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初中数学方程与不等式的解法
初中数学方程与不等式的解法方程与不等式是初中数学中重要的概念之一，它们在实际生活中的应用广泛。
本文将介绍初中数学中常见的方程与不等式的解法，包括一元一次方程的解法、一元一次不等式的解法、一元二次方程的解法和一元二次不等式的解法。
一、一元一次方程的解法一元一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a、b为已知数，x为未知数。
解一元一次方程的基本思路是将方程转化为x的系数为1的方程。
具体步骤如下：1. 化简方程，消去方程中的常数项，使得系数x前的数字为1。
2. 通过逆运算，将x系数为1的方程转化为等式，得到x的解。
例如，解方程2x + 3 = 7，可以按照以下步骤进行：1. 化简方程：将方程中的常数项3移到等号右边，得到2x = 7 - 3，化简为2x = 4。
2. 转化为等式：将2x = 4转化为等式，得到x = 4 / 2，化简为x = 2。
因此，方程2x + 3 = 7的解为x = 2。
二、一元一次不等式的解法一元一次不等式是形如ax + b < c或ax + b > c的不等式，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
解一元一次不等式的基本思路是根据不等式符号（<或>）找出合适的解集。
具体步骤如下：1. 化简不等式，消去方程中的常数项，使得系数x前的数字为1。
2. 根据不等式符号找出解集，如果是"<"，找出大于等于解的最小值；如果是">"，找出小于等于解的最大值。
例如，解不等式3x + 2 < 8，可以按照以下步骤进行：1. 化简不等式：将不等式中的常数项2移到不等号右边，得到3x < 8 - 2，化简为3x < 6。
2. 找出解集：由于是"<"不等式，解集为大于等于解的最小值。
将不等式除以3，得到x < 6 / 3，化简为x < 2。
因此，不等式3x + 2 < 8的解集为x < 2。
初中数学方程公式大全
初中数学方程公式大全一、方程解法公式：1. 一元一次方程求解公式：对于形如ax + b = 0的一元一次方程，其解为x = -b/a。
2. 一元二次方程求解公式：对于形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程，其解为x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/ 2a。
3.二元一次方程组求解公式：对于形如{a1x+b1y=c1{a2x+b2y=c2的二元一次方程组，其解为x=(b2c1-b1c2)/(a1b2-a2b1)，y=(a1c2-a2c1)/(a1b2-a2b1)。
4.消元法求解方程组：对于形如{a1x+b1y=c1{a2x+b2y=c2先通过消去一个未知量的方式，将两个方程化为一个未知量的一元一次方程，然后通过求解一元一次方程的方法得到结果。
5.因式分解法求解方程：对于形如a(x-p)(x-q)=0的一元二次方程，通过对等式进行因式分解，得到(x-p)(x-q)=0，进而得到x=p或x=q。
二、等式变形公式：1.合并同类项公式：对于a+b+c+...的形式，将其中的同类项合并，得到合并后的表达式。
2.移项公式：对于等式a+b=c，可以通过移动项的方式将其中的其中一项移到等式的另一边，得到a=c-b。
3. 分配律公式：对于a(b + c) = ab + ac的形式，将括号中的表达式用a分别与括号内的各个项相乘，然后再将相乘得到的结果相加，得到最终结果。
4. 因式分解公式：对于ab + ac的形式，可以将其因式分解为a(b+ c)的形式。
5.平方差公式：对于(a+b)(a-b)的形式，将其用平方差公式展开，得到a^2-b^2的形式。
三、计算方法公式：1.百分数计算公式：对于a%的百分数，可以将其转化为a/100的形式，然后进行计算。
2.分数计算公式：对于分数的加减乘除运算，可以将分数化简后，按照加减乘除法的规则进行计算。
3.平均数计算公式：对于求一组数据的平均数，可以将所有数据相加，然后除以数据的个数。
初中数学 用适当的方法解方程
2
2
x1 2, x2 1
广东省怀集县凤岗镇初级中学
黄柳燕
三、研学教材
（3）2(5x 1)2 3(5x 1) （4）x2 5x 7 3x 11
