§1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性
高数同济§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性
证明某类初等函数具有某种性质
明确要证明的性质和所使用的初等函数类型，如证明某类 函数在某区间内单调、可导等。
根据所给性质，选择合适的证明方法，如利用定义法、导 数法、比较法等。
在证明过程中，需要严格遵循数学逻辑和推理规则，确保 每一步的推导都是正确的。同时，也要注意书写规范和清 晰性，以便他人能够理解和验证证明过程。
举例说明各类初等函数连续性特点
多项式函数
多项式函数在其定义域内是连续的，且其导数和 积分也是连续的。
指数函数和对数函数
指数函数和对数函数在其定义域内也是连续的， 其中指数函数的增长速度逐渐加快，而对数函数 的增长速度逐渐减慢。
三角函数
三角函数（如正弦、余弦、正切等）在其定义域 内是连续的，且具有周期性。
幂函数
幂函数在其定义域内也是连续的，但其连续性受 到指数的影响。例如，当指数为正整数时，幂函 数在定义域内是连续的；当指数为分数时，幂函 数在定义域内可能存在间断点。
04 闭区间上连续函数性质探 讨
有界性定理及证明过程
有界性定理
若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上有界。
性质
连续函数具有局部保号性、局部有界性、运算性质（和、差 、积、商仍连续）等。
间断点分类与判断
第一类间断点
01
左右极限都存在，包括可去间断点（左右极限相等但
不等于函数值）和跳跃间断点（左右极限不相等）。
第二类间断点
02 左右极限至少有一个不存在，包括无穷间断点和震荡
间断点。
判断方法
03
通过计算函数在某点处的左右极限，并与函数值进行
连续函数的运算与初等函数的连续性
x)
u0
.
定理4 若 u (x) 在点 x0 连续，且 (x0 ) u0 , 而
函数 y = f (u) 在点 u u0 处连续，则复合函数 y f (x)
在点 x0 连续 .
例1
求 lim
x2 9 .
x3 x 3
解
lim
x2 9
x2 9 lim
x0
∵ (1 2x) (1 2x) e 解
3 sin x
1 2x
sinx
x
6
1
6
x sin
x
ln(12
x
)
2
x
1
∴ lim(1 2x) e e 3 sin x
lim
x0
6
x sin
x
ln(12
x
)
2
x
6
x0
说明 函数 u(x)v(x) (u(x) 0 , u(x)不恒等于1) 既不是
lim
1
u(x)
1
1 u( x)1v( x)
u ( x)1
elimu( x)1v( x)
说明 在求解此类极限时，先计算 limu(x) 1v(x),
再对极限值取指数 e 即可.
1
例6 求 lim(x 2ex ) x1 . x0
解 因为 所以
lim(x 2ex ) 2 ,
定理3
若
lim
xx0
(x)
(
x0
)
,
u
(x)
,
而函数 y f (u)
在点 u u0 处连续，则有
连续函数的运算及初等函数的连续性
例、讨论函数y = sin 1的连续性
x
lijuan
解：y = sin 1由y = sin u,u = 1 复合而成
x
x
y = sin u当u ∈ (−∞, +∞)连续
u = 1 当x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, +∞)内连续 x
∴ y = sin 1 在(−∞, 0) ∪ (0, +∞)内是连续的（去掉不连续点） x
14
lijuan
定理3与4的比较：
定理3、（1）lim x → x0
g(x)
=
u0存在，
（2）y = f (u)在u = u0处连续
定理4、（1）lim x → x0
g(x)
=
g ( x0
)连续，
（2）lim u →u0
f (u) =
f
(u0 )连续
15
四、初等函数的连续性 lijuan
1、基本初等函数在其定义域内是连续的， 因此，初等函数在其定义区间内连续
证明：∵
lim
x→ x0
g(x)=
g(x0 )
= u0,
lim
u →u0
f (u) =
f
(u0 )
⎫ ⎬
⇐
连续
⎭
连续
= ∴ lim x → x0
f [g(x)] u = g (x)
=
lim f (u)
u →u0
f (u0 )
= f [lim g(x)] x → x0
= f [g(x0 )]
⇒∴连续
13
定理5、设函数u = g(x)当x → x0时极限存在且等于u0，
即：lim x→ x0
g(x) = u0，而函数y
高等数学1.9连续函数的运算与初等函数的连续性
在(0, )内连续 (均在其定义域内连续 )
三、初等函数的连续性
定理6 一切初等函数 在其定义区间内 都是连续的. 定义区间 是指包含在定义域内的区间. 注意 1.初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内 不一定连续; 例如,
y x 2 ( x 1)3 , D : x
0, 及 x 1,
在 x0 也连续
例如, sin x ,cos x在 ( , ) 连续
故 tan x , cot x , sec x ,
在定义域内也连续
csc x
即 三角函数 在其定义域内连续.
