三角形的外角性质
初中数学外角知识点总结
初中数学外角知识点总结一、概念及性质1. 什么是外角：在一个三角形中，每一个内角的外部所成的角称为外角。
2. 外角和内角的关系：三角形的两个内角的和等于其对应的外角。
3. 外角的性质：外角性质是指在一个三角形中，每一个外角的度数等于不相邻的两个内角的度数和。
4. 三角形外角定理：一个三角形的一个外角的度数等于它的不相邻的两个内角的度数和。
5. 直角三角形外角的性质：在一个直角三角形中，斜边上的外角等于90°减去与其相对的内角。
6. 三角形外角和：在一个三角形中，三个外角的和等于360°。
二、求解外角的方法1. 通过内角和的方式求解外角：根据三角形外角定理，直接计算不相邻内角的和即可得出外角的度数。
2. 通过直角三角形外角的性质求解：在一个直角三角形中，外角的度数等于90°减去与其相对的内角的度数。
3. 通过外角和的方式求解外角：在一个三角形中，通过三个外角的和等于360°的性质，可求得某个外角的度数。
三、外角的应用1. 在解题过程中，利用外角的性质进行计算内角的大小。
2. 通过外角和的方式，判断三角形的内角之间的关系，例如可以判断是否为等腰三角形或等边三角形。
3. 在锐角三角形中，利用外角的性质进行计算三角形的内角大小，从而解决各种相关的数学问题。
四、题目练习1.已知∠B是一个三角形ABC的外角，且∠B=60°，∠A=40°，求∠C的度数。
解：根据三角形外角定理可知，∠B等于∠A与∠C的和，即∠B=∠A+∠C，所以∠C=∠B-∠A=60°-40°=20°。
因此，∠C的度数为20°。
2.在直角三角形ABC中，∠A=30°，求∠B的度数。
解：根据直角三角形外角的性质可知，∠B=90°-∠A=90°-30°=60°。
因此，∠B的度数为60°。
3.已知直角三角形ABC中，∠A=45°，求∠C的度数。
三角形的内角和外角三角形的内角和外角的性质
三角形的内角和外角三角形的内角和外角的性质三角形的内角和外角是三角形的基本性质之一，它们的和有着固定的关系。
本文将探讨三角形的内角和外角的性质以及相关的数学定理。
一、三角形的内角和外角的定义三角形由三条边和三个角组成。
其中每个角都有对应的内角和外角。
内角是指位于三角形内部的角，即由两条边组成的夹角。
外角是指位于三角形外部的角，即由一条边和与其相邻的内角组成的夹角。
二、三角形的内角和外角的关系1. 内角和定理对于任意三角形，其内角的和等于180度。
即三个内角的度数之和为180度。
若设三角形的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，则有∠A + ∠B + ∠C = 180度。
2. 外角和定理对于任意三角形，其外角的和也等于180度。
即三个外角的度数之和为180度。
若设三角形的三个外角分别为∠A'、∠B'、∠C'，则有∠A' +∠B' + ∠C' = 180度。
3. 内角和与外角和的关系对应一个内角和一个外角，它们的度数之和为180度。
即对于三角形的任意一组内角和外角，有∠A + ∠A' = 180度；∠B + ∠B' = 180度；∠C + ∠C' = 180度。
三、三角形的内角和外角的性质1. 三角形的内角性质a. 锐角三角形：三个内角都小于90度。
b. 直角三角形：一个内角为90度。
c. 钝角三角形：一个内角大于90度。
2. 三角形的外角性质a. 锐角三角形：三个外角都大于0度且小于180度。
b. 直角三角形：一个外角为90度。
c. 钝角三角形：两个外角大于90度且小于180度，一个外角为0度。
3. 三角形的内角和外角关系a. 两个内角的和大于第三个内角。
即∠A + ∠B > ∠C，∠A +∠C > ∠B，∠B + ∠C > ∠A。
b. 两个外角的和等于第三个外角。
即∠A' + ∠B' = ∠C'，∠A' +∠C' = ∠B'，∠B' + ∠C' = ∠A'。
三角形的内角与外角
三角形的内角与外角三角形是几何学中最基本的形状之一，由三条边和三个内角组成。
本文将讨论三角形的内角与外角的特性和性质。
一、三角形内角的定义与性质三角形的内角是指三角形内部的角，共有三个内角，分别记作∠A、∠B、∠C。
根据几何学的基本原理，三角形的内角和为180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
