初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略
初中生用方程求解题技巧
初中生用方程求解题技巧初中阶段是学习方程求解题的关键时期，掌握方程求解的技巧对于提高数学能力和解题效率都至关重要。
下面将介绍一些初中生在方程求解题中常用的技巧和方法。
1. 理顺问题：在解决方程求解题时，首先要读懂题目，理解问题的意思，并将问题转化为代数语言。
经常遇到的一种情况是题目给出的是一个实际问题，需要通过设立未知数的方式将问题转化为方程。
例如，题目中提到班级总人数是30人，男生比例是2:3，可以设未知数x表示男生人数，则女生人数为(30-x)，然后根据男生和女生人数的比例关系建立方程2x/(30-x)=2/3。
2. 找出方程：理清问题后，要确定方程的形式。
根据题目信息，确定要找的未知数和方程的关系式。
例如，遇到分配问题时，可以使用分配法则设立方程。
如A、B两个人分别购买了商品，A花费的总金额是x，B花费的总金额是y，而总体上他们购买的总金额是100元，可以建立方程x+y=100。
3. 建立方程：在解决方程求解题时，根据题目信息和目标，可以设立一个或多个方程。
根据题目中给出的条件，利用代数语言将问题转化为方程。
例如，题目中提到某数的两倍加上8等于18，可以设未知数x表示这个数，则建立方程2x+8=18。
可以根据方程的目标来设立方程，求两个数的和、差、积等。
如苹果的总数是x，梨的总数是y，根据题目要求苹果数的两倍减去梨数的3等于20，可以建立方程2x-3y=20。
4. 简化方程：建立方程之后，可以对方程进行简化，将方程变形成标准形式。
在简化过程中可以使用移项、合并同类项、展开等运算。
简化方程的目的是为了使方程更易于求解。
例如，方程2x+8=18，可以通过移项将常数项8移到右边得到2x=10。
5. 解方程：简化方程之后，利用解方程的方法求解。
常见的解方程的方法有多种，如适用于一次方程的加减法、去项法、代入法等。
对于一次方程，可以利用加减法做消元，逐步将方程简化为求单一未知数的方程。
对于二次方程、多次方程等，可以使用因式分解法、配方法等进行解题。
初中数学竞赛中定方程的整数解问题定方程的整数解问题
初中数学竞赛中不定方程的整数解问题1.利用整数分离在解决不定方程问题时，首先逆用分式的加减法，将分式拆分成一个整数与一个分子为常数的分式的和或差的形式，然后利用整数整除的性质通过对简单分式的分析来解决问题。
这种方法是处理含有分式不定方程的整数解问题的一种有效途径。
例1. 方程301x y x +-=+的整数解共有几组？2.因式分解法当不定方程的一边容易化为两个一次因式的乘积，另一边是一个整数时，通常用分解因式法解决不定方程的整数解问题。
例2.方程222522007x xy y ++=的所有不同的整数解共有几组?例3. 设直角三角形的两条直角边长分别为a, b,斜边长为 c. 若a,b,c 均为正整数，且1()3c ab a b =-+，求满足条件的直角三角形的个数？在一个二元不定方程中，若把其中一个未知数当作参数后，该方程变为关于另一个未知数的一元二次方程，于是，可利用△≥0，求出参数的范围，然后求解。
例4． 关于x,y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x,y ）有几组？4.放缩法是指根据已知条件将不定方程中某些未知数放大或缩小，从而确定某个未知数的取值范围，进而确定该未知数的整数解，然后将其代入原方程求其他未知数的整数解一种解题方法。
例5 当x y z ≤≤时，求方程11178x y z ++=的正整数解。
5.利用整除和同余例6． 关于x,y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为多少？在一个二元不定方程中，若把其中一个未知数当作参数后，该方程变为关于另一个未知数的一元二次方程，则可利用设参数法，即设△=2k ，然后求出方程的解，再利用数论的相关知识求解，或通过因式分解，直接从△=2k 求解例7.设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+。
求a,b 的值。
练习题1. 求方程6xy x y ++=的整数解。
2. 求满足方程2242011x y -=的整数对（x,y ）的组数有多少？3. 方程22332x xy y x y ++=-的非负整数解（x,y ）的组数为几组？4. 求方程11156x y z ++=的正整数解。
初中数学竞赛解题思想与策略
初中数学竞赛解题思想与策略
随着教育的普及，学生数学水平的提高，数学竞赛逐渐增多。
许多学生都有参加数学竞赛的渴望，但如何解决数学竞赛中的题目，变得非常重要。
在这里，我将分享一些我在数学竞赛解题思想和策略。
首先，要想解决数学竞赛中的题目，首先要了解题目的内容。
这一点非常重要，因为如果不清楚题目，就无法找到正确的解题思路。
在读题时要特别注意，看清题目中的关键点，以及把握好题目的类型，这样才能把握住思路。
其次，要想解决数学竞赛中的题目，也要有较强的基本功。
比如，数学竞赛中常用的数学知识，必须扎实掌握。
这一点非常重要，因为基本功薄弱的话，很容易就被题目难倒了。
再次，解决数学竞赛的题目，也要有运用技巧的能力。
这里要提醒大家，不同的题目应该有不同的技巧，要根据题目的不同特点进行技巧的选择。
最后，解决数学竞赛中的题目，也要有综合能力，即知识要和技巧有机结合起来，才能得出最后的答案。
在这里，要提醒大家，解题的过程中要谨慎，尽量避免漏洞，以免影响最后的结果。
总之，要想解决数学竞赛中的题目，除了要充分准备外，一定要有明确的解题思路，以及运用技巧的能力，还要有综合能力，最终才能得出正确的答案。
数学竞赛是一种非常有趣的活动，即使不能够获得奖项，通过参加竞赛也可以提高自己的知识和能力。
最后，我在这里祝愿大家取得
更好的成绩，获得更高的荣誉！。
数学竞赛试题解根式方程
数学竞赛试题解根式方程
解根式方程的一般步骤如下：
1. 将根式方程化为含根的代数方程。
如果根式方程只存在一个根号，可以采用两边平方的方法将其转化为含根的代数方程。
如果根式方程存在多个根号，可以通过变量替换的方法将其转化为含根的代数方程。
2. 对含根的代数方程进行求解。
对于一次方程，可以直接求解得到解。
对于二次方程，可以使用求根公式求解。
对于高次方程，可以采用因式分解、配方法、求根方法等进行求解。
