一类积分微分方程周期解的稳定性
微分方程中的稳定性与周期解
微分方程中的稳定性与周期解微分方程是数学中的重要概念，用于描述许多自然界和科学问题中的变化与变化率。
在微分方程的解空间中，稳定性与周期解是两个关键概念。
本文将讨论微分方程中的稳定性与周期解，并探讨它们在不同类型微分方程中的应用。
一、稳定性稳定性是指微分方程解中的一个重要特性，它描述了系统在扰动（如初始条件的微小变化）下的行为。
稳定性分为两种类型：有界稳定和渐近稳定。
1. 有界稳定有界稳定是指当系统受到扰动时，解的变化被限制在一个有界的范围内。
换句话说，无论初始条件如何变化，解都在一定范围内波动。
这种稳定性在许多实际问题中非常重要，例如电路中的振荡器系统。
2. 渐近稳定渐近稳定是指当系统受到扰动时，解最终趋于一个稳定的平衡状态。
也就是说，随着时间的推移，解会逐渐接近一个固定的值。
这种稳定性可以帮助我们理解许多自然现象，如天体力学中的行星轨道。
二、周期解周期解是指在一定时间间隔内重复出现的解。
周期解在许多周期性现象中都有应用，例如振动系统和生物节律等。
对于一个周期解，我们需要确定它的周期和振幅。
1. 周期周期是指解重复出现的时间间隔。
在微分方程中，我们可以通过分析解的特征来确定周期。
例如，对于振动系统的微分方程，周期解对应于解的正弦或余弦波动。
2. 振幅振幅是指解在周期内变化的幅度。
在微分方程中，振幅可以通过解的极大值与极小值之间的差值来确定。
振动系统中的振幅通常与初始条件有关。
三、应用稳定性与周期解在许多科学和工程领域中都有重要的应用。
下面将介绍在不同类型微分方程中的具体应用。
1. 非线性方程非线性方程的解通常较为复杂，稳定性和周期解的分析对于理解系统行为非常重要。
例如，Lotka-Volterra方程是用于描述捕食和被捕食物种之间关系的非线性方程，通过分析方程的周期解，我们可以预测种群数量的周期性波动。
2. 线性方程线性方程的解相对较简单，但稳定性分析仍然重要。
例如，热传导方程是描述热量传输的线性方程，在稳定性分析中，我们可以确定热传导系统是否会达到热平衡状态。
常微分方程的周期解的周期性
常微分方程的周期解的周期性在数学中，常微分方程是研究变量之间的关系以及其对应的导数或微分的方程。
周期解是指在一定周期内重复出现的解。
本文将探讨常微分方程的周期解的周期性。
一、周期解的定义在常微分方程中，如果存在一个解函数y(t)，使得对于某个正常数T，对于任意实数t，都有y(t + T) = y(t)，则称y(t)为方程的一个周期解，T为周期。
二、周期解的周期性质周期解的周期性质可以通过使用数学推导和分析来证明。
1. 唯一性对于一个给定的常微分方程，它可能存在多个周期解，但是每个周期解都有唯一的周期。
这是由于周期解是满足y(t+T)=y(t)的函数，而如果一个解函数y(t)的周期是T1，另一个解函数y(t)的周期是T2，那么它们的周期可以表示为T1的整数倍和T2的整数倍的最小公倍数。
2. 周期解的稳定性对于某些常微分方程，周期解可能是稳定的，即在微小的扰动下仍保持周期性。
这种稳定性可以通过线性化稳定性分析来判断。
线性化稳定性分析是通过计算方程在周期解附近的雅可比矩阵的特征值来确定稳定性。
3. R的周期解对于某些常微分方程，周期解可能形成一个闭合轨道，称为R的周期解。
这些R的周期解在相空间中构成一个封闭曲线，且整个相空间中的解曲线都将趋向于该封闭曲线。
R的周期解在动力系统中具有重要的应用。
三、例子说明以简单的谐振子作为例子来说明周期解的周期性。