1. 三角形的内角之间的关系由于三角形的内角和为180度，所以三角形内角之间存在一定的关系。
根据三角形的性质，如下所示：- 如果一个内角是直角（90°），则另外两个内角的和也是90°。
这种三角形被称为直角三角形。
- 如果一个内角大于90°，则另外两个内角的和小于90°。
这种三角形被称为钝角三角形。
- 如果一个内角小于90°，则另外两个内角的和大于90°。
这种三角形被称为锐角三角形。
2. 等腰三角形的内角性质等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
在等腰三角形中，两个底角（底边上的两个角）一定相等，而顶角（顶点的角）一定小于两个底角。
3. 等边三角形的内角性质等边三角形是指具有三条边相等的三角形。
在等边三角形中，三个内角均相等，每个角都是60°。
二、三角形的外角的定义与性质三角形的外角是指从三角形的一个内角延长线上取得的角，它与相对的内角之间有一定的关系。
1. 外角和内角之间的关系在任意三角形中，一个外角等于其非相邻内角的和。
例如，在三角形ABC中，设一个外角为∠DAB，相对的内角为∠C，则有∠DAB = ∠C + ∠D。
2. 外角的性质外角与三角形的三个内角之间还有一些其他的性质。
如下所示：- 一个三角形的三个外角之和等于360°。
- 任意一个三角形的外角大于任意一个内角。
也就是说，对于三角形ABC来说，∠DAB > ∠A, ∠EBC > ∠B, ∠FCA > ∠C。
三、内角与外角的应用在实际应用中，三角形的内角与外角的性质有着广泛的应用。
三角形的外角性质知识点
三角形的外角性质知识点
三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。
∠1是三角形的外角。
三角形的外角特征：
①顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；
②一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；
③另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC 边的延长线。
性质：
①. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
②. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
③. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
④. 三角形的外角和等于360°。
设三角形ABC 则三个外角和=（A+B）+（A+C）+（B+C）=360度。
定理：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。
定理：三角形的三个内角和为180度。
初中数学三角形的外角性质知识点（二）三角形的外角性质经典例题
点P是△ABC内一点，连接BP并延长交AC于D，连接PC，则图中∠1，∠2，∠A的大小关系是（）。
《三角形的外角》PPT课件
利用外角证明线段相等或平行
通过三角形外角性质，证明两线段相等
若两线段分别与三角形的两边平行，且它们所截得的线段相等，则这两线段相等。
利用外角证明两直线平行
若一直线与三角形的一边平行，且它们所截得的线段相等，则这直线与三角形的另 一边也平行。
利用外角解决角度问题
通过三角形外角性质计算角度
一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，利用这一性质可以计算三 角形中的角度。
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REPORTING
题目一
题目三
已知三角形ABC中，∠A = 50°，∠B = 60°，求∠C的外角大小。
已知等边三角形ABC中，D、E分别是 AB、AC上的点，且BD = CE，BE与 CD相交于点F，求∠BFC的度数。
题目二
在三角形ABC中，D是BC边上一点， ∠ADB = 120°，∠BAD = 30°，求∠C 的大小。
案例分析：典型计算题目解析
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
案例一
已知三角形ABC中，∠A 的外角为120°，求∠B 和∠C的度数。
