第6章 流体流动微分方程分析
流函数拉普拉斯方程
流函数拉普拉斯方程流函数拉普拉斯方程是一种描述流体运动的重要方程，广泛应用于流体力学、电磁学等领域。
本文将从基本概念、方程的意义和应用等方面进行介绍。
我们来了解一下流函数的概念。
在流体力学中，流函数是描述流体流动的一种数学函数。
它的引入是为了简化流体流动的描述，使得方程形式更加简洁。
在二维流动中，流函数可以用来表示流体运动的特性，它是一个标量函数，满足拉普拉斯方程。
具体来说，对于二维流动，我们可以定义流函数为：ψ = ψ(x, y)其中，(x, y)为平面上的坐标点，ψ表示流函数。
通过流函数的定义，我们可以得到流体速度的两个分量：u = ∂ψ/∂yv = -∂ψ/∂x其中，u和v分别表示流体速度在x和y方向上的分量。
可以看出，流函数的引入将三维流动问题简化为了二维问题，从而简化了计算和分析的复杂性。
流函数拉普拉斯方程是描述流函数的方程，也是拉普拉斯方程在流体力学中的应用之一。
流函数拉普拉斯方程可以写成：△ψ = 0其中，△表示拉普拉斯算子，它表示对流函数ψ的二阶偏导数之和。
这个方程的物理意义是，在没有外力作用的情况下，流函数ψ满足的偏微分方程是零。
也就是说，流函数在流体运动中满足无源、无旋的条件，即流体运动是无旋的。
流函数拉普拉斯方程具有许多重要的性质和应用。
首先，它是一个椭圆型偏微分方程，具有良好的数学性质。
其次，它可以用来描述稳定的流体流动，例如稳定的定常流、稳定的湍流等。
此外，流函数拉普拉斯方程还可以应用于电磁学中的电势场和磁势场的求解，其中流函数对应电势或磁势。
在实际应用中，流函数拉普拉斯方程在流体力学和电磁学等领域具有广泛的应用。
在流体力学中，通过求解流函数拉普拉斯方程，可以得到流体的速度分布和流线的形状，从而帮助我们理解和分析流体运动的特性。
在电磁学中，流函数拉普拉斯方程可以用来求解电势场和磁势场的分布，从而帮助我们理解和分析电磁场的特性。
流函数拉普拉斯方程是一种重要的偏微分方程，用于描述流体运动和电磁场的分布。
工程流体力学课件 第06章 流体流动微分方程 - 4
时 可以不考虑温度的影响，因此也不需要考虑能量方程。
③ 能量方程的微分形式，其推导过程与连续性方程和动量方程的推导 微分相方似程，方方法程：的结构也相似，数学上并没有太多的特殊性。 流体力学中，微分方法和积分方法都是为了研究流体的质量守恒、动量 守恒和能量守恒。积分法研究系统整体，揭示总体性能；微分法研究空 间任一点和包含该点的流体微元，揭示三维流场的空间分布细节。两种 分析方法相辅相成，都必须要学、必须学好。 微元体分析方法的核心：将雷诺输运定理应用于流体微元控制体。
t
z方向：vz dxdydz
t
6.2.3 以应力表示的运动方程
分别将微元控制体中x-,y-和z-方向的动量各对应项代入雷诺 输运定理，可得三个方向的运动微分方程。
X－：
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
fx
xx
x
yx
y
zx
z
Y－：
vy t
vx
vy x
vy
vy y
、vz z
)和体变形率(
vx x
vy y
vz z
)
正应力包含两部分：
v
①流体静压产生的正应力(压应力-p);
②流体运动变形产生的附加黏性正应力。与三个方向的线变形率
以及体变形率有关。这种关系类似于固体中的虎克定律。
xx
p
2
vx x
2 3
vx x
vy y
vz z
xx p xx
xx 附加黏性正应力(或附加正应力)
连续性方程变为：
t
(vx )
第六章气体的一维定常流动知识讲解
第六章 气体的一维定常流动
第一节 气体一维流动的基本概念
气体的状态方程
T 热力学温度 E 流体的内能 S熵
pp(V,T)
EE(V,T) SS(V,T)
比定容热容和比定压热容
cV 比定容热容 c p 比定压热容 两者的关系 cp cV