谐振子的运动方程可以用常微分方程来描述：m(d^2y/dt^2) + k(y - y0) = 0，其中m和k 分别是质量和弹性系数，y0是平衡位置。
解这个方程可以得到y(t) = A sin(ωt + φ)，其中A是振幅，ω是角频率，φ是相位差。
由于sin函数的周期是2π，因此振动解的周期是T = 2π/ω。
这展示了周期解的周期性质。
四、相关应用周期解的周期性质在动力学系统、电路理论、生物学和物理学等领域都有广泛的应用。
在动力学系统中，周期解的周期性质可以用来描述震荡现象和周期性运动。
一类随机积分微分方程解的稳定性
（） ２
设 （ Ｆ Ｐ 是带有域流 ｛ 的完备度量空 ， ， ） ）
其中，， ０ １ ． 是 个正常数， ＞ 获得了许多解的存在性
最近， ｕｔ ［ Ｂｒｎ ｏ 使用不动点定理研究了方程 ：
间， 中 ｛ 满足正常条件，即 是右连续 的， 其 ｝ 并且 包含所有 的 Ｐ． 零集．设 ｛（ ：≥０ 是定 ｆ ｔ ｝ ） 义 在 （ Ｆ Ｐ 上 的 标 准 布 朗 运 动 ．设 Ｌ＞ ， ， ） ０，
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ｒ¨
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的 解的稳 定性 问题，其 中在 Ｘ ＝０的 某邻 域 内满足 ｘ （ ＞０ｘ≠０ ．不仅使 用不动 点定理 给 出 了 ｇ・ ） （ ， ）
方程 解 的均 方渐 近稳 定的充分 必要 条件，同时给 出 了一 个例 子说 明 了主要 结 果． 关键 词：随机 积分一 分方程 ；不动 点定理 ；均方；渐近稳 定；变时滞 微
（） ｆ （）“＞一。 ｉ ｉ ｉ “ｄ 。；
一
类随机积分微分方程解 的稳定性
陈 丽 胡 良根
（ 宁波大学 理学院， 浙江 宁波 ３ ５ １ ） １２ １
摘要： 研究具有 变时滞 ｒ ） （ 的非线性随机积分一 ｆ 微分方程
ｄ（ ＝ （ ．（ｓ （ｓ） ｄ＋ （ ） ） ≥０ ｘ） 一 Ｉ， ｆ） ｘ ）ｄ ｔ ｇｔ ） ， ｔ ，ｆ （）ｓ ， （ ｔ ０
的解 的渐近稳定性， 中，ｒ ） ，— （ 单调增 其 （ ≥０ｔ ｆ ｔ ） 长且在 ＝ 的某个邻域内有 ｘ （Ｘ ＞ （ ≠０ ． ０ ｇ・） ０ ， ｘ ） 在 ２１ ００年， ｕ［１ Ｌｏ３ １使用不动点定理考虑随机
Ｖ ｌｒ ．ｅｉ方程的指数稳定性． ｏｅ ａ ｖ ｔｒＬ ｎ 需要注意到的是， 使用不动点定理来研究带 有变时滞的随机积分一 微分方程的解 的稳定性问题
微分方程的稳定性理论
微分方程的稳定性理论微分方程的稳定性理论是研究微分方程解的行为随参数变化而产生的稳定性问题的数学分支。
在许多实际问题中，人们常常需要分析微分方程在不同参数下的解的性质，以便更好地理解系统的行为和动态特性。
稳定性的概念稳定性是指微分方程解在初始条件或参数扰动下的响应行为。
在微分方程中，对解的稳定性主要分为几种类型：1.渐近稳定：解会收敛到一个稳定的状态。
2.指数稳定：解在某稳定状态附近呈指数形式衰减或增长。
3.李雅普诺夫稳定：指解相对于初始值的具体指数速度趋于稳定。
4.中立稳定：解在稳定状态周围有振荡。
稳定性分析方法微分方程的稳定性理论为研究者提供了一些方法来分析解的稳定性：李雅普诺夫方法李雅普诺夫方法是一种常用的稳定性分析方法，通过构造一个李雅普诺夫函数来研究解的收敛性。
这种方法适用于线性和非线性系统，并且可以用来证明解的全局稳定性。
极限环方法极限环方法是另一种常用的稳定性分析方法，通过将微分方程线性化为极限环系统，探索极限环周围解的动态特性来确定系统的稳定性。
