二次函数综合应用
【方法指导】与图形面积数量关系有关 ①弄清其取值范围，画出符合条件的图形； ②确定其存在的情况有几种，然后分别求解，在求解 计算中一般由函数关系式设出图形的动点坐标并结合图 形作辅助线，画出所求面积为定值的三角形； ③过动点作有关三角形的高或平行于y轴、x轴的辅助 线，利用面积公式或三角形相似求出有关线段长度或面 积的代数式，列方程求解，再根据实际问题确定方程的 解是否符合题意，从而证得面积等量关系的存在性．
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(1)【思维教练】要求抛物线与坐标轴的交点坐标，可分别
令其解析式中x＝0或y＝0，求得相应的y值或x值即可确
定．其对称轴为过与x轴两交点形成的线段的垂直平分线；
解：对于抛物线y＝x2－2x－3，
令y＝0，即0＝x2－2x－3，解得x1＝3，x2＝－1， ∴A(－1，0)，C(3，0)，
PH与抛物线y＝－x2－4x＋5的交点坐标为
H(a，－a2－4a＋5).
由题意分析得：
①若EH＝ 3 EP，
2
即：(－a2－4a＋5)－(a＋5)＝
3
(a＋5)，
解得：a＝
3 2
2
或a＝－5(舍去)；
②若EH＝ 2 EP，
3
即：(－a2－4a＋5)－(a＋5)＝
2
(a＋5)，
解得：a＝
2
3
或a＝－5(舍去)．
线构造等腰直角三角形求平移过程．
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【专题链接】二次函数与特殊三角形的判定专题见本书 P114～P117.
【方法指导】对于二次函数与等腰三角形结合的动点问 题，解决的方法一般为：
(1)用变量表示三角形三边长的平方； (2)根据等腰三角形的性质，分别令三边长中两两相等， 得到三组方程； (3)分别解这几个方程组，若能得到方程的根，则这个根 即为所求；若方程无解，则不存在这样的三角形
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例1 如图，已知抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、C两 点，与y轴交于B点，直线l为它的对称轴．
（1)求点A、B、C的坐标及对称轴； (2)在x轴上是否存在一点E，使得△ABE为 等腰三角形，若存在，求出点E的坐标，若不 存在，请说明理由．
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3
∴点P的坐标为(
3
，0)或(
2
，0)．
2
3
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类型3 二次函数与特殊四边形判定
【考情解读】二次函数与特殊四边形的判定近10年3考.2015、 2014年以平行四边形判定结合四边形面积的形式考查，其 中2015年涉及了菱形的判定.2012年考查矩形的判定．
解得：b -4
c 5
c 5
∴抛物线的表达式为y＝－x2－4x＋5；
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(2)【思维教练】由于△PCH被直线BC分成两个等高的小三 角形，因此面积比就等于底边的比，然后根据直线BC的表达 式设出点E的坐标，进行分情况讨论，并借用方程求出点E的 坐标，进而得出点P的坐标．
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类型2 二次函数与图形面积
【考情解读】二次函数与图形面积近10年3考， 2015、2014、2009均在24题考查，涉及到图象 变化后求特殊四边形面积问题，已知特殊四边 形面积求平移方式，及根据面积相等确定点坐标．
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重A与OB的长度，可以确定点A、
B的坐标，然后代入抛物线的表达式中，运用待定系数法求
解即可；
解：根据题意可知点A、B的坐标分别为(1，0)，(0，5)，
将其代入抛物线y＝－x2＋bx＋c中得：1 b c 0
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例2 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象经过A、B两点， 且OA＝1，OB＝5.
(1)求这个抛物线的函数表达式； (2)设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是线段OC上的 一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于点H，若直线BC把 △PCH分成面积比为2∶3的两部分，请求出点P的坐标．
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②当AB＝AE，即AB2＝AE2时，10＝(x＋1)2， 解得：x1＝ －1，x2＝－ －1， ∴E( 10－1，0)或E(－ 10－1，0)； ③当BE＝AE，即BE2＝AE2时，x2＋9＝(x＋1)2， 解得：x＝4， ∴E(4，0)； 综上所述，存在符合条件的点E，点E的坐标为(1， 0)或( 10 －1，0)或(－ 10－1，0)或(4，0)．
【专题链接】二次函数与特殊四边形的判定专题见本书 P118～P121.
