初等几何变换(一)

当k 0时，称同向位似，这时 P、P在O的同侧； 当k 0时，称反向位似，这时 P、P在O的异侧。
基本不变量：任二线段 之比是位似的不变量 . 即 AB : CD AB : CD
基本不变性：平行性、 保角性、保圆性 . 图形的位似还具有反身 性、对称性、传递性 .
3.相似变换: 任二对对应点 A与A，B与B， AB 有 k（相似比） AB
b.任二反射之积当反射轴斜交时,积是一次旋转. c.任二反射之积当反射轴垂直时,积是中心对称. 注:中心对称属于旋转.（见P564-565) 反射自身不构成“群”.
⑶旋转变换： a.有同一个旋转中心的所有旋转成“群”. b.不同中心旋转之积(α 、β 是旋转角）
当 360时，仍是一个旋转； 当 360时，成为一次平移。
O1、O2、O3三点共线 .
位似轴
例6( P585 )已知 : 在ABC中，AB AC, 有一圆O内切 于ABC的外接圆，且与 AB、AC分别切于P、Q， 求证 : 线段PQ的中点是ABC的内心. 思路:如图,T为⊙O与⊙ABC的切点， PQ交AT于M，图形以AT为对称轴， ∵PQ⊥AT,BC⊥AT,DE⊥AT,∴DT∥PM.
图形见P563. 应用---斯坦纳(Steiner)问题: 设有不共线的三村A、B、C,欲共挖一井, 问挖在何处,方使铺向三村的输水管总长最短。
问题转化为： 已知在ABC中，AP , BP , 0 B 120 0C 120 CP0 A 120, 求证：P0 A P0 B P0C PA PB PC.
作业：P 3.T 12 .T2
(7 4)2 9
原结论成立.
Q
例5.图形F1、F2、F3两两彼此位似， O1、O2、O3依次 是它们的位似中心，求 证 : O1、O2、O3三点共线 .
对于A1 A2 A3
A1O1 A2O2 A3O3 O1 A2 O2 A3 O3 A1
A1C1 A2C2 A3C3 1 C2 A2 C3 A3 C1 A1
例1.已知 : AD、BE、CF是ABC的三条中线， 由AD、BE、CF作成一个新ABC ， 使AB AD, BC BE, C A CF， 求证：S ABC 3 S ABC . 4
N (B′)
(C′)
M (A′)
例2.已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD边上的点， 且AE : EB DF : FC AD : BC，EF与AD、BC延长线分别 交于M、N点，求证：AME BNE.
初等几何变换(一)
一.复习介绍: 1.合同变换:(保持距离不变)
⑴变向:反射变换. ⑵保向:平移变换,旋转变换. 2.相似变换:(保持形状不变) 特殊地,位似变换.
二.变换与变换的乘积: 1.合同变换分:平移、反射、旋转三个变换.
⑴平移变换：每一个平移之逆也是平移，任 二个平移之积仍是平移. “平移成群” ⑵反射变换： a.任二反射之积当反射轴平行时,积是一次平移.
AM AT AP AD
M
∵AP⊥PO,AB⊥BT,∴PO∥BT.
AP AB AO AT AM AM AP AT AB AB k AO AP AO AD AT AD
D
T E 即在以A为中心,△ABC与△ADE的位似 变换下,k为位似比,而O是△ADE的内心, 故M是△ABC的内心.
当k 0时，称同向相似； 当k 0时，称反向相似。
不变量：任二线段之比 在相似变换下不变， 任二直线的夹角在相似变换下也不 变. 不变性：圆在相似变换 下的像还是圆 .
相似变换的分解定理： 任一相似变换皆可分解 成一个位似与一个合同 变换的乘积 .
所有的相似变换构成相 似变换群 .
三.举例:
G
1 2 1 2
H
例2.已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD边上的点， 且AE : EB DF : FC AD : BC，EF与AD、BC延长线分别 交于M、N点，求证：AME BNE.
1
2
1 2
K
源自文库
例3.已知ABC中, AB AC, P是ABC内一点, 且有APB APC, 求证 : PBA PCA.
C′
N
P′
合同变换:平面到自身的变换,若保持距离 不变,则称它为合同变换. 也可以说,合同变换不外是由平移、旋转 和反射复合而成. 定理:任一合同变换可分解为不多于 三个的反射之积. P565 所有的合同变换组成“群”.
2.位似变换:
位似中心O，P与P是对应点， OP k（位似比） OP