方差分析讲义统计学原理

鸡饲料试验数据
ห้องสมุดไป่ตู้饲料A
鸡 重（克）
A1 1073 1009 1060 1001 1002 1012 1009 1028 A2 1107 1092 990 1109 1090 1074 1122 1001
A3 1093 1029 1080 1021 1022 1032 1029 1048
本例中，我们要比较的是三种饲料对鸡的增肥 作用是否相同。为此，我们把饲料称为因子，记为 A，而三种不同的配方称为因子A的三个水平，记为 A1, A2, A3，使用配方Ai下第 j 只鸡60天后的重量用 yij表示，i=1, 2, 3, j=1, 2,, 10。
方差分析的应用条件
（1）各观测值相互独立，并且服从正态分布； （2）各组总体方差相等，即方差齐性。
方差分析的用途
1 用于两个或多个均数间的比较 2 分析两个或多个因素的交互作用 3 回归方程的假设检验 4 方差齐性检验
第二节 单因素方差分析 完全随机设计资料的方差分析
一、完全随机设计 完全随机设计是采用完全随机化的分组方法，
③组内变异（同一处理组内部试验数据大小不等）
用组内离均差平方和 SS 组内 来表示。
g ni
SS组内 （Xij Xi)2 i1 j1
三个变异之间的关系：
S总 SS组 S 间 S组 S 内
v总v组间 v组内
其中： v总N1 v组间g1 v组内Ng
离均差平方和只能反映变异的绝对大小。变异程 度除与离均差平方和的大小有关外，还与其自由度有 关，由于各部分自由度不相等，因此各部分离均差平 方和不能直接比较，须除以相应的自由度，该比值称 均方差，简称均方（MS）。
我们的目的是比较三种饲料配方下鸡的平均重 量是否相等，为此，需要做一些基本假定，把所研 究的问题归结为一个统计问题，然后用方差分析的 方法进行解决。
第一节 方差分析简介
方差分析又叫变异数分析，1928年由英国 统计学家Ronald Fisher首先提出来的， 所以方差分析又叫F检验。
方差分析主要内容
i1
jn i1Xij)2/N(N X)2
②组间变异（由于所接受的处理因素不同而致各组 间大小不等）用组间离均差平方和 SS 组间 来表示。
S组 S 间i g1ni(XiX)2i g1T nii2C
各组均数
X
之间相差越大，它们与总均数
i
X
的
差值就越大， SS组间 越大；反之，SS 组间 越小。
甲组
4.2
3.3
3.7
4.3
4.1
3.3
ni
6
乙组 4.5 4.4 3.5 4.2 4.6 4.2
6
丙组 5.6 3.6 4.5 5.1 4.9 4.7 6
从以上资料可看出，三个组的数据各不相同，这 种差异（总变异）可以分解成两部分：
即 （1）组间变异：甲、乙、丙三个组大鼠全肺湿重 各不相等（此变异反映了处理因素的作用，以及随 机误差的作用 ）
（2）组内变异：各组内部大鼠的全肺湿重各不相 等（此变异主要反映的是随机误差的作用）
各部分变异的计算：
①总变异（全部试验数据间大小不等）用总离均
差平方和 SS 总 来表示。
g n i
g n i
S总 S （ X ijX )2 X i2j C X 2 C
i 1j 1
i 1j 1
其中
g
C(
理因素的作用，则组内变异和组间
变异都只反映随机误差的大M小S 组，内此
时组间均方MSM组S间组间和组内均方MS 组内 大小相当，即 F 值则接近1，各组 均数间的差异没有统计学意义；反
之，如果处理有作用，则组间变异
不仅包含随机误差，还有处理因素
引起的变异 ( 组间变异主要反映处 理因素的作用 )，此时组间均方
将全部试验对象分配到g个处理组，各处理组分别 接受不同的处理，试验结束后比较各组均数之间差 别有无统计学意义，以推断处理因素的效应。
方差分析的基本概念
将衡量试验结果的标志称为试验指标。 将影响试验结果的条件称为因素。 因素在试验中所处的不同状态称为该因 素的水平。
只考察一个影响条件即因素的试验称为单因素 试验，相应的方差分析称为单因素方差分析。
M组 S间 S组 S 间 /v组间
M组 S内 S组 S 内 /v组内
MS的大小就反映了各部分变异的平均大小。
方差分析就是通过比较组内均方MS组内 和组间 均方MS组间 的大小关系来判断处理因素有无效应。
检验统计量： F MS 组间 MS 组内
v1 v组间 v2 v组内
如果各组的总体均数相等，即无处
MS组间 远大于组内均方 MS 组内，则
F值远大于1，各组均数间的差异有 统计学意义。故依据 F 值的大小可 判断各组之间有无差别。
可见，方差分析的基本思想就是
根据实验设计的类型，将全部测量值总的变异分解 成两个或多个部分，每个部分的变异可由某个因素 的作用（或某几个因素的作用）加以解释，通过比 较各部分的均方与随机误差项均方的大小，借助 F 分布来推断各研究因素对实验结果有无影响。
单因素方差分析（即完全随机设计资料的方差分析）、 两因素方差分析（即随机区组设计资料的方差分析）和 三因素方差分析（即拉丁方设计资料的方差分析）及 多个样本均数间的多重比较。
一、方差分析的基本思想
方差分析的基本思想借助以下例题予以说明：
例： 为研究煤矿粉尘作业环境对尘肺的影响， 将18只大鼠随机分到甲、乙、丙3个组，每组 6只，分别在地面办公楼、煤炭仓库和矿井下 染尘，12周后测量大鼠全肺湿重（g），数据 见表9—2，问不同环境下大鼠全肺湿重有无 差别？
二、变异分解
完全随机设计资料的方差分析表 变异来源 自由度 SS MS F
总变异 N1
X2 C
组间 组内
g 1
Ng
g Ti 2 C
i1 ni
SS总SS组间
S S组间/ v组间 F MS 组间 MS 组内
SS组内/ v组内
单因素方差分析表
方差来源 离差平方和 自由度 均方
此处加标题
方差分析统计学原理
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例在饲料养鸡增肥的研究中，某饲料研究所提出 三种饲料配方：
A1是以鱼粉为主的饲料， A2是以槐树粉为主的饲料， A3是以苜蓿粉为主的饲料。 为比较三种饲料的效果，特选 24 只相似 的雏鸡随机均分为三组，每组各喂一种饲料， 60天后观察它们的重量。试验结果如下表所示：