3. 验证解的可行性。
将求得的解代入原方程中进行验证，判断是否满足原方程。
需要注意的是，根式方程在求解时需要注意方程中根号的运算法则，避免出错。
同时，在根式方程的求解过程中，也要注意合理化简、排除无意义解等问题。
以一个例题为例：
将根式方程√(2x-5) = 3x - 1 进行解答。
1. 化为含根的代数方程：
两边平方得到 2x - 5 = (3x - 1)^2
2. 求解含根的代数方程：
展开方程得到 2x - 5 = 9x^2 - 6x + 1
将方程整理为一元二次方程 9x^2 - 8x + 6 = 0
使用求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
得到两个根x ≈ 0.42 和x ≈ 0.44
3. 验证解的可行性：
将求得的解代入原方程中进行验证，验证结果表明两个解都满足原方程。
因此，根式方程√(2x-5) = 3x - 1 的解为x ≈ 0.42 和x ≈ 0.44。
初中奥数题目解题思路
初中奥数题目解题思路初中阶段是学生接触奥林匹克数学竞赛的重要时期，在数学竞赛中，解题思路是至关重要的。
本文将介绍一些常见的初中奥数题目解题思路，以帮助学生更好地应对奥数竞赛。
一、整数方程问题的解题思路整数方程问题是奥数竞赛中常见的题型之一。
解决这类问题的思路可以分为以下几个步骤：1. 分析问题：仔细阅读题目，理清题目的要求，明确求解的是什么。
2. 假设和列方程：假设未知数的值，并建立相应的方程。
需要根据题目给出的条件，运用逻辑思维能力进行推导。
3. 求解方程：根据列出的方程，进行计算和求解，得到未知数的解。
4. 检验答案：将求解得到的未知数代入原方程，检验该解是否满足题目的要求。
二、几何图形问题的解题思路几何图形问题是奥数竞赛中常见的另一类题型。
解决这类问题的思路可以分为以下几个步骤：1. 画图：根据题目给出的条件，画出相应的几何图形。
可以利用纸和铅笔进行绘制，也可以在脑海中形成清晰的图像。
2. 观察：仔细观察图形，理解题目所要求的内容。
可以寻找各种几何属性和关系，加深对题目的认识。
3. 运用几何知识：根据所学的几何知识，找出相关规律和定理，尝试寻找解决问题的关键点。
4. 推理和证明：根据所学的推理和证明方法，进行推理和证明。
需要进行逻辑推导和演绎推理，从而得出准确的结论。
三、概率问题的解题思路概率问题在奥数竞赛中也占据一定的比重。
解决这类问题的思路可以分为以下几个步骤：1. 理清问题：仔细阅读题目，理解题目的要求，明确所求的概率是什么。
2. 查找条件：寻找题目中给出的条件，明确已知条件和未知条件。
3. 列出可能性：分析问题，列出所有可能发生的情况。
需要运用逻辑推理和思维扩展能力。
4. 计算概率：根据已知条件和列出的可能性，进行计算概率。
可以利用排列组合、加法原理等数学方法进行计算。
总结：初中奥数竞赛题目的解题思路可以根据不同的题型进行分类，分别采取相应的解题方法。
对于整数方程问题，需要明确问题的要求，并进行假设和列方程。
初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略(三)
初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（三）安徽省巢湖市教学研究室张永超4.其它方程的解的讨论例11.(2003年四川)若关于的方程只有一个实数解，则= 。
解：去分母得，整理得①。
当=0时，方程①有一个实数根，经检验是原方程的解；当≠0时，方程①是一元二次方程。
因为＞0，因此方程①总有两个实数根，其中一个根是原方程的增根。
而原方程的增根只可能出现在使原方程公分母为0的未知数的取值中，即原方程的增根只可能是=0，或=1。
因为=0不可能是方程①的解，所以只能=1是方程①的解，因此，解得=。
综上所述，当=0，或=时，原方程只有一个实数根。
评注：关于分式方程增根的讨论，本例具有一定的代表性。
与本例类似的问题有：类题. 是什么整数时，方程只有一个实数根？指出所有这样的值，并求出与它相对应的根。
分析：方法与例22类似，答案为=4，或=8。
例12.(2001年我爱数学夏令营)如果满足的实数恰有6个，那么实数的值等于。
解：显然＞0。
原方程可化为。
若＞10，则原方程等价于，可化为，即，此时原方程只有4个解，不符合题意。
若0＜＜10，则原方程等价于，它可以化为如下四个方程：，，，，此时这4个方程都有两个不同的实数解，因此原方程有8不同的解，不符合题意。
若=10，则原方程可化为如下三个方程：，，，每个方程各有两个不同的实数解，所以=10符合题意。
评注：本题的解法有多种，上面的解答应用了分类讨论思想与枚举法。
实际上本题用图象法解答较为简便，方法是：先作函数的图象，并将函数的图象沿轴方向上下平移，不难发现，只有当=10时，函数的图象与函数的图象才有6个不同的交点，即原方程恰有6个解；当10＜＜15或=0时，原方程恰有4个解；当=15时，原方程恰有3个解；当0＜＜10时，原方程恰有8个解。
(如上图所示)延伸拓展：用类似上例的方法可以解决下列问题：类题.(2003年北京)如果满足的实数恰有6个值，则实数的取值范围是( ).A.－6≤≤0；B.0＜≤3；C.3＜＜6；D.6≤＜9.分析：运用分类讨论或图象法可得答案应选C.例13.(2001年武汉)方程的整数解( ).A.不存在；B.仅有1组；C.恰有2组；D.至少有4组。
数学竞赛中方程整数解的实用求法
