命题逻辑II 范式与推理理论共46页
3命题逻辑的推理理论
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有效推理的等价定理 定理3.1 命题公式A 定理3.1 命题公式A1,A2,…,Ak推B的推理正确当且仅当 为重言式。 (A1∧A2∧…∧Ak )→B 为重言式。
说 明
该定理是判断推理是否正确的另一种方法。 该定理是判断推理是否正确的另一种方法。
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定理3.1的证明 定理3.1的证明 3.1 (1)证明必要性。 的推理正确， (1)证明必要性。若A1,A2,…,Ak推B的推理正确， 证明必要性 ,A 则对于A 中所含命题变项的任意一组赋值， 则对于A1,A2,…,Ak,B中所含命题变项的任意一组赋值，不会出 ,A ,B中所含命题变项的任意一组赋值 现A1∧A2∧…∧Ak为真，而B为假的情况， ∧A 为真， 为假的情况， 因而在任何赋值下，蕴涵式( 均为真， 因而在任何赋值下，蕴涵式(A1∧A2∧…∧Ak )→B均为真，故它 ∧A )→B均为真 为重言式。 为重言式。 (2)证明充分性。若蕴涵式( 为重言式， (2)证明充分性。若蕴涵式(A1∧A2∧…∧Ak)→B为重言式， 证明充分性 ∧A )→B为重言式 则对于任何赋值此蕴涵式均为真， 则对于任何赋值此蕴涵式均为真，因而不会出现前件为真后件 为假的情况， 为假的情况， 即在任何赋值下，或者A 即在任何赋值下，或者A1∧A2∧…∧Ak为假， ∧A 为假， 或者A 同时为真，这正符合推理正确的定义。 或者A1∧A2∧…∧Ak和B同时为真，这正符合推理正确的定义。 ∧A
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关于推理定律的几点说明 注意⇒ 的区别。 注意⇒ 与→ 的区别。 若一个推理的形式结构与某条推理定律对应的蕴涵式 一致，则不用证明就可断定这个推理是正确的。 一致，则不用证明就可断定这个推理是正确的。 2.1节给出的24个等值式中的每一个都派生出两条推理 2.1节给出的24个等值式中的每一个都派生出两条推理 节给出的24 定律。例如双重否定律A 定律。例如双重否定律A⇔¬ ¬A产生两条推理定律 A ⇒¬ ¬ A 和 ¬ ¬ A ⇒A 。 由九条推理定律可以产生九条推理规则, 由九条推理定律可以产生九条推理规则,它们构成了推 理系统中的推理规则。 理系统中的推理规则。
命题逻辑的推理理论
前提引入 ①化简 ①化简 前提引入 ②④假言推理 前提引入 ③⑥假言推理 ⑤⑦析取三段论
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附加前提法
有时推理旳形式构造具有如下形式 ： 前提：A1, A2, …, Ak 结论：CB
可将结论中旳前件也作为推理旳前提，使结论只为B。 前提：A1, A2, …, Ak, C 结论：B
理由： (A1A2…Ak)(CB) ( A1A2…Ak)(CB) ( A1A2…AkC)B (A1A2…AkC)B
当推理中包括旳命题变项较多时，上述三种措施演 算量太大。
对于由前提A1,A2,…,Ak推B旳正确推理应该给出严谨 旳证明。
证明是一种描述推理过程旳命题公式序列，其中旳 每个公式或者是前提，或者是由某些前提应用推理 规则得到旳结论（中间结论或推理中旳结论）。
要构造出严谨旳证明就必须在形式系统中进行。
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例题
（2） 形式构造：
前提：(p∧q)→r,┐s∨p,q 结论：s→r
（3）证明：用附加前提证明法
①s
附加前提引入
② ┐s∨p
前提引入
③p
①②析取三段论
④ (p∧q)→r
前提引入
⑤q