热力学过程
等温过程 p2 V1 p1 V2
绝热过程 dQ0
v
A
p dp 2 A dA
p dp
整理并略去二阶以上的无穷小量有
dF
v dv
vAdA v ddpF
dx
vdvdpdF0
A
单位质量流体的损失可以表示为
dF dx v2 A d 2
第七节 实际气体在管道中的定常流动
粘性气体的绝热流动微分关系式可表示为
vdvdpdxv2 0 d2
联立可导出
ddvdA0 v A
能量方程 由热力学
hcpTcR ppcpc pcVp1p
代入 得
v2
h 2 h0
声速公式
p v2 -1 2
h0
c2 v2 -1 2
h0
c
p
RT
完全气体状态方程
RTv2 -1 2
h0
第四节 气流的三种状态和速度系数
滞止状态 ： 气流速度等熵地滞止到零这时的参数称为滞止参数
d 2
0 .025
q m cv c rr 4 2 .86 35 .3 2 3 3 14 1 .80 ks g 76
第六节 喷管流动的计算和分析
缩放喷管
流量
1
qm,crAt212-1 p00
由连续方程求得
A A crccr At Acr v
第六章理想流体不可压缩流体的定常流动
（粘性系数为常数）
Du 1 p 2u 2u 2u gx Dt x x 2 y 2 z 2
Dv 1 p 2v 2v 2v gy 2 2 2 Dt y x y z
流动条件，截面为A 1、A 2，平均速度为V 1、
V 2，流体密度为ρ. 由一维平均流动伯努利方程
V12 p1 V22 p gz1 gz 2 2 2 2
移项可得
(a)
V22 V12 p p ( gz1 1 ) ( gz 2 2 ) 2
(b)
文特里流量计：一维平均流动伯努利方程 A1、A2截面上为缓变流，压强分布规律与U 形管内静止流体一样，可得
讨论： 1、上式为非定常不可压缩理想流体欧拉运动微分方程。 DV 0 上述方程变成流体静力学中的欧拉平衡微分方程。 2、 Dt 1 g p 0 V 0 此时的理想流体欧拉运动微分方程变成定常不可压缩理 3、 t 想流体欧拉运动微分方程。 1 V V g p
基本方程组：
动量方程：
u u u 1 u v fx t x y v v v 1 u v fy t x y
p x p y
V 1 V V g p t
定常
连续性方程：
V 不考虑重力 0 t u v w D 0 Dt x y z u v 0 x y v u 0 x y
ρ,U 形管中液体密度ρm .
求：
用液位差Δh表示流速v
毕托测速管 解： 设流动符合不可压缩无粘性流体 定常流动条件。 AOB线是一条流线(常称为零流线), 沿
第六章 流体力学的试验研究方法相似原理和量纲分析
和管径d有关，试用瑞利量纲分析法建立Vc的公式结构。 和管径d有关，试用瑞利量纲分析法建立V 的公式结构。 [解] 假定 vc = kρ α ⋅ µ β ⋅ d γ 为无量纲常数。 式中k为无量纲常数。 将各物理量的量纲
vc ] = LT −1 , [ ρ ] = ML−3 [
µ ] = ML−1T −1 , [ d ] = L [
（8-5b） 5b）
§8.2 相似准则与量纲分析
若模型与原型系统相似， 若模型与原型系统相似， 几何相似 运动相似 满足相似条件
x p = Cl xm , y p = Cl ym , z p = Cl zm
v px = Cv vmx , v py = Cv vm y , v pz = Cv vm z , t p = Ct tm
∂vpz
∂vpz
∂vpz
（8-5a） 5a）
∂vmz ∂vmz ∂vmz ∂vmz 1 ∂pm µm ∂2vmz ∂2vmz ∂2vmz + vpx + vmy + vmz = −gm − + 2 + 2 + 2 ρm ∂zm ρm ∂x m ∂y m ∂z m ∂tm ∂xm ∂ym ∂zm
动力相似
