初中数学中的解方程.pdf
初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)-第08章-二次方程与方程组
第八章 二次方程与方程组第一节 一元二次方程【赛题精选】§1、一元一次方程的解法主要有：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法。
例1、利用直接开平方法解下列关于x 的方程。
（1）0)1(9)2(22=+--x x （2）)0(0)22()(22>=+-+a a x a x（3）)21(2142222nx n x n x x ++=++例2、利用因式分解法解下列关于x 的方程。
（1）(5x+2)(x-1)=(2x+11)(x-1) （2）0452=+-x x(3)02_23()12(2=++-+x x (4)0)()(22222=-++-q p pq x q p x（5）x m x m x x m )1()1()1(2222-=--+-例3、用配方法解下列关于x 的方程。
（1）)0(02≠=++a c bx ax （2）03)12()1(2=-+-+-m x m x m（3）01333223=-+++x x x§2、根的判别式、根与系数的关系韦达定理：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为1x 、2x ，那么1x 、2x 与a 、b 、c的关系为：两根之和a b x x -=+21；两根之积ac x x =21。
例4、若首项系数不相等的两个二次方程02)2()1(222=+++--a a x a x a （1）、02)2()1(222=+++--b b b x b （2）（其中a 、b 均为正整数）有一个公共根。
求ab ab b a b a --++的值。
例5、已知方程02=++c bx x 与02=++b cx x 各有两个根1x 、2x 及'1x 、'2x ，且1x 2x ＞0，'1x '2x ＞0。
求证：（1）1x ＜0，2x ＜0，'1x ＜0，'2x ＜0；（2）b-1≤c ≤b+1；（3）求b 、c 所有可能的值。
初中数学必备 一元二次方程的解法—知识讲解
x2
−
7 10
x
+
49 400
−
49 400
−
4
=
−10
x
−
7 20
2
−
49
400
−
4
=
−10
x
−
7 20
2
+
49 40
−
4
=
−10
x
−
7 20
2
−
111 40
．
∵
−10
x
−
7 20
2
0
，∴
−10
x
+
7 4
2
=
25 16
，
直接开平方，得 x + 7 = 5 ． 44
∴
x1
=
−
1 2
，
x2
=
−3
．
【总结升华】方程(1)的二次项系数是 1，方程(2)的二次项系数不是 1，必须先化成 1，才能配方，这是
关键
的一步．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，目的是把方程化为
(mx + n)2 = P(P 0) 的形式，然后用直接开平方法求解．同时要注意一次项的符号决定了左
【典型例题】 类型一、用配方法解一元二次方程
1. 用配方法解方程： (1) x2 − 4x −1 = 0 ；
【答案与解析】 (1)移项，得 x2 − 4x = 1 ．
(2) 2x2 + 7 x + 3 = 0 ．
初中数学解方程技巧总结
初中数学解方程技巧总结在初中数学学习中，解方程是一个重要的内容。
解方程的目的是要找出未知数的值，通过一系列的运算和推理来求解问题。
为了帮助同学们更好地掌握解方程的技巧，以下是一些解方程的常用技巧总结。
1. 使用逆运算法则解方程的核心是利用逆运算法则，也就是对等式两边进行相同的运算，以保持等式的平衡。
常用的逆运算有加法逆运算、减法逆运算、乘法逆运算、除法逆运算等。
例如，对于方程3x + 4 = 10，我们可以先用减法逆运算将4减去，得到3x = 6，然后再用除法逆运算除以3，得到x = 2。
2. 移项法当方程中存在多个项，且未知数不在一个项中时，可以使用移项法来进行转化。
移项法是指将所有包含未知数的项移到一边，常用的方法是通过加法逆运算和移项来实现。