解：（2 5x 1）2 3(5x 1) 0
解： x2 2x 4 0
（5x 1）2(5x 1) 3 0
5x 110 x 5 0
5x 1 0或10x 5 0
⑦ x2 6x
② 2x2 3x 0
④ 4x2 12x 9 0
⑥ (x 7)2 0 ⑧ 2(x2 4x) 1
把序号填在最适宜解法后的横线上：
（1）直接开方法 ①⑤⑥
（2）因式分解法 ②⑦ （3）配方法 ③ （4）公式法 ④⑧
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黄柳燕
知识点二 观察方程 优选方法
例 用两种方法解方程：x2 6x 2 0
解法一：（配方法） x2 6x 2
x2 6x 32 2 32 （x 3）2 11
x 3 11
x1 3 11 x2 3 11
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三、研学教材
解法二：（公式法）
a 1, b 6, c 2
b2 4ac (6)2 41 (2) 44 0
黄柳燕
四、归纳小结
1、直接开平方法 适用于形如 x2 p( p 0) 或 (x a)2 b(b 0) 的方程；
配方法 适用于所有一元二次方程，尤 其适合当二次项系数为1，一次项系数 为 偶 数的一元二次方程； 公式法 适用于 所有一元二次方程；
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黄柳燕
四、归纳小结
x1
1, 5
x2
1 2
a 1,b 2, c 4
初中数学专题： 分式方程的解法
范围是(D )
A．a＞1
B．a＜1
C．a＜1 且 a≠－2
D．a＞1 且 a≠2
4．(黑龙江中考)已知关于 x 的分式方程3xx－－3a＝13的解是非负数，那
么 a 的取值范围是(C)
A．a＞1
B．a≥1
C．a≥1 且 a≠9
D．a≤1
5．已知关于 x 的分式方程ax＋＋21＝1 的解是非正数，则 a 的取值范围
(3)x－1 2＝12－ －xx－3. 解：方程两边同乘(x－2)，得 1＝x－1－3x＋6.解得 x＝2. 检验：当 x＝2 时，x－2＝0. 因此 x＝2 不是原分式方程的解， 所以原分式方程无解．
2．解分式方程： (1)x－x 1＋x2－1 1＝1； 解：方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得 x(x＋1)＋1＝(x＋1)(x－1)．解得 x＝－2. 检验：当 x＝－2 时，得(x＋1)(x－1)≠0， 所以原分式方程的解为 x＝－2.
是(B)
A．a≤－1
B．a≤－1 且 a≠－2
C．a≤1 且 a≠－2D来自a≤16．(眉山中考)已知关于 x 的分式方程x－x 3－2＝x－k 3有一个正数解，
则 k 的取值范围为 k＜6且k≠3 ．
【易错提示】 求得的未知数不仅要满足所给出的范围，还要使分
式的分母不为零，两个条件必须同时具备，缺一不可．
类型 2 由分式方程无解确定字母的取值
7．若关于 x 的方程3xx＋－12＝2＋x＋m1无解，则 m 的值为(A)
A．－5
B．－8
C．－2
D．5
8．【分类讨论思想】若关于 x 的方程xa－x2＝x－4 2＋1 无解，则 a 的
值是 1或2 ．
9．【分类讨论思想】若关于 x 的方程3x－－23x－m3x－－x2＝－1 无解，则 m 的值是1 或53 ． 【易错提示】 分式方程无解可能有两种情况：(1)由分式方程去分 母后化成的整式方程有解，但这个解使最简公分母为零；(2)由分式 方程去分母后化成的整式方程无解．
初中数学解方程所有公式大全
初中数学解方程所有公式大全解一元一次方程：1. 标准形式：ax + b = 0。
解法：x = -b/a。
2. 一元一次方程的基本性质：若a ≠ 0，方程ax = b的解为x = b/a。
3. 移项：ax + b = c。
解法：x = (c - b)/a。
4.分式方程：a/(x+b)=c。
解法：x=a/c-b。
5.小数方程：0.3x-0.2=0.1、解法：x=(0.1+0.2)/0.36.左右两边乘同一个式子：0.1x=0.4、解法：x=0.4/0.17.括号消去：3(x+2)=12、解法：x=(12-2)/38.同时括号消去和移项：2(x+3)=3(2x-1)。
解法：x=(3-6)/(-4)。
解一元二次方程：1. 标准形式：ax² + bx + c = 0。
