三角形的内角和与外角性质
三角形的内角的与外角和
三角形的内角的与外角和一、知识要点：1、三角形的内角和：三角形的内角和等于。
推论:直角三角形的两个锐角。
2、三角形的外角性质性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的的和。
性质2：三角形的一个外角任何一个和它不相邻的内角。
3、三角形的外角和等于。
二、随堂练习：1、判断并说明理由。
（1）、一块三角尺的内角和是180度，用两块完全一样的三角尺拼成一个三角形，这个三角形的内角和是360度。
（）（2）、三角形越大，它的内角和就越大。
（）（3）、一个三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是90°。
（）（4）、有一个三角形，两个内角分别是95°和91°。
（）（5）、三角形中最多只有一个直角或只有一个钝角。
（）（6）、钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和。
（）（7）、在直角三角形中，两个锐角的和等于90 º（）（8）、在钝角三角形中，两个锐角的和大于90 º（）（9）、三角形中有一个角是60 º，那么这个三角形一定是个锐角三角形。
（）（10）、一个三角形中一定不可能有两个钝角。
（）2、一个三角形中，有一个角是65°，另外的两个角可能是（）A.95°，20°B.45°，80°C.55°，60°3、一个等腰三角形，顶角是100°，一个底角是（）。
A.100°B. 40°C.55°4、一个等腰三角形，一个底角是顶角的2倍，这个三角形顶角（）度，底角（）度。
A. 36°B.72°C.45°D.90°③②①5、想一想，算一算。
6、求图中∠１、∠２、∠３的度数。
7．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形．8．△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）9．三角形的三个外角中最多有_______个锐角．10．如图2，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是_________11．求出图（1）、（2）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数12．（趣味题）如图，在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是向球门AB冲近，说明这是为什么？。
三角形的内角和与外角的关系
三角形的内角和与外角的关系三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条边和三个角组成。
在研究三角形时，我们经常会遇到内角和与外角的关系。
本文将探讨三角形的内角和与外角的相关性并展示其数学性质。
1. 内角和的定义与性质首先，我们来定义三角形的内角和。
对于任意一个三角形，它的三个内角分别记作∠A、∠B和∠C。
那么该三角形的内角和即为∠A+∠B+∠C。
在欧几里得几何中，我们知道三角形的内角和总是等于180度（或π弧度）。
这个性质可以通过如下证明得到：在平面上取一个固定点O作为原点，以OX和OY两条坐标轴分别表示水平和垂直方向。
我们设三角形的三个顶点分别为A(XA, YA)、B(XB, YB)和C(XC, YC)。
从点O引出三条射线OA、OB和OC，分别与三角形的边AB、BC 和CA相交。
设射线OA与边AB的交点为D，射线OB与边BC的交点为E，射线OC与边CA的交点为F。
根据向量的性质，我们可以得到向量AD、BE和CF分别表示边AB、BC和CA的方向和长度。
因此，我们可以得到：AD = (XB - XA, YB - YA)BE = (XC - XB, YC - YB)CF = (XA - XC, YA - YC)两个向量的和为：AD + BE + CF = (XB - XA, YB - YA) + (XC - XB, YC - YB) + (XA - XC, YA - YC)= (0, 0)根据向量的性质，向量的和为零意味着它们共线。
因此，射线OA、OB和OC共线，即三角形的三个顶点A、B和C共线。
根据平面几何的基本原理，三点共线意味着它们形成的线段或射线之间相交时，内角和等于180度（或π弧度）。
2. 内角和与外角的关系现在我们来探讨三角形的内角和与外角的关系。