二、反函数与复合函数的连续性 定理2 单调连续的函数 有单调连续的反函数. 例如, y sin x在[
, ]上 单调增加且连续 2 2 故 y arcsin x 在[1,1]上也是 单调增加且连续
u a
0
A.
定理3 若 lim g ( x )
x x0
a , u g ( x ), f ( u)在a 连续
u a
则有 lim f [ g ( x )] lim
x x0
f ( u) f (a) f [ lim g ( x )] x x
0
意义
1.极限符号可以与函数符号互换;
1 x0 0, u在x0 连续 u( x0 ) x0
y sin u 在 ( , ) 连续
1 1 sin(u) 在 连续 y sin 在x0 连续 x x0 1 在 ( , 0) (0, ) 内 连续 y sin
x
三、初等函数的连续性
定理5 基本初等函数在其定义域内 连续. 1. 三角函数 在其定义域内是连续的.
连续函数的运算与初等函数的连续性
结论 反三角函数在其定义域内皆连续.
指数函数 y e x (, )内单调增加且连续， 对数函数 y ln x在(0, )内单调增加且连续 .
y
y ex
1
o1
y ln x
x
2.复合函数的连续性
定理3
若
lim
x x0
g(
x)
u0
,
而函数 f (u)在点u0连续,
lim
x x0
f [g( x)] lim uu0
y sin 1 在(, 0) (0, )内连续. x
y
y sin 1
x
o
x
三、初等函数的连续性
已有结果： (1) 三角函数在它们的定义域内是连续的. (2) 反三角函数在它们的定义域内是连续的. (3) 指数函数 y a x (a 0, a 1)在(, )内连续.
(4) 对数函数 y loga x (a 0, a 1)在(0, )内连续. (5)幂函数 y x在定义区间内连续.
基本初等函数在定义区间内连续.
y x e ln x
y eu , u ln x.
在(0, )内连续, 讨论不同值,
(均在其定义域内连续 )
基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续
一切初等函数 在定义区间内 连续
例如
y 1 x2 的连续区间为[1,1].(端点为单侧连续) y lnsin x的连续区间为(2n π, (2n 1) π ) , n Z.