解法：x = (-b ± √(b² -4ac))/(2a)。
2.二次方程的基本性质：若a≠0，方程a(x-h)²+k=0的解为x=h±√(-k/a)。
3. 相等根条件：若b² - 4ac = 0，则二次方程ax² + bx + c = 0有相等的实根。
4.平方完成法：x²-2x-3=0。
解法：x=(-(-2)±√((-2)²-4(1)(-3)))/(2(1))。
5.移项与配方法结合：2x²+7x-3=0。
解法：x=(-7±√((7)²-4(2)(-3)))/(2(2))。
6.积零因数法：(x-1)(x+5)=0。
解法：x=1,-5解一元一次不等式：1.开区间：2x-3<5、解法：x<42.闭区间：3-2x≤7、解法：x≥-23.绝对值不等式：，2x-1，>3、解法：x<-1或x>24.一次不等式的综合运用：-4<5-2x<8、解法：-1<x<1.5解一元二次不等式：1.开区间：x²-2x-8>0。
初中数学复习解方程的常用方法总结
初中数学复习解方程的常用方法总结解方程是初中数学中的重要内容，掌握解方程的方法可以帮助我们快速解决数学问题。
本文将总结初中数学中常用的解方程方法，帮助同学们更好地复习和掌握解方程的技巧。
一、一元一次方程一元一次方程是最基础的方程形式，通常可以表示为ax+b=0。
解一元一次方程的方法有两种：移项法和等式两边乘除法。
1. 移项法移项法适用于形如ax+b=0的方程。
我们可以通过将b移到方程的另一边，得到ax=-b。
然后，用x除以a，即可求得解x=-b/a。
举例说明：解方程2x+3=7首先，将3移到方程的另一边，得到2x=7-3=4。
然后，用x除以2，得到x=4/2=2。
所以，方程2x+3=7的解为x=2。
2. 等式两边乘除法等式两边乘除法适用于形如ax=b的方程。
我们可以通过等式两边乘以倒数或除以系数，来求解方程。
举例说明：解方程3x=9首先，将等式两边除以3，得到x=9/3=3。
所以，方程3x=9的解为x=3。
二、一元二次方程一元二次方程是比较复杂的方程形式，通常可以表示为ax^2+bx+c=0。
解一元二次方程的方法有因式分解法和配方法。
1. 因式分解法因式分解法适用于一元二次方程可以因式分解为两个一次因式的情况。
我们可以通过将方程因式分解，使得每个因式等于零，从而得到解的值。
举例说明：解方程x^2-4x+3=0首先，我们需要找到方程的两个一次因式，满足(x+a)(x+b)=0，且a+b=-4，ab=3。
根据这两个条件，我们可以将3分解为1和3的组合，同时满足1+3=-4。
所以，方程x^2-4x+3=0可以化简为(x-1)(x-3)=0。
根据零乘法，得到x-1=0或x-3=0，即x=1或x=3。
所以，方程x^2-4x+3=0的解为x=1或x=3。
2. 配方法配方法适用于一元二次方程无法直接因式分解的情况。
我们可以通过配方，将方程形式转化为平方完成的形式，然后求解。
举例说明：解方程x^2-9x+14=0首先，我们需要找到一个常数k，使得方程中的二次项和常数项满足(kx-a)(kx-b)=0。
初中数学中的代数方程和解法技巧
初中数学中的代数方程和解法技巧代数方程是由字母、数字和运算符号构成的等式，其中包含未知数。
解代数方程的技巧主要有以下几种：1.移项法：当方程中有多项式相加或相减时，可以通过移动项的位置来简化方程。
例如，对于方程2x+3=7，我们可以先将3移到右边，得到2x=7-3，再将两边的常数相减，最终得到2x=4、移项法可以用于一元一次方程、一元二次方程等。
2.因式分解法：当方程中的多项式可以因式分解时，可以通过因式分解来求解方程。
例如，对于方程x^2-4=0，我们可以将其写成(x-2)(x+2)=0，然后令两个因式分别等于0，得到x-2=0和x+2=0，进而解得x=2和x=-2、因式分解法常用于一元二次方程。
3.同解合并法：当方程中的多项式可以进行同解合并时，可以通过同解合并来求解方程。
例如，对于方程2(x-1)+3(x-1)=0，我们可以将其简化为(2+3)(x-1)=0，进而得到5(x-1)=0，最终解得x=1、同解合并法常用于同底数幂的方程。
4.分式方程的通分法：当方程中存在分数时，可以通过通分来化简方程。
例如，对于方程(2/x)+(3/(x+1))=1，我们可以通过通分将其化为(2(x+1)+3x)/(x(x+1))=1，进而得到(5x+2)/(x(x+1))=1，然后根据分子等于分母的条件可以得到5x+2=x(x+1)，继续求解即可。