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第一部分 教材知识梳理
第三章 函 数
第六节 二次函数的综合应用
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类型1 二次函数与特殊三角形的判定
【考情解读】二次函数与特殊三角形的判定近10 年仅2016年考查1次，
考查内容： ①抛物线平移； ②等腰直角三角形的性质．考查方式为平移抛物
解：由y＝－x2－4x＋5，令y＝0， 得：－x2－4x＋5＝0， 解得：x1＝－5，x2＝1. ∴点C的坐标为(－5，0)． 如解图，设点P的坐标为(a，0)， 根据题意可得直线BC的解析式为y＝x＋5， ∴PH与直线BC的交点坐标为E(a，a＋5)，
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令x＝0，即y＝－3，
∴B(0，－3)，
∵ x1＋x2 ＝3＋（－1）＝1 ，
2
2
∴抛物线的对称轴是直线x＝1；
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(2)【思维教练】题中只说明△ABE为等腰三角形，未说明 到底哪两条边相等，故先设出点E的坐标，然后分AB＝BE, AB＝AE和BE＝AE三种情况讨论求解； 解：存在． 设E(x，0)， ∴AE2＝(x＋1)2，BE2＝x2＋9，AB2＝12＋32＝10， ①当AB＝BE，即AB2＝BE2时，10＝x2＋9， 解得：x1＝ 10 -1，x2＝ 10 －1(舍去)， ∴E(1，0)；
初步认识二次函数二次函数与其他函数的综合应用题
初步认识二次函数二次函数与其他函数的综合应用题初步认识二次函数与其他函数的综合应用题二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在现实生活中的应用十分广泛。
本文将从初步认识二次函数开始，探讨二次函数与其他函数的综合应用题，旨在帮助读者更好地理解和应用二次函数。
一、初步认识二次函数二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），其中a、b、c为常数，且a表示二次函数的开口方向和开口程度。
当a>0时，二次函数开口向上，称为正向开口；当a<0时，二次函数开口向下，称为负向开口。
b表示二次函数在横轴上的平移，c表示二次函数在纵轴上的平移。
二、二次函数的基本性质1. 零点和解析式二次函数的零点即方程f(x) = 0的解，可以通过求解二次方程ax^2+ bx + c = 0得出。
解析式可以利用求根公式或配方法得出，其中求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
2. 对称轴和顶点坐标二次函数的对称轴是x = -b/2a，当x = h时，函数值f(h)最大或最小，该点称为顶点，顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
3. 函数图像和开口情况根据二次函数的a值，可以确定函数的开口方向和开口程度。
当a>0时，二次函数开口向上，a的绝对值越小，开口程度越大；当a<0时，二次函数开口向下，a的绝对值越小，开口程度越大。
三、二次函数与其他函数的综合应用题1. 求解方程假设小明去超市购买苹果和香蕉，苹果的单价为x元/个，小明购买了a个苹果。
香蕉的单价为y元/个，小明购买了b个香蕉。
若小明总共花费了m元，请问每个苹果和香蕉的单价分别是多少？解析：根据已知条件，我们可以列出方程组：a*x + b*y = m；m = 10。
将方程组转化为二次函数的形式，得到f(x, y) = ax + by - m 和 g(x, y) = m - 10。
求解方程组即求解二次函数f(x, y) = 0和g(x, y) = 0的交点，即可得到每个苹果和香蕉的单价。
中考数学 考点系统复习 第三章 函数 第七节 二次函数的综合应用
2．★(2022·连云港)如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线 y＝－0.2x2 ＋x＋2.25 运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为 3.05 m，则他距篮筐中心的水平距离 OH 是 44 m.
重难点 2：二次函数的综合应用 如图，等腰梯形 ABCD 中，AB＝4，CD＝9，∠C＝60°，动点 P 从点 C 出发沿 CD 方向向点 D 运动，动点 Q 同时以相同速度从点 D 出发沿 DA 方 向向终点 A 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运 动．
∴CE＝1.5，DE＝2.∴点D的纵坐标为－1.5， 令－12(x－4)2＋12＝－1.5， 解得x＝4＋3 3 ≈9.19或x＝4－3 3 ≈－1.19(不合题意，舍去)，∴ D(9.19，－1.5)． ∴OC＝9.19－2＝7.19≈7.2(m)． ∴OC的长约为7.2 m.
命题点2：二次函数的综合应用(近6年考查2次)
【分层分析】(3)令获得的周利润等于2 000元，列方程为－－2(2x－(x8－5)2＋ 2＋42 4505＝0＝2 0200，结合w的函数图象可知x的取值范围为7078≤05≤)x2≤x≤1001，00 再0结00合物价部门规定该品牌宁夏特产的销售单价不得高于85元/kg即可
得到销售单价的取值范围．
段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所 示)，落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上，着陆坡上的基准点K为 飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高.2022年
北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66 m ，基准点K到起跳 台的水平距离为75 m，高度为h m (h为定值)．设运动员从起跳点A起跳 后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
2020年中考数学复习专题之二次函数的综合应用问题
二次函数的综合应用二次函数的实际应用（1）增长率问题一月a增长率为x 二月a(1+x)增长率为x三月a(1+x)2（2）利润问题在这个模型中，利润=（售价-成本）×销量（3）面积问题矩形面积=长×宽材料总长a 矩形长x矩形宽1(a-2x)2题型一二次函数的应用—销售问题例7.某公司投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件)与销售单价x（元)之间的关系可近似的看作一次函数：y=-20x+800，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设该公司每月获得利润为w（元)，求每月获得利润w（元)与销售单价x（元)之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？【思路点拨】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润＝（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；【答案与解析】解：（1）由题意，得：w＝（x﹣15）•y＝（x﹣15）•（﹣20x+800）＝﹣20x2+1100x﹣12000，即w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）；（2）对于函数w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）的图象的对称轴是直线x＝27.5又∵a＝﹣20＜0，抛物线开口向下．∴当15≤x≤24时，W随着x的增大而增大，∴当x＝24时，W＝2880，答：当销售单价定为24元时，每月可获得最大利润，最大利润是2880元．变式训练1.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降x元，每天获利y元．