数学竞赛中方程整数解的实用求法(本讲适合初中)近年来，在各级各类数学竞赛中，方程整数解的问题备受关注，它将古老的整数理论与传统的初中数学知识相综合，涉及面宽、范围广，往往需要灵活地运用相关概念、性质、方法和技巧. 笔者根据自己的体会讲讲求解这类问题的方法和基本思考途径，供读者参考.1 不定方程的整数解一般地，不定方程有无数组解. 但是，若加上限制条件如整数解等，就可以求出确定的解. 由于含参数的方程的整数解多能转化为不定方程求解，所以先讲不定方程整数解的求法. 常用的有下述三种方法.1.1 因式分解法这是最常用的方法，它适用于一边可以分解因式，另一边为常数的方程. 根据是正整数的惟一分解定理：每一个大于1的正整数都可以惟一地分解成素数的乘积. 方法是分解常数后构造方程组求解.例1 求方程xy ＋x ＋y ＝6的整数解.(1996，湖北省黄冈市初中数学竞赛)解：方程两边加上1，得xy ＋x ＋y ＋1＝7.左边＝(x ＋1)(y ＋1)，右边＝1×7＝(－1)×(－7).故原方程的整数解由下列方程组确定：⎩⎨⎧++；＝，＝7111y x ⎩⎨⎧++；＝，＝1171y x ⎩⎨⎧++；＝－，＝－7111y x ⎩⎨⎧++.1171＝－，＝－y x 解得⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧.2882066044332211＝－，＝－；＝－，＝－；＝，＝；＝，＝y x y x y x y x 1.2 选取主元法有些含有二次项的不定方程，可以选取其中的某一变量为主元，得到关于主元的二次方程，再用根的判别式△≥0定出另一变量的取值范围，在范围内选出整数值回代得解.例2 求方程7322＝yxy x y x +-+的所有整数解. (第十二届全俄数学竞赛)解：以x 为主元，将方程整理为3x 2－(3y ＋7)x ＋(3y 2－7y)＝0因x 是整数，则△＝［－(3y ＋7) ］2－4×3（3y 2－7y ）≥0 ⇒931421-≤y ≤931421+ ⇒整数y ＝0，1，2，3，4，5.将y 的值分别代入原方程中计算知：只有y ＝4或5时，方程才有整数解，即x 1＝5，y 1＝4；x 2＝4，y 2＝5. 1.3 整式分离法当分式中分子的次数不小于分母的次数时，可将分子除以分母，把整式(即所得商式)分离出来.若所得余式为常数，则用倍数约数分析法求解较容易；若余式不是常数，则可以根据实际情况构造二次方程，选取原先变量为主元求解. 例3 题目同例1.解：用含y 的式子表示x ，得x ＝16+-y y . 分离整式得x ＝－1＋17+y . 因x 为整数，则17+y 为整数.故y ＋1为7的约数，y ＋1＝±1，±7.(笔者注：这种思考方法就是倍数约数分析法)得y ＝0，－2，6，－8.进而x ＝6，－8，0，－2.2 含参数的二次方程的整数解这类整数根问题，近年考查最频繁.实用思考途径有下列四种.2.1 途径一：从判别式入手因为一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0在△＝b 2－4ac ≥0时有根x ＝ab 2∆±-，所以要使方程有整数根，必须△＝b 2－4ac 为完全平方数，并且－b ±∆为2a 的整数倍.这是基本思想.常用方法如下.1. 当△＝b 2－4ac 为完全平方式时，直接求方程的解，然后解不定方程.例4 已知方程a 2x 2－(3a 2－8a )x ＋2a 2－13a ＋15＝0(其中a 为非负整数)至少有一个整数根.那么，a ＝_________.(1998，全国初中数学竞赛)解：显然a ≠0.故原方程为关于x 的二次方程.△＝[－(3a 2－8a )]2－4a 2(2a 2－13a ＋15)＝[a (a ＋2)]2是完全平方式.故x ＝222)2()83(aa a a a +±- 即 x 1＝a a 32-＝2－a 3，x 2＝a a 5-＝1－a5. 从而，由倍数约数分析法知a ＝1，3或5.2. 当△＝b 2－4ac ≥0且不是完全平方式时，一般有下列三种思考途径.(1)利用题设参数的范围，直接求解.例5 设m ∈Z ，且4＜m ＜40,方程x 2－2(2m －3)x ＋4m 2－14m ＋8＝0有两个整数根.求m 的值及方程的根.解：因方程有整数根，则△＝[－2(2m －3)]2－4(4m 2－14m ＋8)＝4(2m ＋1)为完全平方数.从而，2m ＋1为完全平方数.又因m ∈Z 且4＜m ＜40,故当m ＝12或24时，2m ＋1才为完全平方数.因为x ＝(2m －3)±12+m ，所以，当m ＝12时，x 1＝16，x 2＝26；当m ＝24时，x 3＝38，x 4＝52.(2)先用△≥0求出参数的范围.例6 已知方程x 2－(k ＋3)x ＋k 2＝0的根都是整数.求整数k 的值及方程的根.解：△＝[－(k ＋3)]2－4k 2＝－3k 2＋6k ＋9≥0⇒ k 2－2 k －3≤0⇒－1≤k ≤3⇒整数k ＝－1，0，1，2，3.由求根公式知x ＝2)3(∆±+k ，故 当k ＝－1时，△＝0，x ＝1；当k ＝0时，△＝9，x ＝0或3；当k ＝1时，△＝12不是完全平方数，整根x 不存在；当k ＝2时，△＝9，x ＝1或4；当k ＝3时，△＝0，x ＝3.因此，k ＝－1，0，2，3，x ＝1，0，3，4.(3)设参数法，即设△＝k 2.当△＝k 2为关于原参数的一次式时，用代入法；当△＝k 2为关于原参数的二次式时，用分解因式法.例7 当x 为何有理数时－代数式9x 2＋23x －2的值恰为两个连续正偶数的乘积？(1998，山东省初中数学竞赛)解：设两个连续正偶数为k ﹑k ＋2.则9x 2＋23－2＝k (k ＋2),即 9x 2＋23－( k 2＋2k ＋2)＝0.由于x 是有理数，所以判别式为完全平方数，即△＝232＋4×9(k 2＋2 k ＋2)＝565＋[6(k ＋1)]2令△＝p 2(p ≥0)，有p 2－[6(k ＋1)]2＝565＝113×5＝565×1.左边＝[p ＋6(k ＋1)][ p －6(k ＋1)]，p ≥0，k ＞0，得）（＝＝1,5)1(6,113)1(6⎩⎨⎧+-++k p k p或 )2(,1)1(6,565)1(6⎩⎨⎧+-++＝＝k p k p解(1)得k ＝8，于是，x ＝2或－941； 解(2)得k ＝46，于是，x ＝－17或9130. 总之，当x ＝2，－941或x ＝－17，9130时. 9x 2＋23x －2恰为两正偶数8和10，或者46和48的乘积. 2.2 途径二：从韦达定理入手1. 从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程.例8 a 是大于零的实数，已知存在惟一的实数k ，使得关于x 的二次方程x 2＋(k 2＋ak )x ＋1999＋ k 2＋ ak ＝0的两个根均为质数. 求a 的值.(1999，全国初中数学联赛)解：设方程的两个质数根为p ﹑q . 由根与系数的关系，有 p ＋q ＝－(k 2＋ak )， ①pq ＝1 999＋k 2＋ak . ②①＋②，得 p ＋q ＋pq ＝1 999则(p ＋1)(q ＋1)＝24×53. ③由③知，p 、q 显然均不为2，所以必为奇数.故21+p 和21+q 均为整数，且2121+⋅+q p ＝22×53. 