第10讲锐角三角函数
锐角三角函数(正弦、余弦和正切)
2．同一锐角三角函数的关系：
如图， 在 Rt△ ABC中，∠ C=90°， sin A
a ，cos A
b
，
c
c
则 sin2 A cos2 A
2
a
c
2
b
c
a2 b2 c2
c2 c2
1，即同一锐角的
正弦、余弦的平方和等于
1，或者说若
α
为锐角， 则
sinห้องสมุดไป่ตู้
2
2
α+cos α =1．
规律 学习锐角三角函数时，应明确三角函数值的两个变化规律： 1．特殊角的三角函数值的记忆规律：
Rt△ ABC中，∠ A+∠ B=90°，由
三角函数定义得
sin A
a ，cos(90
a
b
A) cosB ，cos A
sin B sin(90
A) ，
c
c
c
所以 sin A=cos（90° - A），cos A= sin （90° - A）．即任意锐角的余弦值等于它的余角的正
弦值，任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值．
锐角三角函数教案
概念
1．在直角三角形中，斜边大于直角边且各边均为正数，正弦、余弦都是直角边与斜边
的比值，正切是两直角边的比值，因此正弦值、余弦值都是小于
1 的正数，正切值是大于零
的数，并且都没有单位，即 0<sin A<1，0<cos A<1， tan A>0（∠ A为锐角）．
2．每一个三角函数都是一个完整的符号， 如 sin A不能理解为 sin · A，sin A 中的“ A”
2．锐角三角函数值的增减性：锐角 α 的正弦 sin α 值随着∠ α 的增大而增大；锐角
锐角三角函数ppt课件
5x
３x
令ＢＣ＝３x, AB=5x
又AC AB2 BC2 5x2 3x2 4x
cos A AC 4 AB 5
tan B AC 4 BC 3
15
类型四.如果不是直角三角形，要构造成直角三角形
如图，在△ABC中， ∠C=90°,AC=BC,BD为AC边上的中 线，求sin ∠ ABD和tan ∠ ABD
∠M的对边是_____P_N__;
想一想：∠P的 对边、邻边与 ∠M的对边、邻 边有什么关系？
（第 1 题） 5
观察图19.3.2中的Rt△AB1C1、 Rt△AB2C2和Rt△AB3C3， 它们之间有什么关系？
R所t以△ABBA11CCC11 1∽＝R__t△_BA_C2AC_2B_2 _2C__2∽_=R_t_△__ABA_C3B_C图33_3C_13_9._3..2 可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个 确定的值，其对边与邻边的比值是惟一确定 的.
3
我们已经知道，直角三角形ABC可以简 记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称 为斜边，用c表示，另两条直角边分别叫 ∠A的对边与邻边，用a、b表示.
图 19.3.1
4
如图，在Rt△MNP中，∠N＝90゜. ∠P的对边是___M__N_____,∠P的邻边是 ______P_N________;
cot A= A的邻边
A的对边
分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切，
统称为锐角∠A的三角函数.
8
注意：
1. 我们研究的锐角三角函数都是在直角三角形中定义的.
2. 三角函数的实质是一个比值，没有单位，也不能为负， 而且这个比值 只与锐角的大小有关与三角形边长无关.