lim sin x 1， x0 x
x0
cos x1
解:
原式
lim
[1
(cos
x
1
1)]cos x1
高等数学1.10连续函数的运算与初等函数的连续性教师教材.ppt
limf [j(x)]=f(u0)=f [j(x0)]．
x x0
青苗辅导
8
例 4 讨论函数 y=sin1 的连续性． x
解 函数 y=sin1 可看作是由 y=sin u 及 u1= 复合而成的．
x
x
sin u 在(-, +)内连续，1 在(-, 0)和(0, +)内连续． x
由定理 6，函数 sin1 在无限区间(-，0)和(0，+)内是连续的． x
青苗辅导
9
三、初等函数的连续性
基本的连续函数： 三角函数： sin x ， cos x ， tan x ， cot x ； 反三角函数：arcsinx ，arccosx ，arctanx ，arccotx ； 指数函数：a x (a>0，a 1)； 对数函数：log ax (a>0，a 1)； 证明 指数函数ax (a>0，a1)对于一切实数x 都有定义，且
例 2 由于 y=sin x 在闭区间[- ， ]上单调增加且连续，
22 加且连续，所以它的反函数y=arcsin x 在区间[-1,1]上也是单调 增加且连续的．
青苗辅导
4
同样，y=arccos x 在区间[-1，1]上也是单调减少且连续； y=arctan x 在区间(-，+)内单调增加且连续；y=arccot x 在区 间(-，+)内单调减少且连续．
点 x0=0 是初等函数 f(x)= 1 - x2 的定义区间[-1，1]上的点，
所以lim 1 - x2 = 1 =1； x0
又如
点 x 0=
2
是初等函数 f(x)=ln sin x
的一个定义区间（0，）内
高等数学(同济大学版)课程讲解1.9-1.10连续函数的性质
课时授课计划课次序号：07 一、课题：§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性§1.10 闭区间上连续函数的性质二、课型：新授课三、目的要求：1.了解连续函数的和、差、积、商的连续性；2.了解反函数和复合函数的连续性；3.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质．四、教学重点：利用复合函数及初等函数的连续性求函数极限，利用零点定理证明方程解的存在性.教学难点：闭区间上连续函数的性质.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–9 3（4），4（3）（4），5；习题1–9 1八、授课记录：九、授课效果分析：复习1.连续的定义：00lim ()()x x f x f x →=,三个条件缺一不可；2.间断点的分类：第一类(可去型、跳跃型)，第二类（无穷型、振荡型）. 下面介绍连续函数的运算法则和闭区间上连续函数的几个性质．第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的四则运算由连续函数的定义及极限的运算法则和性质，立即可得到连续函数的下列运算法则． 定理1 若函数f （x ），g （x ）均在点x 0处连续，则()()()()()()f x f xg x f x g x g x ±⋅、、 （g （x 0）≠0），均在点x 0处连续．如多项式函数0()nk n k k P x a x ==∑在（-∞，+∞）内连续，正切函数sin tan cos xx x=在其定义区间内连续．二、反函数的连续性定理2 若函数()y f x =在区间x I 内单调增加（减少）且连续，则其反函数1()x f y -=在相应区间{(),}y x I y y f x x I ==∈内单调增加（减少）且连续．从几何上看，该定理是显然的，因为函数()y f x =与其反函数1()x f y -=）在xoy 坐标面上为同一条曲线．如sin y x =在[,]22ππ-上单调增加且连续，其反函数arcsin x y =在[1,1]-单调增加且连续．三、复合函数的连续性由连续函数的定义及复合函数的极限定理可以得到下面有关复合函数的连续性定理． 定理3 设函数[()]y f x ϕ=是由函数(),()y f u u x ϕ==复合而成的复合函数，0()f g U x D ⊆．如果()u x ϕ=在点0x 连续，又()y f u =在相应点00()u x ϕ=处连续，则[()]y f x ϕ=在点0x 处连续．推论 若在某极限过程有lim ()x ϕ=A ，且y =f （u ）在u =A 处连续， 则lim [()]f x ϕ=f （A ）， 即 lim [()][lim ()]f x f x ϕϕ= 例1 求1limsin(1)xx x→∞+．解 11lim sin(1)sin lim(1)sin e xx x x xx →∞→∞⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭．例2 试证0ln(1)lim1x x x→+=．