（1）如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应降多少元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大，最大利润是多少？（2）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降多少元？【思路点拨】（1）列出y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，根据一次函数的性质求解；（2）根据题意列出y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，结合二次函数的性质求解；【答案与解析】解：（1）y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，∵20+2x≥44，∴x≥12，∵y随x的增大而减小，∴当x＝12时，获利最大值1232；答：如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应12元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大1232元；（2）y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，当y＝1200时，1200＝﹣2（x﹣15）2+1250，∴x＝10或x＝20，∵当x＜15时，y随x的增大而增大，当x＞15时，y随x的增大而减小，当10≤x≤20时，y≥1200，答：如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降不少于10元且不超过20元.变式训练2.为建设美丽家园，某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x(m2)，种草所需费用y（元)与x(m2)的函1数关系图象如图所示，栽花所需费用y（元)与x(m2)的函数关系式为2xy=-0.01x2-20x+30000(0剟1000)．2（1）求 y （元 ) 与 x(m 2) 的函数关系式；1（2）设这块1000m 2 空地的绿化总费用为W （元 ) ，请利用W 与 x 的函数关系式，求绿化总 费用 W 的最大值．【思路点拨】（1）根据函数图象利用待定系数法即可求得y 1（元）与 x （m 2）的函数关系式 （2）总费用为 W ＝y 1+y 2，列出函数关系式即可求解 【答案与解析】解：（1）依题意当 0≤x≤600 时，y 1＝k 1x ，将点（600，18000）代入得 18000＝600k 1，解得 k 1＝30∴y 1＝30x当 600＜x≤1000 时，y 1＝k 2x+b ，将点（600，18000），（1000，26000）代入得，解得∴y 1＝20x+600综上，y 1（元）与 x （m 2）的函数关系式为：（2）总费用为：W ＝y 1+y 2∴W＝整理得故绿化总费用 W 的最大值为 32500 元.变式训练 3.某公司生产的某种商品每件成本为 20 元，经过市场调研发现，这种商品在未来 40 天内的日销售量 m （件 ) 与时间 t （天 ) 的关系如下表：时间 t （天 ) 1 3 5 10 36日销售量 m94 90 86 76 24（件 )未来 40 天内，前 20 天每天的价格 y 1（元/件）与时间 t （天）的函数关系式为 y 1＝ t +25（1≤t ≤20 且 t 为整数），后20 天每天的价格 y 2（元/件）与时间 t （天）的函数关系式为y 2＝﹣ t +40（21≤t ≤40 且 t 为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的 m （件 ) 与 t （天 ) 之间的表达式；（2）请预测未来 40 天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？【思路点拨】（1）从表格可看出每天比前一天少销售 2 件，所以判断为一次函数关系式；（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前 20 天和后 20 天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．【答案与解析】解：（1）经分析知：m 与 t 成一次函数关系．设 m ＝kt+b （k≠0），将 t ＝1，m ＝94，t ＝3，m ＝90代入，解得，∴m＝﹣2t+96；（2）前 20 天日销售利润为 P 1 元，后 20 天日销售利润为 P 2 元，则 P 1＝（﹣2t+96）（ t+25﹣20）＝﹣ （t ﹣14）2+578，∴当 t ＝14 时，P 1 有最大值，为 578 元．P 2＝（﹣2t+96）•（ t+40﹣20）＝﹣t 2+8t+1920＝（t ﹣44）2﹣16，∵当 21≤t≤40 时，P 2 随 t 的增大而减小，∴t＝21 时，P 2 有最大值，为 513 元． ∵513＜578，∴第 14 天日销售利润最大，最大利润为 578 元．题型二 二次函数的应用—面积问题例 8.如图，用 30m 长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园，已知墙长18m ，设矩形的宽 AB为xm．（1）用含x的代数式表示矩形的长BC；（2）设矩形的面积为y，用含x的代数式表示矩形的面积y，并求出自变量的取值范围；（3）这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积y最大？最大面积是多少？【思路点拨】（1）设菜园的宽AB为xm，于是得到BC为（30﹣2x）m；（2）由面积公式写出y与x的函数关系式，进而求出x的取值范围；（3）利用二次函数求最值的知识可得出菜园的最大面积．【答案与解析】解：（1）∵AB＝CD＝xm，∴BC＝（30﹣2x）m；（2）由题意得y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x（6≤x＜15）；（3）∵S＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，∴当x＝7.5时，S有最大值，S＝112.5，最大此时这个矩形的长为15m、宽为7.5m．答：这个矩形的长、宽各为15m、7.5m时，菜园的面积最大，最大面积是112.5m2．变式训练1.为了节省材料，小浪底水库养殖户小李利用水库的岸堤（足够长）为一边，用总长为120米的网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）请你帮养殖户小李计算一下BC边多长时，养殖区ABCD面积最大，最大面积为多少？【思路点拨】（1）三个矩形的面值相等，可知2FG＝2GE＝BC，可知：2BC+8FC＝120，即FC＝，即可求解；（2）y＝﹣x2+45x＝﹣（x﹣30）2+675即可求解．【答案与解析】解：（1）∵三个矩形的面值相等，可知2FG＝2GE＝BC，∴BC×DF＝BC×FC，∴2FC＝DC，2BC+8FC＝120，∴FC＝，∴y与x之间的函数关系式为y＝3FC×BC＝x（120﹣2x），即y＝﹣x2+45x，（0＜x＜60）；（2）y＝﹣x2+45x＝﹣（x﹣30）2+675可知：当BC为30米是，养殖区ABCD面积最大，最大面积为675平方米．变式训练 2.如图，ABCD是一块边长为8米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在A的延长线上，DG2BE，设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；（2）若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，此时BE的长为米．（3）当x为何值时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积？并求出最大面积．【思路点拨】（1）根据题意可得DG＝2x，再表示出AE和AG，然后利用面积可得y与x之间的函数关系式；（2）根据题意可得正方形苗圃ABCD的面积为64，进而可得矩形苗圃AEFG的面积为64，进而可得：﹣2x2+8x+64＝64再解方程即可；（3）根据二次函数的性质即可得到结论．