等差数列前n项和的公式

① ②
把①+②得:2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1) 由等差数列的性质：当m+n=p+q时， am+an=ap+aq 知：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，所以式可化为：
2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ … +(a1+an) = n(a1+an) 共有 多少个 n (a 个1(a +a1n+a ) n? )
n(a1 an ) Sn 2
因此，
这种求和 的方法叫倒 序相加法！
等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.
等差数列的前n项和公式及其它形式

Sn= a1+ a2
n（a1 an ) Sn 2
an a1 ( n 1) d
知a1和an 知a1和d
n（n 1) Sn na1 d 2
日照市工业学校
王贵亮
同学们都是年轻人，是不是都特想拥有自 己的一台苹果平板电脑ipad？为实现我们的这 个愿望，从现在开始攒钱，第一个月攒了50 元钱，以后每个月都要比上一个月多攒100元 钱，问一下：多少个月能攒够5000元钱买一 台ipad呢？
这个问题的解决就是我们这节课要学习的内容，当 我们学完了这节课的以后，你就可以得到答案！知 道需要多长时间就可以拥有属于自己的ipad。
200 × （200 1) ×2 s200=200×1+ 2
n（n 1) d 得 由等差数列前n项和公式 Sn na1 2
=200×1+200×199 =200×（1+199） =200×200=40000 即在正整数数列中，前200个奇数 之和是40000。
练一练
等差数列-10，-6，-2，2，· · · 前多少项的和是54？
5 n ＋n(n-1)(-1) =－30
2
整理得：n2 －11n－60=0 解得： n1=15, n2=－4 （舍去）
答：等差数列5,4,3,2,···前15项的和是-30。
高斯的故事
高斯上小学时，数学老师出了时间，所以他一写完题目， 就坐到一边看书去了。谁知，他刚坐下，马上就有一 个学生举手说：“老师，我做完了。”老师大吃一惊， 原来是班上年纪最小的高斯。老师走到他身边，只见 他在笔记本上写着5050，老师看了，不由得暗自称赞。 思考： 1+2+3+…+98+99+100=？ 如果我们来算，能用简便的方法很快算出它的值吗？
n(a1 an ) sn 2 n( n 1) sn na1 d 2
an a1 (n 1)d
结论：知 三 求 二
解题思路一般是:建立方程(组)求解
例2 在小于100的正整数集合中，有多少 个数是7的倍数？并求它们的和。
解：在小于100的正整数集合中，7的倍数是7， 14，21，...，构成等差数列{an}。 其中a1=7,d=7。 因此an=a1+(n-1)d=7+7(n-1) =7n, 2 100 又因为an＜100, 从而7n＜100, 即n＜ =14 7 , 7 所以n=14, 因此共有14个数是7的倍数
n
n（a1 an ) Sn 2
答：V形架上共放着7260支铅笔.
试一试：
1. 根据下列条件，求相应的等差数列{an}的sn.
(1)a1 5, an 95, n 10;
解： S10
10 (5 95) 5 100 500 . 2
n（a1 an ) Sn 2
如果一个数列从它的第二项起，每一项与 等差数列：
它前一项的差都等于同一个常数，则这个 数列叫做等差数列。an+1-an=d（常数）
通项公式： an=a1+(n-1)d
当 m+n=p+q 时， 重要性质: am+an = ap+aq 注意：这里m,n,p,qN*
接下来我们还要继续探讨等差数列的有 关问题，下面先看高斯的故事。
算一算:
回到我们一开始的问题 从现在开始攒钱，第一个月攒了50元钱，以后每 个月都要比上一个月多攒100元钱，问一下：多少个月 能攒够5000元钱买一台ipad呢？ 解: 设题中的等差数列为｛an｝，前n项和是Sn，则 a1= 50, d= 100, 令Sn=5000， 根据等差数列前项和公式，得：
这节课我们学习任务是：
(1)已知等差数列｛ an ｝的首项a1，项数n，第n项an， 公差d，求前n项和Sn的计算公式；
(2)能够灵活应用公式解决实际问题。 下面我们就通过高斯问题的解决来推导等差数列的前n 项和公式。
下面再来看1+2+3+…+98+99+100的高斯算法。 设S100=1 + 2 + 3 +…+98+99+100
解: 设题中的等差数列为｛an｝，前n项和是Sn, 则a1= -10, d= -6-(-10）=4, 令Sn=54, 根据等差数列前项和公式，得:
-10n ＋
n(n-1)
2
×4 =54
整理得：-10n+2n2-2n-54=0 即：n2 －6n－27=0 解得： n1=9, n2=－3 (舍去) 答：等差数列-10,-6, -2,2,···前9项的和是54.