前提引入
⑥ p∧q
③⑤合取
⑦r
④⑥假言推理
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归谬法（反证法）
有时推理旳形式构造具有如下形式：
前提：A1, A2, …, Ak 结论：B
只要不出现(3)中旳情况，推理就是正确旳，因而判断 推理是否正确，就是判断是否会出现(3)中旳情况。
推理正确，并不能确保结论B一定为真。
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例题
例3.1 判断下列推理是否正确。（真值表法）
(1) {p,p→q}├ q (2) {p,q→p}├ q
逻辑学第一章 逻辑、命题、推理ppt课件
二、逻辑学的研究对象 逻辑学是一门古老的科学，至今已有2000多年的
历史。它有三个发源地，这就是古代的中国、印度和 希腊。
其研究对象主要是思维的形式结构及其规律的简 单操作的逻辑方法。
表一：三种原创哲学的比较
印度哲学 中国哲学 古希腊哲学
研究内容 人生哲学 社会伦理哲学 自然哲学和认识论
研究及思维方式 说教
“如果……那么……”是不变的部分，是这一类命题所共同 具有的，不变部分是“p”和“q”所表示的各不相同的具体 思维内容间共同的联系方式。
[例7] 所有违法行为都是要受法律追究的， 所有偷税行为都是违法行为， 所以，所有偷税行为都是要受法律追究的。
[例8] 所有公民都是民事权利的主体， 超计划生育的孩子是公民， 所以，超计划生育的孩子是民事权利的主体。
思维形式结构本身无所谓真假，但其中的变项代入具体内容后，
便形成了逻辑上有真有假的具体思想。
同一思维形式结构在不同的代入下，成为有不同内容的具体思
想。这些具体思想事实上是真是假，即是否符合客观事物情况，逻
辑学并不能解决。
逻辑学关心的是，当变项代入具体内容时，基于思维形式结构
的不同，其真假情况所表现出的规律性。
例如“所有S是P”、“如果P，那么q”等。 逻辑学便是论证逻辑规律，分析逻辑矛盾，说明什么样的思维
具有形式结构上的正确性或可靠性，是合乎逻辑的。
综上所述，逻辑学是研究思维的形式结构及其规律和
简单的逻辑方法的学说。推理形式及其有效性的判定是它 的核心内容。
第二节 逻辑学的渊源
一、感性认识
Heraclitus（约前540年—前480年） 古希腊哲学家、爱非斯派的创始人
引论
逻辑
逻辑学 性质意义
命题逻辑
假命题 真命题 不是命题 不是命题 不是命题 不是命题 命题，但真值现在不知道 不是命题，悖论
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命题符号： 用来表示命题符号。
通常用小写英文字母 p, q, r, …, pi, qi, ri (i1)表示命题。 例如，令 p：2 是有理数，则 p 的真值为0， q：2 + 5 = 7，则 q 的真值为1 命题符号分类：
0 v(A ) 1
若v(B ) 1且v(C ) 0
else
7、若A为等价式(B C) ，则
1 v(A ) 0
若v(B ) v(C )
else
成真赋值：当v(A)=1时，称v满足A，记为v 成假赋值：当v(A)=0时，称v不满足A，记为v 例、A=pq v(p)=1,v(q)=0, v(A)=1 v(p)=0,v(q)=0, v(A)=0
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判断下列各组公式是否等值: (1) p(qr) 与 (pq) r p q r 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 qr 1 1 0 1 1 1 0 1 p(qr) 1 1 1 1 1 1 0 1 pq (pq)r 1 1 1 1 1 1 0 1
这些联结词有明确的含义，注意与自然语言对应词的联系与区别 !
