第七节 无穷小比较

例如, 例如
2x 2 tan 2 x = lim = lim x→0 5x 5 x→0 sin 5x
说明: 说明 设对同一变化过程 , α , β 为无穷小 , 由等价 无穷小的性质, 可得简化某些极限运算的下述规则. (1) 和差取大规则 若 β = o(α) , 则α ± β ~ α 和差取大规则: x 1 sin x = = lim 例如, lim 3 3 x→0 3x x→0 x + 3x (2) 和差代替规则: 若 α ~ α ′, β ~ β ′ 且 β 与α 不等价, 和差代替规则 α−β α′ − β ′ = lim , 则α − β ~ α ′ − β ′, 且 lim
例1. 证明: 当 证:
时,
～
(a − b) (a n−1 + a n−2b + L + bn−1) a −b =
n n
～
定理1. 定理
证:
～
β = α + o(α )
传递性 β lim = 1 α β β −α lim( − 1) = 0, 即 lim =0 α α β − α = o(α ) , 即 β = α + o(α )
例如 , 当 x → 0 时
x3 = o( 6x 2 ) ; sin x ～ x ; tan x ～ x arcsin x ～x
又如 ，
1 − cos x lim = 2 x→0 x
故 时
2x 2 sin 2
是关于 x 的二阶无穷小, 且
1 x2 1− cos x ～ 2
解:
1 x2 )3
x−x 原式 = lim 3 x→0 x
原式
= lim
x ⋅ 1 x2 2 x3
x→0
内容小结
1. 无穷小的比较 设 α , β 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 α ≠ 0
β 是 α 的高阶无穷小 β 是 α 的低阶无穷小 β 是 α 的同阶无穷小 β 是 α 的等价无穷小 β 是 α 的 k 阶无穷小
常用等价无穷小 :
～ ～
2. 等价无穷小替换定理
～ ～
～
作业 P59 3
(2);
4 (2) , (4)
第七节 无穷小的比较
sin x 1 x2 lim = , = 0, lim x→0 3x 3 x→0 3x sin x lim 2 = ∞ , x→0 x
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
第一章
商
2 引例 . x → 0时, 3 x , x , sin x 都是无穷小, 但
定义. 定义 设 α , β 是自变量同一变化过程中的无穷小,
～
例如, 例如 x → 0 时,
1 2 sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ x, 1 − cos x ~ x 2
tan x = x + o( x)
故 x → 0 时,
定理2 定理 . 设
且
存在 , 则
β lim α
证:
无穷小代换
β β ′ α′ β lim = lim α β ′ α′ α β β′ β′ α′ = lim lim lim = lim β′ α′ α′ α
2x − x tan 2x − sin x = lim 1 例如, lim =2 1 + x −1 x→0 x→0 x 2
γ
γ
但 α ~ β 时此结论未必成立 .
（见例2）
tan x − sin x 例2. 求 lim . 3 x→0 x
解:
(1 + −1 例3. 求 lim . x→0 cos x − 1
β 若 lim = 0 , 则称 β 是比 α 高阶 高阶的无穷小, 记作 α β = o(α ) β 若 lim = ∞ , 则称 β 是比 α 低阶 低阶的无穷小; α β 若 lim = C ≠ 0 , 则称 β 是 α 的同阶 同阶无穷小; 同阶 α
β 若 lim k = C ≠ 0 , 则称 β 是关于 α 的 k 阶无穷小; α β 若 lim = 1, 则称 β 是 α 的等价 等价无穷小, 记作 α ~ β 等价 α 或 β ~α