在三角形ABC中，我们可以通过将三个内角的补角与三个外角进行比较来研究它们之间的关系。
首先，我们定义三角形的外角。
对于三角形ABC的内角∠A，如果我们在角A的延长线上选择一个点D，使得D与边BC相交，那么∠ADC即为角A的外角。
初中数学 什么是三角形的内角和外角
初中数学什么是三角形的内角和外角初中数学中，三角形的内角和外角是几何学中重要的概念。
它们描述了三角形内部和外部角度的关系。
本文将详细介绍三角形的内角和外角的定义、性质和计算方法。
一、三角形的内角三角形的内角是指三角形内部的角度。
对于任意一个三角形ABC，它有三个内角，分别为∠A、∠B和∠C。
三角形的内角性质：1. 内角和等于180度：三角形的三个内角的和等于180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
2. 锐角三角形：如果三角形的三个内角都小于90度，则称该三角形为锐角三角形。
3. 直角三角形：如果三角形的一个内角等于90度，则称该三角形为直角三角形。
4. 钝角三角形：如果三角形的一个内角大于90度，则称该三角形为钝角三角形。
二、三角形的外角三角形的外角是指一个三角形的某一个内角的补角。
对于三角形ABC，可以通过延长一条边来形成一个外角。
三角形的外角性质：1. 外角等于两个不相邻内角之和：对于三角形ABC，外角∠D等于不相邻的两个内角之和，即∠D = ∠B + ∠C。
2. 三角形的三个外角的和等于360度：三角形的三个外角的和等于360度，即∠D + ∠E + ∠F = 360°。
三、三角形内角和外角的计算方法1. 已知两个内角求第三个内角：如果已知三角形的两个内角，可以通过内角和等于180度的性质求得第三个内角。
2. 已知一个内角和一个外角求第三个内角：如果已知三角形的一个内角和一个外角，可以通过外角等于两个不相邻内角之和的性质求得第三个内角。
3. 已知一个内角和一个外角求其他两个外角：如果已知三角形的一个内角和一个外角，可以通过外角等于两个不相邻内角之和的性质求得其他两个外角。
总结：本文详细介绍了初中数学中三角形的内角和外角的定义、性质和计算方法。
三角形的内角和为180度，可以用于判断三角形的性质和分类。
三角形的外角是某一个内角的补角，可以用于计算三角形其他角度的信息。
2.三角形的内角外角及正多边形的内角和
三角形的内角外角及多边形的内角1.三角形内角与外角定理及性质⑴三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形.⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 三角形的一个外角和与之相邻的内角互补.例1.如图，AF，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，求∠DAF的度数．例2.如图，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC中，三角板的两条直角边XY和XZ恰好分别经过点B 和点C.(1)若∠A＝30°，则∠ABX＋∠ACX的大小是多少？(2)若改变三角板的位置，但仍使点B、点C在三角板的边XY和边XZ上，此时∠ABX＋∠ACX的大小有变化吗？请说明你的理由．例3.如图，求证：∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C.变式练习1.如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数为________．2.如图，点D，E分别是AB，AC上的点，连接BE，CD，若∠B＝∠C，则∠AEB与∠ADC的大小关系是()A．∠ADC>∠AEB B．∠ADC＝∠AEB C．∠ADC<∠AEB D．不确定第2题第3题3.如图，B处在A处的南偏西60°方向，C处在A处的南偏东20°方向，C处在B处的正东方向，求∠ACB 的度数4.如图，已知在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，若∠BOC＝140°，求∠A的度数．5.如图，△ABC中，∠A＝50°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1＋∠2的大小为第5题第7题第8题6.