11[1].1直线方程

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直线的一般式方程(人教A版2019选修一)高二数学

直线的一般式方程(人教A版2019选修一)高二数学
解析:由本例(2)解法可知直线OA的斜率为3,要使直线不经 过第四象限,则有a≤3.
变式探究2 本例中将方程改为“x-(a-1)y-a-2=0”,若 直线不经过第二象限,则a的取值范围又是什么?
解析:①当a-1=0,即a=1时,直线为x=3,该直线不经过
第二象限,满足要求.
②当a-1≠0,即a≠1时,直线化为斜截式方程为y=
答案:2x-y+1=0
题型一 求直线的一般式方程 根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式.
(1)斜率是-1,经过点 A(8,-2); 2
(2)经过点 B(4,2),平行于 x 轴; (3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是3、-3;
2 (4)经过两点 P1(3,-2),P2(5,-4).
解析:选择合适的直线方程形式.
②若 2a+3=0,即 a=-32时,直线 l1:x+5y-2=0 与直线 l2: 5x-4=0 不垂直.
③若 1-a≠0,且 2a+3≠0,则直线 l1,l2 的斜率 k1,k2 都存 在,k1=-a1+-2a,k2=-2aa-+13,
当 l1⊥l2 时,k1·k2=-1,即(-a1+-2a)·(-2aa-+13)=-1, 所以 a=-1. 综上可知,当 a=1 或 a=-1 时,直线 l1⊥l2.
解析:∵kAB=
m-2-3 -5--2m
,直线x+3y-1=0的斜率为k=-
13,∴由题意得-m5-+52m=-13,解得m=4.故选A.
答案:A
4.斜率为2,且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为 ________.
解析:由直线点斜式方程可得y-3=2(x-1),化为一般式 为:2x-y+1=0.
解析:(1)方法一 将直线 l 的方程整理为 y-35=a(x-15), ∴直线 l 的斜率为 a,且过定点 A(1,3),

直线的两点式方程-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册课件(共43张PPT)

直线的两点式方程-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册课件(共43张PPT)
3.会用中点坐标公式求两点的 学运算的数学素养.
中点坐标.
2
某区商业中心 O 有通往东、西、南、北的四条大街,某公园位 于东大街北侧、北大街东 P 处,如图所示.公园到东大街、北大街 的垂直距离分别为 1 km 和 4 km.现在要在公园前修建一条直线大道 分别与东大街、北大街交汇于 A、B 两处,并使区商业中心 O 到 A、 B 两处的距离之和最短.
33
2.直线的截距式是两点式的一个特殊情形,用它来画直线以及 判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方 便.注意直线过原点或与坐标轴平行时,没有截距式方程,但直线过 原点时两截距存在且同时等于零.
34
1.过 P1(2,0),P2(0,3)两点的直线方程是( )
A.3x+2y=0
第二章 直线和圆的方程
2.2 直线的方程 2.2.2 直线的两点式方程
1
学习目标
核心素养
1.掌握直线方程两点式的形式、 1.通过直线两点式方程的推导,提
特点及适用范围.(重点) 升逻辑推理的数学素养.
2.了解直线方程截距式的形式、 2.通过直线的两点式方程和截距
特点及适用范围.(重点) 式方程的学习,培养直观想象和数
19
1.[变条件]本例中把“截距相等”改为“截距互为相反数”, 求直线 l 的方程.
[解] 当截距均为零时,设直线方程为 y=kx,把点(4,-3)代入 得-3=4k,解得 k=-34,所求的直线方程为 y=-34x,即 3x+4y= 0.
20
当截距均不为零且相反时,可设直线方程为ax+-ya=1,把点(4, -3)代入得4a+- -3a=1,解得 a=7,所求直线方程为7x+-y7=1,即 x -y-7=0,
[解] 设直线方程的截距式为a+x 1+ay=1. 则a+6 1+-a2=1,解得 a=2 或 a=1, 则直线方程是2+x 1+2y=1 或1+x 1+1y=1, 即 2x+3y-6=0 或 x+2y-2=0.