通分法常用于分式方程的求解。
5. 二次函数方程的配方法：对于二次函数方程ax^2 + bx + c = 0，可以通过配方法将其化简为完全平方形式。
例如，对于方程x^2 + 6x +8 = 0，我们可以先将b项的系数分为两段，然后加上适当的常数使得它们平方，即x^2 + 6x + 9 - 1 = 0，再进行配方得到(x + 3)^2 - 1 = 0，最后根据完全平方公式得到(x + 3 + 1)(x + 3 - 1) = 0，解得x = -4和x = -2、配方法常用于二次函数方程的求解。
2022年初中数学精品《解一元一次方程8》word版精品教案
6.2 解一元一次方程第4课时教学目标【知识与能力】掌握分母中含有小数的一元一次方程的解法,灵活运用解方程的步骤解方程.【过程与方法】通过练习使学生灵活的解一元一次方程.【情感态度价值观】发展学生的观察、计算、思维能力.教学重难点【教学重点】使学生灵活的解一元一次方程.【教学难点】使学生灵活的解一元一次方程.课前准备课件教学过程一、情境导入，初步认识通过前面的学习，得出了解一元一次方程的一般步骤，任何一个一元一次方程都可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤转化成x=a的形式.因此当一个方程中的分母含有小数时，应首先考虑化去分母中的小数，然后再求解这个方程.【教学说明】复习解一元一次方程的步骤，为本节课的教学作准备，并引出本节课的内容.二、思考探究，获取新知1.解方程分析：此方程的分母中含有小数，通常将分母中的小数化为整数，然后再按解方程的一般步骤求解.利用分数的基本性质，将方程化为：去分母，得6(9x＋2)-14(3＋2x)-21(3x＋14)=42，去括号，得54x+12-42-28x-63x-294=42，移项，得 54x-28x-63x＝42-12＋42+294，合并同类项，得-37x=366，系数化为1得x=-366/37.【教学说明】解此方程时一定要注意区别：将分母中的小数化为整数根据的是分数的基本性质，分数的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变，所以等号右边的1不变.去分母是方程的两边都乘以各分母的最小公倍数42，所以等号右边的1也要乘以42，才能保证所得结果仍成立.2.解下列方程：(1)3(2x-1)＋4=1-(2x-1)；分析：我们已经学习了解方程的一般步骤，具体解题时，要观察题目的结构特征，灵活应用步骤.第(1)小题中可以把(2x-1)看成一个整体，先求出(2x-1)的值，再求x的值；第(2)小题，应注意到分子都是4x+3，且1/6+1/2+1/3=1，所以如果把4x+3看成一个整体，则无需去分母.解：(1)3(2x-1)+4=1-(2x-1) ，3(2x-1)＋(2x-1)=1-4，4(2x-1)=-3，2x-1=-3/4，2x=1/4，x=1/8.(1/6+1/2+1/3)(4x+3)=1；4x+3=1；4x=-2；x=-1/2.【教学说明】解方程时，要注意观察分析题目的结构，根据具体情况合理安排解题的步骤，注意简化运算，这样可以提高解题速度，培养观察能力和决策能力.三、运用新知，深化理解【教学说明】强调学生在解题之前一定要先观察方程的特点，再选择适当的方法，是先去中括号、还是去小括号；是先去分母、还是先去括号等.【答案】1.分析：这个方程的分母含有小数，可依据分数的基本性质，先把分母化为整数再去分母后求解.解：原方程可化为去分母，得3（4x+21）-5（50-20x）= 9，去括号，得12x+63-250+100x=9，移项，得12x +100x=9-63+250，合并同类项，得112x=196，系数化为1，得x=196/112=7/4.2.解：原方程可化为去分母得40x+60=5（18-18x）-3（15-30x），去括号得40x+60=90-90x-45+90x，移项、合并得40x=-15，系数化为1得x=-3/8.3.解：去中括号得4（x-1/2）+1=5x-1，去小括号得4x-2+1=5x-1，移项、合并得x=0.4.解：去小括号得1/3(2x-1/3-2/3)=2,方程两边同乘以3得2x-1=6,移项得2x=7,系数化为1得x =7/2.5.解：依题意，得去分母得5（2k+1）=3（17-k）+45，去括号得10k+5=51-3k+45，移项得10k+3k=51+45-5，合并同类项得13k=91，系数化为1得k=7，6.