+1 ,y n+1 ) ——隐式欧拉公式
y(x0)=y0 n=0,1,2, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ yn+1=yn+hf(xn+1,yn+1)
注：用隐式欧拉法，每一步都需解方程 （或先解出yn+1的显式表达式），但其稳定性好。
f(xn+1,yn+1)=f(xn+1,y(xn+1)+(yn+1 -y(xn+1)) =f(xn+1,y(xn+1))+fy(xn+1,η)(yn+1-y(xn+1))，η介于yn+1与y(xn+1)之间 =y’(xn+1)+fy(xn+1,η)(yn+1-y(xn+1)) =y’(xn)+hy”(xn)+O(h2) +fy(xn+1,η)(yn+1-y(xn+1)) =f(xn,yn)+hy”(xn) +fy(xn+1,η)(yn+1-y(xn+1)) +O(h2) 又y(xn+1)= y(xn +h) = y(xn)+hy’(xn)+h2y”(xn) /2 +O(h3) =yn+hf(xn,yn)+h2y”(xn)/2+O(h3) =yn+hf(xn,yn)/2+h[f(xn,yn)+hy”(xn)]/2+O(h3)
f(xn+1,yn+1)=f(xn,yn)+hy”(xn) +fy(xn+1,η)(yn+1-y(xn+1)) +O(h2) y(xn+1)= yn+hf(xn,yn)/2+h[f(xn,yn)+hy”(xn)]/2+O(h3) = yn+hf(xn,yn)/2+h [f(xn+1,yn+1) - fy(xn+1,η)(yn+1-y(xn+1)) +O(h2)]/2+O(h3) = yn +h[f(xn,yn) + f(xn+1,yn+1) ]/2 + h fy(xn+1,η)(y(xn+1) - yn+1) /2 +O(h3) 从而y(xn+1)=yn+1+h fy(xn+1,η)[y(xn+1)-yn+1] /2 +O(h3) ∴y(xn+1)-yn+1 = h fy(xn+1,η)[y(xn+1)-yn+1] /2 +O(h3) ∴y(xn+1)-yn+1=O(h3)/[1-hfy(xn+1,η)/2]=O(h3) ∴梯形公式的截断误差为O(h3)，其精度是2阶。
截断误差y(xn+1)-yn+1
局部截断误差
定义1 假设yn=y(xn) ,即第n步计算是精确的前提下,称 Rn+1=y(xn+1)-yn+1为欧拉法的局部截断误差. 注：无yn=y(xn) 前提下，称Rn+1为整体截断误差。 定义2 若某算法的局部截断误差为O(hp+1),称该算法有p阶精度. 定理 欧拉法的精度是一阶。 分析：证明其局部截断误差为O(h2),可通过Taylor展开式分析。 证明： Euler 公式为 y n + 1 = y n + h f( x n ,y n ) 令yn=y(xn)，下证： y(xn+1)-yn+1 = O(h2)
yn+1=yn-1+2hf(xn ,yn ) = y(x n-1 ) +2hf( x n ,y (x n ))= y ( x n - 1 ) + 2 h y ' ( x n )