高中数学必修一《直线的点斜式方程》课件

高中数学必修一《直线的点斜式方程》课件
1
第二章 直线和圆的方程
2.2 直线的方程 2.2.1 直线的点斜式方程
2
学习目标 1.了解直线方程的点斜式的推导过
核心素养
程.(难点)
通过对直线的点斜式
2.掌握直线方程的点斜式并会应用.(重 方程的学习,培养逻
点)
辑推理、数学运算的
3.掌握直线方程的斜截式,了解截距的概 数学素养.
念.(重点、易错点)
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求直线的斜截式方程 (1)先求参数 k 和 b,再写出斜截式方程. (2)斜率可以是已知的,也可以利用倾斜角来求出,还可以利用 平行、垂直关系求出斜率. (3)b 是直线在 y 轴上的截距,即直线与 y 轴交点的纵坐标,不是 交点到原点的距离.
[跟进训练]
24
2.已知直线 l 的斜率为16,且和两坐标轴围成面积为 3 的三角形,
(2)当 a 为何值时,直线 l1:y=(2a-1)x+3 与直线 l2:y=4x-3 垂直?
[思路探究] 由直线的斜截式方程中 k、b 的几何意义及直线平 行、垂直的条件建立关于 a 的方程及不等式,求出 a 的值.
28
[解] (1)由题意可知,kl1=-1,kl2=a2-2,∵l1∥l2, ∴a22a-≠22=,-1, 解得 a=-1. 故当 a=-1 时,直线 l1:y=-x+2a 与直线 l2:y=(a2-2)x+2 平行.
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[解] (1)由点斜式方程得
y-4=2(x-3).
20
(2)与 x 轴平行时,k=0, ∴y-4=0×(x-3),即 y=4. (3)与 x 轴垂直,斜率不存在,方程为 x=3.
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直线的斜截式方程
【例 2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程: (1)斜率为 2,在 y 轴上的截距是 5; (2)倾斜角为 150°,在 y 轴上的截距是-2; (3)倾斜角为 60°,与 y 轴的交点到坐标原点的距离为 3.

数学(理科) 第七章 第1讲 直线的方程

数学(理科) 第七章 第1讲 直线的方程

5.线段的中点坐标公式
若点 P1,P2 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段 P1P2 的
x1+x2
x _____2______,
中点 M 的坐标为(x,y),则
y1+y2
y ____2_______ .
1.(教材改编题)直线 x+ 3y+m=0(m∈k)的倾斜角为( C )
(4)由题意可设直线方程为3xa+ay=1, 又∵直线过点 A(4,2),∴34a+2a=1.解得 a=130. ∴方程为 x+3y-10=0. 综上所述,直线 l 的方程为 x+3y-10=0. (5)设直线 l 的方程为ax+by=1,
由题意,得4a+2b=1, a+b=12.
∴4b+2a=ab.即 4(12-a)+2a=a(12-a). ∴a2-14a+48=0.解得 a=6 或 a=8. 因此ab= =66, , 或ab= =84, . ∴直线 l 的方程为 x+y-6=0 或 x+2y-8=0. 【规律方法】如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距 相等”“截距的绝对值相等”“截距互为相反数”“在一坐标 轴上的截距是另一坐标轴上截距的 m 倍(m>0)”等条件时,可 采用截距式求直线方程,但一定要注意考虑“零截距”的情况.
3.直线方程的五种形式
名称 点斜式 斜截式
方程 y-y1=k(x-x1) ____y=__k_x_+__b____
适用范围 不含垂直于 x 轴的直线 不含垂直于 x 轴的直线
两点式 yy2--yy11=xx2--xx11(x1≠x2,y1≠y2) 不含垂直于坐标轴的直线
截距式
ax+by=1(ab≠0)
【互动探究】 1.已知直线 x+2y=2 与 x 轴、y 轴分别相交于 A,B 两点,