分析：由方程2(2x-3)=1-2x可求出它的解为x=7/6，因为两个方程的解相同，只需把x =7/6 代入方程8-k=2(x+1)中即可求得k的值.解：由2(2x-3)=1-2x得4x-6=1-2x，4x+2x=1+6，6x=7，x=7/6.把x =7/6代入方程8-k=2(x+1)，得8-k=2(7/6+1),8-k=7/3+2,-k=-11/3,k=11/3.答:当k =11/3时，方程2(2x-3)=1-2x 和8-k=2(x+1)的解相同.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业1.布置作业:教材第14页“习题6.2.2”中第1 、2 题.2.完成练习册中本课时练习.五、教学反思这几堂课我们都在探讨一元一次方程的解法,具体解题时要仔细审题，根据方程的结构特征，灵活选择解法，以简化解题步骤，提高解题速度.对于利用方程的意义解决的有关数学题，仔细领会题目中的信息，应把它转化为方程来求解.第2课时 分式的乘方[解答] 根据乘方的意义和分式乘法法则，可得分式乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方．即由于ba 表示a 除以b 的商，所以分式乘方的法则实质上就是商的乘方法则，这个法则与第六章整式的乘除中幂的运算法则组成了系统的幂的五种运算性质．即关于正整数m 、n 有： (1)m n m n a a a +=⋅(2)m n m n a a a -=÷ (a ≠0，m ＞n)(3)m n m n a a ⋅=)((4)n n n b a b a ⋅=⋅)(加强幂的运算性质“双向应用”的练习，有利于熟练掌握幂的运算性质，发展思维，提高灵活解决有关幂的各类问题的能力．正向应用幂的运算性质解题时，应注意以下几点．(1)“分子、分母各自乘方”是针对分子与分母的整体而言，如果分子、分母是积的形式，应接照积的乘方法则进行运算，如本例中(2)计算带有负号的分式乘方时，按照负数乘方的规律“偶次方为正，奇次方为负”，首先决定结果的符号，如本例中(3)乘方与乘除法混合运算时，应首先计算乘方，然后颠倒除式的分子与分母的位置，再与被除式相乘，进行约分化简．[例2]已知2a =5，2b =4，2c =10，求22a+b-3c 的值．分析：本题应通过逆向应用幂的运算性质，将c b a 322-+用a 2，2b 与2c 的式子表示出来，再代入求值．解：c b a 322-+ ＝c ba 3222+ （ m n m n a a a -=÷的逆向应用 ） ＝c ba 32222⋅ （ m n m n a a a +=⋅的逆向应用 ）＝32)2(2)2(c b a ⋅ （ m n m n a a ⋅=)(的逆向应用 ） ＝101104532=⨯[例3] 求(0.5)10×(-8)3的值．解：(0.5)10×(-8)3注意：把10)5.0(写成92121⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯以及进一步把99)2(21-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛写成9)2(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛的形式，是逆向应用幂的运算性质解题的常用技巧，也是解决本题的关键。
初中数学：解一元一次方程(共4课时)
把方程的两边都除以未 知数的系数（不为0）
依据
注意事项
分数的性质 不是方程两边所有的項都乘
等式性质2
乘法分配律 去括号法则
不要漏乘不含分母的项，分子是 多项式时别忘加括号。
括号前是“－”时，去掉括号时 括号
内各项均要变号
移项法则
移项要变号
合并同类项法 系数相加，字母及字母的指数均
则
不变
(3) 2.4y+2= -2y ⑷ 8- 5x=x+2
例1 解方程：2x+6=1
只要设法将未 知数的系数化 为1 就行了。
解方程：3x+3=2x+7
每一步变形的 依据是什么？
1、一般把含有未知数 的項移到等号左边，常
数项移到等号右边。 2、移項记得要变号
解方程：
(1) x-3=-12 (2) 5-2x=9-3x (3)16x+6=-7+15x (4) 3y-2=2y-10
左边对含未知数的项合并、右边对常数项合并。并 把未知项的系数化为1，形如x=a(a为常数)。
解方程:4(x+0.5)+x=17.