这种方法对周期解和周期性解的稳定性问题有很好的应用。
拉普拉斯变换方法拉普拉斯变换方法是用于求解线性微分方程的一种方法，可以将微分方程转化为代数方程，从而快速得到解的稳定性特性。
这种方法适用于线性系统和光滑函数的稳定性分析。
应用领域微分方程的稳定性理论在许多领域都有着广泛的应用，例如控制理论、动力系统和生态学等。
通过稳定性分析，研究者可以更好地理解系统的稳定性特性和动态行为，为实际问题的解决提供理论支持。
结论微分方程的稳定性理论是微分方程研究中一个重要而深刻的领域，它为研究者提供了丰富的稳定性分析方法和技术工具。
通过深入研究微分方程的稳定性问题，我们可以更好地理解系统的动态特性，为科学研究和工程实践提供理论支持。
微分方程中的稳定解与周期解
微分方程中的稳定解与周期解微积分中的微分方程是描述自然界中各种变化规律的重要工具。
在微分方程的解中，稳定解和周期解是两种常见而重要的解析形式。
本文将探讨微分方程中的稳定解与周期解的性质和特点。
1. 稳定解稳定解是指在微分方程中的解随时间的推移而趋于一个固定的值。
具体而言，对于一阶常微分方程dy/dt=f(t,y)，如果对于任意的初始条件(y0,t0)，解y(t)在t趋于无穷时都趋于一个固定的极限值y∞，则称该解为稳定解。
稳定解的一个典型例子是指数衰减现象。
考虑一阶常微分方程dy/dt=-ky，其中k>0为常数。
可以求得该微分方程的解析解为y(t)=y0e^(-kt)，其中y0为初始条件。
当t趋于无穷时，指数项e^(-kt)趋近于0，因此y(t)趋于极限值0，这就是一个稳定解。
稳定解的图像通常表现为一条渐近于某个水平线或曲线的曲线。
在控制系统、生态学和经济学等领域中，稳定解常常用来描述系统在长时间内的行为趋势。
2. 周期解周期解是指在微分方程中的解在经过一定时间之后回到初始状态的解。
换句话说，周期解是解在时间轴上以一定周期重复出现的解。
周期解的一个简单例子是谐振子的运动。
考虑一个简谐振动系统，其运动方程可用二阶常微分方程描述。
解析解表达式为x(t)=Acos(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，φ为相位。
由于余弦函数是周期性的，因此x(t)在一定时间间隔内会回到初始位置，这就是一个周期解。
周期解的图像呈现出规则的周期性重复特征。
在物理学、电路和天体力学等领域中，周期解经常出现在周期性运动和周期性现象的描述中。
3. 稳定解与周期解的关系稳定解和周期解是微分方程中两种不同类型的解析形式。
它们在数学性质和物理意义上有着显著的区别。
首先，在数学性质上，稳定解通常是解析解，可以通过数学方法精确求解。
而周期解通常是通过数值方法或近似方法求解，因为周期解往往无法用一般的函数表达式表示。
其次，在物理意义上，稳定解描述的是系统的稳定性，即系统趋于平衡或固定状态的趋势。
微分方程周期解特性分析
微分方程周期解特性分析
微分方程是描述变化率的数学工具，而周期解是指在一定时间内重复出现的解。
本文将对微分方程的周期解进行特性分析，探讨周期解在不同情况下的性质和行为。
1. 微分方程和周期解的基本概念
微分方程是一种包含未知函数及其导数的方程，通常用来描述自然现象或规律。
周期解是指满足特定条件，可以在一定时间或空间内重复出现的解。
周期解在各种领域中有着重要的应用，如振动系统、电路分析等。
2. 周期解的存在性和唯一性
对于给定的微分方程，周期解并不总是存在，其存在与否取决于方程的具体形
式以及边界条件。
对于某些特定类型的微分方程，周期解可能存在多个，但在一些情况下，周期解可能是唯一的。