若21+p 为奇数，则必21+p ＝5r (r ＝1，2，3)，从而，p ＝2×5r －1为合数，矛盾. 因此，21+p 必为偶数.同理，21+q 也为偶数.所以，21+p 和21+q 均为整数，且4141+⋅+q p ＝53.不妨设p ≤q ，则41+p ＝1或5. 当41+p ＝1时，41+q ＝53，得p ＝3，q ＝499，均为质数.当41+p ＝5时，41+q ＝52，得p ＝19，q ＝99，q 为合数，不合题意.综上可知，p ＝3，q ＝499.代入①得k 2＋ak ＋502＝0. ④依题意，方程④有惟一的实数解.故△＝a 2－4×502＝0.有a ＝25022.利用“两根为整数时，其和、积必为整数”.例9 求满足如下条件的整数k ，使关于x 的二次方程(k －1) x 2＋( k －5) x ＋k ＝0的根都是整数.解：设方程的两根为x 1﹑x 2.则x 1＋ x 2＝－15--k k ＝－1＋14-k ， x 1 x 2＝1-k k ＝1＋11-k ， 且 x 1＋x 2和x 1 x 2都是整数.从而，14-k 和11-k 都是整数. 于是，k －1为4和1的约数.故k －1＝±1⇒ k ＝0或2.检验知，k ＝0或2时，方程的两根均为整数.所以，k ＝0或2. 2.3 途径三：联想二次函数因为一元二次方程与二次函数联系密切，所以适时地借助二次函数知识解决方程问题，往往十分奏效.例10 已知b ，c 为整数，方程5x 2＋bx ＋c ＝0的两根都大于－1且小于0.求b 和c 的值.(1999，全国初中数学联赛)解：根据二次函数y ＝5x 2＋bx ＋c 的图像和题设条件知： 当x ＝0时，5x 2＋bx ＋c ＞0，有c ＞0； ① 当x ＝－1时，5 x 2＋bx ＋c ＞0，有b ＞5＋c . ②因抛物线顶点的横坐标－52⨯b 满足1－＜－52⨯b ＜0， 则0＜b ＜10. ③ 又因△≥0，即b 2－20c ≥0,故b 2≥20c. ④ 由①、③、④得100＞b 2≥20c ，c ＜5.若c ＝1，则由②、④得0＜b ＜6且b 2≥20,得b ＝5； 若c ＝2，则0＜b ＜7且b 2≥40，无整数解；若c ＝3，则0＜b ＜8且b 2≥60，无整数解；若c ＝4，则0＜b ＜9且b 2≥80，无整数解.故所求b 、c 的值为b ＝5，c ＝1.2.4 途径四：变更主元法当方程中参数的次数相同时，可考虑以参数为主元求解. 例11 试求所有这样的正整数a ，使方程ax 2＋2(2a －1)x ＋4(a－3)＝0至少有一个整数解.(第三届祖冲之杯数学竞赛)解： 因为方程中参数a 是一次，所以可将a 用x 表示，即a ＝2)2()6(2++x x . ① 又a 是正整数，则2)2()6(2++x x ≥1. 解得－4≤x ≤2且x ≠－2.故x ＝－4,－3,－1,0,1,2.分别人入①得a ＝1,3,6,10.3 其他类型3.1 分类讨论型当方程中最高次项的系数含有变参数时，应先分系数为0或不为0讨论.例12 求使关于x 的方程kx 2＋(k ＋1)x ＋(k －1)＝0的根都是整数的k 值.(第十三届江苏省初中数学竞赛)解：分k ＝0和k ≠0两种情况讨论.当k ＝0时，所给方程为x －1＝0，有整数根x ＝1.当k ≠0时，所给方程为二次方程.设两个整数根为x 1和x 2,则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=--=+-=+②① .111,1112121k k k x x k k k x x由①－②得x 1＋x 2－x 1x 2＝－2⇒(x 1－1)(x 2－1)＝3.＝1×3＝(－1)×(－3).有⎩⎨⎧=-=-;31,1121x x ⎩⎨⎧-=--=-;31,1121x x ⎩⎨⎧=-=-;11,3121x x ⎩⎨⎧-=--=-.11,3121x x 故x 1＋x 2＝6或x 1＋x 2＝－2，即 －1－k 1＝6或－1－k1＝－2. 解得k ＝－71或k ＝1. 又△＝(k ＋1)2－4k (k －1)＝－3k 2＋6k ＋1，当k ＝－71或k ＝1时，都有△＞0.所以，满足要求的k 值为k ＝0，k ＝－71，k ＝1. 3.2 数形结合型当问题是以几何形式出现，或容易联想到几何模型的时候，可考虑用数形结合法.这是一种极为重要的解题方法，它具有形 象直观的特点，可使许多问题获得巧解.例13 以关于m 的方程m 2＋(k －4)m ＋k ＝0数根为直径作⊙O.P 为⊙O 外一点，过P 切线PA 和割线PBC ，如图1，A 为切点.这时发现PA 、PB 、PC 都是整数，且PB 、BC 都不是合数，求PA 、PB 、PC 的长. 解： 设方程两根为m 1、m 2则⎩⎨⎧=-=+②① .,42121k m m k m m 又设PA ＝x ，PB ＝y ，BC ＝z ，则x ﹑y ﹑z 都是正整数. 由切割线定知PA 2＝PB •PC ＝PB (PC ＋BC )，即 x 2＝y 2＋yz ⇒(x ＋y )(x －y )＝yz . ③消去①和②中的k ，得m 1m 2＝4－m 1－m 2.整理分解，得(m 1＋1)(m 2＋1)＝5.图1因为⊙O 的直径是方程的最大整数根，不难求得最大整根m ＝4.进而，z ＝BC ≤4.又正整数z 不是合数，故z ＝3，2，1.当z ＝3时，(x ＋y )(x －y )＝3y ，有⎩⎨⎧=-=+;,3y y x y x ⎩⎨⎧=-=+;3,y x y y x ⎩⎨⎧=-=+.1,3y x y y x 可得适合题意的解为x ＝2，y ＝1.当z ＝1和z ＝2时，没有适合题意的解，所以，PA ＝x ＝2，PB ＝y ＝1，PC ＝y ＋z ＝4.3.3 综合探索型当已知方程不止一个或结论不明确时，常用综合分析、假设探索法求解.例14 已知关于x 的方程4x 2－8nx －3n ＝2和x 2－(n ＋3)x －2n 2＋2＝0.问是否存在这样的n 的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n 值；若不存在，请说明理由.(2000，湖北省初中数学选拔赛)解： 由△1＝(－8n )2－4×4×(－3n －2)＝(8n ＋3)2＋23＞0，知n 为任意实数时，方程(1)都有实数根.设第一个方程的两根为βα、.则α＋β＝2n ，αβ＝42n 3--. 于是，(βα-)2＝(βα+)2－4αβ＝4n 2＋3n 2＋2.