p p = C p pm , g p = Cg g m ,
其他物理量
ρ p = C ρ ρ m , µ p = Cµ µ m ,
（8-6）
§8.2 相似准则与量纲分析
（8-6）代入（8-5），可得到以模型参数和相似比例尺 代入（ ），可得到以模型参数和相似比例尺 表示的原型流动方程
2 CV ∂vmz CV ∂vmz ∂vmz ∂vmz + vmx + vmy + vmz = Ct ∂tm Cl ∂xm ∂ym ∂zm Cp 1 ∂pm Cv Cµ µm ∂2vmz ∂2vmz ∂2vmz −Cg gm − + 2 2 + 2 + 2 （8-7） CCρ ρm ∂zm C lCρ ρm ∂x m ∂y m ∂z m l
第六章热量传热微分方程.docx
第六章热量传热微分方程一、单相对流传热的一般数学模型对流传热是一种与流体运动及流体内部导热规律均有关的一种传热现象。
所以，对此过程的描述，需要同时采用描述流体流动和传热两方面的基本方程，即传热微分方程、导热微分方程、运动微分方程、连续性方程以及相应的单值条件。
下面分别介绍。
1.传热微分方程当流体流过固体壁面时，总存在一层很薄的流体粘附在表面上，这层流体总是处于静止状态(u=0),则热量只能依靠导热在该表而层传递。
因此，在此流体层任一微元面积dA的传热量dq,可以根据付立叶定律计算：d q = -lrf— dA—— (1)和So紧结固体壁面处(11=0)的流体层屮温度梯度,kf——流体的导热系数。
另外，根据对流传热基木方程，壁面与流体之间的传热量dg乂可写为:dq = h[t s -t f^dA = hAtdA (2)式中：M = t s-t f——固体壁面与流体间的温差。
h——对流传热系数。
由⑴,(2)两式相等得：(3)h亠並丽n=0此式即为传热微分方程。
欲求出对流传热膜系数h,则应先得出在该流体中的温度分布。
其温度分布可由导热微分方程描述。
2.导热微分方程：流体内导热微分方程在前面已有推导，在无内热源时为:上式常称为能量方程。
对于稳态的温度场，里=0。
oO因此式包括有未知量代，仏，冬，因此，欲求解上式，必须知道流体内的速度分布，这就需求解流体的运动微分方程。
3•运动微分方程：粘性流体的运动微分方程，即是奈斯方程:上述三个方程中有4个未知量：u x ,u y ,u :及P,所以述应引入一个方程，才能求解。
该方程就是连续性方程。
4.连续性方程：一般流体的连续性方程在前而已经导出，即:讪 | °（刊J |。
（刊J | 讥以J 二°— （6）dxdydz对于不可压缩性流体lp =常数），稳态流动（叟=0 ）时，有:30通过对上述四种方程求解，便可得出对流传热系数h 的一般解。
再加上单值 条件，便可求得具体问题的解。
流体力学总结
流体力学总结第一章流体及其物理性质1. 流体：流体是一种受任何微小剪切力作用都能连续变形的物质，只要这种力继续作用，流体就将继续变形，直到外力停顿作用为止。
流体一般不能承受拉力，在静止状态下也不能承受切向力，在任何微小切向力的作用下，流体就会变形，产生流动 2. 流体特性：易流动(易变形)性、可压缩性、粘性 3. 流体质点：宏观无穷小、微观无穷大的微量流体。
4. 流体连续性假设：流体可视为由无数连续分布的流体质点组成的连续介质。
稀薄空气和激波情况下不适合。
5. 密度0limV m m V V δδρδ→==重度0lim V G Gg V Vδδγρδ→===比体积1v ρ=6. 相对密度：是指*流体的密度与标准大气压下4︒C 时纯水的密度〔1000〕之比w wS ρρρ=为4︒C 时纯水的密度13.6Hg S = 7. 混合气体密度1ni ii ρρα==∑8. 体积压缩系数：温度不变，单位压强增量引起的流体体积变化率。
体积压缩系数的倒数为体积模量1P PK β=9. 温度膨胀系数：压强不变，单位温升引起的流体体积变化率。