例如，对于方程2x + 5 = 3x - 1，我们可以将2x和3x移到等号同一侧，得到2x - 3x = -1 - 5，化简后得到-x = -6，然后再乘以-1得到x = 6。
3. 去括号法当方程中存在括号时，我们可以先进行去括号操作，然后再根据需要进行移项和运算。
例如，对于方程2(x + 3) = 10，我们首先去括号得到2x + 6 = 10，然后继续移项和运算得到2x = 4，最后除以2得到x = 2。
4. 特殊情况的处理：无解和恒等式有时候方程可能出现无解或者恒等式的情况。
当方程两边的系数一致但常数项不等时，方程无解；当方程两边的系数和常数项都一致时，方程为恒等式。
例如，对于方程3x + 2 = 3x + 4，我们可以发现方程两边的系数和常数项都一致，因此方程为恒等式，即对于任意的x都成立。
再例如，对于方程3x + 2 = 3x + 5，我们可以观察到方程两边的系数一致但常数项不等，因此方程无解。
5. 方程组的解法有时候我们会遇到方程组，即由多个方程组成的一组方程。
解决方程组的方法可以采用代入法、消元法或图像法等。
代入法是从方程组中选取一个方程，将这个方程的一个变量用其他方程中的变量表示出来，然后代入到其他方程中，进而求解出未知数的值。
初中数学解决复杂方程的简便方法
初中数学解决复杂方程的简便方法解决数学方程，特别是复杂的方程对于初中学生来说可能是一项挑战。
然而，通过掌握一些简便的方法和技巧，我们可以更轻松地解决这些方程。
本文将介绍一些初中数学解决复杂方程的简便方法。
1. 消元法消元法是解决一元一次方程组的常用方法，也可以用于解决一元二次方程。
这个方法的基本思想是通过消去含有未知数的项，从而将方程化为一个更简单的形式。
例如，对于方程2x + 3 = 7，我们可以通过减去3来消去常数项，得到2x = 4，进而得到x = 2的解。
2. 因式分解法因式分解法是解决二次方程的一种有效方法。
对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过找到其因式分解形式来求解。
具体步骤是把方程化为(a·x +m)·(a·x + n) = 0的形式，然后分别解出括号中的因式，得到方程的解。
3. 完全平方公式完全平方公式是解决一元二次方程（即形如ax^2 + bx + c = 0的方程）的常用方法。
该公式表达为x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。
通过将方程和该公式进行对应，我们可以得到方程的解。
例如，对于方程x^2 + 2x - 3 = 0，我们可以根据完全平方公式得到x = (-2 ± √(2^2 - 4·1·-3))/(2·1)，进而求得x的解。
4. 二次函数图像法对于一元二次方程，我们可以通过绘制二次函数的图像来解决方程。
通过观察函数图像的顶点坐标、开口方向和与x轴相交的点等信息，我们可以得到方程的解。
例如，对于方程x^2 + 2x - 3 = 0，我们可以绘制该方程对应的二次函数的图像，根据图像的特征来确定方程的解。
5. 换元法换元法是一种解决复杂方程的常用方法。
通过引入一个新的变量，我们可以将原方程转化为一个更简单的形式。
例如，对于方程x^2 + 2x - 3 = 0，我们可以进行变量替换，令x + 1 = y，这样方程就变为y^2 - 4 = 0，进而可以更容易地求得方程的解。
初中三年级数学解方程方法技巧
初中三年级数学解方程方法技巧引言解方程是数学研究中的重要内容之一，也是初中三年级数学研究中的重点内容。
本文将介绍初中三年级学生在解一元一次方程时可以采用的方法和技巧。
方法1. 正向思维法：根据方程的形式和给定条件，逐步推导出未知数的值。
这种方法适用于简单的一元一次方程，例如 x + 3 = 8。
正向思维法：根据方程的形式和给定条件，逐步推导出未知数的值。
这种方法适用于简单的一元一次方程，例如 x + 3 = 8。
正向思维法：根据方程的形式和给定条件，逐步推导出未知数的值。
这种方法适用于简单的一元一次方程，例如 x + 3 = 8。
2. 逆向思维法：从已知的结果出发，逆向推导出未知数的值。
一般用于问题解决中，常见于“边际法”问题。