由第二个方程得[x －(2n ＋2)][x ＋(n －1)]＝0解得两根为x 1＝2n ＋2，x 2＝－n ＋1.若x 1为整数，则4n 2＋3n ＋2＝2n ＋2.于是n 1＝0，n 2＝－41. 当n ＝0时，x 1＝2是整数；n ＝－41时，x ＝23不是整数，舍去.若x 2为整数，则4n 2＋3n ＋2＝1－n .有n 3＝n 4＝－21.此时x 2＝23不是整数，舍去. 综合上述知，当n ＝0时，第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根.练 习 题1. 设a 为整数. 若存在整数b 和c ，使(x ＋a)(x －15)－25＝(x ＋b )(x ＋c )，则a 可取的值为_________(1998，上海市鹏欣杯数学竞赛)(提示：变形后用因式分解法. a ＝9，－15，－39)2. 设关于x 的二次方程(k 2－6k ＋8)x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋k 2＝4的两根都是整数. 求满足条件的所有实数k 的值.(2000，全国初中数学联赛)(提示：求出二根x 1＝－1－42-k ，x 2＝－1－24-k ，从中消去k 得x 1x 2＋3x 1＋2＝0，分解得x 1(x 2＋3)＝－2.借助方程组得k ＝6，3，310) 3. 求所有的正整数a 、b 、c ，使得关于x 的方程x 2－3ax ＋2b ＝0，x 2－3bx ＋2c ＝0，x 2－3cx ＋2a ＝0的所有的根都是正整数. (2000，全国初中数学联赛)(提示：从根与系数的关系入手，结合奇偶性分析，得a ＝b ＝c ＝1.)4. 已知方程：x 2＋bx ＋c ＝0及x 2＋cx ＋b ＝0分别各有二整数根x 1、x 2及x ’1、x ’2，且x 1x 2＞0，x ’1x ’2＞0.(1)求证：x 1＜0，x 2＜0，x ’1＜0，x ’2＜0.(2)求证：b －1≤c ≤b ＋1.(3)求b 、c 的值.(1993，全国初中数学竞赛)(答案：b ＝5，c ＝6或b ＝6，c ＝5.)5.x 、y 为正整数，100111=-y x .则y 的最大值为_________. (1998，重庆市初中数学竞赛)(提示：用因式分解法，结果为9 900.)6.k 为什么整数时，方程(6－k )(9－k )x 2－(117－15k )x ＋54＝0的解都是整数？(1995，山东省初中数学竞赛)(提示：对系数(6－k)(9－k)分为0与不为0讨论，得k值为3，6，7，9，15.)一元二次方程的整数根问题(本讲适合初中)迄今为止，尚未找到使得整系数一元二次方程有整数根的充分条件，通常的方法都是通过讨论其判别式，利用根与系数的关系进行分析和归纳，即使用必要条件解题，然后通过检验确定答案.下面举例说明常用的几种方法，并指出每种方法适合的范围.整系数一元二次方程有整数根的必要条件：(1)两个根都是整数；(2)判别式是整数；(3)判别式是整数的完全平方；(4)两根和是整数，两根积是整数.例1 设方程mx2－(m－2)x＋m－3＝0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程的所有整数解.分析：若m＝0，则2x－3＝0，此时方程无整数解；当m≠0时，考察△＝－3m2＋8m＋4，注意到二次项系数为负，方程有解，则－3m2＋8m＋4≥0.解得3724-≤m≤3724+.+因为m是整数，故只能取1，2，3.当m＝1时，方程有解：－2和1；当m＝2时，方程无整数解：当m＝3时，方程有整数解：0.注：当判别式二次系数为负时，解不等式得关于参数的一个有限长区间，又因为参数为整数，可以讨论得解.例2 当x为何有理数时，代数式9x2＋23x－2的值恰好为两个连续的偶数积.(1998，山东省初中数学竞赛)分析：设两个连续的偶数为n，n＋2，问题转化为：当n为何值时，方程9x2＋23x－2＝n(n＋2)有有理数根.有理根问题本质上也是整数根的问题，要求方程的根的判别式必须为一个整数或有理数的完全平方.考察判别式△＝232＋36(n2＋2n＋2)＝36(n ＋1)2＋565.由于n 是整数，所以判别式应为整数的完全平方.设 36(n ＋1)2＋565＝m 2(m 为大于565的自然数).移项因式分解，得(m ＋6n ＋6)(m －6n －6)＝1×5×113.只有⎩⎨⎧=--=++566,11366n m n m 或 ⎩⎨⎧=--=++.166,56566n m n m 解得n ＝8，或n ＝46.分别代入原方程得方程有理数解为－941，2或9130，－17. 注：当判别式为关于某一参数的二次式，且二次项系数为正时，可采用配方法变形为：ƒ2(α) ＋常数(α是整数).然后采用例1的方法，通过分析得解.例3 求一实数p ，使用三次方程5x 3－5(p ＋1)x 2＋(71p －1)x＋1＝66p 的三个根均为自然数.(1995，全国高中数学联赛)分析：观察可知，1是方程的解，方程可转化为(x －1)(5x 2－5px ＋66p －1)＝0问题转化为：求一切实数p 使方程5x 2－5px ＋66p －1＝0的解为自然数.由韦达定理知，p 为方程两根之和，即p 是自然数.仿例2得△＝(5p －132)2－17 404.设(5p －132)2－17 404＝n 2(n ＞0，n 为自然数).移项分解可得(5p －132＋n)(5p －132－n)＝22×19×229.又(5p －132＋n)，(5p －132－n)同奇偶，所以，⎩⎨⎧⨯=--⨯=+-.1921325,22921325n p n p 解得p ＝76.注：从表面上看，此题中的p 是一切实数，但由韦达定理判断它实际上是自然数，故可采用前法求得.例4设m 为整数，且4＜m ＜40，又方程x 2－2(2m －3)x ＋4m 2－14m ＋8＝0有两个整数根.求m 的值及方程的根.(1993,天津市初中数学竞赛)分析：考察判别式△＝4(2m ＋1)，因是关于m 的一次式，故例1，例2的方法均不可用.由已知4＜m ＜40，可知9＜2m ＋1＜81.为使判别式为完全平方数，只有2m ＋1＝25或2m ＋1＝49.当2m ＋1＝25时，m ＝12，方程两根分别为16，26； 当2m ＋1＝49时，m ＝24，方程两根分别为38，52.