模板直线的一般式方程ppt课件-数学必修2第三章直线方程3.2.2第一课时人教A版.ppt

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x y 1 ab
bx ay (ab) 0
上述四式都可以写成直线方程的一般形式:
Ax+By+C=0, A.、.分割B.. 不同时为0。
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形成新知
直线方程一般式
点斜式,斜截式,两点式,截距式四种方程都可以化成
Ax+By+C=0(其中A,B,C是常数,A,B不全为0)的形式. Ax+By+C=0叫做方程的一般式.
A(- 6,0),B(0,3),过A、B两点作直线即得(如图)
.y B
.
A
O
x
..分割..
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跟踪训练
1、若直线(2m2-5m-3)x-(m2-9)y+4=0的倾斜角
为450,则m的值是
( B)
(A)3 (B) 2 (C)-2 (D)2与3
2、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截距为 3,则m的值是_____-_6____
垂直
k1k2 1
A1A2 B1B2 0
相交
k1 k2
..分割..
A1B2 A2B1 0
28
..分割..
29
课堂小结
(1)直线方程的一般形式,可以表示任何 一条直线
(2)几种直线方程的互化
(3)根据不同的已知条件利用相应直线方程 求出其解析式
..分割..
30
..分割..
31
名称 已知条件
标准方程Βιβλιοθήκη 使用范围斜率k和y轴
斜截式 上的截距b
y kx b
不包括y轴及平行 于y轴的直线
点斜式
斜率k和一点
P0 ( x0 , y0 )
y

专题11 直线的方程(深度精讲)

专题11 直线的方程(深度精讲)
(2)由 得 ,交点为 .
又因为所求直线与 垂直,所以所求直线斜率
故所求直线方程为
21.已知正方形的中心为直线2x-y+2=0,x+y+1=0的交点,正方形一边所在的直线方程为x+3y-5=0,求正方形其他三边的方程.
【答案】3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.
【解析】设与直线l:x+3y-5=0平行的边的直线方程为l1:x+3y+c=0.
当x1=x2时,直线方程为x=x1;
当y1=y2时,直线方程为y=y1.
重点四、直线的截距式方程
(1)定义:如图所示,直线l与两坐标轴的交点分别是P1(a,0)、P2(0,b)(其中a≠0,b≠0),则方程为 + =1叫做直线l的截距式方程,简称截距式.
(2)说明:一条直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距.与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式.
由 ,得正方形的中心坐标P(-1,0),
由点P到两直线l,l1的距离相等,
则 ,
得c=7或c=-5(舍去).∴l1:x+3y+7=0.
又∵正方形另两边所在直线与l垂直,
∴设另两边方程为3x-y+a=0,3x-y+b=0.
∵正方形中心到四条边的距离相等,
∴ ,得a=9或-3,
∴另两条边所在的直线方程为
考点8、平行与垂直的应用
例8.已知点 和直线 .求:
(1)过点 与直线 平行的直线方程;
(2)过点 与直线 垂直的直线方程.
【基础精练】
13.已知直线方程为 .
(1)证明:直线恒过定点;
(2) 为何值时,点 到直线的距离最大,最大值为多少?
(3)若直线分别与 轴, 轴的负半轴交于 两点,求 面积的最小值及此时直线的方程.

高考数学大一轮复习 第八章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线方程

高考数学大一轮复习 第八章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线方程
2.求直线方程的一种重要方法就是先设直线方程,再求 直线方程中的系数,这种方法叫做待定系数法,运用此方法, 注意各种形式的适用条件,选择适当的直线方程的形式至关 重要.
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对点训练 △ABC 的三个顶点为 A(-3,0),B(2,1), C(-2,3),求: (1)BC 所在直线的方程; (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程; (3)BC 的垂直平分线 DE 的方程.
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【解】 (1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(-2,3)两点, 由两点式得 BC 的方程为3y--11=-x-2-22,即 x+2y-4= 0. (2)设 BC 中点 D 的坐标(x,y),则 x=2-2 2=0,y=1+2 3=2. BC 边的中线 AD 过点 A(-3,0),D(0,2)两点,由截距式 得 AD 所在直线方程为-x3+2y=1,即 2x-3y+6=0.
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3
2.斜率公式
(1)直线 l 的倾斜角为 α≠90°,则斜率 k=_t_a_n_α__.
(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线 l 上,且 x1≠x2,则 l 的 y2-y1
斜率 k=__x_2-__x_1__.
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二、直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式 斜截式