证 因为ln y u =(u ＞0)连续, 故100ln(1)lim lim ln(1)x x x x x x →→+=+100ln(1)lim ln lim(1)ln e =1x x x x x x →→⎡⎤+==+=⎢⎥⎣⎦． 由定理3及其推论,我们可以讨论幂指函数[]()()g x f x 的极限问题． 幂指函数的定义域要求()0f x >．当(),()f x g x 均为连续函数,且()0f x >时, []()()g x f x 也是连续函数．在求[]()lim ()g x x x f x →时,有以下几种结果:(1) 如果0lim ()x x f x →=A ＞0, 0lim ()x x g x →=B ,则[]()lim ()g x x x f x →=A B ．(2) 如果0lim ()x x f x →=1, 0lim ()x x g x →=∞,则[]()lim ()g x x x f x →=[]0lim ()1()ex x f x g x →-.(3) 如果0lim ()x x f x →=A ≠1(A ＞0), 0lim ()x x g x →=±∞,则[]()lim ()g x x x f x →可根据具体情况直接求得．例如，0lim ()x x f x →=A ＞1，0lim ()x x g x →=+∞，则[]()lim ()g x x x f x →=+∞． 又如,0lim ()x x f x →=A (0＜A ＜1), 0lim ()x x g x →=+∞,则[]()lim ()g x x x f x →=0．上面结果仅对x →x 0时写出,实际上这些结果对x →∞等极限过程仍然成立．例3 求10sin 2lim xx x x +→⎛⎫ ⎪⎝⎭．解 因为100sin 2lim 2,lim(1)1xx x x x x +→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭, 所以 110sin 2lim 22xx x x +→⎛⎫== ⎪⎝⎭．例4求21lim21xxxx→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭．解 由于11lim212x x x →∞+=+，2lim x x →∞=+∞，因此 21lim 021x x x x →+∞+⎛⎫= ⎪+⎝⎭． 例5 求1lim 1xx x x →∞-⎛⎫⎪+⎝⎭． 解 由于1lim 11x x x →∞-=+，lim x x →∞=∞，则12lim 1lim 2111lim e e e 1x x xx x x x x x x x →∞→∞-⎛⎫-- ⎪-+⎝⎭+→∞-⎛⎫=== ⎪+⎝⎭． 例5也可按下列方法求解：12111e lim lim e 1e 11xx x x x x x x x --→∞→∞⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 四、初等函数的连续性我们遇到的函数大部分为初等函数，它们是由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算而成的．由函数极限的讨论以及函数的连续性的定义可知：基本初等函数在其定义域内是连续的．由连续函数的定义及运算法则，我们可得出：初等函数在其定义区间内是连续的．由上可知，对初等函数在其定义区间内的点求极限时，只需求相应函数值即可．例6 求21ln(43)lim arctan x x x x→+-．解 初等函数2ln(43)()arctan x x f x x+-=在x =1的某邻域内有定义，所以21ln(43)1ln(43)4lim arctan arctan1x x x x →+-+-==π． 例7 求22041lim 235x x x x →--+．解 220414011lim 23520305x x x x →-⨯-==--+⨯-⨯+5． 第十节 闭区间上连续函数的性质在闭区间上连续的函数有一些重要性质．它们可作为分析和论证某些问题时的理论根据．这些性质的几何意义十分明显，我们均不给予证明．一、最值定理1.最值的定义定义1 设函数()y f x =在区间I 上有定义，如果存在点x 0∈I ，使x I ∀∈，有0()()f x f x ≥（或0()()f x f x ≤），则称0()f x 为函数()y f x =在区间I 上的最大（小）值，记为0()max ()x If x f x ∈=（或0()min ()x If x f x ∈=）． 2. 最值定理一般说来，在一个区间上连续的函数，在该区间上不一定存在最大值或最小值． 但是如果函数在一个闭区间上连续，那么它必定在该闭区间上取得最大值和最小值．定理1 若函数()y f x =∈C ［a ，b ］，则它一定在闭区间［a ，b ］上取得最大值和最小值．设f (x )∈C ［a ,b ］，(1) f (x )为［a ,b ］上的单调函数由图1-40可看出，此时函数f (x )恰好在区间［a ,b ］的端点a 和b 取得最大值和最小值：图1-40y =f (x )↑,x ∈［a ,b ］，则[],max x a b ∈f (x )=f (b ), [],min x a b ∈f (x )=f (a )；y =f (x )↓,x ∈［a ,b ］，则[],max x a b ∈f (x )=f (a ), [],min x a b ∈f (x )=f (b )．