DS006.2 树与二叉树(II)

F
K
G

给定先序、中序、后序遍历中的任意两个，能否求 出第三个遍历序列？
Chpter 6: Binary Tree 15
Data Structure
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遍历特点

先序：根永远在最前 中序：根永远在最中间 后序：根永远在最后
ABCDEF CBDAEF CDBFEA
k
i 1
A
第1层
2 1
k
C
Data Structure
B D G
F I
第2层 第3层
Chpter 6: Binary Tree
2
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二叉树的性质

性质三、在任何一棵二叉树中，若叶结点数为 n0, 度为2的结点数为n2, 则n0 = n2 + 1
Chpter 6: Binary Tree
12
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中序、后序遍历
// 中序遍历 void InOrderTraverse (BiTree T) { C B D A if (T) { InOrderTraverse (T->lchild); visit(T); // printf(“%c”, T->data); InOrderTraverse (T->rchild); } } // 后序遍历 void PostOrderTraverse (BiTree T) C D B { if (T) { PostOrderTraverse (T->lchild); PostOrderTraverse (T->rchild); visit(T); // printf(“%c”, T->data); } }

结点总数 = n0 + n1 + n2 边的总数 = n1 + 2n2 结点总数＝边数目＋1 n0 = n2 + 1
Data Structure
Chpter 6: Binary Tree
3
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二叉树的性质

满二叉树——结点数为2k-1 完全二叉树——编号与满二叉树一一对应
A
C
∧ F ∧
B ∧
C
∧ E ∧ ∧ F ∧
∧ D
∧ G ∧
Data Structure
Chpter 6: Binary Tree
24
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三叉链表

三叉链表(带双亲结点指针)
typedef struct BiTNode { ElemType data; struct BiTNode *lchild, *rchild; struct BiTNode *parent; } BiTNode, *BiTree;
D A B E G C F
lchild data rchild
Data Structure
Chpter 6: Binary Tree
23
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头结点

不带头结点的二叉链表 带头结点的二叉链表
头结点
头结点
^
A
B ∧
∧ D ∧ G ∧ ∧ E ∧
Chpter 6: Binary Tree 8


Data Structure
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DLR——先序遍历

D
访问根结点 访问左子树 访问右子树
L
R

LDR——中序遍历
访问左子树——访问根结点——访问右子树

LRD——后序遍历
访问左子树——访问右子树——访问根结点
D
lchild data rchild parent
A
∧
B ∧
∧ D ∧ G ∧ ∧ E ∧ ∧
C
∧ F ∧
Data Structure
Chpter 6: Binary Tree
25
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二叉树的基本操作及实现





Initiate（bt）建立一棵空二叉树。 Create（x，lbt，rbt）生成一棵以x为根结点的数据域信息，以 二叉树lbt和rbt为左子树和右子树的二叉树。 InsertL（bt，x，parent）将数据域信息为x的结点插入到二叉树 bt中作为结点parent的左孩子结点。如果结点parent原来有左孩 子结点，则将结点parent原来的左孩子结点作为结点x的左孩子 结点。 InsertR（bt，x，parent）将数据域信息为x的结点插入到二叉树 bt中作为结点parent的右孩子结点。如果结点parent原来有右孩 子结点，则将结点parent原来的右孩子结点作为结点x的右孩子 结点。 DeleteL（bt，parent）在二叉树bt中删除结点parent的左子树。 DeleteR（bt，parent）在二叉树bt中删除结点parent的右子树。 Search（bt，x）在二叉树bt中查找数据元素x。 Traverse（bt）按某种方式遍历二叉树bt的全部结点。
第六章 树与二叉树(II)
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6.2.2 二叉树的性质

性质一、在二叉树的第i层上最多有2i-1个结点

数学归纳法

性质二、深度为k的二叉树最多有2k-1个结点
2
i 1
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二叉树的存储结构

顺序存储

#define MAX_TREE_SIZE 1000 typedef ElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; SqBiTree bt;


存储规则：补全为完全二叉树，然后按照层次进行 编号存储 最坏情况：k-1个全是右孩子，则需要2k-1个空间
FEA源自Data Structure
Chpter 6: Binary Tree
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练习

写出下图二叉树的中序和后序遍历序列
A B C
D
H
E
F
G
K
H D ^ B ^ E ^ A ^F K C ^G^
H ^D ^ ^E B
Data Structure
Chpter 6: Binary Tree
1 2 4 5 6 3 7
9 10 11 12 13 14 15
Data Structure
6
二叉树的遍历
先序/根遍历 中序/根遍历
后序/根遍历
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※二叉树的遍历

L
R
遍历二叉树——按某条搜索路径巡访树中的每 个结点 二叉树有三个基本单元： R：根结点，L：左子树，R：右子树 依次遍历这些基本单元，即可遍历二叉树 遍历方法：LDR, LRD, DLR, DRL, RDL, RLD 定义先左后右：LDR, DLR, LRD
Data Structure
Chpter 6: Binary Tree
5
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二叉树的性质五

T有为一有n个结点的完全二叉树, 结点按层序 编号(从1层到[log2n]+1, 每层从左到右)，则对 任意结点i(1<=i<=n)有



若i=1，则结点i为根, 无双亲; 若i>1, 则其双亲parent(i) = [i/2]; 若2i>n, 则结点i无左孩子(结点i为 叶结点);否则其左孩子lchild(i)= 2i; 若2i+1>n, 则结点i无右孩子; 否则 8 其右孩子rchild(i) = 2i+1
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先序遍历DLR
<A, L, R> <B, Lb, Rb> <C, ^, ^> <D, ^, ^> <E, ^, Re> <F, ^, ^>
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先序遍历算法
A void visit (BiTree T) { printf("%c", T->data); }
B C L D
E R F
void PreOrderTraverse (BiTree T) { if (T) { visit(T); // printf(“%c”, T->data); PreOrderTraverse (T->lchild); PreOrderTraverse (T->rchild); } }
1
2 3 5 6 7 8 4 9 10 1 2 5 6 1 3 7
4 8
9 10 11 12 13 14 15 1
1
2
3 5 6 7 4 8 7 4
2
5 8 9 6 10 11 12
3
4
2 5 6
3
Data Structure
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4