例如：若某个数增加10倍后变为90，求原数。
逆向思维法：从已知的结果出发，逆向推导出未知数的值。
一般用于问题解决中，常见于“边际法”问题。
例如：若某个数增加10倍后变为90，求原数。
逆向思维法：从已知的结果出发，逆向推导出未知数的值。
一般用于问题解决中，常见于“边际法”问题。
例如：若某个数增加10倍后变为90，求原数。
3. 等式转化法：通过对方程进行等式转化，将原方程转化为更简单的等价方程。
常用等式转化法有移项和合并同类项等。
例如：2x + 6 = 18，可转化为2x = 12。
等式转化法：通过对方程进行等式转化，将原方程转化为更简单的等价方程。
常用等式转化法有移项和合并同类项等。
例如：2x + 6 = 18，可转化为2x = 12。
等式转化法：通过对方程进行等式转化，将原方程转化为更简单的等价方程。
常用等式转化法有移项和合并同类项等。
例如：2x + 6 = 18，可转化为2x = 12。
4. 消元法：适用于多元一次方程组的解法。
通过对方程组进行适当的加减运算，消去某些未知数，最终获得一个未知数的一元一次方程，从而求解出未知数的值。
消元法：适用于多元一次方程组的解法。
通过对方程组进行适当的加减运算，消去某些未知数，最终获得一个未知数的一元一次方程，从而求解出未知数的值。
初中数学 多项式方程的解如何计算
初中数学多项式方程的解如何计算计算多项式方程的解可以使用不同的方法，具体方法取决于方程的次数和系数的类型。
以下是一些常见的方法：1. 一次方程的解：一次方程是次数为1的多项式方程，具有形式ax + b = 0。
解一次方程时，我们可以通过移项将方程转化为形如x = c的形式，其中c是一个实数。
2. 二次方程的解：二次方程是次数为2的多项式方程，具有形式ax^2 + bx + c = 0。
对于二次方程，我们可以使用求根公式或配方法来解。
- 求根公式法：二次方程的解可以使用二次方程公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)来计算，其中a、b、c是方程的系数。
- 配方法：对于无法直接使用求根公式的二次方程，我们可以使用配方法将其转化为一个可以因式分解的形式，然后求解因子等于零的方程。
3. 高次多项式方程的解：对于高次多项式方程，解的计算会更加复杂。
以下是一些常见的方法：- 因式分解法：如果多项式可以进行因式分解，我们可以将方程转化为每个因子等于零的形式，然后求解每个因子等于零的方程，得到方程的解。
- 零点定理和综合除法：零点定理告诉我们，如果一个多项式方程有有理数解r，那么它可以被(x-r)整除。
我们可以使用综合除法来将多项式除以(x-r)，然后继续求解得到的商式。
- 迭代法和数值方法：对于高次多项式方程或复杂的多项式方程，我们可以使用迭代法或数值方法来近似求解。
这些方法通过逐步逼近方程的解，直到满足所需的精度。
以上是解多项式方程的一些常见方法，具体选择哪种方法取决于方程的特点和要求的精度。
在学习过程中，学生可以根据方程的类型和要求选择适当的方法来计算方程的解。
初中数学：解一元一次方程(共4课时)
把方程的两边都除以未 知数的系数（不为0）
依据
注意事项
分数的性质 不是方程两边所有的項都乘
等式性质2
乘法分配律 去括号法则
不要漏乘不含分母的项，分子是 多项式时别忘加括号。
括号前是“－”时，去掉括号时 括号
内各项均要变号
移项法则
移项要变号
合并同类项法 系数相加，字母及字母的指数均
则
不变
(3) 2.4y+2= -2y ⑷ 8- 5x=x+2
例1 解方程：2x+6=1
只要设法将未 知数的系数化 为1 就行了。
解方程：3x+3=2x+7
每一步变形的 依据是什么？
1、一般把含有未知数 的項移到等号左边，常
数项移到等号右边。 2、移項记得要变号
解方程：
(1) x-3=-12 (2) 5-2x=9-3x (3)16x+6=-7+15x (4) 3y-2=2y-10
左边对含未知数的项合并、右边对常数项合并。并 把未知项的系数化为1，形如x=a(a为常数)。
解方程:4(x+0.5)+x=17.
此方程与上课时所学方程有何差异?
需要先去括号
去括号有什么 注意事项呢?