(2) f (x )为［a ,b ］上的一般连续函数在这种情形下，总可以将［a ,b ］分成有限个小区间，使函数f (x )在每个小区间上保持单调增加或单调减少．于是，这有限个小区间的端点处的函数值中的最大者和最小者即分别为函数f (x )在［a ,b ］上的最大值和最小值，如图1-41所示．最大值为f (b )，而最小值为f (a 4)．图1-413. 有界性定理定理1表明：若()y f x =在闭区间［a ，b ］上连续，则存在x 1，x 2∈［a ，b ］，使得 12[,][,]()min (),()min ()x a b x a b f x f x f x f x ∈∈==．于是，对任意x ∈［a ，b ］，有f （x 2）≤ f （x ）≤ f （x 1），若取M =max{12(),()f x f x }，则有()f x ≤M ，从而有下述结论．定理2 若函数()y f x =∈C ［a ，b ］，则f （x ）在［a ，b ］上有界．二、介值定理1. 零点定理（根的存在定理）图1-42定理3 若函数()y f x =∈C （［a ，b ］），且f （a ）·f （b ）＜0，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0f ξ=．零点定理的几何意义十分明显：若函数()y f x =在闭区间［a ，b ］上连续，且f （a ）与 f （b ）异号，则函数()y f x =对应的曲线至少穿过x 轴一次（见图1-42）．例1 证明方程x 5-3x =1在x =1与x =2之间至少有一根．证 令f (x )=x 5-3x -1，[]1,2x ∈，则f (x )∈C （［1,2］），且f (1)=-3,f (2)=25,故由零点定理，至少存在一点x 0∈(１,２)，使得f (x 0)=0，即方程x 5-3x =1在x =1与x =2之间至少有一根．例2 证明方程x =a sin x +b (a ＞0,b ＞0)至少有一个不超过a +b 的正根．证 设f (x )=x -a sin x -b ,[]0,x a b ∈+ ,则f (x )∈C （［0,a +b ］），而f (0)=0-a sin 0-b =-b ＜0,f (a +b )=a +b -a sin (a +b )-b ＝a ［1-sin (a +b )］≥0．1) 如果f (a +b )=0,则x 0=a +b 就是原方程的根．2) 如果f (a +b )＞０，则由零点定理，至少存在一点0x '∈(0,a +b ),使得f (0x ')=0． 综上所述，方程x =a sin x +b 在（０，a +b ］上至少有一根，即至少有一个不超过a +b 的正根．例3 设f (x )∈C （［a ,b ］），f (a )=f (b )=0，且存在正常数δ和δ１，使f (x )在(a ,a +δ)及(b -δ１,b )内是严格单调增加的，证明至少存在一点x 0∈(a ,b )，使得f (x 0)＝０．证 由于f (x )∈C （［a ,b ］），f (a )=0,且f (x )在(a ,a +δ)上严格单调增加，故至少存在一点a 0∈(a ,a +δ),使得f (a 0)＞f (a )＝０．同理，至少存在一点b 0∈(b -δ１，b ),使得f (b 0)＜f (b )＝０． 由f (x )∈C （［a 0,b 0］），f (a 0)f (b 0)＜0可知，至少存在一点x 0∈（a 0,b 0）⊂（a ,b ）,使得f (x 0)=0．图1-432. 介值定理由零点定理并运用坐标平移的方法，可以得到介值定理． 定理4 设f (x )∈C （［a ,b ］），f (a )=A ,f (b )=B ,且A ≠Ｂ，则对于A ，B 之间的任意一个数C ，至少存在一点x 0∈(a ,b )，使得f (x 0)=C ．该定理说明，当x 在［a ,b ］上变动时，［a ,b ］上的连续函数所取得的函数值必完全充满某个区间［A ，Ｂ］(图1-43)．由介值定理我们还可得出:推论 设()y f x =∈C ［a ，b ］，[,]max ()x a b M f x ∈=，[,]min ()x a b m f x ∈=，则f （x ）必取得介于M 与m 之间的任何值．例4 设f (x )∈C (［a ,b ］)，a ＜x 1＜x 2＜…＜x n ＜b ，证明：至少存在一点x 0∈［x 1,x n ］，使得 f (x 0)=12()()()n f x f x f x n+++．证 因为f (x )∈C （［x 1,x n ］），所以f (x )在［x 1,x n ］上有最大值和最小值存在．设M ＝1[,]max n x x x ∈f (x ),m =1[,]min n x x x ∈f (x )，则 m ≤f (x i )≤M , i =1,2,…,n ．从而 m ≤12()()()n f x f x f x n+++≤M ．