1-3单纯形法原理
单纯形法的基本思路和原理
18
§ 1 单纯形法的基本思路和原理
1．入基变量的确定
当某 σj＞0 ，非基变量 xj 变为基变量，不取0值可使 目标函数值增大，故选基检验数大于0的非基变量换到基 变量中。
若有两个以上 σj＞0，为使目标函数更大，一般选 σj 较大者的非基变量为入基变量。例题中 σ2=100 是最大的 非负检验数，故选 x2 为入基变量。
基变量均≥0，只有检验数都为0，才有σ s x s =0;非基变 量的检验数均 ≤0，只有非基变量都为0，才有σ t x t=0 。 此时目标函数才能取最大值z0。
17
§ 1 单纯形法的基本思路和原理
三、基变换 例题中 σ1，σ2>0，即该基本可行解不是最优解，需
进行基变换。
具体做法：更换可行基中的一个列向量，得到新的 可行基，求出新的基本可行解使目标函数值更优。
非基 变量
与非基向量 pj 相应的变量 xj 叫非基变量，非基变量有n‒m 个。
7
§ 1 单纯形法的基本思路和原理
若在约束方程组系数矩阵中找到一个基，令其非 基变量为零，再求解该 m 元线性方程组可得到唯一 解，该解称之为线性规划的基本解。
此例题找到 A 的一个基 B3（可逆子阵）：
1 1 0
B3 1
管理运筹学
第五章 单纯形法
北京理工大学 韩伯棠 教授
本章内容
1
2
单纯形法的表格形式
3
求目标函数值最小的线性规划问题的单 纯形表解法
4
几种特殊情况
2
本章内容
1
2
单纯形法的表格形式
3
求目标函数值最小的线性规划问题的单 纯形表解法
单纯形法基本原理
否
含 有xa
是 无可行解
(a对ik
0 任一
j 0)
否
是 无界解
有某个 否 非基变量的
j 0
唯一 最优解
是
无穷多
最优解
循
环
停止
计 算 i
( bi alk
alk
0)
用 非 基 变 量xk 替 换 基 变 量xl
列出下一个 新单纯形表
单纯形法的进一步讨论－人工变量法 Page 17
解的判别： 1）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零, 则线 规划具有唯一最优解。 2）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零, 则线则性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。 3）无界解判别：某个λk>0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线性 规划具有无界解。 4）无可行解的判断：当用大M单纯形法计算得到最优解并 且存在Ri>0时，则表明原线性规划无可行解。 5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。
max Z 3 x1 4 x2
2x1 x2 40
x1
3x2
30
x1
,
x2
0
解：1）将问题化为标准型，加入松驰变量x3、x4则标准型为:
max Z 3 x1 4 x2
2 x1 x2 x3 40
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1
3x2
x4
30
x1
,
x2
,
x3
换
x3
x4
出
1
0
40 行
0
1
单纯形法的基本原理
单纯形法的基本原理单纯形法是一种用于求解线性规划问题的数学方法，它的基本原理是通过不断地移动解空间中的顶点来逼近最优解。
在解决实际问题中，我们经常会遇到一些资源有限，而需要在这些资源限制下最大化或最小化某个指标的情况，这时就需要用到线性规划问题。
而单纯形法正是针对这类问题提出的一种高效的求解方法。
单纯形法的基本原理可以用几个关键步骤来概括。
首先，我们需要将线性规划问题转化为标准型，即目标函数为最大化，约束条件为等式的形式。
接着，我们需要找到一个初始可行解，这个可行解需要满足所有的约束条件。
然后，我们通过一系列的基本变量的替换，不断地移动解空间中的顶点，直到找到最优解为止。
在单纯形法中，我们需要利用单纯形表来进行计算。
单纯形表是一个表格，其中包含了目标函数、约束条件、基本变量等信息。
通过对单纯形表的不断变换和计算，我们可以逐步逼近最优解。
在每一步的计算中，我们需要选择一个入基变量和一个出基变量，通过一系列的行变换和列变换来更新单纯形表，直到找到最优解为止。
单纯形法的基本原理虽然看起来比较复杂，但实际上它是建立在一些简单的数学原理之上的。