【答案与解析】解：（1）y＝（8﹣x）（8+2x）＝﹣2x2+8x+64，故答案为：y＝﹣2x2+8x+64；（2）根据题意可得：﹣2x2+8x+64＝64，解得：x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去），答：BE的长为4米；故答案为：y＝﹣2x2+8x+64（0＜x＜8）；（3）解析式变形为：y＝﹣2（x﹣2）2+72，所以当x＝2时，y有最大值，∴当x为2时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积，最大面积为72平方米．变式训练3.如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m)，用长为24m的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边AB的长为x(m)，面积为y(m2)．（1）若y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围；（2）若要围成的花圃的面积为45m2，则AB的长应为多少？【思路点拨】（1）根据题意可以得到y与x的函数关系式以及x的取值范围；（2）令y＝45代入（1）中的函数解析式，即可求得x的值，注意x的取值范围．【答案与解析】解：（1）由题意可得，y＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x，∵24﹣3x≤10，3x＜24，解得，x≥∴且x＜8，，即y与x之间的函数表达式是y＝﹣3x2+24x（（2）当y＝45时，45＝﹣3x2+24x，解得，x1＝3（舍去），x2＝5，答：AB的长应为5m．题型三二次函数的应用—抛物线问题）；例9.如图，已知排球场的长度O D为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.4米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.6米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系．（1）当球上升的最大高度为3.4米时，对方距离球网0.4m的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．（2）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）【思路点拨】（1）根据此时抛物线顶点坐标为（6，3.4），设解析式为y＝a（x﹣6）2+3.4，再将点C坐标代入即可求得；由解析式求得x＝9.4时y的值，与他起跳后的最大高度为3.1米比较即可得；（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+h，将点C坐标代入得到用h表示a的式子，再根据球既要过球网，又不出边界即x＝9时，y＞2.4且x＝18时，y≤0得出关于h的不等式组，解之即可得．【答案与解析】解：（1）根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为（6，3.4），设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+3.4，将点C（0，1.6）代入，得：36a+3.4＝1.6，解得：a＝﹣，∴排球飞行的高度y与水平距离x的函数关系式为y＝﹣（x﹣6）2+；由题意当x＝9.5时，y＝﹣（9.4﹣6）2+≈2.8＜3.1，故这次她可以拦网成功；（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+h，将点C（0，1.6）代入，得：36a+h＝1.6，即a＝∴此时抛物线解析式为y＝（x﹣6）2+h，，变式训练1.一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y=-x2+运行，然后准确落入篮筐内，根据题意，得：，解得：h≥3.025，答：排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025．1752已知篮筐的中心距离底面的距离为3.05m．（1）求球在空中运行的最大高度为多少m？（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25m，要想投入篮筐，则问他距离蓝筐中心的水平距离是多少？【思路点拨】（1）由抛物线的顶点坐标即可得；（2）分别求出y＝3.05和y＝2.25时x的值即可得出答案．【答案与解析】解：（1）∵y＝﹣x2+的顶点坐标为（0，），∴球在空中运行的最大高度为m；（2）当y＝3.05时，﹣0.2x2+3.5＝3.05，解得：x＝±1.5，∵x＞0，∴x＝1.5；当y＝2.25时，﹣0.2x2+3.5＝2.25，解得：x＝2.5或x＝﹣2.5，由1.5+2.5＝4（m），故他距离篮筐中心的水平距离是4米．变式训练2.甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a(x-4)2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．（1）当a=-124时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点的O水平距离为7m，离地面的高度为处时，乙扣球成功，求a的值．125m的Q【思路点拨】（1）①将点P（0，1）代入y＝﹣（x﹣4）2+h即可求得h；②求出x＝5时，y的值，与1.55比较即可得出判断；（2）将（0，1）、（7，）代入y＝a（x﹣4）2+h代入即可求得a、h．【答案与解析】解：（1）①当a＝﹣时，y＝﹣（x﹣4）2+h，将点P（0，1）代入，得：﹣解得：h＝；×16+h＝1，②把x＝5代入y＝﹣∵1.625＞1.55，∴此球能过网；（x﹣4）2+，得：y＝﹣×（5﹣4）2+＝1.625，（2）把（0，1）、（7，，）代入y＝a（x﹣4）2+h，得：解得：，∴a＝﹣．变式训练3.小明跳起投篮，球出手时离地面20m，球出手后在空中沿抛物线路径运动，并9在距出手点水平距离4m处达到最高4m．已知篮筐中心距地面3m，与球出手时的水平距离为8m，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求此抛物线对应的函数关系式；（2）此次投篮，球能否直接命中篮筐中心？若能，请说明理由；若不能，在出手的角度和力度都不变的情况下，球出手时距离地面多少米可使球直接命中篮筐中心？（3）在篮球比赛中，当进攻方球员要投篮时，防守方球员常借身高优势及较强的弹跳封杀对方，这就是平常说的盖帽．（注：盖帽应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属犯规．)若此时，防守方球员乙前来盖帽，已知乙的最大摸球高度为3.19m，则乙在进攻方球员前多远才能盖帽成功？【思路点拨】（1）根据顶点坐标（4，4），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+4，由球出手时离地面m，可知抛物线与y轴交点为（0，），代入可求出a的值，写出解析式；（2）先计算当x＝8时，y的值是否等于3，把x＝8代入得：y＝，所以要想球经过（8，3），则抛物线得向上平移3﹣＝个单位，即球出手时距离地面3米可使球直接命中篮筐中心；（3）将由y＝3.19代入函数的解析式求得x值，进而得出答案．【答案与解析】（1）设抛物线为y＝a（x﹣4）2+4，将（0，）代入，得a（0﹣4）2+4＝，解得a＝﹣，∴所求的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+4；（2）令x＝8，得y＝﹣（8﹣4）2+4＝∴抛物线不过点（8，3），故不能正中篮筐中心；≠3，＝∵抛物线过点（8，），∴要使抛物线过点（8，3），可将其向上平移 7/9 个单位长度，故小明需向上多跳 m 再投篮（即球出手时距离地面 3 米）方可使球正中篮筐中心．