选修4-4第一讲-4简单曲线的极坐标方程直线的极坐标方程

直线方程的表示形式比较起来， 直线方程的表示形式比较起来， 极坐标系里的直线表示起来很 不方便， 不方便，要用两条射线组合而 原因在哪？ 成。原因在哪？
45° 45° O x N
ρ≥0
可以考虑允许极径可以取全体实数。 可以考虑允许极径可以取全体实数。
5π θ = (ρ ∈ R)或 θ = (ρ ∈ R) 4 4
OP = ρ1
∠xOP = θ1
∠OMP = α − θ , ∠OPM = π − (α − θ1 )
由正弦定理得
ρ1 ρ = sin[π − (α − θ1 )] sin(α − θ )
显然点P 显然点P的坐标也 ρ sin(α − θ ) = ρ1 sin(α − θ1 ) 是它的解。 是它的解。
7.把下列直角坐标方程化成极坐标方程： 7.把下列直角坐标方程化成极坐标方程： 把下列直角坐标方程化成极坐标方程
(1) x = 4;
(2) y + 2 = 0;
2 2
(3) 2x − 3y −1 = 0; (4) x − y = 16.
8.把下列极坐标方程化成直角坐标方程： 8.把下列极坐标方程化成直角坐标方程： 把下列极坐标方程化成直角坐标方程
θ
π
M(ρ，θ )
ρ
B x
O
几种特殊的直线的极坐标方程： 几种特殊的直线的极坐标方程： 1.与极轴垂直且与极轴距离为a 1.与极轴垂直且与极轴距离为a的直线的 与极轴垂直且与极轴距离为 ρ 极坐标方程： 极坐标方程： cos θ = a 2.与极轴反向延长线垂直且距离为a 2.与极轴反向延长线垂直且距离为a的直 与极轴反向延长线垂直且距离为 ρ 线的极坐标方程： 线的极坐标方程： cos θ = − a 3.在极轴上方与极轴平行且到极轴距离为 3.在极轴上方与极轴平行且到极轴距离为 的极坐标方程： a的极坐标方程：ρ sin θ = a 4.在极轴下方与极轴平行且到极轴距离为 4.在极轴下方与极轴平行且到极轴距离为 ρ 的极坐标方程： a的极坐标方程： sin θ = a
在极坐标系中，已知点A(2 0)， A(2， 例2 在极坐标系中，已知点A(2，0)，点P在曲
2 2
在直角坐标系中，过原点O作椭圆3x 例3 在直角坐标系中，过原点O作椭圆3x2＋ 的两条互相垂直的弦AB CD， AB， y2＝1的两条互相垂直的弦AB，CD，求|AB|2＋ 的取值范围. |CD|2的取值范围. y
(1) ρ sin θ = 2; (2) ρ(2cosθ + 5sin θ ) − 4 = 0; (3) ρ = −10cosθ; (4) ρ = 2cosθ − 4sin θ.
2 9.已知直线的极坐标方程为 9.已知直线的极坐标方程为 ρ sin(θ + ) = 4 2 7π 到这条直线的距离. 求点A（2， ）到这条直线的距离. 4
思考4：设点P 过点P 思考 ：设点P的极坐标为 ( ρ1 , θ1 ) ，直线l 过点P 且与极轴所成的角为 程。
α
,求直线 l 的极坐标方
ρ
M
o
θ α ﹚ ﹚
1
ρ1 P
x
解：如图，设点 如图，
M ( ρ , θ ) 为直线上除
点P外的任意一点，连接OM 外的任意一点，连接OM 由点P 则 OM = ρ , ∠xOM = θ 由点P的极坐标知 设直线L与极轴交于点A 设直线L与极轴交于点A。则在 ∆MOP
选修4 选修4－4坐标系与参数方程
第一讲
坐标系
三. 简单曲线的极坐标方程
在极坐标系中求曲线方程的基本步骤： 在极坐标系中求曲线方程的基本步骤： 1、根据题意画出草图(包括极坐标建系)； 根据题意画出草图(包括极坐标建系) 2、设P(ρ，θ) 为所求曲线上的任意一点； ， 为所求曲线上的任意一点； 满足的几何条件； 3、连结OP，寻找OP满足的几何条件； 4、依照几何条件列出关于ρ，θ的方程并化简； 依照几何条件列出关于 ， 方程并化简； 几何条件 5、检验并确定所得方程即为所求。 检验并确定所得方程即为所求。 并确定所得方程即为所求
5.求过 且斜率为2 5.求过A（-2，3）且斜率为2的直线的极坐 标方程。 标方程。
***练习 练习*** 练习
6.说明下列极坐标方程表示什么曲线并画图. 6.说明下列极坐标方程表示什么曲线并画图. 说明下列极坐标方程表示什么曲线并画图
(1) ρ = 5; (3) ρ = 2sin θ.