10. 不可压缩流体：流体受压体积不减少，受热体积不膨胀，密度保持为常数，液体视为不可压缩流体。
气体流速不高，压强变化小视为不可压缩流体 11. 牛顿内摩擦定律：du dyτμ=黏度du dyτμ=流体静止粘性无法表示出来，压强对黏度影响较小，温度升高，液体黏度降低，气体黏度增加μυρ=。
满足牛顿内摩擦定律的流体为牛顿流体。
12. 理想流体：黏度为0，即0μ=。
完全气体：热力学中的理想气体第二章流体静力学1. 外表力：流体压强p 为法向外表应力，内摩擦τ是切向外表应力〔静止时为0〕。
2. 质量力〔体积力〕：*种力场对流体的作用力，不需要接触。
重力、电磁力、电场力、虚加的惯性力 3. 单位质量力：x y z Ff f i f j f k m==++，单位与加速度一样2m s 4. 流体静压强：1〕流体静压强的方向总是和作用面相垂直且指向该作用面，即沿着作用面的内法线方向2〕在静止流体内部任意点处的流体静压强在各个方向都是相等的。
《工程流体力学》 第六章 管内流动及水力计算
r02
4
d dl
(p
gh)
l
vl max
vl
r0
ro2
4
d dl
(p
gh)
粘性流体在圆管中作层
所以，vl
2020/6/11
ro2 r 2
4
d dl
( p gh)
流流动时，流速的分布为
一旋转抛物面。
12
《工程流体力学》 第六章 管内流动和水力计算
§6.4 圆管中的层流流动
三、平均速度和流量
qV
0
0
H
h1 9m；h2 0.7m； hw 13m 求： H
2 h1
h2
2
解 ： 由 伯努 利方 程（ 地面 为0位 势）
（H
h1
)
pa
g
0
h2
pa
g
2
22
2g
hw
紊流流动: 1.0
得H
2 2
2g
hw
h2
h1
42 2 9.806
13 0.7 9
5.52
(m)
2020/6/11
4
《工程流体力学》 第六章 管内流动和水力计算
持前种情况下的流速不变，流动又为何状态？
解：（1） v
qV A
4qV d 2
4 0.01 1.27m / 0.12
s
Re vd 1.27 0.1 1.27 105 2000
1106
所以水为紊流状态。
（2）
Re
vd
1.27 0.1
1.14 104
1114
2000
2020/6/11
μt —流 体 的 脉 动 粘 度 ；
流体力学第六章边界层流动5
层流与紊流、雷诺数
在不同的初始和边界条件下，粘性流体质点的运动会出现两种不同
的运动状态，一种是所有流体质点作定向有规则的运动，另一种是
作无规则不定向的混杂运动。前者称为层流状态，后者称为湍流状 态（别称紊流状态）。首先是英国物理学家雷诺在1883年用实验证
明了两种流态的存在，确定了流态的判别方法。
u???????????????????????用量纲分析的方程分析法可得一般二维流动无量纲方程组用量纲分析的方程分析法可得一般二维流动无量纲方程组621平板层流边界层微分方程精确解0??????yuxuyxre12222yuxuxpeuyuuxuuxxxyxx???????????????1121?11?11?11???2?2015112924忽略第二方程最后一项第三方程除压强项的其他项
vc d Re c
Re c
vc d
Re 2320时，管中是层 流； Re 2320时，管中是紊 流。
2018/10/31 13
根据实验结果可知，同管流一样，边界层内也存在着层流和紊流两种 流动状态，若全部边界层内部都是层流，称为层流边界层;若全部边界层 内部都是湍流，称为湍流边界层；若在边界层起始部分内是层流，而在 其余部分内是紊流，称为混合边界层。如图所示，在层流变为紊流之间 有一过渡区。在紊流边界层内紧靠壁面处也有一层极薄的层流底层。
dp dU U dx dx
②第二式右边得到简化（x方向二阶偏导数消失），有利于数值计算。 利用该方程就可计算壁切应力和流动阻力，具有里程碑式意义。