此方程与上课时所学方程有何差异?
需要先去括号
去括号有什么 注意事项呢?
解方程 2 62x 1 12
解：去括号，得:
移项，得: 合并同类项，得:
系数化为1，得:
你有几种方法呢？
知识回顾：
1、我们已经学过解一元一 次方程的步骤有那些？
解一元一次方程的步骤：
• 1、去分母 • 2、去括号 • 3、移项 • 4、合并同类项 • 5、系数化为1
解方程: y 2 y 1
63
想一想 去分母时要 注意什么问题?
初中数学方程式解法整理
初中数学方程式解法整理数学方程式是初中数学中重要的一部分，解方程是培养学生逻辑思维和解决问题能力的关键内容。
在解方程时，我们需要根据不同的题型选择合适的解法，以便求得方程的解。
本文将从一元一次方程、一元二次方程和分式方程三个方面，整理解方程的方法，帮助初中生更好地理解和掌握解方程的技巧。
一、一元一次方程的解法一元一次方程是初中数学中最基础的方程类型，其形式为ax + b = 0。
解一元一次方程可通过如下步骤进行：1. 消去常数项：如果方程中有常数项b，我们可以通过减去常数项b，将方程化为ax = -b的形式。
2. 消去系数项：我们可以通过除以未知数的系数a，将方程化为x = -b/a的形式。
这样就得到了方程的解x。
3. 检验：为了确认我们的解是正确的，我们可以将求得的解代入原方程中，检验两边是否相等。
如果相等，则解正确；如果不相等，则解错误。
需要注意的是，当方程中含有分数或小数时，我们首先需要将其转化为整数形式，再进行解方程的步骤。
二、一元二次方程的解法一元二次方程是比一元一次方程复杂一些的方程类型，其一般形式为ax² + bx + c = 0。
解一元二次方程需要用到配方法、因式分解法、求根公式和完成平方等方法。
1. 配方法：当一元二次方程的系数正好可以通过配方将其化为完全平方时，我们可以使用配方法解方程。
具体步骤如下：a) 将一元二次方程按照形式“(px + q)² = 0”的方式写出；b) 移项并展开方程，得到px + q = 0；c) 求出px = -q；d) 得到方程的解x = -q/p。
2. 因式分解法：当一元二次方程可以因式分解为两个一元一次方程的乘积时，我们可以使用因式分解法解方程。
具体步骤如下：a) 将一元二次方程进行因式分解；b) 令两个一元一次方程分别等于0，并求出方程的解；c) 得到方程的解为两个一元一次方程的解的并集。
3. 求根公式：一些无法通过配方法或因式分解法解的一元二次方程，我们可以使用求根公式解方程。
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代数部分第三章：方程和方程组基础知识点：一、方程有关概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。
3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。
4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。
二、一元方程 1、一元一次方程（ 1）一元一次方程的标准形式： ax+b=0 （其中 x 是未知数， a 、b 是已知数， a ≠ 0）（ 2）一元一次方程的最简形式： ax=b （其中 x 是未知数， a 、 b 是已知数， a ≠ 0）（ 3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。
（ 4）一元一次方程有唯一的一个解。
例题 ：.解方程： （ 1）1 x 1 x2 x 1xx3 3（ 2）32 2解：解：（ 3）【05 湘潭】 关于 x 的方程 mx+4=3x+5 的解是 x=1 ，则 m=。
2、一元二次方程（ ） 一般形式： 2bx c 0a1ax（ 2） 解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法求根公式 ax 2bxc 0 a 0xbb 24ac b 24ac 02a错误 !未找到引用源。
、 解下列方程：（ 1） x 2－2x ＝ 0； （2）45－x 2＝0；（ 3） (1－3x)2＝1； （ 4） (2x ＋ 3)2－25＝0. （ 5）（t －2）（t+1） =0；（6）x 2＋8x －2＝0(7 )2x 2－6x －3＝0；（8）3（x － 5） 2＝2（5－x ）解：错误 !未找到引用源。