锐角三角函数讲义
锐角三角函数讲义【知识点拨】知识点一：锐角三角函数的概念：锐角三角函数包括正弦函数，余弦函数，和正切函数，如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b ，c ． ∠A 的正弦=A asin A=c∠的对边，即斜边；∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tan=A b∠的对边，即∠的邻边注意：我们说锐角三角函数都是在直角三角形中讨论的！若没有直角，要想方设法构造直角。
课堂练习：1. 把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ＇B ＇C ＇，那么锐角A.A ＇的余弦值的关系为（ ）．A.cosA ＝cosA ＇B.cosA ＝3cosA ＇C.3cosA ＝cosA ＇D.不能确定 2. 已知中，AC =4，BC =3，AB =5，则（ ）A ．B ．C ．D ．3. 三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示，则sin α的值是（ ）Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45α图14.在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则sin B＝（）A． B． C． D．5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝3，则cos A＝，sin B＝，tan B＝，6.⑴如图1－1－7①、②锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律；⑵根据你探索到的规律，试比较18○、34○、50○、61○、88○这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．知识点二：特殊角三角函数值的计算知识点三：运用三角函数的关系化简或求值 1．互为余角的三角函数关系．sin （90○－A ）=cosA ， cos （90○－A ）=sin A tan （900－A ）＝ctan A ； ctan （900－A ）＝tan A2．同角的三角函数关系． ①平方关系：sin 2A+cos 2A=l ② 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin A AA A A A==sin cos a a += ③倒数关系： tgα·ctgα=1．课堂练习：1. 如α∠是等腰直角三角形的一个锐角，那么cos α的值等于（ ）Ａ．12Ｄ．12. 45cos 45sin +的值等于（ ） A. 1B. 2C. 3D.213+ 3. 下列计算错误的是（ ）A ．sin 60sin 30sin 30︒-︒=︒B ．22sin 45cos 451︒+︒=C ．sin 60cos 60cos 60︒︒=︒D ．cos30cos30sin 30︒︒=︒4. 已知a 为锐角，sina=cos500则a 等于（ ）A 20°B 30°C 40°D 50°5. 若tan(a+10°)=3，则锐角a 的度数是 ( ) A 、20° B 、30° C 、35° D 、50°6. (兰州市)如果sin 2α＋sin 230°＝１那么锐角α的度数是（ ）Ａ．１５° Ｂ．３０° Ｃ．４５° Ｄ．６０° 7. 已知α为锐角，且sin α－cos α=12 ，则sin α·cos α=___________8. cos 2α+sin 242○ =1，则锐角α=______.9. tan30°sin60°＋cos 230°－sin 245°tan45°10. 22sin30cos60tan 60tan30cos 45+-⋅+︒．11. 22sin 45cos30tan 45+-知识点四：锐角三角函数的增减性三角函数的单调性1． 正弦和正切是增函数，三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小．2． 余弦是减函数，三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。
《锐角三角函数》 讲义
《锐角三角函数》讲义一、锐角三角函数的定义在直角三角形中，我们把锐角的对边与斜边的比值叫做正弦（sin），锐角的邻边与斜边的比值叫做余弦（cos），锐角的对边与邻边的比值叫做正切（tan）。
以一个锐角为 A 的直角三角形为例，假设其对边为 a，邻边为 b，斜边为 c。
那么，sin A ＝ a ／ c，cos A ＝ b ／ c，tan A ＝ a ／ b 。
需要注意的是，锐角三角函数的值只与角的大小有关，而与三角形的大小无关。
二、特殊角的三角函数值我们要牢记一些特殊角的三角函数值，这在解题中会经常用到。
30°角：sin 30°＝ 1 ／ 2，cos 30°＝√3 ／ 2，tan 30°＝√3 ／ 3 。
45°角：sin 45°＝√2 ／ 2，cos 45°＝√2 ／ 2，tan 45°＝ 1 。
60°角：sin 60°＝√3 ／ 2，cos 60°＝ 1 ／ 2，tan 60°＝√3 。
三、锐角三角函数的应用锐角三角函数在实际生活中有广泛的应用。
比如，测量物体的高度。
如果我们知道一个物体与我们的水平距离，以及我们观测物体顶部的仰角，就可以通过三角函数来计算物体的高度。
假设我们站在水平地面上，距离一个建筑物为 d 米，观测建筑物顶部的仰角为α，那么建筑物的高度 h 就可以通过tanα ＝ h ／ d 来计算，即 h ＝d × tanα 。
再比如，测量河流的宽度。
我们可以在河的一岸选择一个点，然后测出对岸一个目标点与这个点的连线和河岸的夹角，以及这个点到河岸的垂直距离，从而计算出河流的宽度。
四、锐角三角函数的性质1、取值范围正弦和余弦的值域都在-1, 1之间，而正切的值域是全体实数。
2、增减性在锐角范围内，正弦函数值随着角度的增大而增大，余弦函数值随着角度的增大而减小，正切函数值随着角度的增大而增大。
(完整)锐角三角函数—知识讲解
锐角三角函数—知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值,并熟练准确的记住特殊角的三角函数值; 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系"及“锐角三角函数值随角度变化的规律".【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时,比值也随之变化． （2）sinA ，cosA,tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF),其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成 “tanAEF"；另外,、、常写成、、．(3）任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值,不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4）由锐角三角函数的定义知：当角度在0°〈∠A〈90°间变化时,，，tanA ＞0．要点二、特殊角的三角函数值锐角Ca bc30°45°160°要点诠释:（1）通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值,它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．