注：当判别式不是二次式时，可结合已知条件通过讨论得出参数的范围，进而求解；当判别式较复杂时，则应改用其他办法，参见例5.例5 α是大于零的实数，已知存在惟一的实数k ，使得关于x的方程x 2＋(k 2＋αk )x ＋1 999＋k 2＋αk ＝0的两根为质数.求α的值.(1999，全国初中数学联赛)分析：因为α、k 均为实数，判别式法不能解决.设方程两根为x 1、x 2，且x 1≤x 2，x 1、x 2均为质数，则⎪⎩⎪⎨⎧++=--=+.9991,221221k k x x k k x x αα 消掉参数得x 1＋x 2＋x 1x 2＝1 999，即 (x 1＋1)(x 2＋1)＝2 000＝24×53.显然，x 1≠2. 于是，x 1＋1，x 2＋1都是偶数且x 1＋1≤x 2＋1.故只有如下可能：⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+=+;521,2132221x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+=+;521,213231x x ⎩⎨⎧⨯=+⨯=+;521,5212321x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+;521,52122221x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+22221521,521x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+.521,5212231x x符合题意的只有⎩⎨⎧==.499,321x x 于是，3＋499＝－k 2－αk .因为存在惟一的k ，故方程k 2＋αk ＋502＝0有两等根. 判别式△＝α2－4×502＝0，解得α＝2502.注：应用韦达定理的关键在于消去参数，首先求得方程的解，在消去参数之后，要注意因式分解的使用.例6 设关于x 的二次方程(k 2－6k ＋8)﹒x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋k 2＝4的两根都是整数.求满足条件的所有实数k 的值.(2000，全国初中数学联赛)分析：方程的表达式比较复杂，判别式法和韦达定理均不可用.将原方程变形得(k －2)(k －4)x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋(k －2)(k ＋2)＝0. 分解因式得[(k －2)x ＋k ＋2][(k －4)x ＋k －2]＝0.显然，k ≠2，k ≠4.解得x 1＝－42--k k , x 2＝－22-+k k . 消去k 得x 1x 2＋3x 2＋2＝0∴ x 2(x 1＋3)＝－2.讨论得⎩⎨⎧=+-=;13,212x x 或⎩⎨⎧-=+=;13,221x x 或⎩⎨⎧-=+=.23,121x x 解x 1、x 2，代入原式得k 值为6，3，310. 注：当判别式与韦达定理均难解决时，这时反而意味着可用因式分解法求出方程的根，然后再整理转化.例7 设α为整数，若存在整数b 和c ，使得(x ＋α)(x －15)－25＝(x ＋b )(x ＋c )成立，求α可取的值.(1998，上海市初中数学竞赛)分析：此题可转化为：当α为何值时，方程(x ＋α)(x －15)－25＝0有两个整数根.方程可化为x 2－(15－α)x －15α－25＝0视其为关于α的一次方程，整理得α(x －15)＝－x 2＋15x ＋25.易知x ≠15，∴α＝1525152-++-x x x ＝－x ＋1525-x .注：此解法为分离参数法，它适合于参数与方程的根均是整数，且参数较易于分离的情况.如此题变形为α＝ƒ(x )，然后利用函数的性质求解，这是一种应用较广泛的方法.上面只介绍了处理整数根问题的常用解法，这些解法的基本依据是：方程有整数根的必要条件. 基本方法是：(1)判别式讨论法(主要讨论由判别式决定的参数范围，由判别式为完全平方数求参数)；(2)韦达定理法；(3)判别式与韦达定理结合法；(4)分离参数法(通过分离参数，利用根为整数的条件讨论).需说明的是，每个题的解法都不是惟一的，本文所给的只是较简洁的一种.同学们在解题时，应因题而定方法，不断求新，才能领悟数学的美感.练习题1. 求满足如下条件的所有k 值，使关于x 的方程kx ＋(k ＋1)x ＋(k －1)＝0的根都是整数.(第十三届江苏省初中数学竞赛)(k ＝0，k ＝－71，k ＝1) 2. 关于x 的方程(m 3－2m 2)x 2－(m 3－3m 2－4m ＋8)x ＋12－4m ＝0的根均为整数，求实数m 的值.(提示：应用求根消参法，得m ＝1，或m ＝2.)3. 求所有正实数α，使方程x 2－αx ＋4α＝0仅有整数根. (1998，全国初中数学联赛)(提示：分离参数法. α＝42-x x ＝x ＋4＋416-x ，讨论得α＝25，或18，或16).4. 已知方程x 2＋bx ＋c ＝0及x 2＋cx ＋b ＝0分别各有两个整数根x 1、x 2及x ’1、x ’2，且x 1x 2＞0，x ’1x ’2＞0.①求证：x 1＜0，x 2＜0，x ’1＜0，x ’2＜0；②求证：b －1≤c ≤b ＋1；③求b 、c 所有可能的值.(1993，全国初中数学联赛)(提示：应用韦达定理，得⎩⎨⎧==65c b ⎩⎨⎧==56c b ⎩⎨⎧==44c b )5.某顾客有钱10元，第一次在商店买x 件小商品花去y 元，第二次再去买该小商品时，发现每打(12件)降价0.8元，他比第一次多买了10件，花去2元.问他第一次买的小商品是多少件？(x 、y 为正整数)(提示：列方程128.0102=+-x x y 问题转化为：y 为何值时，方程x 2＋(40－15y )x －150y ＝0有正整数解，利用判别式可求得x ＝5，或x ＝50.)。
一元二次方程的整数解问题是初中数学竞赛中的一个重要知识点
一元二次方程的整数解问题是初中数学竞赛中的一个重要知识点，也是近几个全国初中数学竞赛考试的一个热点。
对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解。
实际上，经常要用到根的判别式、完全平方数的特征和数整除性的性质，以及这几种方法的结合来解题。
下面举几个常见的例子：例1，当 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根。