3. 周期解的稳定性和不稳定性
周期解的稳定性是指当微小扰动作用于解时，解是否会向周期解逼近。
稳定的
周期解意味着系统具有稳定的振动特性，而不稳定的周期解则可能导致系统出现混沌现象。
4. 周期解的周期性分析
周期解的周期性分析是研究周期解的周期长度、频率和相位等特性。
通过周期
性分析，可以更好地理解周期解的行为规律，为系统的动态行为提供更准确的描述。
5. 周期解的数值模拟和实际应用
在实际工程和科学问题中，通常需要通过数值方法对微分方程的周期解进行模
拟和计算。
数值模拟可以帮助我们更好地理解系统的周期特性，为系统设计和优化提供参考依据。
结论
本文对微分方程的周期解进行了分析，探讨了周期解的存在性、稳定性、周期
性分析以及数值模拟和实际应用。
周期解在动态系统分析和控制中具有重要意义，了解其特性将有助于深入理解系统的动态行为和稳定性。
微分方程的稳定性模型_图文_图文
1) 甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲 乙一起生存时相互提供食物、促进增长。
2) 甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长。
3) 甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长。
模型 假设
• 甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律 ; 甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长 。 • 乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙 提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身 的阻滞作用 (服从Logistic规律)。
假设
• 解释(预测)双方军备竞赛的结局 1）由于相互不信任，一方军备越大，另一 方军备增加越快；
2）由于经济实力限制，一方军备越大，对 自己军备增长的制约越大；
3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存
在增加军备的潜力。
进一步 假设
1）2）的作用为线性；3）的作用为常数
建模 x(t)~甲方军备数量， y(t)~乙方军备数量
r1=1, N1=20, 1=0.1, w=0.2, r2=0.5, 2=0.18
相轨线趋向极限环 结构稳定
实质上，我们并不需求解上面的微分方程以得到x(t) 的动态变化过程，只希望知道渔场的稳定鱼量和保 持稳定的条件，即时间 t 足够长以后渔场鱼量 x(t) 的趋向，并由此确定最大持续产量。为此可以直接 求上面常微分方程的平衡点并分析其稳定性。
不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法
由于
讨论方程(1)的稳定性时，可用
对于消耗甲的资源而言
，乙(相对于N2)是甲(相
对于N1)的1 倍。
对甲增长的阻滞 作用，乙小于甲 乙的竞争力弱
2>1 甲的竞争力强
甲达到最大容量，乙灭绝
微分方程稳定性
微分方程稳定性微分方程是描述自然界或社会现象数学模型的重要工具，在许多领域都得到了广泛应用。
稳定性是微分方程中一个重要的性质，它决定了系统的长期行为。
本文将从微分方程的稳定性入手，探讨其原理及应用。
稳定性概述在微分方程中，稳定性描述了系统在扰动下的表现。