已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的外角度数之比为2∶3∶4，则这个三角形是()A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰三角形7.如图，∠1、∠2、∠3、∠4恒满足的关系是()A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠34.如图，△ABC中，∠B和∠C的外角平分线相交于点D，则∠BDC＝()A.12(90°－∠A) B．90°－∠A C.12(180°－∠A) D．180°－∠A1.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.2.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.3.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.4.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.5.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.6.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，7公式(1)多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(2)n -·180° (2)多边形的外角和：多边形的外角和为360°.(3)多边形对角线的条数：①从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2n n -条对角线.例 4.下列说法：①等腰三角形是正多边形；②等边三角形是正多边形；③长方形是正多边形；④正方形是正多边形．其中正确的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个例5.如图，△ABC ，△ADE 及△EFG 都是等边三角形，D 和G 分别为AC 和AE 的中点，若AB ＝4时，则图形ABCDEFG 外围的周长是( ) A ．12 B ．15 C ．18 D ．21变式练习1.一个正多边形的一个内角为162°,则这个多边形的边数为 .2.过m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，k 边形共有k 条对角线，则(m －k)n 为多少？3. 如图，图中分别是正方形、正五边形、正六边形，试求出∠1，∠2，∠3的度数。
三角形的内角和外角的计算与证明技巧
三角形的内角和外角的计算与证明技巧三角形是几何学中最基础的图形，具有丰富的性质和特点。
在三角形中，内角和外角是两个重要的概念。
本文将详细介绍三角形的内角和外角的计算方法和证明技巧。
一、内角和外角的定义在任意三角形ABC中，我们可以定义如下角度：1.内角：三角形的内角是指该角的顶点在三角形内部，两边分别位于三角形的两侧。
三角形的内角总和是180度，即∠A+∠B+∠C=180°。
2.外角：三角形的外角是指该角的顶点在三角形外部，两边分别延长到三角形的另外两边上。
三角形的外角总和是360度，即∠D+∠E+∠F=360°。
内角的计算与证明可以使用以下几种方法：1.三角形内角和公式：根据定义，三角形的内角和总和为180度。
因此，可以直接通过计算已知角度来求解未知角度。
例如，如果∠A=60°，∠C=90°，那么∠B=180°-∠A-∠C=30°。
2.内角关系定理：在三角形中，存在一些内角的关系定理，可以帮助我们计算和证明角度。
例如，三角形的补角定理：如果∠A和∠B是一对补角，那么它们的度数之和为90度。
三角形的余角定理：如果∠A和∠B 是一对余角，那么它们的度数之和为180度。
利用这些定理，我们可以推导出一些角度的值。
3.角平分线定理：在三角形中，角平分线把一个角平分成两个相等的角。
因此，如果我们知道一个角被角平分线平分成两个相等的角，那么我们可以通过计算其中一个角的度数来得到另外一个角的度数。
4.使用三角函数：三角函数是一个强大的工具，可以帮助我们计算和证明角度。
例如，如果我们知道一个三角形的两边长度和夹角，可以使用正弦定理或余弦定理来计算另外两个内角的度数。
外角的计算与证明可以使用以下几种方法：1.三角形外角和公式：根据定义，三角形的外角和总和为360度。
因此，可以通过计算已知角度来求解未知角度。
例如，如果∠D=120°，∠E=150°，那么∠F=360°-∠D-∠E=90°。