.
【答案】 -
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8
4.一条直线经过点 A(2,-3),并且它的倾斜角等于直
线
y=
1 3x
的倾斜角的
2
倍,则这条直线的一般式方程

,斜截式方程是

【答案】 3x-y-2 3-3=0 y= 3x-2 3-3

高中数学 7.2直线的方程(第一课时) 大纲人教版必修

高中数学 7.2直线的方程(第一课时) 大纲人教版必修

7.2. 直线的方程课时安排3课时从容说课1.本小节内容包括直线方程的点斜式、斜截式、截距式、两点式和一般式.2.本小节的重、难点.本小节的重点是学习直线方程的点斜式、两点式和一般式,难点是弄清五种直线方程的限制条件及相互之间的联系.3.本小节在教材中的地位.一方面,通过研究直线方程的多种形式,进一步研究直线和二元一次方程的关系,为继续学习“曲线和方程〞打下基础.另一方面,在讨论两直线的位置关系或者讨论直线的其他问题时,常常把直线的不同类型的方型化成同一类方程,所以,学习直线方程的互相转化为下一步学习作好辅垫.4.本小节重、难点的处理.直线方程的点斜式是本章内容的基础和关键所在,而直线方程的斜截式、两点式都由点斜式推出.推导和建立直线方程点斜式的主要依据是,经过直线上一个定点与这条直线上任意一点的直线是唯一的,假设直线斜率存在,那么设其为k ;在得出方程k x x y y =--11时,要把它变成方程y-y 1=k(x-x 1).因为前者表示的直线上缺少一个P 1点,而后者才是整条直线的方程;当直线的斜率不存在时,不能用点斜式求它的方程,此时直线方程为x=x 1.为加深学生对于直线方程限制条件的认识,可给出具体的不符合限制条件的特殊直线方程,要求学生进行归类,从而熟悉各种表示形式的基本限制条件.●课 题§7.2.1 直线的方程(一)●教学目标(一)教学知识点1.直线方程的点斜式.2.横、纵截距.3.直线方程的斜截式.(二)能力训练要求1.理解直线方程的点斜式的形式特点和适用X 围.2.了解求直线方程的一般思路.3.了解直线方程的斜截式的形式特点及适用X 围.(三)德育渗透目标1.认识事物之间的普遍联系和相互转化.2.能够用联系的观点看问题.●教学重点直线方程的点斜式●教学难点点斜式推导过程的理解●教学方法学导式引导学生理解推导直线方程的点斜式的过程,认识到点斜式直线方程实质的斜率公式的变形,并由此了解到求直线方程的一般思路.而对于直线方程的斜截式的获得,要使学生认识到斜截式为点斜式的特殊情形.也就是在直线的斜率与直线在y 轴上的截距时而得到的.●教具准备投影片四X第一X :点斜式的推导过程(记作§7.2.1 A)第二X :点斜式的形式特点(记作§7.2.1 B)第三X :本节例题(记作§7.2.1 C 〕第四X :斜截式的形式特点(记作§7.2.1 D)●教学过程Ⅰ.课题导入[师]上一节,我们进一步熟悉了直线斜率公式的应用,它也是我们继续学习推导直线方程的基础.