初等数学研究 几何部分 第三章 初等几何变换

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设G 是一个非空集合，在G存在一种运算·，有
⑴ 封闭性；——广群（代数系统） 半群 ⑵ 结合律； ⑶ 单位元；
单胚
⑷ 逆元（非单位元的元素都有逆元）。
则称 G关于·是一个群。
例如① 正ABC变为自身的变换集合记为G．
第一类：旋转对称．令
A
f0
A
B
f1
B
B C
C
A
⑤ 关于同一旋转中心的两次旋转的乘积是一个旋转；
⑥ 旋转变换的逆变换是旋转变换；
⑦ 同一个旋转中心的所有旋转变换构成一个群，称为
旋转群．旋转群是合同变换群的子群。
例2 设 P 为正ABC内一点，PC 3，PA 4，PB 5 ，
求 ABC的边长． 解 如图3-2-4所示，令 BCP R(C,60o) ACP， 则BCP ≌ ACP， ∴ PC PC ，3 PA PB ，5 B
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⑴
⑵ 图3-2-1
第一类合同变换 （真正合同） （定向相同）
（运动群）
第二类合同变换 （镜像合同） （定向相反） （不构成群）
二、合同变换的特例——平移、旋转、反射
1．平移
⑴ 定义
定义6 平面到其自身的变换，如果对于每一个点P 以
及对应点
P，都有
uuur PP
a（其中a
为给定的已知向量），
那么这个变换叫做平面上的平移变换，简称平移，记
⑵ 表述：令 P R(O, ) P或令图形 F R(O, )图形 F，则
图形 F 图形F．
特别地，当 时为点反射。
⑶ 性质
① 旋转变换下，两点间距离保持不变；
② 角度是旋转变化下的不变量；
③ 旋转把任意图形变换成与它真正合同的图形；
④ 在旋转变换下直线与其对应直线之间的夹角等于旋转角；
证明 如图3-2-3所示，设 A、B为直线上任意两点， 令A R(O, ) A， B R(O, ) B， 且设 O、A、B不共线。 延长 BA交 AB于点 C，连结OC、BB． ∵ 1 2，∴ O、 C、 B、 B四 点共圆， ∴ BCB BOB ．
定直线 l 垂直平分，那么这个变换就叫（直线）反射变 换，简称反射，记作S(l)．其中，l 称为反射轴。
⑵ 表述 ：令P S(l) P 或令图形 F S(l) 图形 F，
则图形F 图形F．
⑶ 性质
① 直线反射变换下两点间距离不变；
② 直线反射变换下角的大小不变，但方向相反。
③ 在直线反射变换下，任意图形变换成与它镜像合同的
验证
⑴ 积的封闭性：如
A
f2
f5
A
B C
C
B
f3，
⑵ 逆元问题： f1 f2 f2 f1 f0 （I f0为单位元）， f3 f3 f4 f4 f5 f5 I（恒等变换）．
说明 ⑴ 对合变换 f：变换 f 满足 ① f I ，② f 1 f 如上述 f3, f4 , f5
⑵ 子群 G：群 G满 足 G G．如上述 G有6个子群， 分别为 G0 { f0} ，G1 { f0 , f1} ，G2 { f0 , f1, f2} ，G3 { f0 , f1, f2 , f3} ， G4 { f0 , f1, f2 , f3, f4} ，G5 { f0 , f1, f2 , f3, f4 , f5} ．
∵ BO OB，OD OC ∴ BOD≌ BO，C
∴ BD BC，∴ BDC BCD 80．o ∵ BAC 8，0o
有BAC BDC，
A
∴ A、B、C、D四点共圆，
∴ CAD DBC 20o， 故 CAO 20o．
D
O
10
B
20
C
图3-2-5
例4 O 为ABC内一点，AB AC ，BAC 80o，OBC 10o，
变换几何有什么值得肯定的地方？（张奠宙，沈文选，《中 学几何研究》，118页） 1．变换使得几何由静态转向动态．几何学不再仅仅是对静止 图形的观察、思考和论证．变换几何的对象可以操作，例如 轴对称和折纸等。 2．变换是学生认识图形的工具。通过轴对称、旋转对称、中 心对称，以及相似、位似等变换，可以对矩形、正三角形、 等腰三角形、平行四边形、菱形等常见图形有更深刻的认识。 3．变换可以作为论证的一种手段。三角形的全等，是用合同 变换来实现的。尺规作图是将已知的线段和角度，进行移动。 在论证上也带来很多方便。例如等腰三角形的性质，用对称 很容易说明．再如圆外一点向定圆作两条切线，彼此一定相 等。这是可以用圆的对称性加以说明的。
§3.2 合同变换
一、合同变换的定义和性质 1．合同变换的定义 定义1 平面到其自身的变换 W，如果对于该平面上任意
两点 、A 和B它的对应点 、A 之B间，恒有 AB A，B 这