由介值定理的推论，至少存在一点x 0∈［x 1,x n ］，使f (x 0)＝12()()()n f x f x f x n+++．应该注意，以上四个定理的共同条件“f (x )在闭区间［a ,b ］上连续”不能减弱．将区间［a ,b ］换成(a ,b )，或去掉“连续”的条件，定理的结论都不一定成立．比如，y =1x在(0，1)连续，但1x 在(0，1)内不能取到最大值，也无上界．又比如，f (x )= ,0,1,0x x x ≠⎧⎨=⎩ 在［-1,1］上有定义，仅在x =0处不连续，(1)(1)0 f f -⋅<，但不存在x 0∈(-1,1)，使f (x 0)=0．课堂总结1.连续函数的运算法则：四则运算,反函数、复合函数、初等函数的连续性；2.闭区间上连续函数的性质：最值定理、有界性定理、零点定理、介值定理.友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 及 第十节 闭区间上连续函数的性质 ㈠．本课的基本要求了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大最小值定理），掌握连续函数的运算。
㈡．本课的重点、难点连续函数的运算为重点，闭区间上连续函数的性质为难点㈢．教学内容一．连续函数的运算1.连续函数的和、差、积、商的连续性函数的连续性是通过极限来定义的，因此由极限运算法则和连续的定义可得到下列连续函数的运算法则：定理1（四则运算）设)()(),()(),()()(),(0x g x f x g x f x g x f x x g x f ⋅±处连续，则均在（在商的情形下要求0)(0≠x g ）都在0x 处连续。
说明：连续函数的和、差、积、商（若分母不为0）都是连续函数。
∵x x x x cot tan ),(cos sin 、内连续，均在和∴+∞-∞在其定义域内也是连续的。
2.反函数与复合函数的连续性定理 2 如果函数)(x f y =在区间x I 上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数)(1y f x -=也在对应的区间}),(|{x y I x x f y y I ∈==上单调增加（或单调减少）。
（证略） 例 由于x y sin =在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上单调增加且连续，所以它的反函数x y arcsin =在闭区间]1,1[-上也是单调增加且连续的。
类似可得：x y arccos =在闭区间]1,1[-上单调减少且连续；x y arctan =在区间),(+∞-∞内单调增加且连续；x arc y cot =在区间),(+∞-∞内单调减少且连续。
总之反三角函数在它们的定义域内都是连续的。
定理3（复合函数极限定理） 设函数)(x u ϕ=当0x x →时极限存在且等于a ，而函数)(u f y =在点a u =连续，那么复合函数)]([x f y ϕ=当0x x →时极限存在，且等于)(a f ，即)()]([lim 0a f x f x x =→ϕ。
连续函数运算法则和初等函数连续性
指数函数和对数函数的连续性
指数函数
$f(x) = a^x$，其中 $a > 0, a neq 1$。 对于任意 $x_0$，有 $f(x_0) = a^{x_0}$， 因此，指数函数在定义域内是连续的。
VS
对数函数
$f(x) = log_a x$，其中 $a > 0, a neq 1$。 对于任意 $x_0 > 0$，有 $f(x_0) = log_a x_0$，因此，对数函数在定义域内也是连 续的。
如果函数在区间内的每一点都连续，则函数在该区间上连续 。
连续函数的性质
局部性质
如果函数在某点连续，则在该点 附近具有局部性质，如局部有界 性、局部单调性等。
整体性质
如果函数在区间上连续，则在整 个区间上具有整体性质，如整体 有界性、整体单调性等。
连续函数的图像
01
连续函数的图像是连续的曲线或 折线，没有间断点。
应用
可以用来证明一些不等式和求解方程的近似解。
开区间上连续函数的不动点定理
不动点定理
应用
如果函数在闭区间上连续，且在该区间内存 在一个不动点，即函数值等于该点的函数值， 则在该区间内至少存在一个不动点。
可以用来证明一些数学问题，如解方程的近 似解和求解优化问题等。
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05
初等函数在开区间上的连续性
开区间上连续函数的性质
极限性质
如果函数在某点的极限存在，则该点是函数 的连续点。
局部性质
如果函数在某点的左右极限相等，则该点是 函数的连续点。
增减性
如果函数在某区间内单调增加或单调减少， 则该区间内函数是连续的。
开区间上连续函数的介值定理
19连续函数的运算与初等函数的连续性
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三、初等函数的连续性 ★ 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.