我们先来看下面的问题:假设直线l 经过点P 1〔1,2〕,且斜率为1,求直线l 的方程.分析:直线l 的方程也就是直线上任意一点所应满足的方程,设此动点为P (x ,y 〕,故所求直线为经过P 1P 的直线,由斜率公式得:k =12--x y =1〔x ≠1〕 整理变形为:y -2=x -1经验证:(1,2)点符合上式,并且直线l 上的每个点都是这个方程的解;反过来,以这个方程的解为坐标的点都在直线上,所以此方程为所求直线方程.[师]如果把上述求直线方程的过程推广到一般情形,即可得到直线方程的点斜式. Ⅱ.讲授新课1.直线方程的点斜式y -y 1=k 〔x -x 1〕其中x 1,y 1为直线上一点坐标,k 为直线的斜率.(给出幻灯片§7.2.1 A)推导:假设直线l 经过点P 1〔x 1,y 1〕,且斜率为k ,求l 方程.设点P (x ,y )是直线上不同于点P 1的任意一点,根据经过两点的直线的斜率公式得k =11x x y y --(x ≠x 1〕 可化为:y -y 1=k 〔x -x 1〕(给出幻灯片§7.2.1 B 〕[师]说明:(1)这个方程是由直线上一点和斜率确定的;(2)当直线l 的倾斜角为0°时,直线方程为y =y 1;(3)当直线倾斜角为90°时,直线没有斜率,它的方程不能用点斜式表示,这时直线方程为x =x 1.[师]接下来,我们通过例题来熟悉直线方程的点斜式.2.例题讲练[例1]一条直线经过点P 1〔-2,3〕,倾斜角α=45°,求这条直线方程,并画出图象.分析:此题可直接应用直线方程的点斜式,意在使学生逐步熟悉直线方程的点斜式.解:这条直线经过点P 1〔-2,3〕,斜率是k =tan 45°=1代入点斜式方程,得y -3=x +2即x -y +5=0这就是所求直线方程.图形如下:[例2]一直线过点A 〔-1,-3〕,其倾斜角等于直线y =2x 的倾斜角的2倍,求直线l 的方程.分析:此题所求直线上一点坐标,所以只要求得所求直线的斜率即可.根据条件,先求出直线y =2x 的倾斜角,再求出所求直线l 的倾斜角,进而求出斜率.解:设所求直线的斜率为k ,直线y =2x 的倾斜角为α,那么tan α=2,k =tan2k∴k =tan2α=34212tan 1tan 2222--=-x αα 代入点斜式;得y -〔-3〕=-34[x -〔-1〕] 即:4x +3y +13=0.评述:通过此题要求学生注意正切两倍角公式的正确运用.[例3]直线的斜率为k ,与y 轴的交点是P 〔0,b 〕,求直线l 的方程.解:将点P (0,b 〕,k 代入直线方程的点斜式得:y -b =k 〔x -0〕即y =kx +b[师]说明:(1)上述方程是由直线l 的斜率和它在y 轴上的截距确定的,叫做直线方程的斜截式.(2)我们称b 为直线l 在y 轴上的截距.(3)截距b 可以大于0,也可以等于或小于0.[师]下面,我们通过课堂练习进一步熟悉直线方程的点斜式与斜截式.Ⅲ.课堂练习课本P 39练习1.