解析
根据三角形外角定理， ∠A的外角等于∠B+∠C， 即∠B+∠C=120°。再结 合三角形内角和为180°， 可求得∠B和∠C的度数。
案例二
已知四边形ABCD中， ∠A的外角为60°，求四 边形ABCD的内角和。
建筑设计中角度调整与优化
01
02
03
角度调整
在建筑设计中，利用三角 形的外角性质可以灵活调 整建筑物的角度，使其更 加符合审美和实用要求。
结构优化
通过合理设置三角形的外 角，可以优化建筑结构的 稳定性和承重能力。
三角形内角和与外角性质
三角形内角和与外角性质三角形是平面几何中的基本图形，它由三条边和三个角组成。
在研究三角形的性质时，我们经常遇到内角和与外角的关系。
本文将探讨三角形内角和与外角的性质，从而加深对三角形性质的理解。
一、三角形内角和公式的推导我们先来推导三角形内角和公式。
假设三角形的三个内角分别为A、B、C，它们的度数分别为a、b、c。
根据平面几何的基本原理，三角形的内角和应该等于180度。
根据上述推导，我们得到了三角形内角和公式：A +B +C = 180°二、三角形内角和与外角的关系1. 内角和与外角的关系一我们先来看三角形的一个内角和一个相对应的外角。
根据三角形内角和公式，我们可以得到：A + (180° - A) = 180°可以发现，一个三角形的一个内角和一个相对应的外角的度数之和等于180度。
2. 内角和与外角的关系二接下来，我们考虑三角形的三个内角和三个相对应的外角之间的关系。
假设三角形的三个内角分别为A、B、C，三个相对应的外角分别为α、β、γ。
根据三角形内角和公式，我们有：A +B +C = 180°再结合内角和与外角的关系一，我们可以推出：α + A + β + B + γ + C = 360°可以发现，一个三角形的三个内角和三个相对应的外角的度数之和等于360度。
三、三角形内角和与外角性质的应用三角形内角和与外角的性质在解决各种几何问题时非常有用。
下面举几个例子来说明。
例1：已知三角形AEB的内角EAB为60°，则其外角EAC的度数是多少？解：根据内角和与外角的关系一，我们可以得到：EAB + EAC = 180°将EAB的度数60°代入上述公式，得到：60° + EAC = 180°解方程得到：EAC = 120°所以，三角形AEB的外角EAC的度数为120°。
例2：在平面直角坐标系中，已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(1, 2)，B(5, 6)，C(7, 4)，求三角形ABC的内角和。
三角形的外角练习题
D
三角形外角的性质：
A
性质1、三角形的一个外角等于
与它不相邻的两个内角的 B
C
和。 ∠B+∠C=∠CAD
性质2、三角形的一个外角大于任何
一个与它不相邻的内角。
∠CAD > ∠B， ∠CAD > ∠C
∠1＋∠2 ＋∠3 ＝ 360°
A 1
3 B
C 2
三角形的外角和等于360°
课堂反馈: 1、三角形的一个外角等于两个内角的和。（ ）
∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角的定义),
∴ ∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的 任何一个外角).
∴ ∠BDC>∠A (不等式的性质).
三角形的外角三个性质：
①三角形的一个外角与它相邻的内角互补。
② 三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个与它 不相邻的内角。
D
间的数量关系，因此需要添加
辅助线。那如何添加辅助线才
能建立这几个角之间的联系呢？ A
B
1、已知:国旗上的正五角星形如图所示. 求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
分析:设法利用外角把这五个角“凑” 到一个三角形中,运用三角形内角和性 质来求解.
A
B
H 2 1F
C
E D
Байду номын сангаас
解:∵∠1是△BDF的一个外角(外角的定义), ∴ ∠1=∠B+∠D(三角形的一个外 角等于和它不相邻的两个内角的和). 又∵ ∠2是△EHC的一个外角(外角的定义 ∴), ∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和).