通过对解空间中的顶点进行移动，我们可以逐步逼近最优解，这是单纯形法能够高效求解线性规划问题的关键所在。
在实际应用中，单纯形法已经被证明是一种非常有效的方法，它可以帮助我们在资源有限的情况下做出最优的决策。
总的来说，单纯形法是一种用于求解线性规划问题的高效方法，它的基本原理是通过不断地移动解空间中的顶点来逼近最优解。
通过对单纯形表的计算和变换，我们可以逐步找到最优解。
在实际应用中，单纯形法已经被广泛地应用于各个领域，它为我们解决资源有限的最优化问题提供了一个强大的工具。
希望本文对单纯形法的基本原理有所帮助，谢谢阅读！。
单纯形法
基本可行解一定是可行解，但可行解不一定是基本可行解。
4. 基本解与基本可行解： 基本可行解一定是基本解， 但基本解不一定是基本可行解。
可行解
基 本 可 行 解
非可行解
基本解
5. 最优解与基本解： 最优解不一定是基本解， 基本解也不一定是最优解。
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§1 单纯形法的基本思路和原理
一般来说判断一个基是否是可行基，只有在求出其基本解以后，当其基本解 所有变量的解都是大于等于零，才能断定这个解是基本可行解，这个基是可行 基。那么我们能否在求解之前，就找到一个可行基呢？也就是说我们找到的一个 基能保证在求解之后得到的解一定是基本可行解呢？由于在线性规划的标准型中 要求bj都大于等于零，如果我们能找到一个基是单位矩阵，或者说一个基是由单位
非基变量：与非基向量pj相应的变量xj叫非基变量，非基变量有n－m个。
3
§1 单纯形法的基本思路和原理
由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找
到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m元线性方程组就
可得到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解。 在此例中我们不妨找到
1 1 B3 1 0 1 0 0 0 1
j 1, 2,, n
以下用 xi i 1,2,, m 表示基变量，用 x j j m 1, m 2,, n 表示 非基变量。
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§2 单纯形法的表格形式
把第i个约束方程移项，就可以用非基变量来表示基变量xi， xi bi ai ,m1 xm1 ai ,m2 xm2 ai ,n xn
8
§1 单纯形法的基本思路和原理
二、 最优性检验 所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。
第四讲 单纯形法基本原理
则选取对应的基变量 xl
为换出变量。
假设 B 是线性规划 min z CX , AX b, X 0 的可行基
C ( 5, 2, 3,1, 1)
1 2 2 1 0 A= 3 4 1 0 1 8 b 7 解： (１)确定初始的基本可行解。
1 B=(P4P5 )= 0 0 ，基变量 1
x4 , x5 ，非基变量 x1 , x2 , x3。
x1 CB =(1, 1) x4 1 0 1 2 2 XB = ,X N = x 2 ,B= ,N= , C =( 5, 2, 3) x 0 1 3 4 1 N 5 x 3 8 X N =0 X B =B1b= X=(0,0,0, 8, 7)T 7
如果确定Xm+k 为换入变量，方程
X B B1b B1 NX N X B B1b B1 Pm k xm k
其中 Pm+k 为Ａ中与 Xm+k 对应的系数列向量。 现在需在XB=(x1,x2,…,xm)T 中确定一个基变量为换出变 量。 当 xm+k由零慢慢增加到某个值时，为保持解的非负 性，可以按最小比值原则确定换出变量：
的检验向量，它的各个分量称为检验数。 若 N 的每一个检验数均大于等于0，即 N 0 则目前的基本可行解就是最优解。 ，
1 如果向量 的第 k 个分量 k 0 ，且向量 B Am k 0，
定理 2 设 x 是对应基 B ( p1, p2, , pm ) 的基可行解，
单纯形法原理及例题
单纯形法原理及例题
单纯形法原理：
单纯形法是求解线性规划问题的一种数学方法，它是由美国数学家卢克·单纯形于1947年发明的。