三角形的内角和与外角和
三角形的内角和与外角和三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段组成，每两条线段之间的夹角称为三角形的内角。
而与每个内角相对的外角则是与之相补的角度。
本文将探讨三角形的内角和与外角和的相关性质。
一、三角形的内角和在一个三角形中，三个内角的和总是等于180度。
这个性质被称为三角形内角和定理。
假设三角形的三个内角分别为A、B、C，则有以下关系成立：A +B +C = 180度这个定理有时也可以通过三角形内角和的定义来理解。
根据定义，三角形的每个内角都是由两个边所形成的夹角。
因此，三角形的三个内角将形成一条直线，而直线角度总和为180度。
二、三角形的外角和在三角形中，每个内角的补角称为外角。
即与内角相对的直线之间的夹角。
我们可以推论出，三角形的三个外角的和总是等于360度。
这个性质被称为三角形外角和定理。
三、内角和与外角和的关系我们可以通过三角形的内角和与外角和的关系来推导出三角形的外角和定理。
我们知道三角形的三个内角和为180度。
以一个内角为例，假设该内角的度数为x度，则其补角的度数为180减去x度。
由于三角形的三个内角的补角的度数总和等于360度，因此有：(180 - A) + (180 - B) + (180 - C) = 360度化简得：540 - (A + B + C) = 360度由于A + B + C = 180度，代入上式得：540 - 180 = 360度因此，我们可以得出结论，三角形的外角和总是等于360度。
这一结论也可以通过实际验证来证明。
我们可以通过绘制一张三角形的示意图，并在每个内角旁边标记其补角的度数。
通过测量这些度数，我们可以发现三个补角的度数总和为360度。
总结：三角形的内角和与外角和的关系是：1. 三角形的内角和等于180度。
2. 三角形的外角和等于360度。
这些性质在解决三角形相关问题时非常有用。
对于任意的三角形，我们都可以利用这些性质计算其内角和与外角和，从而帮助我们更好地理解和分析三角形的特性和性质。
七年级下册数学第九章三角形的外角与内角
七年级下册数学第九章三角形的外角与内角摘要：一、三角形的外角与内角的基本概念二、三角形外角与内角的关系三、三角形外角与内角的性质与应用四、如何利用外角与内角解决实际问题五、总结与拓展正文：一、三角形的外角与内角的基本概念在七年级下册数学的第九章，我们将学习三角形的外角与内角。
三角形的外角是指一个三角形的一个角的外部角，而内角则是指三角形的一个角的内部角。
外角和内角是三角形的重要构成部分，它们之间的关系和性质对于我们理解和解决实际问题具有重要意义。
二、三角形外角与内角的关系根据外角和内角的定义，我们可以知道三角形的外角和内角之间存在以下关系：1.外角和等于内角和：一个三角形的一个外角与它所对应的内角之和等于180度。
2.外角大于任何一个不相邻的内角：对于一个三角形，它的任意一个外角都大于与之不相邻的内角。
三、三角形外角与内角的性质与应用掌握了三角形外角与内角的关系后，我们可以运用这些性质来解决实际问题。
例如，在解决几何图形的面积、周长等问题时，可以利用外角与内角的关系进行简化。
此外，外角与内角的关系在证明几何命题时也具有很高的实用价值。
四、如何利用外角与内角解决实际问题下面我们通过一个实例来展示如何利用外角与内角解决实际问题。
题目：已知一个三角形的两边长分别为3和4，求这个三角形的最大面积。
解：根据三角形外角与内角的关系，我们可以先求得这个三角形的一个外角，然后利用外角与内角的关系求得第三个内角，进而求得三角形的面积。
五、总结与拓展通过本章的学习，我们掌握了三角形的外角与内角的基本概念和性质，并学会了如何利用这些性质解决实际问题。
在今后的学习中，我们要不断加强对三角形外角与内角的理解，熟练运用它们的性质，提高解决实际问题的能力。
三角形的外角与内角的关系与计算方法
三角形的外角与内角的关系与计算方法三角形是几何学中的基本概念，研究三角形的性质与关系对于解决各种几何问题具有重要意义。
其中，三角形的内角和外角是研究三角形角度关系的重要内容。
本文将着重探讨三角形的外角与内角之间的关系，并介绍计算三角形内角与外角的方法。
一、三角形的内角和外角定义1. 内角：三角形的内角是指三角形内部的角，由三个顶点及它们所对的边组成。
对于任意三角形ABC，其内角可以表示为∠A、∠B和∠C。
2. 外角：三角形的外角是指三角形外部的角，通过延长三角形的边得到。