否定词符号
设p是一个命题， p称为p的否定式。 p是真的当且仅当p是假的。 p 1 p 0
0
例、 p： 上海是一个大城市。 p：上海不是一个大城市。
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合取词符号
设p，q是两个命题，命题 “p并且q”称为p，q的合取， 记以pq，读作p且q。 pq是真的当且仅当p和q都是真的。 例、 p：22=5， q：雪是黑的 pq：22=5并且雪是黑的
3第三章 命题逻辑的推理理论
从语言角度, 推理分为语义和语法两种。 从语言角度, 推理分为语义和语法两种。 语义(semantics)推理注重内涵的正确性 也就是从真 语义(semantics)推理注重内涵的正确性, 也就是从真 推理注重内涵的正确性, 要推出真的结论来, 的前提出发要推出真的结论来 推理过程考虑得少, 的前提出发要推出真的结论来, 推理过程考虑得少,关 心的是结论的正确性。 心的是结论的正确性。 语法推理则注重形式上的有效, 注重推理过程是否符 语法推理则注重形式上的有效, 注重推理过程是否符 则注重形式上的有效 合某些事先规定的逻辑规则, 结论是严格遵循规则 合某些事先规定的逻辑规则, 若结论是严格遵循规则 有效的 得到的, 那便是有效 得到的, 那便是有效的。 数理逻辑主要采用语法推理, 数理逻辑主要采用语法推理, 它关心的是结论的有效 不关心前提的实际真值, 性，而不关心前提的实际真值, 当然语法推理作为一 种推理方法, 种推理方法, 它必须能反映客观事物中真实存在的逻 辑关系, 语法推理必须保证语义上的正确性 必须保证语义上的正确性。 辑关系, 即 语法推理必须保证语义上的正确性。
3、2.1节给出的24个等值式中的每个都可以 2.1节给出的 个等值式中的每个都可以 节给出的24 派生出两条推理定律。 派生出两条推理定律。 例如：双重否定律 A⇔¬¬A ⇔¬¬A 例如： 可以产生两条推理定律 A⇒¬¬A ¬¬A ¬¬A ¬¬A ⇒A
§3.2 自然推理系统P 自然推理系统P
由上一节知识可知，可以利用真值表法、等值演算法 由上一节知识可知，可以利用真值表法、 真值表法 和主析取范式法三种方法来判断推理是否正确。 和主析取范式法三种方法来判断推理是否正确。 三种方法来判断推理是否正确 但是，当推理中包含的命题变项较多时，以上三种 命题变项较多时 但是，当推理中包含的命题变项较多 方法的演算量太大。因此对于由前提A1, A2,…,Ak推 方法的演算量太大。因此对于由前提A B的正确推理应给出严谨的证明。 正确推理应给出严谨的证明。 证明是一个描述推理过程的命题公式序列， 证明是一个描述推理过程的命题公式序列，其中的每 是一个描述推理过程的命题公式序列 个公式是已知前提或者是由某些前提应用推理规则得 个公式是已知前提或者是由某些前提应用推理规则得 已知前提或者是 到的结论。 到的结论。
命题逻辑的推理理论
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直接证明法
(2) 写出证明的形式结构
前提：(pq)r, rs, s
结论：pq (3) 证明 ① r s ② s ③ r ④ (p q) r 前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入
⑤ (p q)
⑥ pq
③④拒取式
⑤置换
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附加前提证明法
可见，推理的有效性是一回事，前提与结论的 真实与否是另一回事。所谓推理有效，指它的结 论是它的前提的合乎逻辑的结果，也即，如果它 的前提都为真，那么所得结论也必然为真，而并 不是要求前提或结论一定为真或为假。如果推理 是有效的话，那么不可能它的前提都为真时而它 的结论为假。
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推理的形式结构
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练习1解答
方法二：主析取范式法， (pq)qp ((pq)q)p pq M2 m0m1m3 未含m2, 不是重言式, 推理不正确.