一个系统若具有稳定性，即在初始条件稍微改变时系统也不会产生很大的变化，保持在某种稳定的状态。
相反，若系统不稳定，则初始条件的微小变化可能引起系统行为的剧烈变化。
线性系统的稳定性对于线性微分方程，我们可以通过线性稳定性定理来判断系统的稳定性。
简言之，线性系统的稳定性与其特征根的实部有关。
如果所有特征根的实部都小于零，则系统是稳定的；如果存在实部大于零的特征根，则系统是不稳定的。
非线性系统的稳定性相比线性系统，非线性系统的稳定性分析更加复杂。
通常我们需要通过 Lyapunov 函数、相平面分析等方法来研究非线性系统的稳定性。
Lyapunov 函数是一种标量函数，通过分析 Lyapunov 函数的正负号可以确定系统的渐近稳定性、不稳定性或者随机稳定性。
应用案例分析举一个简单的应用案例，考虑如下的非线性微分方程：$$\frac{dx}{dt} = -x^3$$可以通过 Lyapunov 函数的方法来判断系统的稳定性。
定义Lyapunov 函数为 $V(x) = \frac{1}{2}x^2$，对 $V(x)$ 求导得：$$\dot{V}(x) = x \dot{x} = -x^4$$当 $x \neq 0$ 时，有 $\dot{V}(x) < 0$，因此系统是渐近稳定的。
这个简单的例子展示了Lyapunov 函数在非线性系统稳定性分析中的应用。
结论微分方程的稳定性是微分方程理论中的一个核心问题，它关乎系统的长期行为和稳定性。
通过线性稳定性定理和 Lyapunov 函数等方法，我们可以判断系统的稳定性，并进一步研究系统的动力学特性。
在实际应用中，对微分方程稳定性的研究有助于我们更好地理解系统的演化规律，为问题的求解提供重要参考。
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（ 存 在着 常数 Ｋ Ｉ 得 当 ｔ Ａ） ＞使 ∈Ｒ时有
（ ｔ 与 ｏ 无关 ） 使得当 ｌ‘ｔＩ＜ （∈（∞， 】 ， ｌ（ ８ｔ 一 ｔ ） 就 Ｐ ）ｌ ｏ时
考 虑 如下 的积分微 分方 程
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一
类积分微分 方程周期解 的稳 定性
崔 冬 玲
（ 南师 范 学院 数 学与 计算科 学 系， 徽 淮南 ２ ２ ０ ） 淮 安 ３ ０ １
【 要】 用泛函分析的技巧讨论 了一类对具有连续时滞非线性积分微分方程周期解的稳定性。 摘 利 【 关键词】 非线性积分微分方程； 周期解； 稳定性 【 中图分 类 号】 ７ ． Ｏ１５６ 【 献标 识码］ 文 Ａ 【 文章 编号】１０ —５ ０２ １ ）４ ０ ６— ２ ０９ ９ ３ （０ ０ — ０ ３ ０ １
１ 引理 及 假 设
考 虑如 下微 分方 程
ｄ ｔｘ ｘ Ａ（） （） １
嘏 ｐ ｃ
因 Ｉｔ～ｓ ＝ 为Ｉ （ｘ （Ｉ ） ） ｘ
Ｓ Ｄ Ｕ
ｔ ≥ ｓ
ｍ 其中 ｔ ∈Ｒ， ｘ∈Ｒ ， ｔ＝ ａ（） 是 ｎ ｎ连 续 函数 ｎＡ（） （ ｔ ） ｘ 矩阵。 令 ｘ ＝ （）ｏ 则有 ，Ｘ ＳＸ ， 引理 设 Ｘ（） （ ） ｔ是 １ 的基本解 方 阵 ， 有 则
Ｉ （Ｘ （ ｆ￣ ｘ（ （ ｄ）ｔ ｓ （） ｔ ｓ ｅｐ Ｉ ｒ ｒ， ２ Ｉ ） ）Ｉ Ｘ ＜ ｂ） ≥
Ｉ。＝ｘ） （【＝ｘ ）ｌ ｌｌ（ 一 ）ＪＩ（ｘｌ ｌ ｓ ｓ０ ｓ ｘ ｌＪ ｘ 】ＩＪ
其 ｂ 慧ａ） ｃ 中（ ｛ｔ （ｊ ｔ ｉ＋ ） ） ｊ 丕Ｉ ｌ （
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＝