对于任意三角形ABC，其各个外角分别可以表示为∠DAB、∠EBC和∠FCA。
二、三角形内角与外角的关系1. 内角和外角的关系：在任意一个三角形中，一个内角和与其相邻的外角之和等于180度。
即∠A+∠DAB=180°、∠B+∠EBC=180°和∠C+∠FCA=180°。
这个性质也可以写作∠A=180°-∠DAB、∠B=180°-∠EBC和∠C=180°-∠FCA。
2. 三角形内角之和：对于任意一个三角形ABC，其三个内角之和等于180度，即∠A+∠B+∠C=180°。
三、计算三角形内角与外角的方法1. 已知两个内角：若已知三角形的两个内角，可以通过将它们相互减去180度得到第三个内角的度数。
例如，若∠A=50°、∠B=70°，则∠C=180°-(∠A+∠B)=60°。
2. 已知一个内角和一个外角：若已知三角形的一个内角和一个相邻的外角，可以通过将这两个角相加等于180度求得另外两个内角的度数。
例如，若∠A=50°，且∠DAB=120°，则∠B=180°-(∠A+∠DAB)=10°，∠C=180°-(∠A+∠B)=120°。
3. 已知一个内角和一个外接角：若已知三角形的一个内角和一个非相邻的外角，可以通过将内角减去外角的度数得到另外两个内角的度数。
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三角形的内角和与外角性质
三角形是初中数学中非常重要的一个概念，它具有许多有趣的性质和特点。
其中，三角形的内角和与外角性质是我们需要重点关注和理解的内容。
在本文中，我将详细介绍三角形的内角和与外角的性质，并通过具体的例子和分析来说明这些性质的应用和重要性。
一、三角形的内角和性质
在任意一个三角形ABC中，我们可以发现一个重要的性质：三角形的内角和等于180度。
这个性质是三角形的基本性质，也是我们研究三角形的起点。
具体来说，三角形的内角和等于180度可以通过以下两种方法来证明：
方法一：直接相加法
我们可以将三角形ABC的三个内角分别记为∠A、∠B、∠C。
根据角度的定义，我们知道∠A、∠B、∠C的度数之和等于180度。
因此，三角形的内角和等于180度。
方法二：三角形内角和定理
三角形内角和定理是数学中一个非常重要的定理，它表明任意一个三角形的三个内角之和等于180度。
这个定理可以通过数学推导和证明得到，是数学中的一个基本定理。
通过这个性质，我们可以应用到许多问题中。
例如，当我们知道一个三角形的两个内角的度数时，可以通过计算得到第三个内角的度数。
这对于解决三角形的相关问题非常有帮助。
二、三角形的外角性质
除了内角和性质外，三角形的外角性质也是我们需要了解的内容。
在任意一个
三角形ABC中，我们可以发现一个重要的性质：三角形的一个内角与其相邻的两
个外角之和等于180度。
具体来说，我们可以将三角形ABC的一个内角记为∠A，与其相邻的两个外角分别记为∠B'和∠C'。
根据外角的定义，我们知道∠B'和∠C'的度数之和等于360度。
根据三角形的内角和性质，∠A的度数与∠B'和∠C'的度数之和等于180度。
因此，三角形的一个内角与其相邻的两个外角之和等于180度。
通过这个性质，我们可以应用到许多问题中。
例如，当我们知道一个三角形的
一个内角的度数时，可以通过计算得到其相邻的两个外角的度数。
这对于解决三角形的相关问题非常有帮助。
三、实际应用举例
为了更好地理解三角形的内角和与外角性质的应用，我们来看一个具体的例子。
例子：在一个三角形中，已知其中一个内角的度数为60度，求其相邻的两个
外角的度数。
解：根据三角形的外角性质，我们知道三角形的一个内角与其相邻的两个外角
之和等于180度。
已知其中一个内角的度数为60度，因此另一个内角的度数为
180度减去60度，即120度。
根据外角的定义，相邻的两个外角的度数之和等于360度。
已知其中一个外角
的度数为120度，因此另一个外角的度数为360度减去120度，即240度。
因此，该三角形的相邻的两个外角的度数分别为120度和240度。
通过这个例子，我们可以看到三角形的内角和与外角性质在解决实际问题中的
应用。
这个性质不仅能帮助我们计算三角形的内角和外角的度数，还能帮助我们解决更复杂的三角形相关问题。
总结：
三角形的内角和与外角性质是初中数学中非常重要的内容。
通过了解和理解这些性质，我们可以更好地解决三角形相关的问题，提高数学解题的能力。
在实际应用中，我们可以通过计算和推导来确定三角形的内角和外角的度数，从而解决各种与三角形相关的问题。
希望通过本文的介绍和分析，读者能够更好地理解和应用三角形的内角和外角性质。