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练习1解答
(2) 前提：qr, pr 结论：qp 解 推理的形式结构： (qr)(pr)(qp) 用等值演算法
附加前提证明法: 适用于结论为蕴涵式
欲证
前提：A1, A2, …, Ak
结论：CB 前提：A1, A2, …, Ak, C 结论：B
等价地证明
理由：(A1A2…Ak)(CB) ( A1A2…Ak)(CB) ( A1A2…AkC)B
(A1A2…AkC)B
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推理定律——重言蕴涵式
1. A (AB)
附加律
2. (AB) A
3. (AB)A B 4. (AB)B A
第二章命题逻辑第一节命题和推理概述[定稿]
第二章命题逻辑第一节命题和推理概述[定稿]第一篇：第二章命题逻辑第一节命题和推理概述[定稿]第二章命题逻辑第一节命题和推理概述一、命题特征命题就是对事物情况的陈述。
客观事物有各种各样的情况。
各种事物的性质，一事物与它事物的关系等等都是事物的情况。
当人们认识了事物的情况，并通过语句把这种认识陈述和表达出来，就形成了命题。
[例1] 法是由一定的物质生活条件及由此决定的统治阶级整体意志的体现，是由国家决定或认可的并由国家强制力保障实施的具有普遍效力的行为规范的总和，目的在于维护、巩固和发展一定的社会关系和社会秩序。
[例2] 赠与合同是赠与人将自己的财产无偿给予受赠人，受赠人表示接受赠与的合同。
[例3] 公诉人反驳了被告人的辩解。
[例4] 如果一方当事人在订立合同时有重大误解，那么他有权请求人民法院或者仲裁机构变更或撤销该合同。
以上各例都是命题，它们分别陈述了四种不同的事物情况。
从中我们可以看出命题有如下特征：1、任何命题都有所陈述。
如果对事物情况无所陈述，就不能称之为命题。
例如，“这个案件应该如何处理？”这个疑问句，既末说明该案件应怎样处理，也未说明不应怎样处理，即未对“这一案件究竟如何”这一事物情况做出陈述，而只是提出一个问题，所以，它不是命题。
又例如，“你认为原告要求的精神损害赔偿合理吗？”这也是提出一个问题，而没有作明确的陈述，因而也不是命题。
2、任何命题都有真假。
命题既然是对事物情况的陈述，它就应该有真假。
如果一个命题所陈述的与客观实际情况相一致，这个命题就是真的；如果一个命题所陈述的与客观实际不一致，这个命题就是假的。
例如，“法是有阶级性的”就是一个真命题；“检察院是国家的审判机关”则是一个假命题。
任何命题或者真，或者假，但不能既真又假。
命题的真、假二值，逻辑上统称为命题的真值，又称为命题的逻辑值。
真命题的真值（或逻辑值）为真，假命题的真值（或逻辑值）为假。
命题有内容和形式两个方面，它们既相联系，又相区别。
03命题逻辑的推理理论 ppt课件
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推理的形式结构
(1) 设={ A1, A2, …, Ak}，记为┣B。
(2) A1A2…AkB
(3)
前提： 结论：
A1, B
A2,
…
, Ak
说明 当推理正确时， 形式（1）记为 ╞ B。
形式（2）记为A1A2…AkB。 表示蕴涵式为重言式。
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判断有效结论的常用方法
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
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精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
前提引入
⑤q
前提引入
⑥ p∧q
③⑤合取
⑦r
④⑥假言推理
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例题
例3.6 在自然推理系统P中构造下面推理的证明。
如果小张守第一垒并且小李向B队投球，则A队将取胜；或者A队 未取胜，或者A队获得联赛第一名；A队没有获得联赛的第一名 ；小张守第一垒。因此，小李没有向B队投球。