5π (2) θ = (ρ ∈ R); 6
5π 射线ON： = 射线ON： ；N ON θ 4
5π θ = 和θ = 4 4
π
思考2 思考2：若ρ＜0，则规定点(ρ，θ)与点(－ρ， 则规定点(ρ， 与点( (ρ θ)关于极点对称，则上述直线MN的极坐标方程是 关于极点对称，则上述直线MN MN的极坐标方程是 什么？ 什么？ M 和前面的直角坐标系里
θ
当a＜0时，ρcosθ＝－a.
求直线的极坐标方程步点
M ( ρ ,θ )
是直线上任意一点； 是直线上任意一点；
3、连接MO； 连接MO； MO 4、根据几何条件建立关于 并化简； 并化简；
ρ ,θ
的方
程，
5、检验并确认所得的方程即为所求。 检验并确认所得的方程即为所求。
π
思考：设点P的极坐标为A 过点P 思考：设点P的极坐标为A ( a , 0) ，直线 l 过点P 且与极轴所成的角为 α ,求直线 l 的极坐标方 程。 解：如图，设点M ( ρ , θ ) 如图， 上异于P 为直线 l 上异于P的点 连接OM 在 OM， 连接OM， ∆MOP中有 a ρ = 即 sin(π − α ) sin(α − θ )
探究: 探究:直线的极坐标方程
思考1 如图，过极点作射线OM， 思考1：如图，过极点作射线OM，若从极轴到射线 OM OM的最小正角为 的最小正角为45 则射线OM π OM的极坐标方程是什 OM的最小正角为450，则射线OM的极坐标方程是什 过极点作射线OM的反向延长线ON 则射线ON OM的反向延长线ON， 么？过极点作射线OM的反向延长线ON，则射线ON 4 的极坐标方程是什么？直线MN MN的极坐标方程是什 的极坐标方程是什么？直线MN的极坐标方程是什 么？ M π 射线OM θ OM： 射线OM： = ； 4 45° 45° O x
π
理论迁移
在极坐标系中，已知两曲线C 例1 在极坐标系中，已知两曲线C1：
ρ cos(θ + ) = m 和C2：ρ＝4cosθ有公
3
共点， 的取值范围. 共点，求实数m的取值范围.
π
m∈[－1，3] ∈[－ ∈[
2 + 2cosθ 上，求|PA|的最小值. 线C：ρ = |PA|的最小值. 的最小值 2 sin θ
= 4sin θ 相切的一条
B、ρ cos θ = 2 D、ρ cos θ = −4
A、ρ sin θ = 2 C、ρ cos θ = 4
4.直线 4.直线
ρ sin(θ + α ) = a
和θ =
π
2
−α
的位置关系是（ 的位置关系是（ B ）
A、l1平行l2 C、l1与l2重合
B、l1 ⊥ l2 D、l1和l2 斜交
练习：
1.在极坐标系中， 1.在极坐标系中，求适合下列条件的直线或圆 在极坐标系中 的极坐标方程： 的极坐标方程：
π
的直线； （1）过极点倾斜角是 的直线；
π
3 π
3
（2）过极点（2， ），并且和极轴垂直的直线； ），并且和极轴垂直的直线 并且和极轴垂直的直线； 过极点（
），半径为 的圆； 半径为1 （3）圆心在A（1， ），半径为1的圆；
变题、求过点A(2, )平行于极轴的直线。 4
解：如图，设M ( ρ ,θ )是直线l 上除点A外的任意一点
Q A(2, ) ∴ MB = 2 ⋅ sin = 2 4 4
π
π
π
在Rt ∆OMB中， MB = OM sin θ ,即ρ sin θ = 2
可以验证，点A的坐标(2, )满足上式， 4 A 故所求直线方程为ρ sin θ = 2
ρ
M x
o
θ
α ﹚ p
ρ sin(α − θ ) = a sin α
显然P点也满足上 显然P 方程。 方程。
探究：过点A( ≠0)， 探究：过点A(a，0)(a≠0)，且垂直于极轴的直线 l的极坐标方程是什么？ 的极坐标方程是什么？ ρ M 当a ＞0 时， θ O ρcosθ＝a； x A M ρ A O x
7 x + y − ax = 0(x ≠ 0) 3
2 2
小结：直线的几种极坐标方程 小结： 1、过极点 、 2、过某个定点，且垂直于极轴 、过某个定点， 3、过某个定点，且与极轴成一定 、过某个定点， 的角度
3π 圆心在（ ），半径为 的圆。 半径为a （4）圆心在（a， ），半径为a的圆。 2
4
练习： 练习： 2.两条直线 2.两条直线 ρ cos(θ − α ) = a与 ρ sin(θ 的位置关系是（ 的位置关系是（ B ）
−α) = a
A、平行 C、重合
B、垂直 D、平行或重合
3.在极坐标系中， 3.在极坐标系中，与圆 ρ 在极坐标系中 直线的方程是（ 直线的方程是（ B ）
16 [4, ] 3
C A x O B D
例4 过原点作直线l，分别交圆 x 2＋y 2－ 两点，在线段AB AB上 2ax＝0和x2＋y2－3ax＝0于A、B两点，在线段AB上 取一点M |BM|＝2|AM|，求点M的轨迹方程. 取一点M，使|BM|＝2|AM|，求点M的轨迹方程.
y A M O x B