写出以下直线的点斜式方程,并画出图形:(1)经过点A (2,5〕,斜率是4;(2)经过点B (3,-1),斜率是2;(3)经过点C (-2,2〕,倾斜角是30°;(4)经过点D (0,3〕,倾斜角是0°;(5)经过点E(4,-2〕,倾斜角是120°.解:(1)由直线方程的点斜式得y -5=4〔x -2〕即所求直线方程.(2)点斜式方程为y -〔-1〕=2〔x -3〕即y +1=2〔x -3)(3)直线斜率k =tan30°=33 ∴点斜式方程为:y -2=33〔x +2〕 (4)k =tan0°=0∴点斜式方程为y -3=0(5)k =tan120°=-3 ∴点斜式方程为y -〔-2〕=-3〔x -4〕即y +2=-3〔x -4〕图形依次为:〔1〕 〔2〕(3)〔4〕〔5〕2.填空题(1)直线的点斜式方程是y -2=x -1,那么,直线的斜率是,倾斜角是.(2)直线的点斜式方程是y +2=-33〔x +1〕,那么直线的斜率是,倾斜角是. 答案:〔1〕1 45° (2)-33 150° 3.写出以下直线的斜截式方程,并画出图形:(1)斜率是23,在y 轴上的截距是-2. (2)倾斜角是135°,在y 轴上的截距是3.解:(1)由斜截式得y =23x -2 (2)k =tan135°=-1由斜截式得:y =-x +3图形依次为:〔1〕 〔2〕Ⅳ.课时小结通过本节学习,要求大家掌握直线方程的点斜式,了解直线方程的斜截式,并了解求解直线方程的一般思路.Ⅴ.课后作业〔一〕课本P 44习题7.2 1.根据以下条件写出直线的方程:(1)斜率是33,经过点A (8,-2〕; (2)过点B (-2,0),且与x 轴垂直;(3)斜率为-4,在y 轴上截距为7;(4)经过两点A 〔-1,8〕,B 〔4,-2〕;(5)在y 轴上截距是2,且与x 轴平行.解:(1)由点斜式得:y +2=33〔x -8〕 即3x -3y -83-6=0(2)x =-2(3)由斜截式得y =-4x +7即4x +y -7=0(4)k =251041)2(8-=-=---- 由点斜式得y -8=-2〔x +1〕即2x +y -6=0(5)y =2.2.直线的斜率k =2,P 1〔3,5〕,P 2〔x 2,7〕,P 3〔-1,y 3〕是这条直线上的三个点,求x 2和y3.解:将k =2,P 1〔3,5〕代入点斜式得y -5=2〔x -3)即2x -y -1=0将y =7代入直线方程得2x 2-7-1=0解得x 2=4将x =-1代入直线方程得-2-y 3-1=0解得 y 3=-3评述:此题也可通过斜率相等,利用斜率公式求解.3.一直线经过点A (2,-3〕,它的倾斜角等于直线y =31x 的倾斜角的2倍,求这条直线的方程.解:设所求直线斜率为k ,直线y =31x 的倾斜角为α,那么tan α=31∵α∈[0,π〕∴α=30°那么2α=60°,k=tan60°=3∴由点斜式得y+3=3〔x-2〕〔二〕1.预习内容:P40~412.预习提纲:〔1〕直线方程的两点式与截距式有何形式特点?适用X围是什么? 〔2〕两点式与截距式有何联系?〔3〕两点式与点斜式有何联系?●板书设计。