2018/10/31 25
布拉修斯利用相似性解法，引入无量纲坐标：
Rex
*
*
流体力学第6章流体运动微分方程
b p C1 2 x
C2 0
38
于是得速度分布
1 p 2 vx (by y ) 2 x
(2)上板以匀速U沿x方向运动 这时的边界条件为
vx | y 0 0, vx | y b U
39
代入式(5)可得
U b p C1 b 2 x
若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求
A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。
13
解：由连续方程可知
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
u v 0 x y
则有
A D 0
又由于流动无旋，则有
则有
u v y x B C 0
14
练习： 有一个三维不可压流场，已知其x向和y向的分 速度为
yy
x
dx
17
对流体微团应用牛顿第二定律，则沿x轴 方向的运动微分方程为
xx f x dxdydz xx dydz ( xx dx)dydz x yx yx dzdx ( yx dy)dzdx zx dxdy y zx Dv x ( zx dz)dxdy dxdydz z Dt
代入上式的第一式并整理得：
20
Dv x vx vx vx 1 p fx ( 2 2 2 ) Dt x x y z
2 2 2
同 理 Dv z 1 p 2vz 2vz 2vz 得 fz ( 2 2 2 ) Dt z x y z
v x v y 0 x y
9
例题：不可压缩流体的二维平面流动，y方向 的速度分量为 2 y
v y yx
试求x方向的速度分量，假定x=0时，vx=0。
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输出微元体 输入微元体 微元体内的 的质量流量 的质量流量 质量变化率 0
（6-1）
为了获得（6-1）的数学 表达式—连续性方程，不妨 对图６-１所示的微元体进行
分析。该微元体取自流场中
图6－2
对于以ｒ为径向坐标、θ为周向坐标、ｚ为轴向坐标 的柱坐标体系见图6－2（a），其连续性方程为
t
1 r
r
(
r
r
)
1 r
的任意点Ａ，微元体在x、y、 z方向的边长分别为dx、dy、 dz，其六个面两两相互平行 且分别垂直于x、y、z。流体 在Ａ点的密度为ρ，速度为ν， 其x、y、z方向的分量分别 为 νx、 νy、 ν。z 一般而言， 速度ν和密度ρ均为坐标x、y、 z和时间ｔ的函数。
已知，流体穿越某一表面时的质量流量等于质量通量
与表面积的乘积，而质量通量则为流体密度与流体在该表
面上的法向速度的乘积，因此考察微元体上的输入与输出，
首先要确定微元面上的法向速度。如图６-１所示,对于在
流场中任意点Ａ所取的微元体，因为与Ａ点相邻的三个微
元面上的流体或流动参数反映的是Ａ点的参数，所以在这
三个微元面上，流体密度均为ρ（Ａ点密度），且每一个 面上流体的三个速度分量都为 νx、 ν（y、Ａνz点速度）。 其中，对于dydx微元面，因其与ｘ轴垂直，该微元面上的
由连续性方程(6-6)可知，对于不可压 缩流体沿ｘ方向的一维流动，νy νz 0 ，
其连续性方程就是 νx/x 0 。这正是第
５章中分析不可压缩流体一维流动时曾经用 到的条件。
6.1.2 柱坐标和球坐标系中的连续性方程
在工程实际中，除了直角坐标系外，出于描述的方便 还经常采用柱坐标（如圆管流动问题）和球坐标（如球体 绕流问题）。在此不加推导地写出这两种坐标系中的连续 性方程，以供使用。
三个速度分量中， 是法ν向x 速度，其产生的法向通量
为
ρ·，νx 而另为两个速度分量
ν
、
y
则νz 平行于dydz平面，