前n项 ？ 的和
首 尾 项 + ) 1( ？ ？ ？ 项 项 数 2
这就是等差数列 前n项和的公式！
n(a1 an ) Sn 2
{an}是等差数列，Sn是前n项和，则 S n
n(a1 an ) 2
证明：Sn= a1+ a2 + a3 + … +an-2+an-1+an a a n + 1 + a 2+a + a + a +a n-1 即Sn= an+an-1+ a n-2 +… + 3 2 1 1
+an
思考：还可以怎么推导上述公式呢？
+ a3 +…
=a1+ (a1+d)+ (a1 +2d) +...+ [a1+(n-1)d] =na1+ [0+1+2+...+(n-2)+(n-1)]d n（n 1) na1 d 2
学习的目的在于应用，下面我们就应用 公式解决一些简单的实际问题。
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2、通过本堂课的学习，我们还应该掌握的基本 数学方法是： （1）倒序相加法。 （2）由特殊到一般及由 一般到特殊的数学方法
课后作业：
1：课本P102习题5-3 2, 3 2: 预习课本下节内容
谢谢 各位老师光临！
做一做
（1）求等差数列5，4，3，2，· · · 前 多少项的和是－30？
解: 设题中的等差数列为｛an｝，前n项和是Sn， 则a1=5，d=4－5=-1令Sn=-30， 根据等差数列前项和公式，得：
+ + + + + + +
作 加 法
倒序S100=100+99+98+…+ 3+ 2+ 1
// // // // // \\
2S100=101+101+101+…101+101+101
多少个 100个 101 101 ?
\\
这种求和 的方法叫 倒序相加 法！
1 所以S100= (1+100)×100 =5050 2
n(n-1) ×100 =5000 50n ＋ 2
整理得：n2 =100 解得： n1=10, n2=－10 (舍去)
答：10个月能够攒够5000元钱买一台电脑。
1、 这节课课学习的主要内容是 等差数列前n项和的求和公式及其应用 回想 sn 公式：
sn n( a1 an ) 知a1和an 2 n( n 1) na1 d 知a1和d 2
(2)a1 100 , d 2, n 50;
2
n（n 1) Sn na1 d 50 × （50 1) 2 解： S 50 50 100 (2)
=50×100-50×49 =50×(100-49)
=50×51 =2550
想 一 想
在等差数列 {an} 中，如果已知五个 量 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量 ?
由等差数列的前n项公式得 14 （ 14 - 1 ） s14=14×7+ ×7 =14×7+7×13×7 2 =(14+91)×7 =105×7 =735 答：在小于100的正整数中的集合中， 有14个数是7的倍数，他们的和等于735。
做一做
在正整数数列中，求前200个奇数之和。
解：根据题意可知，在正整数数列中， 前200个奇数1,3,5...构成等差数列{an}， 其中a1= 1， n= 200, d= 3-1=2.
这个数学问题所揭示的知识点就是我们今天要学习的等差数列 的前n项和。
数列的前n 项和的定义
给定数列｛ an ｝： a1， a2 ， a3 ，…， an ，… 我们把 a1＋a2 ＋ a3 ＋ … ＋ an 叫做数列｛ an ｝的 前n项和，记作Sn，即 Sn= a1+ a2 + a3 + … +an-2+an-1+an