（3）由（1）求得的函数解析式，当 y ＝3.19 时，3.19＝﹣19（x ﹣4）2+4解得：x 1＝6.7（不符合实际，要想盖帽，必须在篮球下降前盖帽，否则无效），x 2＝1.3∴球员乙距离甲球员距离小于 1.3 米时，即可盖帽成功．题型四 二次函数与图形面积的综合例 10.如图，抛物线 y = a(x + 1)2的顶点为 A ，与 y 轴的负半轴交于点 B ，且 OB = OA ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点 C (-3,b ) 在该抛物线上，求 S∆ABC 的值．【思路点拨】（1）由抛物线解析式确定出顶点 A 坐标，根据 OA ＝OB 确定出 B 坐标，将 B坐标代入解析式求出 a 的值，即可确定出解析式；（2）将 C 坐标代入抛物线解析式求出 b 的值，确定出 C 坐标，过 C 作 CD 垂直于 x 轴，三角形 ABC 面积＝梯形 OBCD 面积﹣三角形 ACD 面积﹣三角形 AOB 面积，求出即可．【答案与解析】解：（1）由题意得：A （﹣1，0），B （0，﹣1），将 x ＝0，y ＝﹣1 代入抛物线解析式得：a ＝﹣1，则抛物线解析式为 y ＝﹣（x+1）2＝﹣x 2﹣2x ﹣1；（2）过 C 作 CD⊥x 轴，将 C （﹣3，b ）代入抛物线解析式得：b ＝﹣4，即 C （﹣3，﹣4），则 △S ABC ＝S 梯形 OBCD △﹣S ACD △﹣S A OB ×3×（4+1）﹣ ×4×2﹣ ×1×1＝3．变式训练1.如图，已知二次函数图象的顶点为(1,-3)，并经过点C(2,0)．（1）求该二次函数的解析式；（2）直线y=3x与该二次函数的图象交于点B（非原点），求点B的坐标和∆AOB的面积；【思路点拨】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，由待定系数法就可以求出结论；（2）由抛物线的解析式与一次函数的解析式构成方程组，求出其解即可求出B的坐标，进而可以求出直线AB的解析式，就可以求出AB与x轴的交点坐标，就可以求出△AOB的面积；【答案与解析】解：（1）抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，由题意，得0＝a（2﹣1）2﹣3，解得：a＝3，∴二次函数的解析式为：y＝3（x﹣1）2﹣3；（2）由题意，得，解得：．∵交点不是原点，∴B（3，9）．如图2，设直线AB的解析式为y＝kx+b，由题意，得，△+S，△+S△+S解得：，∴y＝6x﹣9．当y＝0时，y＝1.5．∴E（1.5，0），∴OE＝1.5，△∴SAOB＝SA OE BOE＝+，＝9．答：B（3，9），△AOB的面积为9；变式训练2.如图，抛物线y=x2+x-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求点A，点B和点C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标；（3）若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．【思路点拨】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．求出直线AC的解析式即可解决问题．（3）过点M作MN⊥x轴与点N，设点M（x，x2+x﹣2），则AN＝x+2，0N＝﹣x，0B＝1，0C＝2，MN＝﹣（x2+x﹣2）＝﹣x2﹣x+2，根据S四边形ABCM△＝SAOM OCM BOC构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【答案与解析】解：（1）由y＝0，得x2+x﹣2＝0解得x＝﹣2x＝l，∴A（﹣2，0），B（l，0），由x＝0，得y＝﹣2，∴C（0，﹣2）．（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．△+S + ＝设直线 AC 为 y ＝kx+b ，则﹣2k+b ＝0，b ＝﹣2：得 k ＝﹣l ，y ＝﹣x ﹣2．对称轴为 x ＝﹣ ，当 x ＝﹣ 时，y ＝_（﹣ ）﹣2＝﹣ ，∴P（﹣ ，﹣ ）．（3）过点 M 作 MN⊥x 轴与点 N ，设点 M （x ，x 2+x ﹣2），则 AN ＝x+2，0N ＝﹣x ，0B ＝1，0C ＝2，MN ＝﹣（x 2+x ﹣2）＝﹣x 2﹣x+2，S四边形 ABCM△＝S AOM OCM △S BOC （x+2）（﹣x 2﹣x+2）+ （2﹣x 2﹣x+2）（﹣x ）+ ×1× 2＝﹣x 2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4．∵﹣1＜0，∴当 x ＝_l 时，S 四边形 ABCM 的最大值为 4．变式训练 3.如图，二次函数 y = ax 2 + b x 的图象经过点 A(2,4) 与 B(6,0) ．（1）求 a ， b 的值；（2）点 C 是该二次函数图象上 A ， B 两点之间的一动点，横坐标为 x (2 < x < 6) ，写出四边形 OACB 的面积 S 关于点 C 的横坐标 x 的函数表达式，并求 S 的最大值．△＝△＝△＝△+S△+S【思路点拨】（1）把A与B坐标代入二次函数解析式求出a与b的值即可；（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，分别表示出三角形OAD，三角形ACD，以及三角形BCD的面积，之和即为S，确定出S关于x的函数解析式，并求出x的范围，利用二次函数性质即可确定出S的最大值，以及此时x的值．【答案与解析】解：（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y＝ax2+bx，得，解得：；（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2，0），连接CD、CB，过C作CE⊥AD，CF⊥x 轴，垂足分别为E，F，SOADOD•AD＝×2×4＝4；SACDAD•CE＝×4×（x﹣2）＝2x﹣4；SBCDBD•CF＝×4×（﹣x2+3x）＝﹣x2+6x，则S＝SOAD ACD BCD＝4+2x﹣4﹣x2+6x＝﹣x2+8x，∴S关于x的函数表达式为S＝﹣x2+8x（2＜x＜6），∵S＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．。
(中考数学复习)第18讲-二次函数综合应用-课件-解析
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浙派名师中考 (2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理 由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围． 解：(1)把x＝0，y＝2，及h＝2.6代入到y＝a(x－6)2＋h中，
B．4 s
C．3 s
D．2 s
B
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浙派名师中考 B
图18－1
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4．(2013·宁波)如图18－2所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
开口向上，对称轴为直线x＝1，图象经过(3，0)，下列结论
中，正确的一项是
( D )
图18－2 A．abc<0 B．2a＋b<0 C．a－b－c<0 D．4ac－b2<0
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5．某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成 的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈 钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图18－3所示)， 则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 ( C )
函数图象得
∴函数关系式为y＝－x＋180.