填空：（ 1） x 2 ＋6x ＋（ ）＝（ x ＋ ）2 ；（ 2） x 2 －8x ＋（ ）＝（ x － ）2 ；（ 3） x 2 ＋ 3x ＋（ ）＝（ ＋ ）2x 2（ 3） 判别式△＝ b2－4ac 的三种情况与根的关系当 0 时 有两个不相等的实数根 ， 当 0 时 有两个相等的实数根当0 时 没有实数根。
当△≥0时有两个实数根例题． 一、一元二次方程的解法例 1、解下列方程：（ 1） 1( x 3)22 ；（ 2） 2x 2 3x 1；（3） 4(x 3) 225( x 2) 22例 2、解下列方程：（1） x 2a(3x 2a b) 0( x 为未知数 ) ；（ 2）x 22ax 82a（．无锡市）若关于 x 的方程 x 2＋2x ＋ k ＝ 0 有两个相等的实数根，则 k 满足 ()3A.k ＞1B.k≥1C.k＝1D.k ＜14.（常州市）关于 x 的一元二次方程 x 2(2k 1)x k1 0 根的情况是（ ）（ A ）有两个不相等实数根（ B ）有两个相等实数根（ C ）没有实数根（ D ）根的情况无法判定5．（浙江） 已知方程x 22 pxq有两个不相等的实数根， 则p、q满足的关系式（ ）A 、p 24q 0B 、p 2q 0C 、p 24q 0D 、p 2q 06.根与系数的关系： x 1＋x 2=b，x 1x 2=ca a例题：（浙江富阳市）已知方程 3x 2 2x 11 0 的两根分别为 x 1 、x 2 ，则11x 1x 2的值是（ ）A 、 2B 、 11C 、2D 、 11112112例 3、求作一个一元二次方程，使它的两个根分别比方程x2x 5的两个根小 3根的判别式及根与系数的关系例 4、已知关于 x 的方程： ( p 1)x 22 px p3 0 有两个相等的实数根，求p 的值。
x 22x 10（1）a2 b 2；（2）11a b分式方程的解法步骤：（1）一般方法：选择最简公分母、去分母、解整式方程，检验（2）换元法例题：错误! 未找到引用源。
、解方程： 4 1 1 的解为x 2 x4 2x 2 40 根为x2 5x 6错误 ! 未找到引用源。
、【北京市海淀区】当使用换元法解方程( x )2 2( x ) 3 0 时，若设yx，则原方程可变形为（）A．y2＋xx 1 x 1 y＋＝．y 1 ． y2－ y－＝y＋＝． y2－2＋y－＝2 30B 2 30C 2 30D 23 0（ 3）、用换元法解方程x2 3xx2 3 4 时，设y x2 3x ，则原方程可化为（）3x（ A）34 03 1 1y （） 4 0 （） 4 0 （）y 4 0 y y 3y 3y例、解下列方程：（2） 2 11 1；（2）x22 6x 51 x2 x x x 2 26、应用：（1）分式方程（行程、工作问题、顺逆流问题）（2）一元二次方程（增长率、面积问题）（ 3）方程组实际中的运用例题：错误 ! 未找到引用源。
轮船在顺水中航行 80 千米所需的时间和逆水航行60 千米所需的时间相同 .已知水流的速度是 3 千米 /时，求轮船在静水中的速度 . （提示：顺水速度 =静水速度 +水流速度，逆水速度 =静水速度 -水流速度）解：错误 !未找到引用源。
乙两辆汽车同时分别从A、B 两城沿同一条高速公路驶向 C 城 .已知 A、C 两城的距离为 450 千米， B、 C 两城的距离为 400 千米，甲车比乙车的速度快 10千米 /时，结果两辆车同时到达 C 城 .求两车的速度解错误 !未找到引用源。
某药品经两次降价，零售价降为原来的一半 .已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率 .（精确到 0.1%）解错误 !未找到引用源。
【 05 绵阳】 已知等式(2A- 7B) x+(3 A- 8B)=8 x+10 对一切实数 x 都成立，求 A 、 B 的值解错误 !未找到引用源。
【 05 南通】某校初三（2）班 40 名同学为“希望工程”捐款 ,共捐款100 元 .捐款情况如下表：捐款（元） 1 234 人数67表格中捐款 2 元和 3 元的人数不小心被墨水污染已看不清楚.若设捐款 2 元的有 x 名同学 ,捐款 3 元的有 y 名同学 ,根据题意 ,可得方程组x y 27 x y 27 x y 27x y 27A 、3yB 、2 x3 y 100C 、2y66 D 、2 y 1002x 663x 3x解错误 !未找到引用源。
已知三个连续奇数的平方和是 371，求这三个奇数 .错误 !未找到引用源。
