用高等几何方法变换初等几何命题

收稿日期:2004-11-04

作者简介:秦进,男,贵州务川人,遵义师范学院数学系助教。

用高等几何方法变换初等几何命题

秦　进

(遵义师范学院数学系,贵州遵义　563002)

摘　要:以实例分析了利用高等几何的观点和思想方法,将已知初等几何命题进行变换,获得相关的其他初等几何命题。

关键词:高等几何;方法;变换;初等几何;命题中图分类号:O185.1 文献标识码:C

文章编号:1009-3583(2005)01-0065-03

The variation of E lementary G eometry problem

from Higher G eometry

Q I N J i n

(Department of Mathematices ,Zunyi Normal College ,Zunyi 563002,China )

Abstract :In this paper.We analyse the variation of the elementary geometry problems f rom the thinking ways and

riews of the higher geometry and gain come relevant geometrical topics.

K ey w ords :Higher G eometry ;variation ;Elementary G eometry.

高等几何作为一门几何课程,有着自身的特殊作用,高等几何知识与初等几何知识的沟通,为我们提供了解决初等几何的一些方法,对初等几何教学,对于教师思考和解决问题,有具体的指导意义。利用高等几何的观点和思想方法,将已知初等几何命题进行变换,获得相关的其他初等几何命题,具有重要的意义。1　利用仿射变换

例1.命题:“正方形ABCD 的一组邻边上有E ,F 两点,且EF ∥AC ,则ΔA ED 和ΔCFD 面积相等”

(见图1)

.将此命题作一仿射对应,若经仿射对应后的记号

不变,使正方形ABCD 对应平行四边形ABCD ,E 对应E ,F 对应F 。在正方ABCD 中(见图1),显

然有△A ED ≌△CFD ,由于两个多边形面积之比

为仿射不变量,所以在平行四边形ABCD 中,ΔA ED 和ΔCFD 面积相等。于是可得另一命题“平行四边形ABCD 的一组邻边上有E ,F 两点,

且EF ∥AC ,则ΔA ED 和ΔCFD 面积相等”

(见图2)

.

例2.命题:“从圆上一点E 作EP 垂直于自己直径AB ,P 为垂足,圆在E 处的切线与在A 、B 处切线分别交于C 、D ,则AD 、BC 、EP 共点,且EP 被

交点平分”(见图3)。此命题显然为真,令AD 、BC

交于T ,因为ΔBD T ∽ΔACT ,于是D T/TA =CA/DB ,又CE =CA ,BD =DE ,所以D T/TA =DE/

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6第7卷第1期 遵义师范学院学报 Vol.7,No.12005年2月 Jo urnal of Zunyi Normal College Feb.2005

EC ,从而ET ∥BD ∥CA 。又EP ⊥AB ,EP ∥

BD ∥CA 。即共点得证明。EP 被交点平分亦易证。作

一仿射对应,若经仿射对应后的记号不变,于是可得另一命题“从椭圆上一点E 作直径AB 的共轭弦EP 与AB 交于P ,圆在E 处的切线分别与在A 、B 处的切线分别交于C 、D ,则AD 、BC 、EP 共

点,且EP 被交点平分。”

(见图4),根据仿射性质,

此命题亦为真。

2　利用射影变换

例3命题:“平行三直线分别交两平行的直线得三平行四边形,这三平行四边形的对角线交点

共线且所在直线平行于一组对边”

(见图5)。此命题显然为真。在图6中,设过点S 的三直线分别交过点T 的二直线两与于A1,B1,C1;A2,B2,C2。作一中心射影,使直线ST 成为无穷远直线,若各点在中心射影后的记号不变,经过中心射后A1C1∥A2C2;A1A2∥B1B2∥C1C2;这样O 、P 、Q 成为三平行四边形的对角线交点,故有O 、P 、Q 共线,且所在直线与A1C1,A2C2平行,即O 、P 、Q 与A1C1,A2C2的无穷远点共线,(见图5)。由于射影对应保持结合性不变,所以中心射影前的四点T 、O 、P 、Q 也共线。于是可得另一命题共点三

直线分别交共点两直线得三四边形,这三四边形

的对角线交点与相交两直线交点共线(见图6)

。

例4命题:“已知B E ∥CF ,BC 交B E 、CF 分别

于B 、C ,圆与B E 、BC 、CF 分别相切于E 、D 、F ,B F

交EC 于T ,则D T ∥B E ∥CF 。”

(见图7)。此命题显然为真,因为ΔB ET ∽ΔFC T ,于是C T/TE =CF/B E ,又CD =CF ,BD =B E ,所以C T/TE =CD/DB ,从而D T ∥B E ∥CF 。即得证明。

将图8所示,ΔABC 的旁切圆切边BC 于D ,切边AB 和AC 的延长线于E 和F ,B F 交EC 于T ,作一射影变换,若各点在射影变换后的记号不变,使射影变换后,ΔABC 的旁切圆为一圆,EF 变为圆的直径,A 为垂直于直径EF 的直线相对应的

无穷远点。(见图7)。于是可得另一命题“ΔABC 的旁切圆切边BC 于D ,切边AB 和AC 的延长线

于E 和F ,设T 是直线BF 与CE 的交点,则点A 、D 、T 共线。”

由原命题得此命题亦为真。

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6秦进?用高等几何方法变换初等几何命题

3　利用交比

例5.命题:“一个角的两边与这个角的内外角平分线调和共轭”。在图9中,c 、d 顺次为∠(a ,b )的内外角平分线,作直线l 与d 平行,则l ⊥c ,若l 交a ,b ,c 于A 、B 、T ,于是△OAB 为等腰三角形,因此A T =TB ,令l 与d 的无穷远点为P ∞故(AB ,TP ∞)=-1所以(ab ,cd )=-1。图10所示,c 、d 顺次为∠(a ,b )的内外角平分线,直线l 与a ,b ,c ,d 分别交于A 、B 、T 、P.由于(ab ,cd )=(AB ,TP ),而BP =-PB ,所以A T ?PB =B T ?A P ,即A

T/B

T =A P/PB 。于是可得初等几何中的角平分线性质定理。

通过上面的例子,从高等几何的角度变换命题,显然是不全面的,如还可用配极原则、对偶原理等来获得,甚至可能还有其他途径。参考文献:

[1]罗崇善.高等几何[M ].北京:高等教育出版社,1999.[2]梅向明.高等几何[M ].北京:高等教育出版社,2000.

(责任编辑:朱彬)

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6第7卷第1期 遵义师范学院学报 2005年2月