★ 指数函数 y a x (a 0, a 1)
在(,)内单调且连续;
★ 对数函数 y log x (a 0, a 1) a 在(0,)内单调且连续;
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二、反函数与复合函数的连续性
定理4 如果函数y=f(x),在区间Ix上单调增加(或单调减少) 且连续,那么它的反函数x=φ(y)也在对应的区间
Iy={y|y=f(x),x ∈Ix}上单调增加(或单调减少)且连续
例1 y sin x在[ , ]上单调增加且连续,
22 故 y arcsin x 在[1,1]上也是单调增加且连续. 同理 y arccos x 在[1,1]上单调减少且连续; y arctan x, y arccot x 在[,]上单调且连续.
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例6 求 lim a x 1 .
x0
x
解 令 ax 1 t,
则 x log (1 t), a
当x 0时, t 0.
原式 lim t y0 log (1 t )
a
1
lim t0
1
log (1 t)tห้องสมุดไป่ตู้
a
lna
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9
1 6 66
定理4 设函数u ( x)在点x x 连续, 且 0
( x ) u , 而函数y f (u)在点u u 连续,
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x
定理3 设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成
U (x0 ) D f g 若 lim g x) u0 而函数 yf(u)在 u0 连续 则
x x0
x x0
lim f [ g ( x)] lim f [u ] f (u0 ) f [lim g ( x)] >>>
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定理4 设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 U(x0)Df o g 若函数 ug(x) 在点 x0 连续 函数 yf(u)在 点u0g(x0)连续 则复合函数yf[g(x)]在点x0也连续 例如, u
1 在 ( , 0) (0, + )内连续, x
u u0 x x0
x 3 2 9 x 3 x xx33 lim xx33 11 x3 1 解 lim x3 解 lim 222 lim 222 解 lim 解 lim xxx 3 xx 9 33 x 9 xxx 3x 9 33xx 9 9 9 66 6 提示: 注: x 3 3 (1)把定理中的xx0换成xx可得类似的定理 y 2 是由 y u 与 u 2 复合而成的 x 9 x 9 (2)定理的结论也可写成 lim 在点x)]1f 连续g (x)] lim x2 3 1 函数 y x u0 f [g ( u [xlim0 x x 3 x 9 6 x 6
例3 例 3 求 lim
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定理3 设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成
U (x0 ) D f g 若 lim g x) u0 而函数 yf(u)在 u0 连续 则
x x0
x x0
lim f [ g ( x)] lim f [u ] f (u0 ) f [lim g ( x)] >>>
u u0 x x0
意义 1.极限符号可以与函数符号互换; 2.变量代换( u ( x ))的理论依据 .
例如,
1 求 limsin 1 + x x x 1 sinlim 1 + x x sine
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x
视为y sin u, 1 u 1 + , x
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练习5 设 lim u( x ) A 0, lim v ( x ) B , 则 例
x x0 x x0 x）
lim u( x )
x x0
x x0
lim v ( x )
AB .
解 ：u( x ) v ( x ) e v ( x ) ln u( x ) ,由e t 及 四 则 运 算 连 续 性
u
在(0, + )内连续, 讨论不同值,
(均在其定义域内连续 )
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利用连续性求极限举例
1+ x2 1 或 1 + x 2 1 ~ 1 x 2 例5 例 7 求 lim 2 x0 x 1+ x2 1 lim ( 1+ x2 1)( 1+ x2 +1) 解 解 lim x0 x 0 x x( 1+ x2 +1) x 0 0 lim 2 +1 2 x0 1+ x
复习
常用等价无穷小: 当x 0时, sin x ~ x, arcsin x ~ x, tan x ~ x,
x
arctan x ~ x,
1 2 ln(1 + x) ~ x, e 1 ~ x, cos x 1 ~ x , 2 (1 + x) 1 ~ x.