外角的性质
外角的性质角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。
本文谈谈三角形外角的性质及应用。
一. 三角形外角的概念及特征如图1，像∠ACD那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。
图1外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；（2）一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；（3）另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。
二. 性质1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4. 三角形的外角和等于360°。
三. 应用1. 求角的度数例1. （ 2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55°和65°，这个三角形的外角不可能是（）A. 115°B. 120°C. 125°D. 130°-55=125°。
解析：如图2，∠A的外角为：180°︒∠B的外角为：180°－65°=115°∠ACB的外角为：55°+65°=120°所以选D 。
图2例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3，AB//CD ，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=（ ） A. 23°B. 42°C. 65°D. 19°图3解析：延长BE 交CD 于F 因为AB//CD 所以∠1=∠B=23° ∠BED 是△EDF 的外角则∠BED=∠1+∠D=23°+42°=65° 故选C 。
例3. （2006年重庆市中考）如图4，AB=AC ，∠BAD=α，且AE=AD ，则∠EDC=（ ） A.α21B. α31C.α41D.α32图4解析：设∠EDC=x ° 因为∠ADC 是△ABD 的外角 所以∠ADC=∠ABC+∠BAD 即∠ADE+x=∠ABC+α（1）因为AB=AC ，AD=AE 所以∠B=∠C ，∠ADE=∠AED 而∠AED 是△DEC 的外角 所以∠AED=∠EDC+∠C 即∠AED=x+∠C（2）将（2）代入（1）得：α+∠=+∠+ABC x C x所以α=21x 所以选A 。
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解：(1)∵∠ADC是△ABD的外角（已知）
∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝80°
（三角形的一个外角等于与它不
相邻的两个内角的和 ） ？
又∵∠B＝∠BAD（已知）
∴∠B＝）
80°
小试身手
1.求下列各图中∠1的度数。
1 60°
120° 1
30°
35°
1
∠1= 90° ∠1= 85°
教学目标
（一）知识与技能 1、掌握三角形的外角与内角（相邻的内角和不相邻的内 角）的关系； 2、会运用与三角形有关的角解决问题。 （二）过程与方法 1、让学生经历猜想、探索、推理、归纳的过程，发展学 生的合情推理能力和语言表达能力。 2、掌握等量代换的思想方法。 （三）情感、态度和价值观 通过推理过程，锻炼学生的逻辑思维能力。 教材内容及重点、难点分析： 1、重点：三角形的外角的性质的应用。 2、难点：外角的定义及外角性质的论证过程。
你选谁?
C
A
∠CBD > ∠A ∠CBD > ∠C
B
D
(<、>)；
(<、>)
C
A
B
D
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 角的和∠CBD=∠A +∠C
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻 的内角∠CBD﹥∠A；∠CBD﹥ ∠C
例题解析
例1：如图D是△ABC的BC边上一点， ∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°
45°
50°
∠1= 95°
2、把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大 到小的顺序排列
A
D E C
B
∠1>∠2>∠3
小结
1：外角的性质：
C
①∠CBD=∠C+∠A
② ∠CBD﹥∠C；
∠CBD﹥ ∠A
A
BD
证明（一）
∵三∠角AB形C +的∠一CB个D=外18角0 °等于过与B它点作不B相E∥邻AC 又∴∵的三它∠∠CA两角不BBD个形相C=+内的邻∠∠C角一的C++的个内∠∠A和外角A=角180大∴°于∴∠任C∠∠B何ECDBB一=D=E∠∠==个∠CC∠与B+ACE∠+(( A??∠))EBD
相邻的内 角
外角
不相邻的内 角
探究 将∠A、∠C剪下拼在∠CBD的位置，
你发现什么结论？
C
∠CBD=∠C+∠A
A
B
D
证明：∵ ∠ABC + ∠CBD= 180 °
∴∠CBD=180 °-∠ABC
动 动 手
又∵ ∠ABC+ ∠C+ ∠A= 180 ° ∴∠C+ ∠A= 180 °-∠ABC
∴ ∠CBD= ∠C+ ∠A