一块长和宽分别为 60 厘米和 40 厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形， 折成一个无盖的长方体水槽， 使它的底面积为 800 平方米 .求截去正方形的边长 .解：四、方程组代入消元 4、 方程组 ： 三元一次方程组二元一次方程组加减消元二元 (三元 )一次方程组的解法：代入消元、加减消元xy7, x 2 y 0例题：解方程组y8.3x 2 y 82 x 例 7、解下列方程组：2x 3y 3 x y 2z 1 （ 2） 2x y z 5（1）2 y；x 5x y3z 4例 8、解下列方程组：代入消元 加减消元 一元一次方程x y 112 33x 2 y 10x y 7 3x 2 xy 4 y 2 3x 4 y 0（1）； （ 2）2 y 225xy 12x列方程（组）解应用题知识点：一、列方程（组）解应用题的一般步骤 1、审题： 2、设未知数；3、找出相等关系，列方程（组） ；4、解方程（组） ；5、检验，作答；二、列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系； 1、工程问题（ 1）基本工作量的关系：工作量 =工作效率×工作时间（ 2）常见的等量关系：甲的工作量 +乙的工作量 =甲、乙合作的工作总量（ 3）注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题 2、行程问题（ 1）基本量之间的关系：路程 =速度×时间（ 2）常见等量关系： 相遇问题：甲走的路程+乙走的路程 =全路程追及问题（设甲速度快）：同时不同地：甲的时间 =乙的时间；甲走的路程–乙走的路程 =原来甲、乙相距路程同地不同时：甲的时间 =乙的时间–时间差；甲的路程 =乙的路程3、水中航行问题：顺流速度 =船在静水中的速度+水流速度；逆流速度 =船在静水中的速度–水流速度4、增长率问题：常见等量关系：增长后的量=原来的量 +增长的量；增长的量=原来的量×（ 1+增长率）；5、数字问题：基本量之间的关系：三位数 =个位上的数 +十位上的数× 10+ 百位上的数× 100 三、列方程解应用题的常用方法1、译式法：就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数之间的内在联系找出等量关系。
2、线示法：就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段长度的内在联系，找出等量关系。
3、列表法：就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系。
4、图示法：就是利用图表示题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系更为直观，这种方法能帮助我们更好地理解题意。
例题：例 1、甲、乙两组工人合作完成一项工程，合作 5 天后，甲组另有任务，由乙组再单独工作 1 天就可完成，若单独完成这项工程乙组比甲组多用 2 天，求甲、乙两组单独完成这项工程各需几天？例 2、某部队奉命派甲连跑步前往90 千米外的 A 地， 1 小时 45 分后，因任务需要，又增派乙连乘车前往支援，已知乙连比甲连每小时快28 千米，恰好在全程的1处追上甲连。
3求乙连的行进速度及追上甲连的时间例 3、某工厂原计划在规定期限内生产通讯设备60 台支援抗洪，由于改进了操作技术；每天生产的台数比原计划多 50%，结果提前 2 天完成任务，求改进操作技术后每天生产通讯设备多少台？例 4、某商厦今年一月份销售额为60 万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额下降 10%，以后经加强管理，又使月销售额上升，到四月份销售额增加到96 万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？例 5、一年期定期储蓄年利率为 2.25%，所得利息要交纳 20%的利息税，例如存入一年期100 元，到期储户纳税后所得到利息的计算公式为：税后利息 = 100 2.25% 100 2.25% 20% 100 2.25%(1 20%)已知某储户存下一笔一年期定期储蓄到期纳税后得到利息是450 元，问该储户存入了多少本金？例 6、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降低成本措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。
若商场平均每天要盈利1200 元，每件衬衫应降价多少元？。