第13课时二项式系数的性质及应用

第13课时二项式系数的性质及应用(1) 教学目标：
1.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用；
2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；
3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，培养观察发现、抽象概括及分析问题和解决问题的能力.
教学重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用. 教学难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用. 教学过程：
一. 问题情境：
1．二项式定理及其特例：
（1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*
+=+++++∈ ，
（2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++ .
2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=.
3.当n 依次取 ,3,2,1,0时,观察n b a )(+展开式的二项式系数:(见课本图) 问题:二项式系数有什么特点? 二. 学生活动 从图中我们发现:
(1) 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等;
(2) ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和; (3)表中每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大;
(4)第1行为,210=第2行的两数之和为,21第3行的三数之和为,,22 第7行的各数之和为.26
三. 建构数学
一般地, ()n a b +展开式的二项式系数n
n n n C C C ,,,10 有如下性质:
(1) 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等:m n m
n n C C -=;
直线2
n r =是图象的对称轴．(如图)
(2);11m
n m n m n C C C +-=+
(3)增减性与最大值:(证明见课本)
∵,1
)!1()()2)(1(1+-⋅=+---=+r r n C r r n n n n C r
n r n
∴1+r n C 相对于r n C 的增减情况由1
+-r r n 决定，
11
>+-r r n 2
1-<
⇔n r ，
当2
1-<
n r 时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取
得最大值；
当n 是偶数时，中间一项2n
n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项1
2n n C -，1
2n n C +取得最大值．
（4）各二项式系数和：
∵1(1)1n r r n
n n x C x C x x +=+++++ ， 令1x =，则0122n r n n n n n n C C C C C =++++++ .
四. 数学运用：
例1．证明:在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. (课本例1)
说明：由性质（4）及例1知02131
2n n n n
n C C C C -++=++= . 变式练习:已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，求：
（1）127a a a +++ ； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++ . 解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为
0127a a a a ++++
∴0127a a a a ++++ 1=-，
当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=- ， （2）令1x =， 0127a a a a ++++ 1=- ①
令1x =-，7
012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②
①-② 得：7
13572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7
132
+-
.
（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，
∴由（2）中①+② 得：7
02462()13a a a a +++=-+，
∴ 7
024613
2
a a a a -++++=
，
∴017||||||a a a +++= 01234567a a a a a a a a -+-+-+-
7
02461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=.
例2.求1021)1()1(）（x x x ++
++++ 展开式中3
x 的系数. 解：)
1(1]
)1(1)[1(1)1()1(10
10
2x x x x x x +-+-+=++
++++）（
=
x
x x )1()
1(11
+-+，
∴原式中3
x 实为这分子中的4
x ，则所求系数为7
11C .
例3. 已知n
+
展开式中的倒数第三项的系数为45，求：
⑴含x 3的项；⑵系数最大的项．
解: ⑴由题设知,452=-n n C 即,452=n C 得.10=n
2
11130
10363
34
12
110
10
7104
3
3
101130()(),3,6,12
210.
r r r
r
r r r T C x
x C x
r x T C x
C x x 令
得含的项为---+-=?===== ⑵系数最大的项为中间项，即5530
25
5
12
12610252.T C x
x -==
练习:（1+x ）6（1－x ）4展开式中含有x 3
项的系数为 . 15
五. 回顾小结 ：1．性质1是组合数公式r n r n n C C -=的再现，性质2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和； 2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法. 六.计数原理作业13答案:
1.(1)()20
25x y -的展开式中二项式系数的和为 ，各项系数的和为 ，二项式系数最大的项为第 项. 202，203，11
(2)
)
()
4
5
1
1x -展开式中4x 的系数为 ，各项系数之和为 ．45, 0
2．多项式12233()(1)(1)(1)(1)n n
n n n n f x C x C x C x C x =-+-+-++- （6n >）的展开式
中，6x 的系数为 .答案: 0．提示：()()16n
f x x n =->.
3.1)n
x
的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 ．
解: 展开式中只有第六项的二项式系数最大，
∴ 10n =，
373
4101
()T C x
==.
4.0n C +12n C +24n C ++ 2n n n C 729=，则123n
n n n n C C C C ++++= . 63
5．(x －1)11
展开式中x 的偶次项系数之和是 . 解:设f(x)=(x-1)11, 偶次项系数之和是
10242/)2(2
)
1()1(11
-=-=-+f f .
6.设(2x-3)4=4
4332210x a x a x a x a a ++++，则a 0+a 1+a 2+a 3的值为 . -15
7.
已知：50
2
50
01250(2)
a a x a x a x -
=++++ ，
求：22
02501349()()a a a a a a +++-+++ 的值.
8.求6
0.998的近似值，使误差小于0.001．
解：6601166
6660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++- ，
展开式中第三项为22
60.0020.00006C =，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，∴66011
660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=.
一般地当a 较小时(1)1n
a na +≈+. 9.在(x 2
+3x+2)5
的展开式中，求x 的系数. 解：∵5
552)2x ()1x ()2x 3x (++=++
∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 1
5=，
在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x 的项为x 80x 2C 4
15=
∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅，
∴此展开式中x 的系数为240.
求1032)x x 3x 31(+++展开式中系数最大的项. 10．求1032)x x 3x 31(+++展开式中系数最大的项.
解:(1+3x+3x 2+x 3)10=(1+x)30中的系数就是二项式系数，系数最大的项是T 16=15
1530
x C .
11．如图，某伞厂生产的“太阳”牌太阳伞的伞蓬是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有多少种? 2520种。