解方程 2 62x 1 12
解：去括号，得:
移项，得: 合并同类项，得:
系数化为1，得:
你有几种方法呢？
知识回顾：
1、我们已经学过解一元一 次方程的步骤有那些？
解一元一次方程的步骤：
• 1、去分母 • 2、去括号 • 3、移项 • 4、合并同类项 • 5、系数化为1
解方程: y 2 y 1
63
想一想 去分母时要 注意什么问题?
初中数学精华pdf
初中数学精华初中数学精华一、基础运算知识整数与整除：理解整数的性质，能进行整除判断、余数计算等。
分数与小数：能进行分数和小数的互化，掌握基本的分数运算。
实数：理解实数的概念，掌握实数的四则运算。
二、代数方程一元一次方程：掌握方程的基本性质，能解一元一次方程。
二元一次方程组：理解方程组的概念，能解二元一次方程组。
一元二次方程：理解一元二次方程的性质，掌握其求解方法。
三、函数与图像一次函数：理解一次函数的概念，掌握其性质和图像。
反比例函数：理解反比例函数的概念，掌握其性质和图像。
二次函数：理解二次函数的概念，掌握其性质和图像。
四、平面几何三角形：理解三角形的性质，掌握其基本定理。
四边形：理解四边形的性质，掌握其基本定理。
圆：理解圆的基本性质，掌握与圆有关的基本定理。
五、立体几何三视图：能够正确画出立体图形的三视图。
点、线、面的关系：理解点、线、面的基本关系，掌握其性质。
立体图形的性质：理解立体图形的基本性质，如球、柱、锥等。
六、概率与统计概率：理解概率的基本概念，能进行简单的概率计算。
统计：掌握基本的统计方法，如平均数、中位数、众数等计算。
七、三角函数角度与弧度：理解角度与弧度的关系，能进行转换。
特殊角的三角函数值：记住30°、45°、60°等特殊角的三角函数值。
三角函数的性质与图像：理解三角函数的周期性、最值等性质，掌握其图像。
八、解析几何直线的方程：理解直线的方程，掌握直线的斜率与截距。
圆的方程：理解圆的方程，掌握圆心和半径的意义。
圆锥曲线的方程：理解圆锥曲线的方程，如椭圆、双曲线、抛物线等。
九、数论基础整数的因数与质因数分解：能找出整数的所有因数，并将其分解为质因数。
同余与同余方程：理解同余的概念，能解简单的同余方程。
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② 、【 北 京 市 海 淀 区 】 当 使 用 换 元 法 解 方 程 ( x )2 − 2( x ) − 3 = 0 时 ， 若 设
x +1
x +1
y
=
x
x +1
，则原方程可变形为（
）A．y2＋2y＋3＝0 B．y2－2y＋3＝0 C．y2
＋2y－3＝0 D．y2－2y－3＝0
（3）、用换元法解方程
5．（浙江）已知方程 x2 + 2 px + q = 0 有两个不相等的实数根，则 p 、q 满
足的关系式（ ）
A、p2 − 4q 0
B、p2 − q 0
C、p2 − 4q 0
D、p2 − q 0
6.根与系数的关系：x1＋x2=
−
b a
，x1x2=
c a
例题：（浙江富阳市）已知方程 3x2
+ 2x
二、一元方程
1、一元一次方程
（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中 x 是未知数，a、b 是已知数，a≠0）
（2）一元一次方程的最简形式：ax=b（其中 x 是未知数，a、b 是已知数，a≠0）
（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为 1。
（4）一元一次方程有唯一的一个解。
3．（无锡市）若关于 x 的方程 x2＋2x＋k＝0 有两个相等的实数根，则 k 满足 ( )
A.k＞1
B.k≥1
C.k＝1
D.k＜1
4.（常州市）关于 x 的一元二次方程 x2 + (2k +1)x + k −1 = 0 根的情况是（ ）
（A）有两个不相等实数根（B）有两个相等实数根（C）没有实数根（D）根的情 况无法判定
例题：.解方程： （1） x − 1+ x = 1
33
解：
（2） x + 2 − x −1 = 2 − x 32
解：
（3）【05 湘潭】 关于 x 的方程 mx+4=3x+5 的解是 x=1，则 m=
。
2、一元二次方程
（1） 一般形式： ax2 + bx + c = 0(a 0)
（2） 解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法
−11 =
0 的两根分别为