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条件1.直线l经过点P的坐标(x0,y0)
x-x y-y 0 u 0 且 v 0 时 u = v 0
直线l上任 一点Q的 坐标(x,y)
条件2.与直线l平行的向量坐标d=(x0,y0)
u=0时 v=0时
x-x0=0 y-y0=0
方法1. 求直线l的点方向式方程 例3.已知A(4,6),B(-3,-1),C(4,-5)三点. 求(1)过点A且与BC平行的直线方程. (1)解:与BC平行的向量BC=(7,-4) 直线BC的点方向式方程是: x-4 y-6 = 7 -4
册p1 1,2,3,4
11.1 (2)直线方程
教学目标 在理解直线方程的意义,掌握直线的点方向 式方程的基础上,进一步探究点法向式方程 以及一般式方程;学会分类讨论、数形结合 等数学思想,形成探究能力. 教学重点与难点 直线的点法向式方程以及一般式方程; 理解直线点法向式方程以及一般式方程的推 导. 关键词:直线点法向式方程、直线的一般式 方程
向量BC是直线l的法向量 线段BC的垂直平分线所在的直线l方 程: 7(x- 1 )-4(y+3)=0
2
练习3.书本p8 1 2 例4.已知A(1,2),B(4,1),C(3,6)三点. 求: (1) 中线BM所在的直线l方程;
(2) 高线BH所在的直线m方程.
例5.已知在ABC中,BAC=90o,点B、 C的坐标分别是 (4,2)、(2,8),且d=(3,2) 与AC边平行.求ABC的两条直角边所 在的直线方程.
如何看书学“数学”? 1.了解本节内容—初看; 2. 抓住本节知识重点—细琢磨! 3. 围绕重点知识方法—模仿! 4. 回顾实践反思、再实践—掌握的前奏.
11.1 直线的方程 Equations of Straight Lines 本节“直线的方程”主要讲了什么?
求直线方程的两种方法:
直线l的方程
细节3.什么是直线的法向量?
y
直线l的方向
直线l的法向量 n
O x
细节4.如何确定直线l的法向量?
例1.直线l的方程:3x-4y+3=0,确定l的法 向量.
练习1.已知直线方程,求各直线的一 个法向量n的坐标. (1)5x+4y-1=0 (2)-2x+7y+11=0
(3)y-1=0 (4)-2x+11=0 练习2.已知直线的方向向量坐标,求 直线的一个法向量n的坐标.
x+3 -7
B(-3,-1) C(4,-5)
=
y+1 -7
方法2. 求直线l的两点式方程 例4.已知A(4,6),B(-3,-1),C(4,-5)三点. 求: (2) BC与CA的直线方程; (3) 过点B且与CA平行的直线方程.
A(4,6)
B(-3,-1) C(4,-5)
练习 作业:
书p6 1 2 3
3、已知直线l的方程为(a+2)x+(1-2a)y+4-3a=0(a 为常数): (1)求证:不论a取何值,直线l恒过定点; (2)记(1)中的定点为P,若l⊥OP(O为原点),求实 数a的值. 4、 ABCD中,三个顶点坐标依次为A(2,-3)、 B(-2,4)、C(-6,-1), 求(1)直线AD与直线CD的方程;(2)点D坐标.
y
直线l的方向
B
A
d
O x
细节:2.直线l的方程如何确定它的方向? 例1.直线l的方程:3x-4y+3=0,确定l的方 向
练习:1.写出下列直线方程的一个方 向向量d的坐标. (1)5x+4y-1=0
(3) 6x+8y-3=0 (5)y-1=0
(2)-2x+7y+11=0
(4)-3x-4y+7=0 (6)-2x+11=0
5、过点P(-5,-4)作一直线l,使它与两坐标轴 相交且与两轴所围成的三角形面积为5个单位 面积,求直线l的方程. 6、已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都 通过点P(2,3),求证:经过Q1(a1,b1)与Q2(a2,b2) 两点的直线方程是2x+3y+1=0.
补充作业: 1.直线3x-y+2=0的单位法向量是___________. 2.直线l的一般式方程为2x-3y+7=0,则其点方 向式方程可以是__________;点法向式方 程可以是_____________. 3.过P(4,-3)且垂直y轴的直线方程是 _______________. 4.若直线(2-m)x+my+3=0的一个法向量恰为直 线x-my-3=0的一个方向向量,求实数m的值. 5.已知点P(2,-1)及直线l:3x+2y-5=0,求: (1)过点P且与l平行的直线方程; (2)过点P且与l垂直的直线方程.
一.直线方程的概念 初中我们学习过直线方程的概念以及求直线 方程的方法:“已知直线经过点(-4,0)与(0,3),求此直 y 线方程”