（2)仔细研究表中数值的规律会发现:、、的值依次为、、,而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小)而增大(或减小）；②余弦值随锐角度数的增大(或减小）而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°．(1）互余关系：，;(2)平方关系:; （3)倒数关系：或；（4）商数关系：．要点诠释:锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出,常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A,B，C都在格点上,则∠ABC的正切值是（）A ．2B ．C ．D ．【思路点拨】根据勾股定理，可得AC 、AB 的长，根据正切函数的定义，可得答案． 【答案】D ． 【解析】 解:如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2,BC=， ∴△ABC 为直角三角形, ∴tan ∠B==，故选：D ．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC 、AB 的长，再求正切函数． 举一反三:【变式】在Rt ΔABC 中,∠C =90°，若a =3，b =4，则c = ,sinA = , cosA = ，sinB = ， cosB = ．【答案】c = 5 ,sinA = 35 ， cosA =45，sinB =45， cosB =35．类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求下列各式的值:(1）（2015•茂名校级一模） 6tan 230°﹣sin60°﹣2sin45°；ACa bc(2）(2015•乐陵市模拟）sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°；(3)(2015•宝山区一模）+tan60°﹣．【答案与解析】解：(1）原式==122-．(2）原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+=63-；（3）原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2=322+．【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【变式】在RtΔABC中,∠C=90°，若∠A=45°,则∠B=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B=45°,sinA=22，cosA=22，sinB=22，cosB=22．类型三、锐角三角函数之间的关系3．(2015•河北模拟）已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+｜sinB﹣｜=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求(1+sinA ）2﹣2﹣（3+tanC ）0的值．【答案与解析】解：（1）∵｜1﹣tanA)2+|sinB ﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°,∠B=60°,∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC 是锐角三角形；（2）∵∠A=45°,∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ， 若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案与解析】连结AC,∵ AB 是⊙O 的直径,∴ ∠ACP ＝90°， 又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ，∴ △PCD ∽△PAB,∴ PC CD PA AB=． 又∵ CD ＝6,AB ＝10， ∴ 在Rt △PAC 中,63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质,利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC,由AB 是⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，cos PC APC PA ∠=，PC 、PA 均为未知,而已知CD ＝6，AB ＝10,可考虑利用△PCD ∽△PAB 得PC CDPA AB=．5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①,在△ABC 中，AB ＝AC,顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题:(1）sad60°＝________．(2）对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．（3）如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1）1； （2)0＜sadA ＜2;(3）如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a,∴ 22(5)(3)4AC a a a =-=，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，22(3)10BD a a a =+=， ∴ 10sadA 5BD AD ==． 【总结升华】（1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等,故sadA ＝1；（2)在图①中设想AB ＝AC 的长固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，则sadA 接近0但永远不会等于0，故sadA ＞0，当∠A 接近180°时，BC 接近2AB ，则sadA 接近2但小于2，故sadA ＜2；（3）将∠A 放到等腰三角形中，如图2所示,根据定义可求解．。
九年级数学《锐角三角函数》课件
h
A
α
l
C
展示评讲
坡比（坡度）：坡面的竖直高度h与水平长 B
度l的比叫做坡面的~ 即：i h
l
i h:l
h
A
l
C
正切：如图，在Rt∆ABC中，我们把锐角A
的对边与邻边的比叫做∠A的正切，即
B
tan
A
A的对边 A的邻边
BC AC
a b
ha
注意：tanA还可以写成tan∠A或A α tanα或tan∠BAC或tan∠1
锐角三角函数
引入新课
汽车爬坡能力是衡量汽车性 能的一个重要标志，很明显， 若汽车所爬坡面越陡，汽车 爬坡能力越强. 即：坡角越大，坡面就越陡.
B
h
A αl
C
学习目标
1、理解并掌握正切的定义，明确角 与线段的比的关系； 2、会利用正切的定义求任意一个锐 角的正切值； 3、利用坡度和坡比的概念解决实际 问题。
自学思考
1、水平长度一定时，坡角与什么因素有关呢？
竖直高度越大，坡面越陡，坡角越大
2、竖直高度一定时，坡角与什么因素有关呢？
水平长度越小，坡面越陡，坡角越大
3、水平长度与竖直高度都不同时，坡角与什么因素有关呢？
竖直高度与水平长度的比值越大，坡面越 陡，坡角越大
展示评讲 三角函数：在直角三角形中
B
lb
C
当堂检测
1、(25分)在∆ABC中，AC=5，BC=4，AB=3，则tanA= ，
tanB=
.
2、(25分)在∆ABC中，∠C=90度，AB=2BC，则
tanA= ，
tanB=
.