解法1：首先，m2-1≠0，m≠±1。
Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3。
用求根公式可得由于x1，x2是正整数，所以m-1=1，2，3，6；m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2。
这时x1=6，x2=4。
解法2 ：首先，m2-1≠0，m≠±1。
设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5。
经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根。
归纳：解法1先把方程的根求出来，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题；解法2利用韦达定理，得到两个整数，再利用整数的整除性质求解。
例2，已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值。
分析：“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根。
我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来。
解：因为a≠0，所以所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5。
例3，设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值。
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初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（一）方程是一种重要的数学模型，也是重要的数学思想之一。
有关方程的解的讨论问题一直是初中数学竞赛试题的热点与难点。
解决有关方程的解的讨论问题往往涉及到分类讨论、数形结合等数学思想。
一、知识要点1.形如方程的解的讨论：⑴若=0，①当=0时，方程有无数个解；②当≠0时，方程无解；⑵若≠0，方程的解为=。
2.关于一元二次方程(≠0)根的讨论，一般需应用到根的判别式、根与系数的关系等相关知识。
⑴若，则它有一个实数根＝1；若，则它有一个实数根＝－1。
⑵运用数形结合思想将方程(≠0)根的讨论与二次函数(≠0)的图象结合起来考虑是常用方法。
3.涉及分式方程根的讨论，一般考虑使公分母为零的整式方程的根(即原分式方程的增根)。
4.关于含绝对值的方程解的讨论，一般使用分类讨论的方法去掉绝对值符号，有时也应用到数形结合思想与绝对值的几何意义。
5.解决有关方程整数根的问题时，一般要应用到整数的知识，要理解整除、质数等相关概念。
二、例题选讲1.方程整数根的讨论例 1.已知，且方程的两个实数根都是整数，则其最大的根是。
解：设方程的两个实数根为、，则，所以。
因为、都是整数，且97是质数，若设＜，则，，或，，因此最大的根是98。
评注：此题解答应用了一元二次方程根与系数的关系，分解质因数的知识等方法与技能。
这种方法在有关一元二次方程整数根的讨论问题中经常用到，如：类题.(2004年四川)已知，为整数，关于的方程有两个相同的实数根，则－等于( )A.1；B.2；C.±1；D.±2.分析：依题意得⊿=，所以，由，为整数得，或，或，或，所以－=±1。
例2.(2000年全国竞赛)已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有______个。
解：上述方程没有说明是一次方程还是二次方程，因此需要分类讨论。
①当时，，符合题意；②当时，原方程是一元二次方程，易知是方程的一个整数根。
设是方程的另一个整数根，由一元二次方程根与系数的关系得。
因为是整数，所以±1，或±2，∴=－1，0，2，3。
结合①、②得，本题符合条件的整数有5个。
评注：本例首先对项的系数是否为零进行了分类讨论。
对于时方程解的讨论方法具有一般性，即由是整数判断得±1，或±2。
延伸拓展：例2关于一元二次方程整数解的讨论方法应用到整除知识与分解变形技巧，是初中数学竞赛常考的内容，如：(2004年信利杯)已知、是实数，关于、的方程组有整数解(，)，求、满足的关系式。
解：原方程组可化为，所以，显然方程中≠－1，因此。
因为、是整数，所以，即=0，或－2。
当=0时，=0，此时、满足的关系式是=0(为任意实数)；当=－2时，=8，此时、满足的关系式。
例3.(2004年全国联赛)已知方程的根都是整数，求整数的值。
解：原方程的解为。
因为方程式的根都是整数，所以必须是完全平方式。
设(＞0)，则，所以。
∵，且＞，∴，，，，解得=10，0，－18，－8。
评注：涉及完全平方数的一元二次方程整数根讨论的问题，往往应用到分解质因数相关知识与技巧，这类题在近年初中数学竞赛题中较为常见，有的问题须多次使用根的判别式，多次变换讨论的对象，如：类题.(2004年太原)已知为整数，若关于的二次方程有有理根，则的值是。
分析：由已知得为完全平方数。
设(为正整数)，即①将①看作是关于的二次方程，由题设知有整数根，故式①的判别式应为完全平方数。
令(正整数，且＞)，则，因此，解得，所以①可化为，解得=－2，或=0(舍去)。
例4.(2001年全国竞赛)如果，为质数，且，，那么的值为( )A.；B.或2；C.；D.或2.解：依题意，，都是关于的方程的根。
若≠，则，是方程两个不相等的实数根，所以。
因为，为质数，所以=2、=11或=11、=2，因此=；若=，则==2，或==11，所以=2。
因此本题答案选B。
评注：本题解答应用了质数的概念与分类讨论思想。
，都是关于的方程的根，可能有=与≠这一点容易忽视。
两个质数的和是13，这两个数只能是2与11.初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（二）安徽省巢湖市教学研究室张永超2.一元二次方程根的大小分布例5.(2002年全国竞赛)设关于的方程有两个不相等的实数根、，且＜1＜，那么的取值范围是( )A.＜＜；B.＞；C.＜；D.-＜＜0.解：设，依题意，方程的两个不相等的实数根、满足＜1＜，结合二次函数的图象可知，必须有⑴，⑵，解不等式组⑴得，①、③的取值范围没有公共部分，因此⑴没有解；解不等式组⑵得，因此解集为-＜＜0，所以答案选D。