x1 、x2
，则
1 x1
+
1 x2
的值是（ ）
A、 2
11
B、 11
2
C、 − 2
11
D、 − 11
2
例 3、求作一个一元二次方程，使它的两个根分别比方程 x2 − x − 5 = 0 的两个根小 3
根的判别式及根与系数的关系
例 4、已知关于 x 的方程： ( p −1)x2 + 2 px + p + 3 = 0 有两个相等的实数根，求 p 的值。
代数部分
第三章：方程和方程组
基础知识点：
一、方程有关概念
1、方程：含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的
方程的解也叫做方程的根。
3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。
4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。
6x x2 + 2
=5
6、应用：
（1）分式方程（行程、工作问题、顺逆流问题）（2）一元二次方程（增长率、 面积问题）（3）方程组实际中的运用 例题：①轮船在顺水中航行 80 千米所需的时间和逆水航行 60 千米所需的时间相 同.已知水流的速度是 3 千米/时，求轮船在静水中的速度.（提示：顺水速度=静 水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度） 解：
②乙两辆汽车同时分别从 A、B 两城沿同一条高速公路驶向 C 城.已知 A、C 两城 的距离为 450 千米，B、C 两城的距离为 400 千米，甲车比乙车的速度快 10 千米/时，结果两辆车同时到达 C 城.求两车的速度 解
③某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求 每次降价的百分率.（精确到 0.1%） 解
例题．一、一元二次方程的解法
例 1、解下列方程：
（1） 1 (x + 3)2 = 2 ；（2） 2x2 + 3x = 1；（3） 2
例 2、解下列方程：
4(x + 3)2 = 25(x − 2)2
（1） x2 − a(3x − 2a + b) = 0(x为未知数) ；（2） x2 + 2ax − 8a2 = 0
② 填空： （1）x2＋6x＋（ ）＝（x＋ ）2； （2）x2－8x＋（ ）＝（x－ ）2； （3）x2＋ 3 x＋（ ）＝（x＋ ）2 2
1
（3）判别式△＝b²－4ac 的三种情况与根的关系
当 0时
有两个不相等的实数根 ，
当 = 0时
有两个相等的实数根
当 0时
没有实数根。
当△≥0 时
有两个实数根
例 5、已知 a、b 是方程 x2 − 2x −1 = 0 的两个根，求下列各式的值：
2
（1） a2 + b2 ；（2） 1 + 1 ab
分式方程的解法步骤：
（1） 一般方法：选择最简公分母、去分母、解整式方程，检验
（2） 换元法
例题：①、解方程： 4 + 1 = 1 的解为
x2 − 4
x−2
x2 − 4 = 0 根为 x2 + 5x + 6
求根公式 ax2 + bx + c = 0(a 0)
①、解下列方程： （1）x2－2x＝0； （3）(1－3x)2＝1； （5）（t－2）（t+1）=0； (7 )2x2－6x－3＝0；
解：
Hale Waihona Puke ( ) x = − b b2 − 4ac b2 − 4ac 0 2a
（2）45－x2＝0； （4）(2x＋3)2－25＝0. （6）x2＋8x－2＝0 （8）3（x－5）2＝2（5－x）
x2
− 3x
+
x2
3 − 3x
=
4
时，设
y
=
x2
−
3x
，则原方程可化为（
）
（A）y + 3 − 4 = 0 （B）y − 3 + 4 = 0 （C）y + 1 − 4 = 0 （D）y + 1 + 4 = 0
y
y
3y
3y
例、解下列方程：
（2）
1
2 −x
2
=
1 −1；（2） x2 + 2 +
x +1
x
3
④【05 绵阳】已知等式 (2A-7B) x+(3A-8B)=8x+10 对一切实数 x 都成立，求 A、B 的值
解
⑤【05 南通】某校初三（2）班 40 名同学为“希望工程”捐款,共捐款 100 元.捐款情况如下
表：
捐款（元）
1234
人数
6
7
表格中捐款 2 元和 3 元的人数不小心被墨水污染已看不清楚. 若设捐款 2 元的有 x 名同学,捐款 3 元的有 y 名同学,根据题意,可得方程组