０ 又 存 在 着 非 负 连 续 Ｔ一 期 函 数 ｂ （） 得 ； 周 。 ｔ使
・
ｔ ）ｈｔ Ｉ≤ 。ｔｌｘ ｌ对 Ｉ （ ｘ一 （，）ｌ ｂ （） Ｉ Ｙｌ， 任意的 ｔ ｌ ， ｈ ｙ — ∈
Ｒ， ， ∈Ｒ 成 立 。 ｘＹ “
［』Ｉ（）ｏ）ｂｒ］ ８：Ｉ ， （ｓ ）ｒ （ ｃ ｓＩｓ＋（ ｄ ｒ ｌ ｄ ） ｂ
２ １年 第 ４期 ０１ 第 １ ３卷 （ 第 ６ 总 ８期 ）
淮 南 师 范 学 院学 报
Ｊ Ｕ Ｎ Ｆ ＨＵ Ｉ ＡＮ Ｎ Ｒ ＬＵ Ｉ Ｅ Ｓ Ｏ Ｒ ＡＬＯ Ａ Ｎ Ｏ ＭＡ ＮＶ Ｒ ⅡＹ
Ｎｏ ４， ２ １ ． ０１ Ｇｅ ｅ ａ ．６ Ｖｏ ． ｎ ｒ ｌＮｏ ８， １１ ３
ｌ （ Ｉ ｂｔ （（ ） ｌ ｔ （ Ｖ ｘｔ ）ｌ ） ｘ ＝ ）
则有 （） ｔ
ｘｔＡ）ｔ ＪＣ， （ｘ）ｓ（ （ （ ，－（【＋ （ ）ｓ（）＋ ｔ ｔ ３ （ ｔ（ ｔｈ ，ｓｄｇ， ） ） ）） ｓ ｘ ）
其 中 ｘ Ｒ ，，∈ Ｃ ｔ ） （ （ ｓ） ∈ “ｓｔ Ｒ， （ｓ＝ｃ ｔ ） ， “ ， 是 ｎ ｎ函 数 矩 ｘ 阵 ， ｔ是 ｎ ｎ连续 函数 矩 阵且 Ｒ上 连 续 ， ｔｓ Ａ（） ｘ Ｃ（，） 在 Ｒｘ 上 连续 ；（ｘｔ） （，（ ）ｐｆ “ Ｒ 连续 。 Ｒ ｇｔ （ ， ｓｘｓ ： ｔ ， ）ｈ ） ｏ “ 现 在如下 假设 ：
证 明 ： ｘ ｔ是 （ ） 设 （） １ 的任 一非零 解 。 李雅 普诺 夫 函 取
数
ｊ； １
Ｉ）ｓ＝ 假 ＝ Ｘ） ｘ－Ｉ （ＩＩ ｔ（
≤ｅｐ ｘ （）ｒ ｒｄ ｓ
即 （） ２ 式成 立 ， 理证 毕 。 引 定义 ： 方程 （ ） ３ 的零 解是 一致 稳 定 的 ， 如果 对 于 ＞ ｏ ＞ ＝ ８ Ｖｘ ） ｌ （ Ｉ ∑ Ｉ（ Ｉ （ ｔ ＝Ｉ ｔ ｌ ｘ ｔ ， （ ） ） ＝ ｊ） 计算Ｖ沿着（） 每一 个 ｅ Ｏ和 任何 的 ｔ￣Ｏ，存 在 着 正 数 ８ ８（ ） ｘ １的 解 的 右上导 数 ． 可得
淮 南师 范学 院学报
第 １ ３卷
有 Ｃ ｔＴ，＋ ） Ｃ（，） （ ＋ ｓＴ ＝ ｔＳ 。
所 以
非续－ 函嚣 ｌｔ ｇ暑≤ Ｉ１ 川 姒 Ｊｒ ｏ 连Ｔ期数（得ｇｓ（） ｂ 【 １ ｘ 一 周 ｂ使 ， ｔ Ｉ ｌ Ｉ ） ，Ｉ （一； ｔ ） Ｙ Ｊ ｘ ｐｋ） ｔ ＼ （ｒ （ Ｉ ｂａ ， ｔ ］ ｔ ｌ （ Ｉ － Ｉ对任意的 ｔ Ｒ ｘｙ Ｒ 飙 。 ｔ ］ ｙＩ， ）ｘ ∈ ，，∈ ｎ ／ｐｔ ｄ ｉ（ ｏ ） ｘｌ （ ｈ（ ， ） 于 ｔ是 Ｔ一 期 的 且 ｈ ｔ ０） Ａ） ｔ Ｘ 关 周 （，
．
所 以有
≤
（） ｒ ｒｄ
／ｔ ） （丕 ｌ ＋ Ｊ
（ Ｊ ｌ （ ｓＩ ｓ Ａ ） ｔ ）Ｉ 有界， ｌ ， ｃ ｄ 且对任意的ｔ ∈ ， ， Ｒ ｓ
【 收稿 日期】 ０ １ ０ — ４ ２ １－ ３ ０
【 金 项 目】 徽 省 高 校 省 级 自然 科 学 研 究 项 目（ Ｊ０ ０ ４ ５ 基 安 Ｋ２１Ｂ４ ） 【 者 简 介 】 冬 玲 （９ ９ ）女 ， 龙 江宝 清 人 ， 南 师 范 学 院数 学 与 汁算 科 学 系 讲师 ， 究 方 向 ： 函 微 分方 程 。 作 崔 １７ 一 ， 黑 淮 研 泛
Ｉ＋ｘ（） ｄ ｌｒ ｔＶ（ ｒ ） ｒ ｌ） Ｄ ≤ ｂｄ （ｒ
．
…
…
，
左边＝ ｎ （（） ｌＶｎ （（） ）
＝
（１ （关于ｔ 一 期的 Ａ） ｔ Ａ） 是Ｔ周 且告 Ｉ （ｄ 一＜ ｔｔ ａ ｂ ）＝ ０
其 中
ｂ ｔ＝ ａｘ （） ｍ