评注：本例的解答涉及到解一元二次不等式。
解一元二次不等式不在《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》范围内，但是《初中数学竞赛大纲》对此有一定的要求。
我们可以结合一元二次方程的解法作初步的探索与了解。
例6.(2002年全国竞赛)已知，为抛物线与轴交点的横坐标，＜，的值为_______。
解：要求的值，首先要根据，的正负去掉绝对值符号。
根据抛物线表达式可知，当时，＜0。
又因为＜，二次项系数为1，因此我们得到的抛物线的形状大致如右图所示，并且＜＜，所以。
评注：本例主要根据抛物线与轴交点的横坐标、，以及当时对应的函数值的正负判断出、、的大小，从而化简。
例7.(2003年太原)已知关于的方程的两个实数根、满足－3＜＜－2，＞0，求的取值范围。
解：设。
因为方程的两个实数根、满足－3＜＜－2，＞0，所以函数对应的图象如上图所示。
因此解这个不等式组得所以的取值范围是＜＜。
评注：本题求解过程中根据、、三个点的函数值得到一个不等式组，可以保证⊿=＞0，因此没有再列出根的判别式，这一点需要仔细推敲与感悟。
这样处理也避免了解一元二次不等式。
本例解答给我们的启示是，解题时首先要认真审题、分析题意，选择最优化的解题方法，这样做可以简化计算，提高解题准确率。
3.与一元二次方程有关的最值问题例8.(2004年信利杯)已知＜0，≤0，＞0，且，求的最小值。
解：两边平方得=，而＜0，＞0即，所以，即。
因此==。
因为≤0，所以当=0时，取得最小值是4。
评注：求与一元二次方程有关的最值问题一般将所求问题转化为二次函数的最值问题来解决，或使用一元二次方程根的判别式来解决。
延伸拓展：2004年出现了多道用编拟的竞赛题，如：类题.(2004年全国初中联赛)已知是一元二次方程的一个实根，则的取值范围为（）。
A.≥；B.≤；C.≥；D.≤.分析：由题设知，原方程的两个实根中，有一个等于，则有，或。
若设，那么或。
因为是一个实数，因此△=1-8≥0，解得≤。
答案选B。
例9.设，是实数，且，求的最大值与最小值。
解：设①，而②，由①、②得，，所以③，因此，而，所以，是方程的两个实数根，因此△≥0，并且≥0，解得1≤P≤9。
所以的最大值为9，最小值为1。
评注：本题是利用构造法，将，看作是方程的两个实数根，根据根的判别式求解的。
本题还可以构造不等式组求解。
如由①、②可得③=≥0，且=≥0，从而1≤P≤9。
类题.(2003年江苏)已知实数，，满足，，则的最大值为。
分析：∵，∴，∴。
又因为，∴，∴，所以、是方程的两个根，因为，，是实数，所以⊿＝≥0，解得-2≤≤2，故的最大值为2。
例10.(2003年四川)若、是方程的两个实数根，则的最小值是。
解：依题意得，解①：≤，由②、③得，所以当=时，有最小值。
评注：本题的关键在于根据方程有两个实数根，利用根的判别式求出的取值范围≤，在≤的范围内求的最小值，否则容易错误地认为取=1得的最小值为－8。
初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（三）4.其它方程的解的讨论例11.(2003年四川)若关于的方程只有一个实数解，则= 。
解：去分母得，整理得①。
当=0时，方程①有一个实数根，经检验是原方程的解；当≠0时，方程①是一元二次方程。
因为＞0，因此方程①总有两个实数根，其中一个根是原方程的增根。
而原方程的增根只可能出现在使原方程公分母为0的未知数的取值中，即原方程的增根只可能是=0，或=1。
因为=0不可能是方程①的解，所以只能=1是方程①的解，因此，解得=。
综上所述，当=0，或=时，原方程只有一个实数根。
评注：关于分式方程增根的讨论，本例具有一定的代表性。
与本例类似的问题有：类题. 是什么整数时，方程只有一个实数根？指出所有这样的值，并求出与它相对应的根。
分析：方法与例22类似，答案为=4，或=8。
例12.(2001年我爱数学夏令营)如果满足的实数恰有6个，那么实数的值等于。
解：显然＞0。
原方程可化为。
若＞10，则原方程等价于，可化为，即，此时原方程只有4个解，不符合题意。
若0＜＜10，则原方程等价于，它可以化为如下四个方程：，，，，此时这4个方程都有两个不同的实数解，因此原方程有8不同的解，不符合题意。
若=10，则原方程可化为如下三个方程：，，，每个方程各有两个不同的实数解，所以=10符合题意。
评注：本题的解法有多种，上面的解答应用了分类讨论思想与枚举法。
实际上本题用图象法解答较为简便，方法是：先作函数的图象，并将函数的图象沿轴方向上下平移，不难发现，只有当=10时，函数的图象与函数的图象才有6个不同的交点，即原方程恰有6个解；当10＜＜15或=0时，原方程恰有4个解；当=15时，原方程恰有3个解；当0＜＜10时，原方程恰有8个解。
(如上图所示)延伸拓展：用类似上例的方法可以解决下列问题：类题.(2003年北京)如果满足的实数恰有6个值，则实数的取值范围是( ).A.－6≤≤0；B.0＜≤3；C.3＜＜6；D.6≤＜9.分析：运用分类讨论或图象法可得答案应选C.例13.(2001年武汉)方程的整数解( ).A.不存在；B.仅有1组；C.恰有2组；D.至少有4组。
解：根据二次根式运算的性质可知，只有被开方数相同的最简二次根式可以加减(合并)，因此、必须被开方数相同，而，被开方数中没有能开得尽方的因数，所以方程没有正整数解，只能有与两组整数解。
评注：若将改为，则原方程可化为，这时、可分别设为，(其中、是整数)，则方程有8组整数解。
延伸拓展：有关二次根式的竞赛题，除以被开方数相同为背景外，还可以以其被开方数为非负数来命制试题，如：类题.(2003年全国联赛)满足等式的正整数对(，)的个数是( )A.1；B.2；C.3；D.4分析：由已知等式可得，而＞0，所以，故。
又因为2003是质数，必有，或，答案选B。
初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（四）三、练习题1.设、是关于的一元二次方程两个实数根，则的最大值为______。
2.已知实数、满足，，那么的取值范围是。
3.若关于的方程有解，则实数的取值范围是。
4.实数、、满足，，则的最大值是。