ห้องสมุดไป่ตู้
3、(25分)如3 图1所示为某拦水坝的横截面，迎水坡AB的
完整版)锐角三角函数超经典讲义
完整版)锐角三角函数超经典讲义锐角三角函数锐角三角函数是三角函数的一种，包括正弦、余弦和正切。
在一个锐角三角形中，锐角的对边、邻边和斜边之间的比例就是锐角三角函数。
具体来说，对于锐角A，其正弦、余弦和正切分别表示为sinA、cosA和XXX。
其中，XXX表示A的对边与斜边的比，cosA表示A的邻边与斜边的比，XXX表示A的对边与邻边的比。
这些符号都是完整的，单独的“sin”没有意义。
在用大写字母表示角度时，一般省略“∠”符号。
在求解锐角三角函数时，关键在于构造以此锐角所在的直角三角形。
例如，在一个直角三角形ABC中，如果已知∠C=90°，cosB=4/5，则AC：BC：AB=3：4：5.另外，需要注意的是，正弦、余弦和正切是实数，没有单位，它们的大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。
例1：在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE。
证明△ABE≌△DFA，并求sin∠EDF的值。
解：首先，连接AC，易得△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°。
又因为AE=BC，所以△ABE和△ACD相似，即∠ABE=∠ACD，∠XXX∠ADC。
又因为∠ADC=90°，所以∠AEB=90°。
因此，△ABE和△DFA是全等三角形。
接下来，求sin∠EDF的值。
由于∠BAC=45°，所以∠AED=45°。
由于△ABE和△DFA全等，所以∠XXX∠BAE=45°。
因此，sin∠EDF=sin45°=1/√2.例2：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC面积（结果可保留根号）。
解：由于∠A=60°，∠B=45°，所以∠C=75°。
根据三角函数的定义，可以得到：sin75°=cos15°=(sin60°cos45°+cos60°sin45°)/2=√6+√2/4cos75°=sin15°=(sin60°cos45°-cos60°sin45°)/2=√6-√2/4因此，△ABC面积为S=(1/2)AB·BC·sin75°=4(√6+√2)。
第10课锐角三角函数的增减性(学生版)
精品文档.第10课 锐角三角函数的增减性及取值范围学习目标：1. 知道锐角三角函数的增减性及取值范围，并能运用解题.2. 探究并掌握锐角三角函数的三个关系，并能运用解题. 学习过程：一、复习旧知：填表并观察：∠A30° 45° 60° sia A cos A tan A二、探究新知：探究一：锐角三角函数的增减性 1. 总结：（1）在0°－90°之间，锐角α的正弦值随角度的增大而 ； （2）在0°－90°之间，锐角α的余弦值随角度的增大而 ； （3）在0°－90°之间，锐角α的正切值随角度的增大而 . 2. 比较大小：（1）sin10° sin20° sin88° sin79°（2）cos10° cos20° cos88° cos79° （3）tan10° tan 20° tan 88° tan 79° 3. 确定下列各式的符号：（1）sin50°- sin49°； （2）cos79°- cos80°； （3）tan36°- tan40°. 4. 计算cos44°最接近的结果是（ ）A 、0.90B 、0.72C 、0.69D 、0.665. 已知 sin α=23，α是锐角，则下列答案正确的是（ ） A 、α＜30° B 、3045︒<α<︒； C 、4560︒<α<︒； D 、60α>︒探究二：锐角三角函数的取值范围:总结：0°＜α＜90°，则锐角α的正弦值的范围是 ；0°＜α＜90°，锐角α的余弦值的的范围是 ； 0°＜α＜90°，锐角α的正切值的的范围是 .例2. 若∠A 为锐角,那么sinA+cosA 的值正确的是（ ）A 、大于1B 、等于1C 、小于1D 、无法确定 探究三：锐角三角函数之间的关系:如图：sin α= ，cos α= ，tan α=sin β= ，cos β= ，tan β=1. 互余两角的正余弦之间的关系：若90α+β=︒，则：sin α= ；cos α= ； 2. 平方关系：22sin cos =α+α ；3. 商数关系：sin =cos αα ，即 .例3：化简：21sin 42sin 481-︒+︒-三、达标练习：1. 已知α为锐角，tan(90)3︒-α=，则α的度数是 ；2. 在△ABC 中，∠C=90°，tanA=1，那么cosB= .3. 若∠A 为锐角，且sinA=cosA ，则∠A = .4. 在△ABC 中，1sin B cos(90C)2=︒-=，那么△ABC 是 三角形. 5. 化简：︒+︒38os -π52cos -12c四、课堂小结：这节课你收获了什么？五、作业布置：在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，∠ADC=45°， 点D 是BC 上的一点，且BD=10cm,求AC 的长三角函数值 三角 函数。