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(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是 商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最 大，最大利润是多少？ 解： W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180) ＝－x2＋280x－18 000 ＝－(x－140) 2＋1 600， 当售价定为140元，W最大＝1 600. ∴售价定为140元/件时，每天最大利润W＝1 600元．
一次函数与二次函数的综合应用题
一次函数与二次函数的综合应用题一、引言在数学中，一次函数和二次函数是我们经常遇到的两种函数类型。
一次函数以y = ax + b的形式呈现，其中a和b是常数，而x是自变量。
二次函数则以y = ax^2 + bx + c的形式表达，其中a、b和c都是常数，而x依然是自变量。
本文将基于一次函数和二次函数，介绍它们在实际问题中的综合应用。
二、一次函数的综合应用1. 直线的运动一次函数可以应用于描述直线的运动情况。
假设有一个小车匀速地沿直线前进，设x表示时间（单位：秒），y表示小车距离起点的距离（单位：米），小车的速度为v（单位：米/秒）。
则可以建立起以下一次函数表示小车的位置：y = vx通过该函数，我们可以轻松计算在不同时间点小车的位置，并预测未来的移动情况。
2. 商品价格和销量的关系一次函数还可以应用于描述商品价格和销量之间的关系。
假设某商品的售价为p（单位：元），销量为s（单位：件），根据市场调研，得到以下一次函数表达式：s = -ap + b通过该函数，我们可以研究价格对销量的影响，并进行销售策略的调整。
三、二次函数的综合应用1. 抛体运动二次函数常用于描述抛体在空中的轨迹。
假设有一个物体以初速度v0竖直向上抛出，设x表示时间（单位：秒），y表示物体的高度（单位：米），加速度为g（单位：米/秒^2）。
则可以建立起以下二次函数表示物体的高度：y = -0.5gt^2 + v0t通过该函数，可以计算物体在不同时间点的高度，并分析物体的抛体运动规律。
2. 二次方程的解析二次函数也可以用于解决实际问题中的二次方程。
一个经典的例子是求解一个矩形地块的最大面积。
假设矩形地块的长度为x米，宽度为y米，已知周长为p米。
可以建立以下方程：2x + 2y = p根据周长的限制条件，我们可以得出以下表达式：x = (p-2y)/2，进而得到矩形地块的面积表达式：A = xy = (p-2y)y通过求解该二次函数的极值，即可得到矩形地块的最大面积。
中考数学复习第三单元函数第15课时二次函数的综合应用
中心为原点建立直角坐标系.
高
频
考
向
探
究
(2)王师傅在水池内维修(wéixiū)设备期间,喷水管意外
喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时
必须在离水池中心多少米以内?
图15-6
1
(2)当 y=1.8 时,1.8=- (x-3)2+5,
第九页，共四十页。
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
题组二 易错题
【失分点】
忽略实际问题(wè在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA,O恰在水面
中心,安置(ānzhì)在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径
落下,且在过OA的任一平面上,抛物线形状均如图15-5①所示.如图②,建立直角坐标系,水
∴y 与 x 之间的函数关系式为
1
- 2 + 2(0 ≤ ≤ 2),
y=
1
2
2
2 -4 + 8(2 < ≤ 4).
由函数关系式可看出 A 中的函数图象与所求的分段函数对应.故选 A.
第六页，共四十页。
基
础
知
识
巩
固
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频
考
向
探
究
2.如图 15-3,坐标平面上有一顶点为 A 的抛物
[答案(dáàn)] B
直角坐标系.
高
频
考
向
探
究
(3)经检修评估(pínɡ ɡū),游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,
初中二次函数综合应用难题
初中二次函数综合应用难题
以下是一个初中二次函数综合应用的难题：
问题：某公司生产纸箱，每个纸箱的底面是一个正方形，侧面是一个等腰直角三角形。
已知纸箱的高度为8厘米，底面边长为x厘米。
根据生产经验，每个纸箱的材料成本（即底面和侧面的总面积）与底面边长的平方成正比，比例系数为0.25。
如果一个纸箱的材料成本为80平方厘米，求纸箱的底面边长x。
解答：
首先，我们需要确定纸箱的底面和侧面的面积。
底面的面积为正方形的面积：底面面积= x^2
侧面的面积为等腰直角三角形的两个等腰直角边的乘积的一半：侧面面积= 1/2 * x * x
纸箱的总面积为底面和侧面的面积之和：总面积= x^2 + 1/2 * x * x
根据题目中给出的比例系数，纸箱的材料成本与底面边长的平方成正比，我们可以设置一个比例关系：
（纸箱的材料成本）/（底面边长的平方）= 0.25
根据题目中给出的纸箱的材料成本为80平方厘米，我们可以代入这些值，得到以下方程：
80 / x^2 = 0.25
可以进行等式的变形：
80 = 0.25 * x^2
进一步变形得到：
320 = x^2
对方程两边取平方根，得到：
x = √320
化简计算得到：
x ≈ 17.89
因为底面边长的单位是厘米，所以最后的答案为17.89 厘米。
因此，纸箱的底面边长约为17.89 厘米。
二次函数综合阅读应用题
二次函数综合运用一、解答题1．根据以下素材，探索完成任务．素材1一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置OA ，通过调节喷水装置OA 的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观在半径为1.6米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉(图1中的阴影部分)．素材2从喷泉口A 喷出的水柱成抛物线形，如图2是该喷泉喷水时的一个截面示意图，已知喷水口A 离地面高度为058．米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为0.2米处离地面最高，高度为0.6米．问题解决任务1建立模型以点O 为原点，OA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，根据素材2求抛物线的函数表达式．任务2利用模型为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，确定喷水口A 升高的最小值．任务3分析计算喷泉口A 升高的最大值为1.02米，为能充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议．2．如果将运动员的身体看作一点，则她在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，运动员从点()0,10A 起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度()m y 与水平距离()m x 满足二次函数图1的关系．(1)在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下表：水平距离()m x 0132竖直高度()m y 1010254根据上述数据，求出y 关于x 的关系式；(2)在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A 到入水点的水平距离OD 的长；(3)信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B 时距水面的高度为()m n ，从到达到最高点开始计时，则她到水面的距离()m h 与时间()s t 之间满足25h t n =-+．