直线方程的定义:对于坐标平 l: 3x-4y+12=0 面内的一条直线l,如果存在一 3 个方程f(x,y)=0,满足: o -4 x (1) 直线l上的点P的坐标(x,y)都 方程解集: 满足方程(是方程的解); (2)以方程f(x,y)=0的解(x,y)为坐 A={(x,y)|f(x,y)= 0} 与直线 l 上的 标的点都在直线l上. 点集 : B ={( x,y )| 那么我们把方程f(x,y)=0叫做直 点P l }相等 线l的方程.
0 0
重点1. 确定直线的条件是什么?如何 确定直线l的方程? 例2. 已知直线l经过点P(x0,y0),且直线 l平行的向量d=(u,v).试求直线l的方程?
Q(x,y)
x-x0 y-y0 P(x ,y ) u0且v 0时 u = v 0 0
u=0时 v=0时
x-x0=0 y-y0=0
d
知识点. 直线l的点方向式方程理解:
小结: 作业.册p1 5 6
7
8
1、(1)若直线过两点A(a,0),B(0,b),则a、b分别 叫做该直线在x、y轴上的截距.当ab0时,求直 线AB的方程; (2)若过点P(4,-3)的直线l在两坐标轴上截距相 等,求直线l的方程.
2、已知直线l过点P(-2,3)且与x、y轴分别交于 A、B两点. (1)若P为AB中点,求直线l的方程; (2) 若P分 AB 所成的比为-2,求l的方程.
x2-x1=0时
y2-y1=0时
直线方程是:x-x0=0
直线方程是: y-y0=0
方法2. 求直线l的两点式方程
例4.已知A(4,6),B(-3,-1),C(4,-5)三点. 求(1) AB直线方程; (1)解:过点A(4,6),且平行AB=(-7,-7)的 直线的点方向式方程是: x-4 y-6 = A(4,6) -7 -7
知识点2. 直线l的点法向式方程理解: 条件1.直线l经过点P的坐标(x0,y0) a(x-x0)+b(y-y0)=0 条件2. 直线l的法向量坐标n=(x0,y0)
直线l的点方向式方程:
x-x y-y 0 u0且v 0时 u = v 0
方法3. 求直线l的点法向式方程 例3.已知A(4,6),B(-3,-1),C(4,-5)三点. 求线段BC的垂直平分线所在的直线l 方程. 1 解:BC的中点M ( 2 , -3) 由于BC=(7,-4)与l垂直,
(2)过点B且与AC平行的直线方程;
(3)过点C且与AB平行的直线方程;
方法2. 求直线l的两点式方程
条件:直线l经过两点P、Q的坐标(x1,y1) 、(x2,y2)
x2-x10且 y2-y1 0时
x-x1 y-y1 = x2-x1 y2-y1
直线l上任 一点T的 坐标(x,y)
其中, d=(x2-x1,y2-y1)表示与直线l平行的向量坐标
反思:给定直线方程如何确定直线 的方向向量? —与直线平行的向量来替代
三.点方向式方程 1.“直线的方向向量”的定义:与直线 l 平行的 向量 d 叫做直线 l 的一个方向向量; d 的坐标 (u,v)就是直线l的一个方向向量的坐标. 问题探究:已知直线 l 经过点P(x0,y0),且与l平行的一 个向量 d =(u,v) , 求这条直线 l 的点方向式方程. 设直线 l 上任意一点Q( x , y ) y 则P Q=( x-x0 , y-y0 ) // d =( u , v ) P( x0 , y0 ) v (x-x0) = u(y-y0,) 直线 l 当uv 0时,直线的点方向 d = ( u,v ) o x 式方程是: x x y y u v
6.正方形ABCD的顶点A的坐标为(-4,0),它的 中心M的坐标为(0,3),求正方形两条对角线 AC、BD所在的直线方程. 7.已知A、B、C的坐标分别为(1,3), (b,0), (0,c),其中b、c均为正整数,问过这三点的 直线l是否存在?若存在,求出l的方程;若 不存在,说明理由. 8.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(aR)证 明: (1)直线l过定点; (2)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程.
C
B
d
练习4.书本p9 1 2
知识点3. 直线l的一般形式方程: 把方程:ax+by+c=0(a、b不全为零) 叫做直线l的一般形式 l的方程:ax+by+c=0(a、b不全为零)中,则 ①向量 n =( a , b )是直线l的一个法向量; ②向量d=( b , -a )是直线l的一个方向向量
例6.已知直线l的方程分别是: (1)2x-3y+5=0 (2)7x-5=0 (3)11y+3=0 分别求它们的一个法向量与一个方向向量
(1) d=(-3,4) (3) d=(-3,0)
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