函数的连续性定义
yf(x0+x)f(x0)
y
y 可去型
y 跳跃型
o
x0
x
o y
x0
x
o
x0
x
o
x 振荡型
无穷型
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§1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性
一、连续函数的和、积及商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性
三、初等函数的连续性
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铃
一、连续函数的和、积及商的连续性
定理1 设函数f(x)和g(x)在点x0连续 则函数 f (x) f(x)g(x) f(x)g(x) (当 g (x0 ) 0 时) g(x) 在点x0也连续 >>> 例1 因为sin x和cos x都在区间( +)内连续 所以tan x和cot x在它们的定义域内是连续的 三角函数 sin x、cos x、sec x、csc x、tan x、cot x 在 其有定义的区间内都是连续的
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定理3 设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成
U (x0 ) D f g 若 lim g x) u0 而函数 yf(u)在 u0 连续 则
x x0
x x0
lim f [ g ( x)] lim f [u ] f (u0 ) f [lim g ( x)] >>>
1 当<x<0 和 0<x<+时是连续的 x 根据定理 4 函数 sin 1 在无限区间( 0)和(0 +) x 内是连续的
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三、初等函数的连续性
定义区间是指包含在定义域内的区间. 结论 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的 一切初等函数在其定义区间内都是连续的
1. 三角函数 2. 反三角函数 在其定义域内是连续的.
3. 指数函数 y a x
(a 0, a 1) 在( ,+)内单调且连续;
(a 0, a 1) 在(0,+)内单调且连续 ;
loga x
4. 对数函数 y loga x
5. 幂函数 y x a
y a , u loga x.
x x0
lim u( x ) v ( x ) lim e v ( x ) ln u( x ) e x x0
x x0
lim
v ( x ) ln u ( x )
e x x0
lim
v ( x ) ln
lim u ( x ) x x0
e B ln A A B
另解:
a 1 e
x ln a x
1
ln a x 0( x 0时 )
~
lna x x lna
x lna lna 原式 lim x
特别地
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e 1 lim 1. x 0 x
x
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思考: 求
解: 原式
3 sin x ln(1 + 2 x )
3 2x x
说明: 若 lim u ( x) 0 , lim v( x) , 则有
y sin u 在(, + )内连续,
1 y sin 在 ( , 0) (0, + )内连续. x
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例4 讨论函数 y sin 1 的连续性 例 4 x 解 函数 y sin 1 是由 ysin u 及 u 1 复合而成的 解 x x sin u 当<u<+时是连续的
例6 求 lim log a (1+ x) 例 8 x 0 x 1 log a (1+ x) 解 lim lim log a (1+ x) x log a e 1 解 x 0 x 0 x ln a
特别地
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ln( 1 + x ) lim 1. x 0 x
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sin x 解 ： 在 （ ， 上 ， ( x ) 0） f 是 初 等 函 数 ， 处 处 连； 续 x e2x 1 在 （ ， ） 上 ， ( x ) 0 + f 也 是 初 等 函 数 ， 处 处续 ； 连 2x
e2x 1 2x 在 点x 0处 ，i m f ( x ) l i m l + lim 1 + + x 0 x 0 x 0 2 x 2x si n x l i m f ( x) l i m 1 lim f ( x ) 1 f (0), x 0 x 0 x 0 x f (x )在定义域上处处连续。
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二、反函数与复合函数的连续性
定理2 如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续 那么它的反函数xf 1(y)在区间Iy{y|yf(x) xIx}上也是 单调增加(或减少)且连续的 例2 例 2 由于 ysin x 在区间 [ , ] 上单调增加且连续 2 2 所以它的反函数yarcsin x 在区间[1 1]上也是连续的 同样 yarccos x 在区间[1 1]上是连续的 yarctan x 在区间( +)内是连续的 yarccot x 在区间( +)内是连续的
x x0 x x0
x x0
lim 1 + u ( x)
v( x)
e
e
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lim v( x) u ( x)
x x0
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sin x x0 x 练习 讨论函数f ( x ) 1 例4 x 0 的连续性。 2x e 1 2x , x 0
u u0 x x0