信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.4s 的时间才能完成极具难度的270C 动作．请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？3．【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况在大自然里，有很多数学的奥秘.图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．【探究一】确定心形叶片的形状（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数2441y ax ax a =-+++图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；【探究二】研究心形叶片的宽度：（2）如图3，心形叶片的对称轴直线2y x =+与坐标轴交于A ，B 两点，抛物线与x 轴交于另一点C ，点C ，1C 是叶片上的一对对称点，1CC 交直线AB 于点G ．求叶片此处的宽度1CC ；【探究三】探究幼苗叶片的长度（3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数2441y ax ax a =-+++图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务1中的二次函数．已知直线PD （点P 为叶尖）与水平线的夹角为45︒，求幼苗叶片的长度PD ．探究汽车刹车性能“道路千万条，安全第一条”．刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车性能的相关问题（反应时间忽略不计）．素材1刹车时间：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的时间．刹车距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的距离．素材2汽车研发中心设计一款新型汽车，某兴趣小组成员记录了模拟汽车在公路上以某一速度匀速行驶时的刹车性能测试数据，具体如下：刹车后汽车行驶时间()s t1234刹车后汽车行驶距离()my27486372素材3该兴趣小组成员发现：①刹车后汽车行驶距离y（单位：m）与行驶时间t（单位：s）之间具有函数关系²y at bt=+（0a≠、a、b为常数）；②刹车后汽车行驶距离y随行驶时间t的增大而增大，当汽车刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．问题解决：请根据以上信息，完成下列任务．任务一：求y关于t的函数解析式．任务二：汽车司机发现正前方90m处有一个障碍物在路面，立刻刹车，判断该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由．素材1如图1是某足球场的一部分，球门宽7m DE CF ==，高 2.5m CD EF ==．小梅站在A 处向门柱CD 一侧发球，点A 正对门柱CD （即AC CF ⊥），24m AC =，球射向球门的路线呈抛物线，且一直在AC 正上方．此次射门的侧面示意图如图2所示，当足球飞行的水平距离15m AB =时，球达到最高点Q ，此时球离地面4.5m ．以点A 为原点，直线BA 为x 轴，建立平面直角坐标系．素材2如图3，距离球门正前方6m 处放置一块矩形拦网HGMN ，拦网面垂直于地面，且GH CF ∥（GH 足够长），拦网高4m HN =．任务1求足球运动的高度(m)y 与水平距离(m)x 之间的函数关系式．任务2未放置拦网时，判断此次射门球能否进入球门．若能进入，计算出足球经过C 点正上方时的高度；若不能进入，小梅不改变发球的方向，且射门路线的形状和最大高度保持不变，他应该带球向正后方至少移动多少米射门，才能让足球进入球门．任务3放置拦网后，小梅站在A 处，射门路线的形状和最大高度保持不变，只改变发球方向，使射向球门的路线在AF 正上方，判断足球能否越过拦网，在点E 处进入球门．注：上述任务中足球落在门柱边线视作足球进入球门．6．【项目式学习】项目主题：安全用电，防患未然．项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约80%的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．（1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在AOB 中，OA OB =，喷射角60AOB ∠=︒，地面有效保护直径AB 为O 距离地面的高度OC 为________米；任务二：模型构建由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头．（2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形OABC ，创新小组以点O 为坐标原点，墙面OA 所在直线为y 轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M 安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即3OA =米，2AM =米，水喷射到墙面D 处，且1OD =米．①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式；②按照此安装方式，喷淋头M 的地面有效保护直径OE 为_______米；任务三：问题解决（3）已知充电车棚宽度OC 为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，创新小组想在喷淋头M 的同一水平线AB 上加装一个喷淋头N ，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N 距离喷淋头M 至少________米．7．【背景素材】射击过程中，瞄准线和枪管并不是平行的，如图1，当瞄准线处于水平时，枪管略微上翘，子弹从枪膛中射出后，其飞行过程形成的轨迹（弹道轨迹）近似于抛物线，弹道轨迹与瞄准线有两个交点，分别称为第一归零点和第二归零点．射击靶靶面呈圆形，圆心即靶心，射击时，瞄准线对准靶心，且垂直于靶面，当靶心位于任意一个归零点时，子弹就能精准命中靶心，否则将偏离靶心．【探究思考】有一射击靶距甲种枪枪膛口水平距离为200m ，射击队员调整瞄准镜，使其水平对准靶心，并使靶心刚好位于第二归零点，此时弹道轨迹已确定，如图2，以瞄准线为x 轴，枪膛口竖直方向为y 轴建立平面直角坐标系，则子弹的飞行高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）满足函数关系()()5120010y x n x =---，已知点P 为该枪枪膛口，其低于瞄准线0.06m （即0.06m OP =）．（1）求出n 的值，并解释点(),0N n 的实际意义．（2）在不调整弹道轨迹的情况下，把射击靶向前移动到与枪膛口的水平距离为120m 处，若射击靶半径为0.1m ，问子弹能否命中靶面？请说明理由．【理解应用】如图3，同上建立平面直角坐标系，已知乙种枪弹道轨迹恒不变，且其两个归零点坐标分别为()10,0A ，()85,0C ，点()15,0.05B 是弹道轨迹上一点，有一移动电子靶在距枪膛口水平距离75m 处启动加速，迎面驰来，在距枪膛口水平距离50m 处以10m/s 的速度开始匀速运动，当电子靶启动的同时，一队员开始水平瞄准靶心，瞄准后再连开两枪，随后都命中靶面，子弹落点分别位于靶心上方0.2m 和0.05m 处（该移动电子靶靶面半径大于0.2m ），从电子靶启动到命中第二枪共用时6s ，求这个队员瞄准靶心所用的时间．（子弹飞行所用时间忽略不计）8．阅读与思考下面是小涵同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．⨯年⨯月⨯日星期六“用函数思想解决生活中的实际问题”五一假期，我班数学作业是“用函数思想解决生活中的实际问题”，并参与解决问题的全过200m的蔬菜种植基地，于是我也积极程．今天、爸爸计划在农村老家用60m栅栏围建一块5参与了基地的设计建设．在规划“蔬菜基地形状”时、爸爸根据实际情况将基地设计为矩形，以便分割区域进行种植．现遇到的问题是：是否存在满足上述条件的矩形呢？