用单纯形法求解线性规划的过程，往往利用线性规划的对偶形式，将原问题变换为无约束极大化问题，逐步把极大化问题转换为标准型问题，最后利用单纯形法的搜索方法求解满足所有约束条件的最优解。
例题：
问题：求解最小化目标函数z=2x1+x2的线性规划问题，约束条件如下：
x1+2x2≥3
3x1+x2≥6
x1,x2≥0
解：将上述线性规划问题转换为无约束极大化问题，可得：
极大化问题：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2≤3
3x1+x2≤6
x1,x2≥0
将极大化问题转换为标准型问题，可得：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2+s1=3
3x1+x2+s2=6
x1,x2,s1,s2≥0
运用单纯形法的搜索方法求解：
令x1=0,x2=0，则可得s1=3,s2=6，即(0,0,3,6)是单纯形的初始解；
令z=-2x1-x2=0，代入约束条件，可得x1=3,x2=3，则可得s1=0,s2=0，即(3,3,0,0)是新的单纯形解。
由于s1=s2=0，说明x1=3,x2=3是线性规划问题的最优解，且最小值为z=2*3+3=9。
单纯形法文档
单纯形法1. 什么是单纯形法单纯形法（Simplex Method）是一种数学优化方法，用于在线性规划问题中寻找最优解。
其基本思想是通过不断地在可行解空间中移动，逐步优化目标函数的值，直到找到最优解。
单纯形法是由美国数学家乔治·达内策在20世纪40年代开发的，成为线性规划问题求解的一种经典方法。
2. 单纯形法的基本原理单纯形法的基本原理是通过构造一系列的顶点组合，这些顶点组合构成了可行解空间的一个多面体，称为单纯形。
每次移动都是在单纯形的边界上进行，直到找到最优解。
2.1 线性规划问题的标准形式在使用单纯形法求解线性规划问题之前，首先需要将问题转化为标准形式。
线性规划问题的标准形式包括以下特征：•最大化目标函数或最小化目标函数•约束条件为等式或不等式•决策变量为非负数2.2 单纯形法的步骤单纯形法的求解步骤如下：1.初始化：将线性规划问题转化为标准形式，并找到初始可行解。
2.检验最优性：计算当前基可行解对应的目标函数值，判断是否达到最优解。
3.寻找进入变量：通过计算目标函数的系数与约束条件中的系数之比，找到使目标函数值最大（或最小）增长的变量。
4.寻找离开变量：从进入变量所属列中选择合适的变量离开基，使得新的基可行解依然满足约束条件。
5.更新基：将进入变量换入基，将离开变量换出基，得到新的基可行解。
6.重复步骤 2-5，直到找到最优解或判断无界。
2.3 单纯形表在单纯形法的求解过程中，通过使用单纯形表（Simplex Table）来记录每一步的计算结果和变量的取值。
单纯形表是一个矩阵，包含基变量、非基变量、目标函数系数、约束条件左边的系数等信息，方便进行计算和调整。
3. 单纯形法的优缺点3.1 优点•单纯形法是一种简单直观的求解线性规划问题的方法，容易理解和实现。
•单纯形法对于规模较小的问题，可以得到精确的最优解。
•单纯形法可以处理带有不等式约束的问题，适用范围广。
3.2 缺点•单纯形法在解决大规模问题时，计算复杂度较高，效率较低。
单纯形法 原理解释
单纯形法原理解释嘿，朋友！今天咱来聊聊单纯形法，这可是个有点意思的东西。
你想想啊，生活中咱们经常要做各种选择，怎么才能选到最好的那个呢？比如说，去超市买水果，是选苹果还是香蕉，要考虑价格、口感、营养，这其实就有点像单纯形法要解决的问题。
单纯形法呢，简单说就是在一堆限制条件下，找到让某个目标达到最优的办法。
比如说一家工厂生产不同的产品，有材料限制、时间限制，那怎么安排生产能赚最多的钱？这时候单纯形法就派上用场啦！它就像一个聪明的小管家，在复杂的条件里穿梭，帮咱们找出最好的方案。
咱先来说说单纯形法里的那些个“家伙”。
有目标函数，这就好比是咱们的最终目的地，是咱们想要达到的那个最好的结果。
还有约束条件，这就像是路上的各种障碍和规矩，不能随便乱闯。
那单纯形法是怎么工作的呢？它会从一个可行解开始，就像咱们出门先迈出第一步。
然后呢，沿着一定的方向去找更好的解。
这就好比在迷宫里找出口，不断试探，不断前进。
比如说，有个数学问题是这样的：要生产两种产品，A 和 B，生产A 一个需要 2 小时人工和 3 个材料，生产 B 一个需要 3 小时人工和 2个材料，总共有人工 100 小时，材料 120 个，A 产品一个能赚 5 元，B 产品一个能赚 8 元，那怎么生产能赚最多钱？单纯形法就会先找一个能生产的方案，比如说先生产 20 个 A 和 20 个 B。