构造证明：
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自然推理系统的定义
（7）拒取式规则
AB B A
（8） 假言三段论规则
AB BC AC
（9）析取三段论规则
AB B A
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自然推理系统的定义
（10）构造性二难推理规则
AB CD AC BD
（11）破坏性二难推理规则
AB CD BD AC
第01章命题逻辑
判断给定句子是否为命题, 应该分两步：
首先判定它是否为陈述句, 其次判断它的真值是 否唯一。
例1.1 判断下例句子是否为命题。
(1) 2 是素数。
(2) 雪是黑色的。
(3) 1+101=110
(4) 十是整数。
(5) 向右看齐！
(6) 今天是十五号。
(7) 这朵花多美啊！ (8) 我们这里四季如春。
命题符号化是很重要的, 一定要掌握好。 在命题推理中常常最先遇到的就是符号化 这个问题, 解决不好, 等于说推理的首要前提 没有了。
在本节结束时, 应强调指出的是: 复合命题的真值只
取决于各原子命题的真值, 而与它们的内容、含义无关, 与原子命题之间是否有关系无关。
理解和掌握这一点是至关重要的, 请认真领会。
2. 在自然语言中, “如果P, 则Q”中的前件P与后件Q往往具有某 种内在联系。而在数理逻辑中, P与Q可以无任何内在联系。
3. 在数学或其它自然科学中, “如果P, 则Q”往往表达的是前件 P为真, 后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中, 作为 一种规定, 当P为假时, 无论Q是真是假, PQ均为真。即: “只有P为真Q为假”使得复合命题PQ为假。
或 0 表示“假”。
(3) 命题中的联结词也符号化: ¬、∧、∨、、。
四、命题常量与命题变元
简单命题可用命题标识符表示。表示命题的符号有双 重作用:
(1) 如果命题标识符表示确定的命题(真值确定)——命题 常元;
(2) 如果命题标识符只表示任意命题的位置标志, 即可表
示任意命题(真值不确定)——命题变元。
由它构成的命题称为简单命题。简单命题是命题逻
辑的基本单位。
三、命题符号化
逻辑与命题的基本概念与推理
逻辑与命题的基本概念与推理逻辑和命题是数理逻辑学的两个基本概念，它们在日常生活中也有广泛的应用。
本文将介绍逻辑与命题的基本概念和推理方法，以加深对这两个概念的理解。
一、逻辑的基本概念逻辑是研究思维和推理的科学，它是数理逻辑学的核心概念之一。
在逻辑学中，逻辑分为形式逻辑和实质逻辑两大分支。
形式逻辑主要研究和推理规则相关的内容，而实质逻辑则关注事物的实质和内在规律。
逻辑学的研究对象主要包括命题、推理和论证。
其中，命题是逻辑学的基本单位，推理是根据命题之间的逻辑关系得出新的结论，论证则是通过推理来支持或证明某个观点或论点。
二、命题的基本概念命题是一个可以被判断为真或假的陈述句。
命题可以用符号表示，常用大写字母P、Q、R等表示命题变元，将命题的真假分别用T和F 表示。
命题可以进行逻辑运算，包括与、或、非、蕴含和等价等。
逻辑运算中的与、或和非分别表示命题的合取、析取和否定。
合取表示两个命题同时为真的情况，析取表示两个命题至少有一个为真的情况，否定表示对命题的否定判断。
蕴含表示一个命题通过逻辑推理可以得出另一个命题，等价表示两个命题具有相同的真值。
这些逻辑运算可以通过真值表来表示，以便更清晰地理解命题之间的关系。
三、推理的基本概念推理是通过逻辑的方法和规则，从一组已知的命题出发，得出新的命题或结论的过程。
在推理过程中，通常会使用一些逻辑规则，如假言推理、分离规则、拒取规则等。
假言推理是指通过假设一个条件命题成立，然后根据这个条件推导出另一个结论。
分离规则指根据命题中的合取和析取关系进行推理。
拒取规则则是通过否定一个命题，然后推导出与之相反的结果。
推理的目的是通过已知命题的逻辑关系，来得出新的结论或验证某个观点的真实性。
在推理过程中，需要注意逻辑的严谨性和合理性，以确保推理的正确性和可靠性。
四、逻辑推理的应用举例逻辑推理在日常生活中有多种应用。
例如，在法律领域中，律师需要运用逻辑推理来证明或反驳某个案件中的事实和证据。