与质量输出输入无关（故图中dydz微元面上的质量通
量 ρ·νx ）。
同理，在垂直于y、z方向的微元面dxdz和dxdy上，法向 速度分别为 νy、 νz ，质量通量分别为 ρ·ν y、 ρ·νz ，如图61所示。按速度与坐标方向一致为正的约定，ρ·νx、 ρ·ν y 、 ρ·νz 都是输入通量。于是将这三个通量分别乘以相应的 面积dydz、dxdz、dxdy后相加，可得输入微元体的质量 流量为
就其目的而言，积分方程反映流动过程中流体总质量、 总动量和总能量的变化，而本章要建立的流动微分方程， 目的在于流场分布的详细信息，以揭示宏观流动现象的内 在规律。
第六章 流体流动微分方程
６.１ ６.２ ６.３ ６.４
连续性方程 以应力表示的运动方程 粘性流体运动微分方程 流体流动微分方程的应用
6.1.1 直角坐标系中的连续性方程
将式（6-2）和式（6-3）代入微元体质量 守恒文字表达式（6-1）可得直角坐标系中的 连续性方程为
( ρν x ) ( ρν y ) ( ρν z ) 0
x
y
z t
（6-4a）
或以矢量简洁表示为 (ν) 0
t
其中， (ν) 是质量通量的ρν的散度， 矢量算子。
（6-4b） i j 是 k
其中， ν 是速度矢量 ν的散度； D / D 是t 密度ρ随体导
数，按第2章中随体导数的定义有
D
Dt
t
νx
x
νy
y
νz
z
不可压缩流体的连续性方程
对于不可压缩流体，因密度ρ=const，所以连续性方 程简化为
νx νy νz 0 x y z
（6-6a）
或
ν 0
（6-6b）
在物理意义上，速度的散度表示为单位体积的流量在
第六章 流体流动微分方程
流体流动微分方程是一组微分方程，包括连续性方程 和运动方程。
连续性方程是流动流体质量守恒的数学描述。与第4 章中基于控制体建立的质量守恒方积方程相对应，连续性 方程是基于流场中的点（微元体）所建立的质量守恒微分 方程。
运动方程则是流动流体动量守恒的数学描述。与第4 章中基于控制体建立的动量守恒方程相对应，运动方程是 基于流场中的点（微元体）所建立的动量守恒微分方程， 又称为运动微分方程。通过第5章中对典型以为流动问题 的分析，已经了解了将动量守恒定理应用于流场微元体从 而建立运动微分方程的基本方法和过程。本章将把这一基 本方法推广应用于三维情况，建立一般条件下的流体运动 微分方程。
x y z
由于导出方程（6-4）的过程中没有对流体和流动状 态作任何假设，故该方程对层流和湍流、牛顿流体和非 牛顿流体均适用。
将方程（6-4a）展开并引用第2章中的随体导数（质 点导数）概念，可将连续性方程表示为另一种形式
D
Dt
νx x
νy y
νz z
0
或
D ( ν) 0
Dt
（6-5a） （6-5b）
单位时间内的体积增量，通常称为体变形率．对于不可压 缩流体，不管其体积形状如何变化，其体积的大小不会变，
故体变形率为零，即 ν。也0 正是这一特点，对于不
可压缩流体，无论是为稳态流动还是非稳态流动，其连续 性方程都是一样的。
不可压缩流体的连续性方程不仅形式简 单，而且应用广泛，因为工程实际中除了经 常遇到不可压缩流体外，不少可压缩流体的 流动亦可常密度流体处理。
ρ·νxdydz ρ·νydxdz ρ·νzdxdy
相应地，当流体从与Ａ点不相邻的、分别垂直于ｘ、
ｙ、ｚ方向的三个微元面上流出时，由于分别经过dx、 dy、dz的距离后其输出时的质量通量将发生变化，如图 ６-１所示所以输出微元体的质量流量为
ρνx
ρνx x
dx dydz
ρν y
ρνy y
dydxdz
ρνz
ρνz z
dz dxdy
由上述两项可得
输出微元体 的质量流量
输入微元体 的质量流量
(
ρν x x
)
(
ρν y y
)
(
ρν z
z)
dxdydz
（６-２）dxdydz，所以
连续性方程
微元体内的 ρ 质量变化率 t dxdydz
（6-3）