然后看看，如果多生产一个 A 或者 B，会不会赚更多钱。
如果会，那就调整生产方案。
你说这像不像咱们平时找工作，先找一个能做的，然后看看怎么能做得更好，赚更多钱？单纯形法的厉害之处就在于，它能在复杂的情况里，快速地找到那个最优的答案。
而且啊，它还很可靠，只要条件给清楚了，它就能给出准确的结果。
朋友，你说要是咱们在生活中也能有这么个聪明的法子，帮咱们做各种选择，那得多好啊！比如说选房子，考虑价格、位置、面积，是不是也能用类似单纯形法的思路呢？所以说啊，单纯形法虽然听起来有点复杂，但是弄明白了，真的能帮咱们解决好多难题，让咱们的生活更有条理，更能达到咱们想要的那个“最好”！。
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运
解为最优解
筹 p 典则形式——目标函数中不含有基变量;约束条件系数矩阵存在m个线
学
性无关的单位向量。
三 单纯形法求解范例
【例1】用单纯形法基本思想求下列线性规划的最优解
运 筹 学
三 单纯形法求解范例
【解】化为标准型，加入松驰变量x3、x4则标准型为
运 筹 系数矩阵A及可行基B1 学
三 单纯形法求解范例
基本可行解的目标函数值上升的快些。因此，本例选择X2为进基量。X2进基，
那么在X3、 X4 中要选择一个变量出基，并且使得新的基本解仍然可行。
三 单纯形法求解范例
x1=0.
三 单纯形法求解范例
X(2)=(0,20,20,0)T
λ1=100/3,λ2=0,λ3=0,λ4=-800/3 Z(2)=8000.
一 单纯形法的基本思路
单纯形计算方法(Simplex Method) 是一种逐步逼近最优解的迭代方法。
基本思路：从可行域中某个基可行解（初始基本
运
可行解，顶点）开始，根据一定标准判断是否为 最优，若不是, 则转换到另一个基可行解（相邻
筹
基本可行解)，且要保证目标函数值严格严格递
学
增，直到目标函数最优时为止，就得到了最优解。
λ1=100/3>0,因此，X1进基。
三 单纯形法求解范例
x4=0
三 单纯形法求解范例
X(3)=(15,10,0,0)T
λ1=0,λ2=0,λ3=-25,λ4=-250
Z(3)=8500.
三 单纯形法求解范例
如何快速求出基本可行解
典则形式，m个线性无关的向量
如何快速判定是否是最优解 如何快速使Z趋向最优
如何快速实现基可行解之间的转换。
典则形式，非基变量的系数
λk=max｛λj|λj>0｝对应的xk为
进基变量 θ最小选取选择；初等行变换
X(1)=(0,0,40,30)T λ1=3,λ2=4,λ3=0,λ4=0
X(2)=(0,20,20,0)T λ1=100/3,λ2=0,λ3=0,λ4=-800/3
运 筹 学
一 单纯形法的基本思路
一个核心：基本可行解到相邻基本可行解的转换（个基变量。
运
在变换或者改进过程中，选择一个λk>0非基变量xk换成 基变量，称之为进基变量；同时，选一个能使所有变量
筹 学
非负的基变量xl换成非基变量，称之为出基变量。
一 单纯形法的基本思路
r(B1)=2，B1是一个初始基,x3、x4为基变量，x1、x2为非基变量，令x1=0、 x2=0由约束方程知x3=40、x4=30得到初始基本可行解.
X(1)=(0,0,40,30)T
λ1=300,λ2=400,λ3=0,λ4=0。Z（1）=0.
一般选择λk=max｛λj|λj>0｝对应的xk为进基变量，这样可以使得新的
史新峰
西安邮电大学 现代邮政学院
Xi'an post and telecommunications university modern post College
第一章 线性规划与单纯形法
1.3单纯形法原理
运 筹 学
主要内容
01 单纯形法的基本思路
运
02 单纯形法的相关概念
筹
学
03 单纯形法求解范例
X(3)=(15,10,0,0)T λ1=0,λ2=0,λ3=-25,λ4=-250
谢谢！
运 筹 学
两个限制：必须是基本可行到基本可行；目标函数值绝不会减少。
四个有效：如何快速求出基本可行解；
运
如何快速判定是否是最优解；
筹
如何快速使Z趋向最优；
学
如何快速实现基可行解之间的转换。
二 单纯形法的有关概念
p 检验数—— 目标函数用非基变量表示，其变量系数为检验数。
p 最优判断标准——当所有检验数λj≤0（j=1，…，n）时，基本可行