个变换叫做平面上的合同变换，记为 A W，A B W B， AB W AB ． 2．合同变换的性质（基本不变性） ⑴ 合同变换下保持两点之间距离不变（保距性）； ⑵ 合同变换下，保持两直线夹角大小不变（保角性）．
则称 g是 f 的逆变换，记为 g f 1 。
四、变换群 定义5 在由一类变换组成的集合G 中，若符合以 下两个条件： ⑴ 可逆性：若 f G ，则 f 1 G， ⑵ 封闭性：若 f1 G ，f2 G ，则 f1 f2 G ， 则称集合 G 为一个变换群。 简言之，集合G 的若干个一一变换关于乘法构成的 群，称为集合G 的一个变换群。
3．合同变换的确定 说明 平面上的合同变换由不共线的三双对应点确定．
定义2 图形 FW 图形 F，则称F与F合同（全等）
定义3 对于同一平面的两个三角形ABC和 ABC． 如 果沿周界 ABCA 的方向有正向（逆时针方向）或负向（顺 时针方向），分别称为不同的定向． 定义4 一个合同变换把ABC变成与它有相同定向的ABC 这个合同变换称为第一类合同变换；把 ABC 变成与它有 相反定向的 ABC，这个合同变换称为第二类合同变换。 定义5 在两个合同图形上的两个对应三角形有同一定向， 且对应角也有同一定向，这两个图形称为真正合同；在两 个合同图形上的两个对应三角形有相反定向，且对应角也 有相反定向，这两个图形称为镜像合同．
构成群，称为平移群。 平移群是合同变换群的 子群。
例1 设P是平行四边形ABCD内一点，且PAB PCB，
试证 PBA PDuuAur．
证 作ABP T(AD) DCP， 则 ABP DCP，
∴ 1 3，6 7，∵
uuur PP
uuur AD
uBu，Cur ∴
B∥C P∥P A，D
∴ 2 4，5 8．又∵ 1 2，∴ 3 ，4
P S ，有 ( f3 f2 ) f1(P) ( f3 f2 )(P) P， f3( f2 f1)(P) f3(P) P，
( f3 f2 ) f1 f3 ( f2 f1)
三、两个特殊的变换 1．恒等变换 定义3 I : S S
a a a I (a)
则 I 为集合S的恒等变换。
简言之，使集合中每一个元素都变为自身的变换，称 为恒等变换。 结论 I f f I f 2．逆变换 定义4 设 f , g是集合 S上的两个变换，若 f g g f I ，
理论。他在20世纪初关注中学数学改革，担任第一届 “数学教育委员会（ICMI）”的主席。他的几何变换思 想也逐渐渗透到中学数学。在20世纪的数学教育改革历 程中，几何学课程受到变换几何思想越来越大的影响。
困难：
将几何变换纳入到中学几何课程，仍有不少问题需要克服， 主要是变换观点和传统欧式演绎几何还没有十分密切的衔接， 有时变成两张皮，突然增加了学习者的负担；此外，几何变换 的论证语言还没有规范，在论证一个命题时，叙述的随意性较 大；最后缺乏足够数量的例题和练习题，也是制约几何变换的 一个困难。
，顺时针旋转120；
A
f2
C
B A
C
B
，顺时针旋转 240。
第二类：反转变换（反射对称）．令
A
f3
A
B C
C B
，绕
AD翻转
180；o
A
f4
C
B B
C A
，绕
BE翻转
180o；
A
f5
B
B A
C C
，绕
CF
翻转
180o。
② G { f0, f1, f2, f3, f4, f5}是否能构成群．
OCB 30o ，求 AOB 的度数。
解 如图3-2-6所示，作 AD BC垂足为 D， 延长CO交AD于M，连结BM，则 BAM BOM 40o ABM OBM 20o，又∵ BM MB，∴ ABM OB，M
∴ BA BO，∴ AOB 180o ABO 70．o
2
A
M
O
B
10
∴ P、C、P、 D四点共圆，∴ 7 ，8 ∴ 5 ，6故
得证。
1 6
53 2 478
图3-2-2
2．旋转 ⑴ 定义
定义7 一个平面到它自身的变换，如果存在一个定点O ，
以及定角 ，使得对于平面上每一点 P，及其对应点 P，
满足两条：
① OP OP ；
② POP ． 从射线OP 到OP的方向与已知角 的方向相同。这个变换 就叫做关于点O 的转角为 的旋转变换，简称旋转，记 作R(O, ) ．其中，点O 称为旋转中心， 称为旋转角。 注 旋转变换由旋转中心O 和旋转角 确定。
为 T (a)．
注 ① 向量 a 的方向为平移的方向，模 | a |为平移的距
离。一个向量确定一个平移。
② 零向量确定的平移为恒等变换。
③ 适应于平行四边形情形。
⑵ 表述：令 X T(a) X 或令图形 F T(a)图形 F，
则图形 F 图形 F．
⑶ 性质 ① 平移变换下，两点间距离不变； ② 平移之积是平移； ③ 平移的逆变换是平移。 平面上所有平移的集合