我想到了如下解决方法：办法一：利用一次函数与反比例函数图象解决．假设存在这样的矩形，设矩形相邻两边长分别为m x，m y，可得y与x的一次函数和反比例函数的表达式，再通过列表、描点、连线可得如图图象、两个函数的图象在第一象限内有交点，于是可以确定存在满足上述条件的矩形．办法二：利用二次函数表达式解决，假设存在这样的矩形、S=时，设矩形的其中一条边长为m x，矩形的面积为S，根据题意，可得到二次函数，当200通过判断方程是否有解即可确定是否存在这样的矩形．任务：(1)小涵同学解决矩形蔬菜基地问题中的“办法一”和“办法二”，主要体现的数学思想有______；（从下面选项中选出两个即可）A．方程思想B．统计思想C．函数思想D．数形结合思想(2)请你直接写出“办法一”中一次函数的表达式为：______，反比例函数的表达式为：______．(3)按照小涵日记中的“办法二”解决问题：是否存在满足上述所给条件的矩形？请说明理由．9．根据以下素材，探索完成任务．设计跳长绳方案素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下：（1）每班需报名跳绳同学9人，摇绳同学2人；（2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1．素材2：某班进行赛前训练，发现：（1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线．已知摇绳同学之间水平距离为6m ，绳子最高点为2m ，摇绳同学的出手高度均为1m ，如图2；（2）9名跳绳同学身高如右表．身高()m 1.70 1.73 1.75 1.80人数2241素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现：（1）跳绳时，人的起跳高度在0.25m 及以下较为舒适；（2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的1920．问题解决任务1：确定长绳形状，请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式．任务2：确定排列方案，该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持0.45m的间距，请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学．任务3：方案优化改进，据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整．班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至0.85m．此时中段长绳将贴地形成一条线段（线段AB），而剩余的长绳则保持形状不变，如图4．请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题．。
二次函数的综合应用
二次函数的综合应用一、二次函数与几何图形问题例一：（2019 吉林中考）如图，抛物线y=(x-1)²+k与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C(0，-3)。
P为抛物线上一点，横坐标为m，且m>0。
(1)求此抛物线的解析式;(2)当点P位于x轴下方时，求ΔABP面积的最大值;(3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为h.①求h关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围!②当h=9时，直接写出ΔBCP的面积.二、二次函数与销售问题例一：（2020 湖北中考）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元且不高于52元，某商户在销售期间发现，当销售单价定价为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个，现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元。
（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）将纪念品的销售单价定位多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w最大？最大利润是多少元？（3）该商户从每天的利润中提出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的取值范围。
三、二次函数与增长率问题例一：为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进就放改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设。
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4，32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？四、二次函数与行程问题例一：（2019 江西中考）蜗牛A和蜗牛B分别从相距120厘米的甲水坑和乙水坑以相同的速度同时相向而行，相遇后，两只蜗牛继续前进，蜗牛A的速度不变，蜗牛B每分钟比原来多走1厘米，结果蜗牛B到达甲水坑后蜗牛A还需10分钟才能到达乙水坑，求两只蜗牛原来的速度是多少？五、二次函数与动点问题例一：（2019秋惠州期末）如图，抛物线y＝x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标；（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；六、二次函数与阅读理解型问题（新定义题型）例一：（2019 ）在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1、y2，恒有点（x，y1）和点（x，y2）关于点（x，x）成中心对称（此三个点可以重合），由于对称中心（x，x）都在直线y=x上，所以称这两个函数为关于直线y=x的“相依函数”．例如：y=3/4*x和y=5/4*x为关于直线y=x的“相依函数”。
二次函数的应用的综合应用题
二次函数的应用的综合应用题某公司制造商品并销售，该公司的成本和收入可以用二次函数来建模。
已知该公司的成本函数为C(x) = 0.2x^2 + 800x + 10000（其中x表示产量，C(x)表示成本），收入函数为R(x) = -0.3x^2 + 1000x（其中x 表示产量，R(x)表示收入）。
现在我们要针对该模型进行一系列综合应用题的分析和求解。
1. 确定最小产量以确保盈利。
首先，我们需要确定最小产量以确保公司盈利。
公司的盈利可以通过收入减去成本来计算。
盈利函数P(x)可以表示为：P(x) = R(x) - C(x)= (-0.3x^2 + 1000x) - (0.2x^2 + 800x + 10000)= -0.5x^2 + 200x - 10000为了确保公司盈利，盈利函数P(x)需要大于零。
因此，我们可以求解以下不等式来确定最小产量：-0.5x^2 + 200x - 10000 > 0对该不等式进行求解，我们可以得到x的取值范围。
在此范围内，最小的整数值将是确保公司盈利的最小产量。
2. 确定最大产量以达到最大盈利。
要确定最大产量以达到最大盈利，我们需要计算盈利函数P(x)的顶点。
顶点对应于盈利函数的最大值，表示最大的盈利。
盈利函数P(x)是一个二次函数，二次函数的顶点可以通过以下公式计算：x = -b / (2a)对于盈利函数P(x)来说，a=-0.5，b=200。
代入上述公式，我们可以计算得到最大盈利对应的产量x。
3. 计算最大盈利。
在确定最大产量之后，我们可以将该产量代入盈利函数P(x)中，计算得到最大盈利的具体金额。
P(x) = -0.5x^2 + 200x - 10000将最大产量代入上述公式，即可得到最大盈利。
4. 讨论产量对盈利的影响。
通过对盈利函数P(x)的分析，我们可以观察到产量x对盈利的影响。
当产量增加时，盈利也随之增加，但增加的幅度可能会递减。
这是因为盈利函数P(x)是一个二次函数，它的图像是一个开口向下的抛物线。